2-1已知隨機過程X(t)=Acoso0t,其中so為常數，隨機變

量A服從標準高斯分布。求t=Oj/加。J/2S。三個時亥ijX(t)

的一維概率密度？

2

1a

解：A?N(0,1)........fA(a)

fx(Xi；0)=

X(t)t=0=A-N(0,1)=

X(t)f(x)_e__2

—~N(0,_)9V

24X%―蘇

6

f(x3；^0)=(x3)

(離散型隨機變量分布律)

2-2如圖2.23所示，已知隨機過程x(t)僅由四條樣本函數組

1131

成,出現的概率為

O4O4

圖2.23習題2-2

在k和t2兩個時刻的分布律如下：

aa

x(ti)1263

x(t)

25421

(ti,t)

21/81/43/81/4

求E[X。)],E[X(t2)],E[X(ti)X(t2)]?

42921

E[X(ti)]=zxkpk(t)=—E[X(t2)]=—

k=188

E[X(ti)X&)]=Rx(3/￡zkikp{X(ti)=ki,X(t2)=k2)

kik22

2-23隨機過程X(t)=Acost+XH,其中A~U(0,1)(均勻分布)。

求fx(x;t),E【X(t)】，D【X(t)】，Rx(ti,t2)?

E【X⑴】=E〔Acost+XHI=costEA,XH

D〔X(t)1=E[X2(t)[-E21X(t)】

方法2：

D【X(t)]=DtAcost+XH1=D〔Acost1+D〔XH】

cos21

=cos21DA

12

22

公式：D[aX+bY]=aD(X]+bD[Y]+2abCXy

Rx(ti,t2)=E-(Acosti+XH)(Acost2十XH〃

costcostEAEAXHcostcostXH2

=+g(+)+

1212

[XH

=_costcost+___/cost+costx+XH2

1'12'

392

冗

+2k71<t<—+2k71cost>0

22

對某一固定時刻tX(t)~U(XH,cost+XH)

冗3n

—+2kn<t<一+2k冗cost<0

22

對某一固定時刻tX(t)~U(cost+XH,XH)

t=-+cost=0X(t)=XH

概率密度用沖激函數表示

1^

—+2k71<t<—+2kx,XH<x<cost+XH

cost22

1冗371

---------------+2k71<t<—+2k71,cost+XH<x<XH

fx(x;t)=(cost22

：Mx-XH)t=-+k。，x=XH

I2

0else

2-4已知隨機過程x(t)=A+Bt,其中A,B皆為隨

機變量。①求隨機過程的期望E[X(t)]和自相關函

數Rx(ti,t2)?②若已知隨機變量相A,B互獨立，

它們的概率密度分別為口⑻和加(b),求x(t)的一

維概率密度fx(x；t)

第②問____________________

方法一：用雅克比做(求隨機變量函數的分布)

步驟：

t時咳I],X(t)=A+Bt為兩個隨機變量的函數

①設二維的隨機矢量X1=A+Bt(題目要求的)

X2=A(自己設的量，可以是其它量)

②求反函數

③求雅克比行列式J,得到叫

④利用公式fxtX2(Xl,X2)=JfAB(a,b)

AB相互獨立ufAB=fA(a)HB(b)

⑤由聯合概率密度求邊緣概率密度fXl(X)

@t為變量,則得到fx(x;t)

??,A與B獨立JfAB（a,b）=fA（a）fB（b）

rx（t）=ABt卜丫⑴01

+1

1

|Y（t）=A」B=X（t）-Y（t）J=1

Ittt

I1.X-v1rzX-y

fXY（x,y;t）=|jHAB（a,b）=；4AB（y，｛）=[fA（y）.fB（-p）

400

收1x-yx.

fx（x；t）=J-oOfxY（x-,oOy;十t）dy=j7"人f（丫）TB（—

40clX-3,

da

,y=a,fx（x;t）=/-fA（a）fB（------）（）

qt,t

00<fx-a"I

fx（X；t）=j-fA（a）f|------da

Ht|Bkt

=J'f（x-bt）f（b）db

—oOAB

方法二：用特征函數定義和性質（獨立變量和的

特征函數等于各特征函數的乘積）做

（特征函數和概率密度一一對應）

,..xr-JuX?廣juABt+ocyjuabt上...1

Qu,tEe（）1.E「3（+）i.『~（"e」（+）fa,bdadb

X（）一r|I-II-JJAB（f）

LJLJ-oO—oO

ju（a

=jje也,）f八（a）fB（bdadb

—oC-oC

Q（u;t）=Jfx（x;t）eJuxdx

x-oO

取a=x-bt

Q,u;t、［依1-ejuxfxbtJ.bdxdb

X（）-LA（-）B（）

+oO.+oO

=feJffA（x-bt）fB（b）dbdx

—oO-oc

+oO

fx（x;t）=JfA（x-bt）fB（b）db

—oO

2-5已知X⑴為平穩過程，隨機變量Y=X(to)o判

斷隨機過程Z(t)=X(t)-丫的平穩性？

X(t)平穩=mx、Rx(’)

E[Y（t）]=E[X（t0）]=?

E[Z（t）卜2mx

Rz（t”t2）=E［（X（ti）+Y）（X（t2）+Y“

2

Extxtxtxtxtxtx

=-（1）（2）+（1）（0）+（0）（2）+（t。）］

=Rx”）+Rx（L，t0）+Rx（t2，t0）+E［X'（t。）］

■Rz”）

隨機過程Z(t)-X⑴+Y北平穩

2-6已知隨機過程Y(t)=X(t)cos(sot+6),其中隨機

過程X(t)寬平穩，表示幅度；角頻率3。為常數；

隨機相位0服從(-"」)的均勻分布，且與過程X(t)

相互獨立。①求隨機過程丫⑴的期望和自相關函

數？②判斷隨機過程丫⑴是否寬平穩？

①］與過程X⑴相互獨立

+

=cosfot°)VX(t)相互獨立

EfY(t)1=E[X(t)cos(0ot+6)】

=E(X(t),gE[cosf5ot+°),=0

0+<1>]

RY(t「t2)=EtxaOcosfot/)X(t2)cose0t2)

+01

=E[X■)X6)costotJ。)cosrot2)

+

=E1X(ti)X(t2)】Ebostot/①)cos「0t20)]

c1

=Rv(T)g—COSonT

2-8已知平穩過程x⑴的自相關函數為

-|T|

Rx(T)=4ecos71T+cosB71T,

求過程X(t)的均方值和方差？

711

RXI(T)=4e11cos非周期部分mxi=Rxi(°°)=0

Rx23cos3〃周期偶函數mx2=0

22

°=R(0)_m=5

XXX

2-10已知過程X(t)=Acost-Bsint和

Y(t)=Bcost+Asint,其中隨機變量A,B獨立,均值都

為0,方差都為5o①證明x(t)和丫⑴各自平穩且

聯合平穩；②求兩個過程的互相關函數？

①E〔X(t)]=0Rx(t,t+工)=5COSTE"x2(t)]=5<°°

=X&1平穩

E[Y(t)l=0Ry(t,t+T)=5COSXEY2(t)]=5<00

=Y[t】平穩

(1T

RXYt,t+)—5sin

=X(t)、Y(t)聯合平穩

2-11已知過程X。）和丫⑴各自平穩且聯合平穩，且

Z（t）=X（t）+Y⑴。①求Z⑴的自相關函數Rz（x）?②若

X（t）和Y（t）獨立，求RZ（T）?③若x（t）和丫⑴獨立且均值

均為0,求Rz⑴

第①問

Rz（「）=E[Z（t）Z（t+*）]

T

=Rx（I）+RY"）+RXY（）+RYX"）

=Rx”）+RY"）+RXY（T）+RXY（Y）

兩個聯合平穩的過程的互相關函數

Ryx（，）=RXY（7）

第②問兩平穩過程獨立

=E[X（tJY（t2）]=E[X（ti）]E[Y（t2）]

=

=RXY"）=RYX"）mxmY

T（T

Rz"）=RX（）+RY"）+2RXY）

第③問X（t）和Y（t）獨立且均值均為o

Rz（「）=Rx"）在丫（7）

2-12已知兩個相互獨立的平穩過程x⑴和Y(t)的

自相關函數為

T2TY2

Rx()=2ei1COS°oR(，)=9，exp(-3^j)

令隨機過程，其中A是均值為2,方差為9的隨

機變量，且與x⑴和丫⑺相互獨立。求過程z(t)的均

值、方差和Z(t)=AX⑴Y⑴自相關函數?

E[Z(t)]=EA8E[X(t)"E[Y(t)]

E[X(t)]=±jRxd)=O,E[Z(t)]=0

Rz(t,t+，)=E[Z(t)Z(t+『)]

=E[A2X(t)X(t+x)Y(t)Y(t+x)]

=E[A2]R(JR(j

XY

E[A2]=D[A]+E2[A]=9+22

x2|：l+T2

=Rz()=26e-cos-0^(9exp(-3))

D[Z(t)]=Rz(0)=260

可以證明過程z⑴平穩

2-14已知復隨機過程

Q0

Z6=工Aexp（jsit）

i=1

式中A。=1,…，n）為n個實隨機變量，叼。=1；”，可為門

個實數。求當A滿足什么條件時，z（t）復平穩？

復過程Z（t）復平穩條件

rriz（t）=rrt復常數，m<+jrrv

（Rz（t,t+。）=Rz"）

「81

Cmz（t）=EHAexp（肚it）!=zE[A,gexp（j°it）

①Li=1Ji=1

只要E[A]，O,E[Z（t）]中就存在“t"。令要A]=0

②

+T）=+「）]

Rz（t,tE]Z*（t）Z（t

「8oo1

=E|ZAexp（-/』）四Ajexp（j”jt+/）I

Li=1j=1J

oOoO

=工工EAAj"xp（-jsit+jsjt+ajT）

i=1j=1

00oo

+zzE]A?]gexp（p）

i=1j=1

rEIA]=o.......

Ai與A問應滿足條件：'?..…i,k=1,2;??,n

[EIAM=0，……iwkJ

Y

2-16已知平穩過程x(t)的均方可導，(0=X'(t)o

證明XQY(t)的互相關函數和丫。)的自相關函數分別

為

T2

/、dRx()oz、dRx(x)

RXY⑴=優RY(X)=.^_

1RY"E[X(t)Y(tF

=E；X(t)l.i.mXL+M)二X(t+。)]

LVo△tJ

=|imE「X(t)X(t+…t)-X(t)X(t+r)]

!A!一

=|imRx(…。/。)=dRx(D

4->0Atdt

o

2

+

RY(x)=E[X(t)Y(tx)]

「X(t+At)_X(t)J

=ELi.m---------------------Y(t+T)

LAT。△t-

=hmE〔X(t+M)Y(t+「)-X(t)Y(t+「)】

A—oAf

=|jmRXY(，-At)-RXYC)=_|jmRXYQRXY,IT)

4To

dRQ)d2R(J

=------X￥----=-------X----

dTdT2

若X(t)為寬平穩(實)過程，則X'(t)也是寬平穩(實)過程，且X(t)

與X'(t)聯合寬平穩。

2

dR(T)dR(JdR(JdR(T)

RYQ)==_?JXYJ，_____xZl

2

dTdTd(-T)dt

2-17已知隨機過程x(t)的數學期望

E[X(t)]=t2+4,求隨機過程Y(t)=tX(t)+t2的期望?

E[X'(t)]=tE[X(t)]]=J+4]=2t

E(Y(t)]=3t2

2-18已知平穩過程x(t)的自相關函數

12

TT

Rx()=2exp求：①其導數Y(t)=X《)的自相

2O

關函數和方差？②X(I)和Y(t)的方差比?

R⑴」2Rx_g-IT2

2(i2)e2

RY()d2x

不含周期分量

a2=R(0)=2

YYK;

2=R(0)=2

aXX《)

補充題：若某個噪聲電壓X(t)是一個各態歷經過程，它的一

個樣本函數為x(t)=2cos[+：>求該噪聲的直流分量、交流

平均功率

解：直流分量E[X(t)]、交流平均功率D[X(t)]

各態歷經過程可以用它的任一個樣本函數的時間平均

來代替整個過程的統it壬均L

__------1T].1T「(TI\]

EX(t)]=X(t)=lim—fX(t)dt=lim—/j2cost+—idt=O

■」/TB2T氣T廿2Ti4

Rx⑴=X(t)X(t")=肛開J：X(t)X(t+，)dt

..1T\7T「丸、]

=lim-j2cost+—2cost+T+—idt=2cosT

TB2TF44.

再利用平穩過程自相關函數的性質

D[X(t)]=Rx(0)-Rx(°°)=2

方法二：

D[X(t)]=E>2(t)]-E2[X(t)]=X2(t)-X(t)

X(t)=0

2

1T2「11「「一

X(t)-hm—jX(t)dt=lim—j2cost+—dt=2

—82T口TT°02T-TlI4)\

2-19已知隨機過程x(t)=Vcos3t,其中v是均值和方

1t

X

差皆為1的隨機變量。令隨機過程Y(t)=tJ0(MdX

求丫⑴的均值、自相關函數、協方差函數和方差？

解：

bb

1.求均值，利用E[JaX(t)dt]=faE[X(t)]dt

隨機過程的積分運算與數學期望運算的次序可以互換

lr「1t11t1t

E

E[Y(t)]=E-/oX(>Odx=-l0〔Xa)】cU=-JoE[VJCOS3Ad九

sin3t

~3t

2.求自相關函數Y(t)=10X(九)d九=/變上限積分

1

R

Y科)=ERY”=E["X(Qd'JJ：2X(")dJ

12

t2

=JE[X(x)X(x)]d;d>

52‘°°

做法二：丫(t)=：J；X(，)d，?=；J；Vcos3>d'=Vsin3t

Vsin3t2

R(t,t)=E[Y(t)Y(t)]=E[sin3tiV]

Y1212

3ti3t2

=sin3tisin3t2ev2_2sin3tsin3t

12

9tit29tit2

3.求互協方差函數

,I1

CY(h，t2)=RyOnt2)-E[Y01)]E)①)】=——sin3^sin3t2

9tlt2

4求方差D[Y(t)]=CY[t,1]方差是關于t的一元函數

卡許一nWsin3tlsin23tsin23t

方法一：D|Y(t)1=U?---------I=----------D[V]=--------

I13tJ9t29t2

2-20已知平穩高斯過程x（t）的自相關函數為

①Rx（T）=6exp|②Rx⑴=6型經

求當t固定時，過程X（t）的四個狀態

X（t）,X（t+1）,X（t+2）,X（t+3）的協方差矩陣?

p3?1

夕324

分析：高斯過程四個狀態的4

c41c42c

4

1->狀態X（t）,2T狀態X（t+1）,3T狀態X（t+2）,4T狀態X（t+3）

X（t）平穩高斯，協方差陣只與時間差值。有關

Cx（0）Cx（1）Cx（2）Cx（3）1

II

Cx（0）Cx（1）Cx（2）

Cx（1）Cx（0）Cx（1）

[Cx（3）Cx（2）Cx（1）Cx（0）j4X4

m2

x

解：①x（t）平穩高斯，協方差陣只與時間差值。有關

3

⑶6-2

1e

R(2)=6e-RX-

1

--

66e2

/3V

f6e

\)1

CX-『6e

/2)66

k?e

CX(-6e

16

/1-

\-

06-16e26

/\e

I

CX\7

3

-

6e26e2

②

m2_|imRQ)_0一C=R(J「60001

X-TT8X一iJjX'0600

7rCJ

叫sin一t

lim=1RX(0)=6I。06O1

0ni

Rx(1)=Rx(2)=Rx(3)=0lO006J

2-21已知平穩高斯過程X⑴的均值為0,令隨機過程Y(t)=[X(t)]2o

證明RY-)=0x(0)+20x(]),

22

證：RY(x)=E[Y(t)Y(t^)]=E[X(t)X(t^)]

E[XX]=(」、n"d+Qx(~，%)

M!=M2=0

E[X2(t)X2(t^)]=(-j)4'Qx(~J2；t「)

.UTCJ

X為圖就平棉過程Q(u,u；J_exp[jMU______J

x12Tx-

()_2

(°'；用、c<Rx(0)Rx(?

Mx飛尸=5Cx飛RJ)R(0)l

Qx(。，%產)

2Rx(，)~%+Rx(0)n],

46%xp;[Rx(0)彳+2RX(T)“2+Rx(0)"j

R（z）=（J）

=[Rx(0)】+21Rx(小

2-22已知隨機過程X(t)=Acos30t+。)，其中隨機相位中服從

(。，2D上的均勻分布；A可能為常數，也可能為隨機變量，且

若A為隨機變量時，和隨機變量①相互獨立。當A具備什么

條件時，過程各態歷經？

分析：隨機過程各態歷經要求為平穩過程且X0)=E[X(t)]

X(t)X(t^)=Rx(x)

解：①A為常數時E：X(t)]=0Rt(t,+T=g_科2(t)]=g

X⑴為平穩過程

A為隨機變量時和隨①相互獨立

+

E[X(t)]=E[Acos(?°t+①)]=E[A]E[cos(<°0t0)]=0

R(t,t+。)=E[X(t)X(t+t)]=E[A2cos(t+力)cos(t+[+26)]

「&1

=E—[cost+cos(2t+t+26)]

A2prA2I

=E[—][E[cost]+E[cos(2t+T+26)]]=—~~-cost+0

22

E[A2]

E[X2