北京市崇文區名校中考數學模試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.

3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05亳米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.已知入、B兩地之間鐵路長為450千米，動車比火車每小時多行駛50千米，從A市到B市乘動車比乘火車少用40

分鐘，設動車速度為每小時x千米，則可列方程為（）

450450450450

A.=40B.=40

X—50XXx-50

450450_2450450_2

C.D.

Xx+50-3x-50X"3

2.如圖是某蓄水池的橫斷面示意圖，分為深水池和淺水池，如果向這個蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水

的最大深度〃與時間/之間的關系的圖象是（）

3.若點（5,）1）,（七,％），伍，為）都是反比例函數），=^^的圖象上的點，并且不＜。＜匕＜當，則下列各式中正

x

確的是（（）

A.B.為＜）'3VMC.%＜）’2＜凹D?

4.如圖，平面直角坐標系xOy中，矩形。48c的邊04、0c分別落在X、軸上，點〃坐標為（6,4）,反比例函數

y=9的圖象與45邊交于點O,與BC邊交于點E,連結OE,將ABDE沿&E翻折至△方OE處，點a恰好落在正

x

比例函數產A*圖象上，則k的值是（）

m

5.反比例函數y=—的圖象如圖所示，以下結論：①常數mV?l；②在每個象限內，y隨x的增大而增大；③若點

x

A(-1,h),B(2,k)在圖象上，則h<k；④若點P(x,y)在上，則點Pr(-x,?y)也在圖象.其中正確結論的個數是()

S

6.如圖，已知矩形AEC。中，BC=2ABt點E在邊上，連接OE、4E,若E4平分N8E&,則1q"的值為()

'?CDE

A2-73?26-3「273-32-6

A.---------B.----------C.----------In）.---------

2233

7.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉一定角度，得到AADE,若NCAE=65。，NE=70。，KAD1BC,NBAC的度

數為（）.

A.60°B.75°C.85°D.90°

8.若()-5二-3,則括號內的數是()

A.-2B.-8C.2D.8

9.在平面直角坐標系中，點P（m?3,2-m）不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.隨著“三農”問題的解決，某農民近兩年的年收入發生了明顯變化，己知前年和去年的收入分別是60000元和80000

元，下面是依據①②③三種農作物每種作物每年的收入占該年年收入的比例繪制的扇形統計圖.依據統計圖得出的以

A.①的收入去年和前年相同

B.③的收入所占比例前年的比去年的大

C.去年②的收入為2.8萬

D.前年年收入不止①②③三種農作物的收入

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.估計無理數而在連續整數一與—之間.

12.如國，A、D是€）0上的兩個點，BC是直徑，若/D=40。，則/OAC=度.

13.方程王一4=2的根是.

14.菱形AHCO中，？A60%其周長為32,則菱形面積為.

15.己知。O半徑為1,A、B在OO上，且4區=&,則AB所對的圓周角為一。.

DE

16.如匡，在△ABC中，DE〃BC,若AD=1,DB=2,則一1的值為.

三、解答題（共8題，共72分）

X1

17.（8分）先化簡，再求值：—,其中X滿足l2一4%+1=（）.

18.（8分）我市正在開展“食品安全城市”創建活動，為了解學生對食品安全知識的了解情況，學校隨機抽取了部分學

生進行問卷調查，將調查結果按照“A非常了解、B了解、C了解較少、D不了解”四類分別進行統計，并繪制了下列

兩幅統計圖（不完整）.請根據圖中信息，解答下列問題:

此次共調查了.名學生；扇形統計圖中D所在扇形的圓心角

為;將上面的條形統計圖補充完整；若該校共有800名學生，請你估計對食品安全知識“非常了解”的學生的人

19.（8分）平面直角坐標系xOy（如圖）.拋物線y=-'2+2mx+3m2（m>0）與x軸交干點A、R（點A在點R左側）.

與y軸交于點C,頂點為D,對稱軸為直線I,過點C作直線1的垂線，垂足為點E,聯結DC、BC.

(1)當點C(0,3)時,

①求這條拋物線的表達式和頂點坐標;

②求證：ZDCE=ZBCE；

（2）當CB平分NDCO時，求m的值.

20.（8分）某商場要經營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發現：當銷售單價是25元時，每天的銷售量

為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤”（元）

與銷售單價（元）之間的函數關系式；求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；商場的營銷部結合上

述情況，提出了A、B兩種營銷方案

方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元;

方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元

請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由

21.（8分）如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩

形羊圈，求羊圈的邊長AB,BC各為多少米？

RC

22.（10分）如圖，在RtAABC中，z64CB=90°,過點C的直線MN〃AB,D為AB邊上一點，過點D作DEJ_BC,

交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.求證：CE=AD；當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？

說明理由；若D為AB中點，則當NA=時，四邊形BECD是正方形.

23.（12分）如圖所示，在RtZXABC中，ZAC￡?=90°,用尺規在邊RC上求作一點P,使=（不寫作法,

保留作魚痕跡）連接AP當D4為多少度時，AP平分NC43.

24.關于x的一元二次方程f一仕+3）x+2攵+2=0.求證：方程總有兩個實數根；若方程有一根小于1,求k的取值

范圍.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、D

【解析】

解：設動車速度為每小時x千米，則可列方程為：-—=1.故選D.

x-50x3

2、C

【解析】

首先看醫可知，蓄水池的下部分比上部分的體積小，故h與t的關系變為先快后慢.

【詳解】

根據題意和圖形的形狀，可知水的最大深度h與時間t之間的關系分為兩段，先快后慢。

故選：C.

【點睛】

此題考查函數的圖象，解題關鍵在于觀察圖形

3、B

【解析】

解：根據題意可得：-a?-1<0

???反比例函數處于二、四象限，則在每個象限內為增函數，

且當xVO時y>0,當x>0時，y<0,

：?)’2<)’3<3?

4、B

【解析】

根據矩形的性質得到，CB〃x軸，AB〃y軸，于是得到D、E坐標，根據勾股定理得到ED,連接BB，，交ED于F,

過B作B，G_LBC于G,根據軸對稱的性質得到BF=B，F,BB」ED求得BIT,設EG=x,根據勾股定理即可得到結論.

【詳解】

解；??,矩形O4BC,

軸，A8〃y軸.

丁點B坐標為(6,1),

???。的橫坐標為6,￡的縱坐標為1.

VD,E在反比例函數)，=9的圖象上,

x

3

：.D(6,1),E(一，1),

2

39

：.BE=6--二一，BD=\-1=3,

22

3r-

；?ED川BE2+BD?=5回.連接56，交EO于凡過ZT作/G_L〃C于G.

?:R,方關于EO對稱，

：.BF=BTtBB」ED,

:.BF*ED=BE，BD,即-V1I3BF=3乂-,

22

9

：.BF=-=

a3t

18

BB,=I—.

V13

9

設KG=x,貝!jDG=--x.

2

?:BB'2-BG2=B,G2=Eli,2-GE2,

故選B.

【點睛】

本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.

5、B

【解析】

根據反比例函數的圖象的位置確定其比例系數的符號，利用反比例函數的性質進行判斷即可.

【詳解】

解：???反比例函數的圖象位于一三象限,

/.m>0

故①錯誤；

當反比例函數的圖象位于一三象限時，在每一象限內，y隨x的增大而減小，故②錯誤；

將A(?Lh),B(2,k)代入y=—,得到h=-m,2k=m,

x

Vm>0

Ah<k

故③正確；

將P(x,y)代入y=%得到m=xy,將P'(?x,?y)代入y='得至ljm=xy,

XX

故P(x,y)在圖象上，則P(-x,-y)也在圖象上

故④正碓，

故選：B.

【點睛】

本題考杳了反比例函數的性質，牢記反比例函數的比例系數的符號與其圖象的關系是解決本題的關鍵.

6、C

【解析】

過點A作AFJ_DE于F,根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得AF=AB,利用全等三角形的判定和性質以及

矩形的性質解答即可.

【詳解】

在矩形48CO中，AB=CDf

T4E平分N8EO,

：.AF=ABf

■;BC=2AB,

工BC=2AF,

:.ZAD/=30°,

在&AFD與ADCE中

VZC=ZAFD=90",

ZADF=ZDEC,

AF=DC?

:.△AFD烏4DCE(AAS),

???△COE的面積=△A尸。的面積=,AFxDF=!AFxGAF=苴AB2

222

:矩形ABCD的面積=4B?"C=2A"2,

2

A2AABE的面積=矩形ABCD的面積?2ACDE的面積=(2?6)ABf

???^ABE的面積=僅一百,

2

2—y/3

?SABE_2_2G_3

S.CDE3

T

故選：c.

【點睛】

本題考查了矩形的性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，以及全等三角形的判定與性質，關鍵是根據角

平分線上的點到角的兩邊距離相等可得AF=AB.

7、C

【解析】

試題分析：根據旋轉的性質知，ZEAC=ZBAD=65°,ZC=ZE=70°.

如圖，設AD_LBC于點F.則NAFB=90。，

，在RtAABF中，ZB=900-ZBAD=25°,

???在4ABC中，ZBAC=1800-ZB-ZC=18()o-25o-70o=85°,

即NBAC的度數為85。.故選C.

考點：旋轉的性質.

8、C

【解析】

根據有理數的減法，減去一個數等于加上這個數的相反數，可得答案.

【詳解】

解：2-5=-3,

故選：C.

【點睛】

本題考查了有理數的減法，減去一個數等于加上這個數的相反數.

9、A

【解析】

分點P的橫坐標是正數和負數兩種情況討論求解.

【詳解】

即m>3時，

2-mVO,

所以，點P（m-3,2-m）在第四象限；

②m?3V0,即mV3時,

2-m有可能大于0,也有可能小于0,

點P（m-3,2-m）可以在第二或三象限，

綜上所述，點P不可能在第一象限.

故選A.

【點睛】

本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是:

第一象限（+,+）;第二象限（?，+）;第三象限（?，?）；第四象限（+,-）.

10、C

【解析】

117117

A、前年①的收入為60000x——=19500,去年①的收入為80000x——=26000,此選項錯誤；

360360

**CM必、bi-11>I_360—135—117、bi-11g360—126—117

B、前年③的收入所占比例為--------------xl00%=30%,去年③的收入所占比例為---------------x100%=32?5%,

360360

此選項錯誤；

126

C、去年②的收入為80000xU=28000=2.8（萬元），此選項正確；

360

D、前年年收入即為①②③三種農作物的收入，此選項錯誤，

故選c.

【點睛】

本題主要考查扇形統計圖，解題的關鍵是掌握扇形統計圖是用整個圓表示總數用圓內各個扇形的大小表示各部分數量

占總數的百分數，并且通過扇形統計圖可以很清楚地表示出各部分數量同總數之間的關系.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11、34

【解析】

先找到與11相鄰的平方數9和16,求出算術平方根即可解題.

【詳解】

解：V>/9<TH<V16,

，3<而<4,

???無理數4T在連續整數3與4之間.

【點睛】

本題考查了無理數的估值，屬于簡單題，熟記平方數是解題關鍵.

12、50

【解析】

根據8C是直徑得出N8=NO=40。，NBAC=90。，再根據半徑相等所對應的角相等求出NBAO,在直角三角形BAC

中即可求出NOAC

【詳解】

2BC是直徑,ZD=40°,

AZB=ZD=40°,ZBAC=90°.

VOA=OB,

AZBAO=ZB=40o,

.*.ZOAC=ZBAC-ZBAO=90°-40=50°.

故答案為：50

【點睛】

本題考查了圓的基本概念、角的概念及其計算等腰三角形以及三角形的基本概念，熟悉掌握概念是解題的關鍵

13>1.

【解析】

把無理方程轉化為整式方程即可解決問題.

【詳解】

兩邊平方得到：2x-l=l,解得：X=l,經檢驗：41是原方程的解.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了無理方程，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，注意必須檢驗.

14、328

【解析】

分析：根據菱形的性質易得AB=BC=CD=DA=8,AC±BD,OA=OC,OB=OD,再判定△ABD為等邊三角形，根據

等邊三角形的性質可得AB=BD=8,從而得OB=4,在RMAOB中，根據勾股定理可得OA=4g,繼而求得

AC=2AO=8百，再由菱形的面積公式即可求得菱形ABCD的面積.

詳解：???菱形A5C。中，其周長為32,

/.AB=BC=CD=DA=8,AC±BD,OA=OC,OB=OD,

VZA=60%

???△ABD為等邊三角形，

AAB=BD=8,

AOB=4,

在RtAAOB中，OB=4,AB=8,

根據勾股定理可得OA=473,

AAC=2AO=8V3?

???菱形ABCD的面積為：-AC￡?D=-X8^X8=32>/3.

22

點睛：本題考查了菱形性質:1.菱形的四個邊都相等；2.菱形對角線相互垂直平分，并且每一組對角線平分一組對角;

3.菱形面積公式=對角線乘積的一半.

15、45”或135。

【解析】

試題解析：如圖所示,

VOC±ABf

為A8的中點，即AC=BC=，A5=72

22，

在RtAAOC中,OA=1,AC=—,

2

根據勾股定理得：0C=JO/V—AC?=走，即OC=AC,

2

???△AOC為等腰直角三角形,

/.ZAOC=45,

同理N8OC=45,

ZAOB=ZAOC+ZBOC=90,

VZAOB與NAO3都對AB，

ZADB=-ZAOB=45,

2

丁大角ZAOB=270,

ZAEB=i35.

則弦AB所對的圓周角為45或135.

故答案為45或135.

16.-

3

【解析】

DE/7BC

ADDE

ABBC

DE1

R即n——=-

BC3

三、解答題(共8題，共72分)

x2+1

17、

x

【解析】

原式括號中的兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，再與括號外的分式通分后利用同分母分式的加法法則計算,

約分得到最簡結果，將/一4工+1=0變形為V+i=4x,整體代入計算即可.

【詳解】

xx(x-l)1

解：原式=|

x-1x(x-l)x(x-l)

X2X2-^+1

A—1—1)

X3X2-x+1

x(x_1)x(x-l)

x3-X2+X-1

屹-1)

x2(x-l)+(x-l)

X-v-D

x2+l

X

VX2-4X+1=0?

?**x2+1=4x,

，原式二4七v二4

x

【點睛】

本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則.

18、(1)120；(2)54°；(3)詳見解析(4)1.

【解析】

(1)根據B的人數除以占的百分比即可得到總人數;

(2)先根據題意列出算式，再求出即可;

(3)先求出對應的人數，再畫出即可；

(4)先列出算式，再求出即可.

【詳解】

(1)(25+23)4-40%=120(名)，

即此次共調查了120名學生，

故答案為120；

,、10+8

(2)360°x------=54°,

120

即扇形統計圖中D所在扇形的圓心角為54。,

故答案為54。；

答：估計對食品安全知識“非常了解”的學生的人數是1人.

【點睛】

本題考杳了條形統計圖、扇形統計圖，總體、個體、樣本、樣本容量，用樣本估計總體等知識點，兩圖結合是解題的

關鍵.

19、(1)y=-X2+2X+3；D(1,4)；(2)證明見解析；(3)m=—；

3

【解析】

(1)①把C點坐標代入產?C+2mx+3m2可求出m的值，從而得到拋物線解析式，

然后把一般式配成頂點式得到D點坐標；

②如圖1,先解方程?x2+2x+3=0得B(3,0),則可判斷AOCB為等腰直角三角形得到N

OBC=45°,再證明△CDE為等腰直角三角形得到NDCE=45。，從而得至！］NDCE=NBCE；

(2)拋物線的對稱軸交x軸于F點，交直線BC于G點，如圖2,把一般式配成頂點式得

到拋物線的對稱軸為直線x=m,頂點D的坐標為(m,4m2),通過解方程f2+2mx+3m2=0

得B(3m,0),同時確定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2m2,則DG=2m2,接著證

明NDCG=NDGC得至IJDC二DG,所以0?+(4m2-3nr)2=4m4,然后解方程可求出m.

【詳解】

(1)①把C(0,3)代入y=-、2+2mx+3m2得3m2=3,解得mi=l,m2=-1(舍去),

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

V)，=-x2+2x+3=-(x-I)2+4,

???頂點D為(1,4)；

②證明：如圖1,當產0時，?X2+2X+3=0,解得XI=-1,X2=3,則B(3,0),

VOC=OB,

AAOCB為等腰直角三角形，

:.ZOBC=45°,

直線x=l,

/.ZBCE=45°,

VDE=1,CE=1,

/.△CDE為等腰直角三角形，

AZDCE=45°,

r.ZDCE=ZBCE；

(2)解：拋物線的對稱軸交x軸于F點，交直線BC于G點，如圖2,

y=-x2+2mx+3m2=—(x—+4w2,

???拋物線的對稱軸為直線x=m,頂點D的坐標為（m,4m2）,

當y=0時，?x2+2mx+3m2=0,解得xi=?m,X2=3m,貝!|B(3m,0),

當x=0時，y=-x2+2mx+3m2=3m2,貝(JC(0,3m2),

VGF/7OC,

GFBFGF2m皿但,

■—=——,nBnP,解得GF=2n?,

OCBO3m23m

/.DG=4nr-2m2=2m2,

VCB平分NDCO,

AZDCB=ZOCB,

VZOCB=ZDGC,

/.ZDCG=ZDGC,

ADC=DG,

即nr+(4nr-3m2)2=4m4,

/.m~=-

3

而m>0,

本題考杳了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和等腰三角形的性質；會利

用待定系數法求函數解析式；靈活應用等腰直角三角形的性質進行幾何計算；理解坐標與圖形性質，記住兩點間的距

離公式.

20、(1)W=-10X24-700X-10()00;(2)即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大；

(3)A方案利潤更高.

【解析】

試題分析：(1)根據利潤=(單價-進價)X銷售量，列出函數關系式即可.

(2)根據(1)式列出的函數關系式，運用配方法求最大值.

(3)分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進行比較.

【詳解】

解：(1)w=(x-20)(250-10x4-250)=-10x2+700x-10000.

(2)Vw=-10x2+700x-10000=~10(x-35)2+2250

，當x=35時，w有最大值2250,

即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大.

(3)A方案利潤高，理由如下：

A方案中：20Vx￡30,函數w=-10(x-35)2+2250隨x的增大而增大，

，當x=30時，w有最大值，此時，最大值為2000元.

[-10x+500>10

B方案中：〈.A?，解得x的取值范圍為：45金“9.

x-20>25

???45Wx99時，函數w=-l。(x-35)2+2250隨x的增大而減小，

，當x=45時，w有最大值，此時，最大值為1250元.

V20001250,

?,?A方案利潤更高

21、羊隆的邊長AB,BC分別是20米、20米.

【解析】

試題分析：設AB的長度為x米，則BC的長度為(100-4X)米；然后根據矩形的面積公式列出方程.

試題解析：設AB的長度為x米，則BC的長度為(100-4x)米.根據題意得(100-4x)x=400,

解得xi=20,x2=l.則100-4x=20或100-4x=2.V2>21,??.X2=1舍去.即AB=20,BC=20

考點：一元二次方程的應用.

22、(1)詳見解析；(2)菱形；(3)當NA=45。，四邊形BECD是正方形.

【解析】

(1)先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；

⑵求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD,根據菱形的判定推出即可；

(3)求出ZCDB=90°,再根據正方形的判定推出即可.

【詳解】

(1)VDE±BC,

/.ZDFP=90°,

VZACB=90°,

/.ZDFB=ZACB,

ADE//AC,

VMN//