6電勢差與電場強度的關系[學習目標]1.理解勻強電場中電勢差與電場強度的關系：U＝Ed，并了解其適用條件.2.會用U＝Ed或E＝eq\f(U,d)解決有關問題．一、勻強電場中電勢差與電場強度的關系1．在勻強電場中，兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場方向的距離的乘積．2．公式：UAB＝Ed.3．適用條件(1)勻強電場．(2)d為兩點沿電場方向的距離．二、公式E＝eq\f(UAB,d)的意義1．意義：在勻強電場中，電場強度的大小等于兩點間的電勢差與這兩點沿電場強度方向距離的比值．2．電場強度的另一種表述：勻強電場的電場強度在數值上等于沿電場方向每單位距離上降低的電勢．3．電場強度的另一個單位：由E＝eq\f(UAB,d)可導出電場強度的另一個單位，即伏[特]每米，符號為V/m.1V/m＝1N/C.[即學即用]1．判斷下列說法的正誤．(1)公式U＝Ed適用于所有電場．(×)(2)由U＝Ed可知，勻強電場中兩點間的電勢差與這兩點的距離成正比．(×)(3)勻強電場的場強值等于沿電場線方向每單位長度上的電勢差值．(√)(4)在勻強電場中，任意兩點間的電勢差等于場強與這兩點間距離的乘積．(×)2.如圖1所示，場強為E＝1.0×102V/m的勻強電場中，有相距d＝2.0×10－2m的A、B兩點，A、B連線與電場方向的夾角為60°，則A、B兩點間的電勢差為________V.圖1答案1.0解析U＝Edcos60°＝1.0×102×2.0×10－2×eq\f(1,2)V＝1.0V.一、勻強電場中電勢差與電場強度的關系[導學探究]如圖2所示的一個勻強電場，場強大小為E，A、B是沿電場方向上的兩點，其電勢差為UAB，A、B之間相距為d.現將一個電荷量為q的電荷由A移到B.圖2(1)從力和位移的角度計算靜電力所做的功；通過A、B間的電勢差計算靜電力做的功．(2)比較兩次計算的功的大小，說明電勢差與電場強度有何關系．(3)B、C在同一等勢面上，UAC與電場強度有何關系？答案(1)WAB＝Fd＝qEdWAB＝qUAB(2)UAB＝Ed(3)UAC＝Ed[知識深化]電場強度與電勢差的關系(1)大小關系：由E＝eq\f(U,d)可知，電場強度在數值上等于沿電場方向每單位距離上降低的電勢，電場強度是電勢差對空間位置的變化率，電勢隨空間變化的快慢反映了電場強度的大小．(2)方向關系：電場中電場強度的方向就是電勢降低最快的方向．例1如圖3所示，在xOy平面內有一個以O為圓心、半徑R＝0.1m的圓，P為圓周上的一點，O、P兩點連線與x軸正方向的夾角為θ.若空間存在沿y軸負方向的勻強電場，場強大小E＝100V/m，則O、P兩點的電勢差可表示為()圖3A．UOP＝－10sinθ(V)B．UOP＝10sinθ(V)C．UOP＝－10cosθ(V)D．UOP＝10cosθ(V)答案A解析由題圖可知勻強電場的方向是沿y軸負方向的，沿著電場線的方向電勢是降低的，所以P點的電勢高于O點的電勢，O、P兩點的電勢差UOP為負值．根據電勢差與場強的關系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsinθ＝－10sinθ(V)，所以A正確．例2如圖4所示，P、Q兩金屬板間的電勢差為50V，板間存在勻強電場，方向水平向左，板間的距離d＝10cm，其中Q板接地，兩板間的A點距P板4cm.求：圖4(1)P板及A點的電勢．(2)保持兩板間的電勢差不變，而將Q板向左平移5cm，則A點的電勢將變為多少？答案(1)－50V－30V(2)－10V解析板間場強方向水平向左，可見Q板電勢最高．Q板接地，則電勢φQ＝0，板間各點電勢均為負值．利用公式E＝eq\f(U,d)可求出板間勻強電場的場強，再由U＝Ed可求出各點與Q板間的電勢差，即各點的電勢．(1)場強E＝eq\f(U,d)＝eq\f(50,10×10－2)V·m－1＝5×102V·m－1Q、A間電勢差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2V＝30V所以A點電勢φA＝－30V，同理可求得P板電勢φP＝UPQ＝－50V(2)當Q板向左平移5cm時，兩板間距離d″＝(10－5)cm＝5cmQ板與A點間距離變為d＝(10－4)cm－5cm＝1cm電場強度E′＝eq\f(U,d″)＝eq\f(50,5×10－2)V·m－1＝1.0×103V·m－1Q、A間電勢差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2V＝10V所以A點電勢φA＝－10V.在應用公式UAB＝Ed時可簡化為U＝Ed，即只把電勢差大小、場強大小通過公式聯系起來，至于電勢差的正負、電場強度的方向我們可根據題意另作判斷.二、非勻強電場中電勢差與電場強度關系的定性分析1．UAB＝Ed只適用于勻強電場的定量計算，在非勻強電場中，不能進行定量計算，但可以定性地分析有關問題．由E＝eq\f(U,d)可以得出結論：在等差等勢面中等勢面越密的地方場強就越大．2.如圖5所示，a、b、c為某條電場線上的三個點，且距離ab＝bc，由于不知電場的性質，所以電勢差Uab與Ubc的大小不能確定．圖5例3如圖6所示，實線為電場線，虛線為等勢面，φa＝50V，φc＝20V，則a、c連線中點b的電勢φb為()圖6A．等于35V B．大于35VC．小于35V D．等于15V答案C解析從電場線疏密可以看出ab段場強大于bc段場強，由U＝Ed可以定性判斷Uab＞Ubc，所以φb＜eq\f(φa＋φc,2)＝35V.沿場強方向，相同距離的兩點間，場強越大處，電勢差越大，也可得出，等差等勢面越密處，場強越大.三、關于場強的三個表達式的比較區別公式物理含義引入過程適用范圍說明E＝eq\f(F,q)電場強度大小的定義式E與F、q無關，反映某點電場的性質一切電場q為試探電荷的電荷量E＝keq\f(Q,r2)真空中點電荷場強的決定式由E＝eq\f(F,q)和庫侖定律導出在真空中，場源電荷Q是點電荷Q為場源電荷的電荷量E＝eq\f(UAB,d)勻強電場中電場強度與電勢差的關系由F＝qE和W＝qUAB導出勻強電場d為沿電場方向的距離例4如圖7所示為空間內的一個水平勻強電場，在電場內某豎直面內作一個半徑為10cm的圓，在圓周上取如圖所示的A、B、C三點，已知A、B兩點間電勢差為1350V.圖7(1)求勻強電場的場強大小．(2)若在圓心O處放置電荷量為10－8C的正點電荷，求C點電場強度的大小和方向．(結果保留三位有效數字)答案(1)9000V/m(2)1.27×104N/C，方向與水平方向成45°角斜向右上解析(1)由題圖知A、B兩點在勻強電場方向上的距離d＝r＋eq\f(r,2)＝0.15m，所以勻強電場場強E＝eq\f(U,d)＝9000V/m.(2)設正點電荷在C處產生的電場強度為E1，則E1＝eq\f(kQ,r2)＝9×103N/C，方向由O指向C.C處另有勻強電場，場強E＝9×103N/C，方向水平向右，與E1垂直，根據平行四邊形定則，C處合電場的場強為E′＝eq\r(E\o\al(12)＋E2)≈1.27×104N/C，方向與水平方向成45°角斜向右上．針對訓練如圖8所示，有豎直向下的勻強電場，A、B兩等勢面間距離為5cm，電勢差為25V，在電場中P點(未標出)固定放置電荷量為5×10－9C的負點電荷，此時電場中有一點場強為零，此點在P點的()圖8A．上方30cm處 B．下方30cm處C．上方25cm處 D．下方25cm處答案B解析勻強電場的場強E＝eq\f(U,d)＝eq\f(25,0.05)V/m＝500V/m，設距P點L處的合場強為零，則keq\f(Q,L2)＝9×109×eq\f(5×10－9,L2)V/m＝500V/m，故L＝0.3m，負點電荷在L處的電場豎直向上，故該點在電場中P點的下方，B正確．1．(公式E＝eq\f(UAB,d)的理解)對公式E＝eq\f(UAB,d)的理解，下列說法正確的是()A．此公式適用于計算任何電場中A、B兩點間的電勢差B．A點和B點間距離越大，則這兩點的電勢差越大C．勻強電場中A、B兩點沿電場線的距離越大，則電場強度越小D．公式中的d是勻強電場中A、B所在的兩等勢面之間的距離答案D2．(應用UAB＝Ed定性分析非勻強電場)如圖9所示是某電場中的三條電場線，C點是A、B連線的中點．已知A點的電勢是φA＝30V，B點的電勢φB＝－20V，則下列說法正確的是()圖9A．C點的電勢φC＝5VB．C點的電勢φC＞5VC．C點的電勢φC＜5VD．負電荷在A點的電勢能大于在B點的電勢能答案C解析由題圖看出，AC段電場線比CB段電場線密，則AC段場強較大，根據公式U＝Ed可知，AC間電勢差UAC大于CB間電勢差UCB，所以φC＜eq\f(φA＋φB,2)＝5V，故C正確，A、B錯誤．而負電荷在電勢低處電勢能較大，故D錯誤．3．(公式UAB＝Ed的應用)平行的帶電金屬板A、B間是勻強電場，如圖10所示，兩板間距離是5cm，兩板間的電壓是60V.圖10(1)兩板間的場強大小是________；(2)電場中有P1和P2兩點，P1點離A板0.5cm，P2點離B板也是0.5cm，P1和P2兩點間的電勢差U12＝________.答案(1)1.2×103V/m(2)48V解析(1)兩板間是勻強電場，由UAB＝Ed可得兩板間的場強E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(60V,5×10－2m)＝1.2×103V/m.(2)P1、P2兩點間沿場強方向的距離：d′＝4cm.所以U12＝Ed′＝1.2×103×4×10－2V＝48V.4．(公式U＝Ed的應用)如圖11所示，勻強電場中相距L＝0.1m的A、B兩點間的電勢差UAB＝－20V．帶電荷量為q＝＋5×10－9C的點電荷位于A點時的電勢能為EpA＝5×10－8J，求：圖11(1)將該電荷從A點移到B點靜電力做的功；(2)該電荷在A點時受到的靜電力大小；(3)B點的電勢．答案(1)－1×10－7J(2)1×10－6N(3)30V解析(1)該電荷從A點移到B點靜電力做的功WAB＝qUAB＝5×10－9×(－20)J＝－1×10－7J(2)電場強度E＝eq\f(|UAB|,L)＝eq\f(20,0.1)V/m＝200V/m電場力F＝Eq＝200×5×10－9N＝1×10－6N(3)A點電勢φA＝eq\f(EpA,q)＝eq\f(5×10－8,5×10－9)V＝10VB點電勢φB＝φA－UAB＝10V－(－20V)＝30V.一、選擇題考點一公式UAB＝Ed的理解1．(多選)關于勻強電場中的電勢差和場強的關系，下列說法正確的是()A．任意兩點間的電勢差，等于場強和這兩點間距離的乘積B．沿電場線方向，相同距離上電勢降落必相等C．電勢降低最快的方向必是場強方向D．在相同距離的兩點上，電勢差大的，其場強也大答案BC解析UAB＝Ed中的d為A、B兩點沿電場方向的距離，選項A、D錯誤；由UAB＝Ed可知勻強電場中沿電場線方向，電勢降低最快，且相同距離上電勢降落必相等，選項B、C正確．2．(多選)下列說法正確的是()A．由公式E＝eq\f(U,d)得，電場強度E與電勢差U成正比，與兩點間距離d成反比B．由公式E＝eq\f(U,d)得，在勻強電場中沿電場線方向上兩點間距離越小，電場強度就越大C．在勻強電場中，任意兩點間電勢差等于場強和這兩點沿電場方向的距離的乘積D．公式E＝eq\f(U,d)只適用勻強電場答案CD考點二公式UAB＝Ed和E＝eq\f(UAB,d)的簡單應用3．如圖1所示是勻強電場中的一組等勢面，每兩個相鄰等勢面間的距離都是25cm，由此可確定此電場的電場強度的方向及大小為()圖1A．豎直向下，E＝0.4V/m B．水平向右，E＝0.4V/mC．水平向左，E＝40V/m D．水平向右，E＝40V/m答案D解析電場線與等勢面垂直且沿電場線方向電勢降低，故場強方向水平向右，場強大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(10,0.25)V/m＝40V/m，故D項正確．4．如圖2所示，沿x軸正向的勻強電場E中，有一動點A以O為圓心，r＝OA為半徑逆時針轉動一周，此時O與圓周上的A點的連線OA與x軸正向(E方向)成θ角(θ<eq\f(π,2))，則此圓周上各點與A點間最大的電勢差為()圖2A．U＝Er B．U＝Er(sinθ＋1)C．U＝Er(cosθ＋1) D．U＝2Er答案C解析由U＝Ed知，與A點間電勢差最大的點應是沿場強方向與A點相距最遠的點，dmax＝r＋rcosθ，所以Umax＝Er(cosθ＋1)，C項正確．5．(多選)如圖3所示，一電場的電場線分布關于y軸(沿豎直方向)對稱，O、M、N是y軸上的三個點，且OM＝MN.P點在y軸右側，MP⊥ON.則下列說法正確的是()圖3A．M點的電勢比P點的電勢高B．將負點電荷由O點移動到P點，電場力做正功C．M、N兩點間的電勢差大于O、M兩點間的電勢差D．M、N兩點間的電勢差小于O、M兩點間的電勢差答案AD解析根據電場線和等勢面的關系，可以判斷出M點的電勢比P點的電勢高，A正確．將負點電荷由O點移到P點，電場力做負功，B錯誤．根據U＝Ed進行定性分析可知UMN＜UOM，C錯誤，D正確．6．(多選)如圖4所示，A、B兩板間電壓為600V，A板帶正電并接地，A、B兩板間距離為12cm，C點離A板4cm，下列說法正確的是()圖4A．E＝2000V/m，φC＝200VB．E＝5000V/m，φC＝－200VC．電子在C點具有的電勢能為－200eVD．電子在C點具有的電勢能為200eV答案BD解析A板接地，則其電勢為零，因為A板帶正電且A、B兩板間的電壓為600V，則B板電勢為－600V，由此知C點電勢為負值，則A、B兩板間場強E＝eq\f(U,d)＝eq\f(600V,12cm)＝50V/cm＝5000V/m，φC＝－EdAC＝－50V/cm×4cm＝－200V，A錯誤，B正確；電子在C點具有的電勢能為200eV，C錯誤，D正確．考點三勻強電場中的電場力做功與場強、電勢差的關系7.如圖5所示的勻強電場場強為103N/C，ab、cd平行于電場線，ac、bd垂直于電場線，ab＝cd＝4cm，ac＝bd＝3cm.則下述計算結果正確的是()圖5A．a、b之間的電勢差為40VB．a、c之間的電勢差為50VC．將q＝－5×10－3C的點電荷沿矩形路徑abdca移動一周，電場力做的功是－0.25JD．將q＝－5×10－3C的點電荷沿abd從a移到d，電場力做的功是0.25J答案A解析由U＝Ed得Uab＝103×0.04V＝40V，A正確；a、c在同一等勢面上，所以Uac＝0，B錯誤；將電荷沿abdca移動一周，位移為0，故電場力做功為0，C錯誤；Wad＝Wab＝qUab＝－5×10－3×40J＝－0.2J，D錯誤．8.如圖6所示，在電場強度E＝2×103V/m的勻強電場中有三點A、M和B，AM＝4cm，MB＝3cm，AB＝5cm，且AM邊平行于電場線，把一電荷量q＝2×10－9C的正電荷從B點移動到M點，再從M點移動到A點，電場力做功為()圖6A．1.6×10－7J B．1.2×10－7JC．－1.6×10－7J D．－1.2×10－7J答案C解析B、M在同一等勢面上，正電荷由B到M電場力不做功．由M到A電場力做負功，W＝qU＝q·Ed＝2×10－9×2×103×4×10－2J＝1.6×10－7J．即電場力做功為－1.6×10－7J.9．(多選)細胞膜的厚度等于700nm(1nm＝10－9m)，當膜的內外層之間的電壓達0.4V時，即可讓一價鈉離子滲透．設細胞膜內的電場為勻強電場，則當一價鈉離子恰好滲透時()A．膜內電場強度約為5.71×105V/mB．膜內電場強度約為1.04×106V/mC．每個鈉離子沿電場方向透過膜時電場力做的功等于6.4×10－20JD．每個鈉離子沿電場方向透過膜時電場力做的功等于1.28×10－19J答案AC解析E＝eq\f(U,d)＝eq\f(0.4,7×10－7)V/m≈5.71×105V/m，A正確，B錯誤；W＝qU＝1.6×10－19×0.4J＝6.4×10－20J，C正確，D錯誤．10.勻強電場中的三點A、B、C是一個三角形的三個頂點，AB的長度為1m，D為AB的中點，如圖7所示．已知電場線的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三點的電勢分別為14V、6V和2V．設電場強度大小為E，一電荷量為1×10－6C的正電荷從D點移到C點電場力所做的功為W，則()圖7A．W＝8×10－6JE>8V/mB．W＝6×10－6JE>6V/mC．W＝8×10－6JE≤8V/mD．W＝6×10－6JE≤6V/m答案A解析因電場是勻強電場，D是AB的中點，故D點的電勢φD＝eq\f(φA＋φB,2)＝10V．所以W＝q(φD－φC)＝8×10－6J．設E的方向與AB的夾角為α，則α≠0，否則等勢面與AB垂直，C點電勢就會高于B點電勢．由E＝eq\f(U,d)可知：E＝eq\f(φA－φB,\x\to(AB)cosα)＝eq\f(8,cosα)V/m，因α>0，則cosα<1，E>8V/m，故A正確．二、非選擇題11．(勻強電場電場強度的計算)(2017·南京市高一期末練習)如圖8所示，在豎直平面內存在勻強電場，其電場線如圖中實線所示，方向未知，將帶電荷量為q＝－1.0×10－6C的點電荷由A點沿水平線移至B點，其電勢能增加了3×10－5J，已知A、B兩點間的距離為2cm，兩點連線與電場線成60°角．圖8(1)求A、B兩點間的電勢差UAB；(2)若A點的電勢φA＝－1V，求B點的電勢φB；(3)求勻強電場強度E的大小，并判斷其方向．答案(1)30V(2)－31V(3)3000V/m沿電場線指向左下方解析(1)由題意知，靜電力做負功為WAB＝－3×10－5J由UAB＝eq\f(WAB,q)，得：UAB＝30V(2)UAB＝φA－φB故φB＝φA－UAB＝(－1－30)V＝－31V(3)A、B兩點間沿電場線方向的距離為：d＝2×10－2cos60°m＝1×10－2m.從而得：E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(30,0.01)V/m＝3000V/m.方向：沿電場線指向左下方．12．(勻強電場電勢差的計算)如圖9所示，平行金屬帶電極板A、B間可看成勻強電場，場強E＝1.2×102V/m，極板間距離d＝5cm，電場中C點和D點分別到A、B兩板的距離均為0.5cm，B板接地，求：圖9(1)C、D兩點的電勢和兩點間的電勢差；(2)將點電荷q＝2×10－2C從