數學必修④·人教A版新課標導學1/40第二章平面向量2.4平面向量數量積2.4.1平面向量數量積物理背景及其含義2/401自主預習學案2互動探究學案3課時作業學案3/40自主預習學案4/405/401．平面向量數量積定義|a||b|cosθ

0|a|cosθ

|b|cosθ

6/40a·b＝0|a||b|－|a||b|

a2

|a|2

|a||b|7/403．平面向量數量積運算律已知向量a、b、c和實數λ．(1)交換律：a·b＝__________．(2)結合律：(λa)·b＝________________＝________________．(3)分配律：(a＋b)·c＝__________________．b·a

λ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c

8/40B9/40A10/40[解析]

本題考查數量積概念及向量運算．上述7個命題中只有③⑦正確．對于①，兩個向量數量積是一個實數，應有0·a＝0；對于②，應為0a＝0；對于④，由數量積定義，有|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，這里θ是a與b夾角，只有θ＝0或θ＝π時，才有|a·b|＝|a||b|；對于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；對于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，即能夠都非零．③⑦11/404．(·全國卷Ⅱ理，4)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝ ()A．4 B．3C．2 D．0[解析]

a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b．∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3．故選B．B12/40互動探究學案13/40已知|a|＝2，|b|＝3，a與b夾角為120°，試求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[思緒分析]依據數量積、模、夾角定義，逐一進行計算即可．命題方向1?平面向量數量積典例114/4015/40『規律總結』求向量數量積兩個關鍵點求向量數量積時，需明確兩個關鍵點：相關向量模和夾角．若相關向量是兩個或兩個以上向量線性運算，則需先利用向量數量積運算律及多項式乘法相關公式進行化簡．16/40〔跟蹤練習1〕已知|a|＝4，|b|＝5，當(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b夾角為60°時，分別求a與b數量積．17/40命題方向2?向量投影(1)若|a|＝4，a·b＝6，求b在a方向上投影；(2)已知|a|＝6，e為單位向量，當它們之間夾角θ分別等于60°，90°，120°時，求出a在e方向上投影．典例218/40(2)a在e方向上投影為|a|cosθ．當θ＝60°時，a在e方向上投影為|a|cos60°＝3；當θ＝90°時，a在e方向上投影為|a|cos90°＝0；當θ＝120°時，a在e方向上投影為|a|cos120°＝－3．『規律總結』求一個向量在另一個向量方向上投影時，首先要依據題意確定向量模及兩向量夾角，然后代入公式計算即可．19/4020/4021/40命題方向3?利用向量數量積處理相關模、夾角問題[思緒分析]

(1)先求a·b，再用|a＋b|與a·b聯絡求解．(2)依據題中所給等式求出向量a與a＋b夾角公式中包括全部量，代入公式求解即可．典例322/4023/4024/40325/40利用向量數量積判斷幾何圖形形狀[思緒分析]

易知a＋b＋c＝0，分別將a、b、c移至等號右邊，得到三個等式，分別平方可得a·b、b·c、c·a，選取兩個等式相減即可得到a、b、c中兩個向量長度之間關系．典例426/4027/40『規律總結』依據向量數量積相關知識判斷平面圖形形狀，關鍵是由已知條件建立數量積、向量長度、向量夾角等之間關系，移項、兩邊平方是慣用伎倆，這么能夠出現數量積及向量長度等信息，為說明邊相等、邊垂直指明方向．28/40B29/40混同向量模與實數運算已知|a|＝2，|b|＝3，a與b夾角為120°，求|a＋b|及|a－b|值．典例5[錯因分析]該解法錯誤地類比實數運算中法則，實際上|a2－b2|＝|(a＋b)·(a－b)|≤|a＋b||a－b|．[思緒分析]

直接利用完全平方和(差)公式．30/4031/40『規律總結』利用數量積求解模問題，是數量積主要應用，處理這類問題方法是對向量進行平方，即利用公式：a·a＝|a|2，從而到達將向量轉化為實數目標．32/40D33/4034/401．若a·c＝b·c(c≠0)，則 ()A．a＝bB．a≠bC．|a|＝|b|D．a在c方向上投影與b在c方向上投影必相等[解析]

設a與c夾角為θ1，b與c夾角為θ2，∵a·c＝b·c，∴|a||c|cosθ1＝|b|·|c|cosθ2，即|a|cosθ1＝|b|cosθ2，故選D．D35/402．以下命題正確是 ()A．|a·b|＝|a||b| B．a·b≠0?|a|＋|b|≠0C．a·b＝0?|a||b|＝0