函數(shù)知識點總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)（一）平面直角坐標系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系2、各個象限內(nèi)點的特性:第一象限：（+，+）點P（x,y），則x＞0,y＞0；第二象限：（-，+）點P（x,y），則x＜0,y＞0；第三象限：（-，-）點P（x,y），則x＜0,y＜0；第四象限：（+，-）點P（x,y），則x＞0,y＜0；3、坐標軸上點的坐標特性：x軸上的點，縱坐標為零；y軸上的點，橫坐標為零；原點的坐標為（0,0）。兩坐標軸的點不屬于任何象限。4、點的對稱特性：已知點P(m,n),有關(guān)x軸的對稱點坐標是(m,-n),橫坐標相似，縱坐標反號有關(guān)y軸的對稱點坐標是(-m,n)縱坐標相似，橫坐標反號有關(guān)原點的對稱點坐標是(-m,-n)橫，縱坐標都反號5、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特性：平行于x軸的直線上的任意兩點：縱坐標相等；平行于y軸的直線上的任意兩點：橫坐標相等。6、各象限角平分線上的點的坐標特性：第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等。第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數(shù)。7、點P（x,y）的幾何意義：點P（x,y）到x軸的距離為|y|，點P（x,y）到y(tǒng)軸的距離為|x|。點P（x,y）到坐標原點的距離為8、兩點之間的距離：X軸上兩點為A、B|AB|Y軸上兩點為C、D|CD|已知A、BAB|=9、中點坐標公式：已知A、BM為AB的中點則：M=(,)10、點的平移特性：在平面直角坐標系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x-a，y）；將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x+a，y）；將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y＋b）；將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y－b）。注意：對一種圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐標都要發(fā)生對應(yīng)的變化；反過來，從圖形上點的坐標的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。（二）函數(shù)的基本知識：基本概念1、變量：在一種變化過程中可以取不一樣數(shù)值的量。常量：在一種變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一種變化過程中，假如有兩個變量x和y，并且對于x的每一種確定的值，y均有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。*判斷A與否為B的函數(shù)，只要看B取值確定的時候，A與否有唯一確定的值與之對應(yīng)3、定義域：一般的，一種函數(shù)的自變量容許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的措施：（1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；（2）關(guān)系式具有分式時，分式的分母不等于零；（3）關(guān)系式具有二次根式時，被開放方數(shù)不小于等于零；（4）關(guān)系式中具有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際狀況相符合，使之故意義。5、函數(shù)的圖像一般來說，對于一種函數(shù)，假如把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點構(gòu)成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．6、函數(shù)解析式：用品有表達自變量的字母的代數(shù)式表達因變量的式子叫做解析式。7、描點法畫函數(shù)圖形的一般環(huán)節(jié)第一步：列表（表中給出某些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，對應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大的次序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。8、函數(shù)的表達措施列表法：一目了然，使用起來以便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡樸明了，可以精確地反應(yīng)整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表達。圖象法：形象直觀，但只能近似地體現(xiàn)兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx(k不為零)=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②x指數(shù)為1=3\*GB3③b取零當k>0時，直線y=kx通過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx通過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．解析式：y=kx（k是常數(shù)，k≠0）必過點：（0，0）、（1，k）走向：k>0時，圖像通過一、三象限；k<0時，圖像通過二、四象限增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小傾斜度：|k|越大，越靠近y軸；|k|越小，越靠近x軸2、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時，y=kx＋b即y=kx，因此說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b(k不為零)=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②x指數(shù)為1=3\*GB3③b取任意實數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是通過（0，b）和（-，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)（2）必過點：（0，b）和（-，0）（3）走向：k>0，圖象通過第一、三象限；k<0，圖象通過第二、四象限b>0，圖象通過第一、二象限；b<0，圖象通過第三、四象限直線通過第一、二、三象限直線通過第一、三、四象限直線通過第一、二、四象限直線通過第二、三、四象限注：y＝kx+b中的k，b的作用：1、k決定著直線的變化趨勢①k>0直線從左向右是向上的②k<0直線從左向右是向下的2、b決定著直線與y軸的交點位置①b>0直線與y軸的正半軸相交②b<0直線與y軸的負半軸相交（4）增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越靠近于y軸；|k|越小，圖象越靠近于x軸.（6）圖像的平移：當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.3、一次函數(shù)y=kx＋b的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識：通過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，因此畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般狀況下：是先選用它與兩坐標軸的交點：（0，b），.即橫坐標或縱坐標為0的點.注：對于y＝kx+b而言，圖象共有如下四種狀況：1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>04、直線y=kx＋b(k≠0)與坐標軸的交點．(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點都是(0，0)；(2)直線y=kx＋b與x軸交點坐標為與y軸交點坐標為(0，b)．5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般環(huán)節(jié)：（1）根據(jù)已知條件寫出具有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾種點的坐標代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.6、兩條直線交點坐標的求法：措施：聯(lián)立方程組求x、y例題：已知兩直線y＝x+6與y＝2x-4交于點P，求P點的坐標？7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系（1）兩條直線平行：k1=k2且b1b2（2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重疊：k1=k2且b1=b2平行于軸（或重疊）的直線記作.尤其地，軸記作直線8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.9、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，因此解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求對應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相稱于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.10、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一種一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，因此解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大（小）于0時，求自變量的取值范圍.11、一次函數(shù)與二元一次方程組（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點構(gòu)成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相似.（2）二元一次方程組的解可以看作是兩個一次函數(shù)y=和y=的圖象交點.12、函數(shù)應(yīng)用問題（理論應(yīng)用實際應(yīng)用）（1）運用圖象解題通過函數(shù)圖象獲取信息，并運用所獲取的信息處理簡樸的實際問題.（2）經(jīng)營決策問題函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實際問題數(shù)學化，從而處理最佳方案，最佳方略等問題.建立一次函數(shù)模型處理實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變量，再尋求出兩個變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，從而運用數(shù)學知題.(四)反比例函數(shù)一般地，假如兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表到達y＝k／x(k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。取值范圍：①k≠0;②在一般的狀況下,自變量x的取值范圍可以是不等于0的任意實數(shù);③函數(shù)y的取值范圍也是任意非零實數(shù)。反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限靠近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（K≠0）。反比例函數(shù)的性質(zhì)：1.當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一種象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一種象限內(nèi),y隨x的增大而增大。2.k>0時，函數(shù)在x<0和x>0上同為減函數(shù)；k<0時，函數(shù)在x<0和x>0上同為增函數(shù)。定義域為x≠0；值域為y≠0。3.由于在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，因此反比例函數(shù)的圖象不也許與x軸相交，也不也許與y軸相交。4.在一種反比例函數(shù)圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1＝S2=|K|5.反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么AB兩點有關(guān)原點對稱。7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點，則n2+4k·m≥（不不不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。9.反比例函數(shù)有關(guān)正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱,并且有關(guān)原點中心對稱.(第5點的同義不一樣表述)10.反比例上一點m向x、y軸分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k|11.k值相等的反比例函數(shù)重疊，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。12.|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標軸的距離越遠。（五）二次函數(shù)二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表達為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般式(已知圖像上三點或三對、的值，一般選擇一般式.)y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；頂點式(已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，一般選擇頂點式.)y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標為（-m，k）或（h,k）對稱軸為x=-m或x=h，有時題目會指出讓你用配措施把一般式化成頂點式；交點式(已知圖像與軸的交點坐標、，一般選用交點式)y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]；拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點頂點拋物線有一種頂點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2/4a)，當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。開口二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。決定對稱軸位置的原因一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。（左同右異）c的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，，∴拋物線與軸有且只有一種交點（0，）：①，拋物線通過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0,).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一種交點(,).（3）拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應(yīng)一元二次方程的