江西省贛州市重點中學2025年高三第三次診斷數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．如圖所示，三國時代數學家在《周脾算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一個內角為，若向弦圖內隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，取），則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（）A．20 B．27 C．54 D．643．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．4．記遞增數列的前項和為.若，，且對中的任意兩項與（），其和，或其積，或其商仍是該數列中的項，則（）A． B．C． D．5．函數f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若將該函數的圖象向右平移個單位后得到的函數圖象關于直線x＝對稱，則函數f(x)的解析式為（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)6．當時，函數的圖象大致是（）A． B．C． D．7．已知隨機變量服從正態分布，，（）A． B． C． D．8．已知分別為圓與的直徑，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．10．曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．811．已知拋物線上一點到焦點的距離為，分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．12．某市氣象部門根據2018年各月的每天最高氣溫平均數據,繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的常數項為__________.14．已知函數在定義域R上的導函數為,若函數沒有零點,且,當在上與在R上的單調性相同時,則實數k的取值范圍是______.15．在平面直角坐標系中，雙曲線的一條準線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.16．已知向量，，滿足，，，則的取值范圍為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直角中，，通過以直線為軸順時針旋轉得到（）.點為斜邊上一點.點為線段上一點，且.（1）證明：平面；（2）當直線與平面所成的角取最大值時，求二面角的正弦值.18．（12分）已知橢圓（）的離心率為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于不同的兩點，，試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關于軸對稱？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.19．（12分）已知函數（1）若，求證：（2）若，恒有，求實數的取值范圍.20．（12分）在考察疫情防控工作中，某區衛生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛生運動，從人居環境改善、飲食習慣、社會心理健康、公共衛生設施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習，提倡文明健康、綠色環保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查，隨機收集了該區居民六類日常生活習慣的有關數據.六類習慣是：（1）衛生習慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規律狀況類.經過數據整理，得到下表：衛生習慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況類膳食合理狀況類作息規律狀況類有效答卷份數380550330410400430習慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一，各類調查是否達到良好標準相互獨立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率；（2）從該區任選一位居民，試估計他在“衛生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣的概率；（3）利用上述六類習慣調查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關系.21．（12分）某商場為改進服務質量，隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調查．調查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統計如下：滿意不滿意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？（2）為答謝顧客，該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動．據統計，在此期間顧客購買該商品的支付情況如下：支付方式現金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應事件發生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為，求的分布列和數學期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于，兩點，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

設，利用兩點間的距離公式求出的表達式，結合基本不等式的性質求出的最大值時的點坐標，結合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設，因為是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當時，，當時，，當且僅當時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．2．B【解析】

設大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，利用概率模擬列方程即可求解?！驹斀狻吭O大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，則，解得：故選：B本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算能力，屬于基礎題。3．A【解析】

根據正弦定理可得，求出，根據平方關系求出.由兩端平方，求的最大值，根據三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點，且，，即，即，，當且僅當時，等號成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數量積運算，屬于中檔題.4．D【解析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項的值，進而判斷出的范圍．【詳解】解：，或其積，或其商仍是該數列中的項，或者或者是該數列中的項，又數列是遞增數列，，，，只有是該數列中的項，同理可以得到，，，也是該數列中的項，且有，，或（舍，，根據，，，同理易得，，，，，，，故選：D．本題考查數列的新定義的理解和運用，以及運算能力和推理能力，屬于中檔題．5．D【解析】

由函數的周期求得，再由平移后的函數圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.【詳解】分析：由函數的周期求得，再由平移后的函數圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.詳解：因為函數的最小正周期是，所以，解得，所以，將該函數的圖像向右平移個單位后，得到圖像所對應的函數解析式為，由此函數圖像關于直線對稱，得：，即，取，得，滿足，所以函數的解析式為，故選D.本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及函數的解析式的求解，其中解答中根據三角函數的圖象變換得到，再根據三角函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.6．B【解析】由，解得，即或，函數有兩個零點，，不正確，設，則，由，解得或，由，解得：，即是函數的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數的解析式、定義域、值域、單調性，導數的應用以及數學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.7．B【解析】

利用正態分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結果.【詳解】，所以，.故選：B.本題考查利用正態分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎題.8．A【解析】

由題先畫出基本圖形，結合向量加法和點乘運算化簡可得，結合的范圍即可求解【詳解】如圖，其中，所以.故選：A本題考查向量的線性運算在幾何中的應用，數形結合思想，屬于中檔題9．A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.10．B【解析】

求函數導數，利用切線斜率求出，根據切線過點求出即可.【詳解】因為，所以，故，解得，又切線過點，所以，解得，所以，故選：B本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.11．D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點間距離公式求得，根據二次函數的性質，求得，由取得最小值為，求得結果.【詳解】由拋物線焦點在軸上，準線方程，則點到焦點的距離為，則，所以拋物線方程：，設，圓，圓心為，半徑為1，則，當時，取得最小值，最小值為，故選D.該題考查的是有關距離的最小值問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數的最小值，屬于中檔題目.12．D【解析】

根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．31【解析】

由二項式定理及其展開式得通項公式得：因為的展開式得通項為，則的展開式中的常數項為：，得解.【詳解】解：，則的展開式中的常數項為：.故答案為：31.本題考查二項式定理及其展開式的通項公式，求某項的導數，考查計算能力.14．【解析】

由題意可知：為上的單調函數，則為定值，由指數函數的性質可知為上的增函數，則在，單調遞增，求導，則恒成立，則，根據函數的正弦函數的性質即可求得的取值范圍．【詳解】若方程無解，則或恒成立，所以為上的單調函數，都有，則為定值，設，則，易知為上的增函數，，，又與的單調性相同，在上單調遞增，則當，，恒成立，當，時，，，，，，此時，故答案為：本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性，正弦函數的性質，輔助角公式，考查計算能力，屬于中檔題．15．【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準線方程，求出三角形的頂點的坐標，然后求解面積．【詳解】解：雙曲線：雙曲線中，，，則雙曲線的一條準線方程為，雙曲線的漸近線方程為：，可得準線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點的坐標，，，，則三角形的面積為．故答案為：本題考查雙曲線方程的應用，雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力，屬于中檔題．16．【解析】

設，，，，由，，，根據平面向量模的幾何意義，可得A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數形結合求解.【詳解】設，，，，如圖所示：因為，，，所以A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義，還考查了數形結合的方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）先算出的長度，利用勾股定理證明，再由已知可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1）可得為直線與平面所成的角，要使其最大，則應最小，可得為中點，然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進一步得到正弦值.【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，∴，∴，由題意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，又，∴平面.（2）以為坐標原點，以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系.∵平面，∴在平面上的射影是，∴與平面所成的角是，∴最大時，即，點為中點.，，，，，，，設平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，同理，設平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，∴，，故二面角的正弦值為.本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.18．(1)(2)見解析【解析】

（1）由題得a,b,c的方程組求解即可（2）直線與直線恰關于軸對稱，等價于的斜率互為相反數，即，整理.設直線的方程為，與橢圓聯立，將韋達定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得，，又，解得，.所以，橢圓的方程為(2)存在定點，滿足直線與直線恰關于軸對稱.設直線的方程為，與橢圓聯立，整理得，.設，，定點.(依題意則由韋達定理可得，，.直線與直線恰關于軸對稱，等價于的斜率互為相反數.所以，，即得.又，，所以，，整理得，.從而可得，，即，所以，當，即時，直線與直線恰關于軸對稱成立.特別地，當直線為軸時，也符合題意.綜上所述，存在軸上的定點，滿足直線與直線恰關于軸對稱.本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關系，熟記橢圓方程簡單性質，熟練轉化題目條件，準確計算是關鍵，是中檔題.19．（1）見解析；（2）（﹣∞，0]【解析】

（1）利用導數求x＜0時，f（x）的極大值為，即證（2）等價于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函數g(x)的最小值得解.【詳解】（1）∵函數f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）內遞增，在（﹣，0）內遞減，在（0，+∞）內遞增，∴f（x）的極大值為，∴當x＜0時，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，則g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，則h（x）在（0，+∞）上單調遞增，且x→0+時，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴當x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，當x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴實數k的取值范圍是（﹣∞，0]．本題主要考查利用證明不等式，考查利用導數求最值和解答不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20．（1）（2）（3）【解析】

（1）設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者“的事件為，根據古典概型求出即可；（2）設該區“衛生習慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，設事件為“該居民在“衛生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣“，則（E），求出即可；（3）根據題意，寫出即可．【詳解】（1）設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習