PAGE27第2章控制系統的數學模型控制系統的數學模型，是描述系統輸入、輸出以及內部各變量之間關系的數學表達式。建立描述控制系統的數學模型，是控制理論分析與設計的基礎。一個系統，無論它是機械的、電氣的、熱力的、液壓的、還是化工的等都可以用微分方程加以描述。對這些微分方程求解，就可以獲得系統在輸入作用下的響應（即系統的輸出）。對數學模型的要求是，既要能準確地反映系統的動態本質，又便于系統的分析和計算工作。建立控制系統的數學模型，一般采用解析法和實驗法兩種。解析法是對系統各部分的運動機理進行分析，根據所依據的物理規律或化學規律（例如，電學中有克希荷夫定律、力學中有牛頓定律、熱力學中有熱力學定律等）分別列寫相應的運動方程。實驗法是人為地給系統施加某種測試信號，記錄其響應，按照物理量隨時間的變化規律，用適當的數學模型去逼近，這種方法又稱為系統辨識。近些年來，系統辨識已發展成一門獨立的學科分支。本章主要采用解析法建立系統的數學模型。數學模型有多種形式。時域中常用的數學模型有微分方程、差分方程和狀態方程；復域中有傳遞函數、結構圖；頻域中有頻率特性等。本章只研究微分方程、傳遞函數和結構圖等數學模型的建立及應用。2.1物理系統動態描述微分方程是在時域中描述系統(或元件)動態特性的數學模型，利用它可以得到描述系統（或元件)動態特性的其他形式的數學模型。這里主要運用機理建模法對常見的機械、電氣等物理系統建立其數學模型。2.1.1列寫微分微分方程的一般方法列寫系統或元件的微分方程，目的在于確定系統輸入量與輸出量之間的數學關系，而系統由元件組成。用解析法列寫系統或元部件微分方程的一般步驟是：⑴根據系統的具體工作情況，確定系統或元部件的輸入、輸出變量；⑵從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據各變量所遵循的物理（或化學）定律，列寫出各元部件的動態方程，一般為微分方程組；⑶消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；⑷將微分方程標準化，即將與輸入有關的各項放在等號右側，與輸出有關的各項放在等號左側，各階導數項按降冪排列。2.1.2機械系統的微分方程可以運用牛頓定律進行推導。下面通過舉例說明機械系統微分方程的求取方法。機械系統微分方程例2-1設有一個由彈簧、質量、阻尼器組成的機械平移系統，如圖2-1所示。試列寫出系統的數學模型。圖2-1機械平移系統解由牛頓第二定律有，即整理得（2-1）式中：m—運動物體質量，kg；y—運動物體位移，m；f—阻尼器粘性阻尼系數，N?s/m；—阻尼器粘滯摩擦阻力，它的大小與物體移動的速度成正比，方向與物體移動的方向相反，；k—彈簧剛度，N/m；—彈簧的彈性力，它的大小與物體位移（彈簧拉伸長度）成正比，。運動方程式（2-1）即為此機械平移系統的數學模型。例2-2設有一個由慣性負載和粘性摩擦阻尼器組成的機械回轉系統，如圖2-2所示。外力矩M(t)為輸入信號，角位移θ(t)為輸出信號，試列寫出系統的數學模型。圖2.-2機械回轉系統解由牛頓第二定律，有，即整理得（2-2）式中：J—慣性負載的轉動慣量，kg?m2；θ—轉角，rad；f—粘性摩擦阻尼器的粘滯阻尼系數，N?m?s/rad；kJ—扭轉彈簧剛度，N.m/rad；運動方程式（2-2）就是此機械旋轉系統的數學模型。例2-3設有如圖2-3所示的齒輪傳動鏈，試對傳動鏈進行動力學分析。a)原始輪系圖b)等效輪系圖2-3齒輪傳動鏈解由電動機M輸入的轉矩為Tm，L為輸出端負載，TL為負載轉矩。圖中所示的zi為各齒輪齒數，J1、J2、J3及θ1、θ2、θ3分別為各軸及相應齒輪的轉動慣量和轉角。假設各軸均為絕對剛性，即KJ→∞，根據牛頓第二定律式可得如下動力學方程組（2-3）式中：f1、f2、f3——傳動中各軸及齒輪的粘性阻尼系數；T1——齒輪z1對Tm的反轉矩，N?m；T2——z1對T1的反轉矩，N?m；T3——z3對T2的反轉矩，N?m；T4——z4對T3的反轉矩，N?m；TL——輸出端負載對T4的反轉矩，即負載轉矩。由齒輪傳動的基本關系可知：；于是由式（2-3）可得：（2-4）令；Jeq稱為等效轉動慣量；令；feq稱為等效阻尼系數；令；TLeq稱為等效輸出轉矩。則有（2-5）則圖2-3（a）所示傳動裝置可簡化為圖2-3（b）所示的等效齒輪傳動裝置。2.1.3電氣系統的微分方程根據歐姆定律、基爾霍夫定律（克希荷夫定律）、電磁感應定律等物理定律來進行列寫，下面通過舉例來說明列寫方法。例2-4圖2-4所示為一無源濾波器電路，試寫出以輸出電壓uo(t)和輸入電壓ui(t)為變量的濾波網絡的微分方程。圖2-4RC電路解根據基爾荷夫定律（克希荷夫定律），可寫出下列原始方程式；（2-6）消去中間變量i(t)后得到（2-7）式（2-7)就是所求系統的微分方程。以上所討論的系統均具有線性微方程，將具有線性微分方程的控制系統稱為線性系統。對于一般研究的系統，其微分方程式的系數均為常數，稱之為線性定常(或線性時不變)系統。線性系統具有以下特性。疊加性線性系統滿足疊加原理，即幾個外作用施加于系統所產生的總響應等于各個外作用單獨作用時產生的響應之和。均勻性均勻性也稱為齊次性，線性系統具有均勻性，就是說當加于同一線性系統的外作用數值增大幾倍時，則系統的響應亦相應地增大幾倍。在線性系統分析中，線性系統的疊加性和齊次性是很重要的。2.2非線性系統及其數學模型的線性化2.2.1本章第一節討論的元件和系統，假設都是線性的，因而，描述它們的數學模型也都是線性微分方程。系統或元件的輸出與輸入間的關系不滿足疊加原理及均勻性原理的，稱為非線性系統或元件。事實上，任何一個元件或系統總是存在一定程度的非線性。例如，彈簧的剛度與其形變有關，并不一定是常數；電阻R、電感L、電容C等參數值與周圍環境（溫度、濕度、壓力等）及流經它們的電流有關，也不一定是常數；電動機本身的摩擦、死區等非線性因素會使其運動方程復雜化而成為非線性方程等等。嚴格地說，實際系統的數學模型一般都是非線性的，而非線性微分方程沒有通用的求解方法。因此，在研究系統時總是力圖將非線性問題在合理、可能的條件下簡化為線性問題處理。如果做某些近似或縮小一些研究問題的范圍，可以將大部分非線性方程在一定的工作范圍內近似用線性方程來代替，這樣就可以用線性理論來分析和設計系統。雖然這種方法是近似的，但它便于分析計算，在一定的工作范圍內能反映系統的特性，在工程實踐中具有實際意義。判別系統的數學模型微分方程是否是非線性的，可視其中的函數及其各階導數，如出現高于一階的項，或導數項的系數是輸出變量的函數，則此微分方程是非線性的。機械系統中常見的一些非線性特性舉例如下：傳動間隙由齒輪及絲杠螺母副組成的機床進給傳動系統中，經常存在有傳動間隙（圖2.2.1)，使輸入轉角Xi和輸出位移X0間有滯環關系。只有消除了傳動間隙，Xi與X0才具有線性關系。死區在死區范圍內，有輸入而無輸出動作。負開口液壓伺服閥具有典型死區特性，如圖2.2.2所示圖2-5傳動間隙圖2-6死區摩擦力機械滑動運動副，如機床滑動導軌運動副、主軸套筒運動副、活塞液壓缸運動副等，在運動中都存在摩擦力。若假定為干摩擦力（也稱庫倫摩擦力），如圖2-5所示。其大小為f，方向總是和速度的方向相反。實際上，運動副中的摩擦力與運動速度大小及其方向有關，如圖2-6所示。圖中曲線可大致分為起始點的靜動摩擦力、低速時混合摩擦力（摩擦力呈下降特性），以及粘性摩擦力（摩擦力隨速度的增加而增加）。由以上各種非線性性質可以看出，在工作點附近存在著不連續直線、跳躍、折線，以及非單值關系等嚴重非線性性質的，稱為本質非線性性質。在建立數學模型時，為得到線性方程，只能略去這些因素，得到近似解。若這種略去及近似帶來的誤差較大，那就只能用復雜的非線性處理方法來求解了。不是像以上所說的嚴重非線性性質，稱為非本質非線性性質。對于這種非線性性質，就可以在工作點附近用切線來代替。這時的線性化只有變量在其工作點附近作微小變化，即變量發生微小偏差時，誤差才不致太大。非線性微分方程經線性化處理后，就變成線性微分方程了，可以采用普通的線性方法來分析和設計系統。因而這種近似方法，給我們帶來了很大的方便。圖2-7干摩擦力圖2-8粘性摩擦力2.2.2線性化方法通常系統在正常工作時，都有一個預定工作點，即系統處于這一平衡位置。當系統受到擾動后，系統變量就會偏離預定點，也就是系統變量產生了不大的偏差。自動調節系統將進行調節，力圖使偏離的系統變量達到平衡位置。因此，只要非線性函數的這一變量在預定工作點處有導數或偏導數存在，就可以在預定工作點附近將此非線性函數展成泰勒級數。對于非線性函數f（x）及f（x，y），假定系統的預定工作點為0，在該點附近將函數展成泰勒級數，并認為偏差是微小量，因而略去高于一次微增量的項，所得到的近似線性函數如下（2-8）（2-9）以上兩個式中減去靜態方程式，得以增量表示的方程為（2-10）（2-11）式（2-10）及（2-11）就是非線性函數的線性化表達式。在應用中需注意以下幾點：（1）式中的變量不是絕對量，而是增量。公式稱為增量方程式。（2）預定工作點（額定工作點），若看作是系統廣義坐標的原點，則有x0=0，y0=0，f(x0，y0）=0，Δx=x-x0，Δy=y-y0=y,因而式（2-10）、（2-11）中的Δ去掉，增量可寫為絕對量，公式中的變量為絕對量了。（3）若預定工作點不是系統冠以坐標的原點，這是普遍的情況。又系統的非線性微分方程f(x)=f1(x)+f2(x)(假定變量只有一個x)中僅f2(x)為非線性項，那么當把f2(x)應用式（2-10）線性化后，由于f2(x)成為增量式子，則f(x)及f1(x)也必須把其中的變量改為增量，以組成系統的線性化微分方程。（4）當增量并不很小，在進行線性化時，為了驗證容許的誤差值，需要分析泰勒公式中的余項。例2-5鐵芯線圈如圖2-9（a）所示。試列寫以電壓為輸入，電流為輸出的鐵芯線圈的微分方程。解根據克希荷夫定律有（2-12）式中，為線圈的感應電勢，它正比于線圈中磁通變化率，即（2-13）式中，為比例常數。鐵芯線圈的磁通是線圈中電流的非線性函數，如圖2-9（b）所示。將式（2-12）代入式（2-13）得（2-14）顯然這是一個非線性微分方程。(a)鐵芯線圈原理圖(b)磁通與線圈電流關系圖2-9鐵芯線圈及磁通曲線如果在工作過程中，線圈的電壓、電流只在平衡工作點（）附近作微小的變化，在的鄰域內連續可導，則在平衡點鄰域內，磁通可表示成泰勒級數，即式中，＝，當“足夠小”時，略去高階項，取其一次近似，有式中，為平衡點處的導數值，令它為，則有上式表明，經小擾動線性化處理后，線圈中電流增量與磁通增量之間已經近似為線性關系了。將式（2-14）中，，均表示成平衡點附近的增量方程，即將上述三式代入方程(2-14)，消去中間變量并整理，可得 （2-15）式（2-15）就是鐵芯線圈的線性化增量微分方程。在實際使用中，為簡便起見，常常略去增量符號而寫成 （2-16）但必須明確，和均為相對于平衡工作點的增量（小變化量），而不是本身的真正值。2.3系統的傳遞函數控制系統的微分方程，是在時間域內描述系統動態性能的數學模型。通過求解描述系統的微分方程，可以把握其運動規律。但計算量繁瑣，尤其是對于高階系統，難以根據微分方程的解，找到改進控制系統品質的有效方案。在Laplace變換的基礎上，引入描述系統線性定常系統（或元件）在復數域中的數學模型——傳遞函數，不僅可以表征系統的動態特性，而且可以借以研究系統的結構或參數變化對系統性能的影響。經典控制理論中廣泛應用的頻率法和根軌跡法，都是在傳遞函數基礎上建立起來的。本節首先討論傳遞函數的基本概念及其性質，在此基礎上介紹典型環節的傳遞函數。2.3設有線性定常系統，若輸入為xi(t)，輸出為xo(t)，則系統微分方程的一般形式為式中：n≥m;an,bm(n,m=0,1,2,……)均為實數。在零初始條件下，即當外界輸入作用前，輸入、輸出的初始條件，，…，和，，…，均為零時，對上式作Lap1ace變換可得：在外界輸入作用前，輸入、輸出的初始條件為零時，線性定常系統的輸出的Laplace變換與輸入的Laplace變換之比，稱為線性定常系統的傳遞函數G(s)。由此可得：則傳遞函數是在零初始條件下定義的。零初始條件有以下兩方面含義：一是指輸入作用是在以后才作用于系統，因此，系統輸入量及其各階導數在時均為零；二是指輸入作用于系統之前，系統是“相對靜止”的，即系統輸出量及各階導數在時的值也為零。大多數實際工程系統都滿足這樣的條件。零初始條件的規定不僅能簡化運算，而且有利于在同等條件下比較系統性能。所以，這樣規定是必要的。例2-6求圖2-1所示機械平移系統的傳遞函數。解已知該系統的微分方程是式（2-1）,即設初始條件為零，對上式進行拉氏變換得由定義可得機械平移系統的傳遞函數為（2-17）2.3由線性定常系統傳遞函數的定義可以分析得知，傳遞函數具有下列性質：1、系統（或元件）的傳遞函數，是一種描述其動態特性的數學模型，它和系統（或元件）的運動方程式一一對應。若給定系統（或元件）的運動方程式，則可確定與之相對應的傳遞函數。2、傳遞函數是復變量s的有理真分式函數，，其中為實部，為虛部。分子的階數m低于分母的階數n，且所有系數均為實數。，這是由于物理系統具有慣性的緣故；各系數均為實數，是因為它們都是系統元件參數的函數，而元件參數只能是實數。3、傳遞函數只與系統（或元件）本身內部的結構有關，與輸入信號和初始條件無關。即傳遞函數只表征系統（或元件）本身的特性。4、一定的傳遞函數有一定的零點、極點分布圖與之對應，因此傳遞函數的零點、極點分布圖也表征了系統的動態特性。將傳遞函數定義式中的分母、分子多項式分解后，可以得到下式：5、一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的函數關系，如果傳遞函數已知，則可針對各種不同形式的輸入量研究系統的輸出或響應。如果傳遞函數未知，則可通過引入已知輸入量并研究系統輸出量的實驗方法，確定系統的傳遞函數。6、傳遞函數與脈沖響應函數一一對應，脈沖響應函數g(t)是指系統在單位脈沖輸入量δ(t)作用下的輸出。因為單位脈沖輸入時，，因此，系統的輸出。而的拉式變換即為脈沖函數，它正好等于傳遞函數的拉式反變換，即。因此，系統的脈沖響應g(t)與系統的傳遞函數G(s)有單值函數對應關系，都可以用于表征系統的動態特性。2.3.3由于控制系統的微分方程往往是高階的，因此其傳遞函數也往往是高階的。不管控制系統的階次有多高，均可化為一階、二階的一些典型環節，如比例環節、慣性環節、微分環節、積分環節、振蕩環節和延時環節等。熟悉掌握這些環節的傳遞函數，有助于對復雜系統的分析與研究。比例環節比例環節又稱為放大環節，其輸出量與輸入量成正比，輸出不失真也不延遲而按比例地反映輸入的環節稱為比例環節。動力學方程為：式中：—輸出量；—輸入量；K—環節的放大系數或增益（常數）。傳遞函數為：（2-18）例2-7圖2-10所示為運算放大器，其輸出電壓與輸入電壓之間有如下關系式中R1、R2為電阻。經Laplace變換后得其傳遞函數為圖2-10運算放大器慣性環節(或一階慣性環節)慣性環節又稱非周期環節，在這類環節中，因含有儲能元件，所以對突變形式的輸入信號不能立即輸送出去。凡動力學方程為一階微分方程形式的環節，稱為慣性環節。其傳遞函數為（2-19）式中：T—為慣性環節的時間常數。例2-8圖2-11為無源濾波電路，為輸入電壓，為輸出電壓，i為電流，R為電阻，C為電容。試求其傳遞函數。圖2-11無源濾波電路解根據克希荷夫定律有消除中間變量，得經Laplace變換后，得故傳遞函數為式中，T＝RC為慣性環節的時間常數。微分環節凡具有輸出正比于輸入的微分的環節，稱為微分環節，即。其傳遞函數為（2-20）式中：T——微分時間常數。如液壓油缸的流量與活塞的位移關系為故流量對位移的傳遞函數為4．積分環節凡具有輸出正比于輸入的積分的環節稱為積分環節，即。其傳遞函數為（2-21）式中：T——積分環節的時間常數。液壓缸活塞位移對流量的傳遞關系即為積分環節，其傳遞函數為5．一階微分環節描述該環節輸出、輸入間的微分方程的形式為：，其傳遞函數為（2-22）6.振蕩環節(或稱二階振蕩環節)振蕩環節含有兩種儲能元件，在信號傳遞過程中，因能量的轉換而使其輸出帶有振蕩的性質，其微分方程為圖2-12振蕩環節對圖2-12所示振蕩環節的傳遞函數為；振蕩環節為二階環節，通常傳遞函數可寫成或寫成（2-23）式中：——無阻尼固有頻率；T——振蕩環節的時間常數，；——阻尼比，。例2-9圖2-13所示為一質量-彈簧-阻尼器系統，位能和動能可以相互轉換，它是一個典型機械振蕩環節。例2-1已經推出系統的力平衡方程式為令；上式拉氏變換后，可得系統傳遞函數為圖2-13質量-彈簧-阻尼器系統7．二階微分環節描述該環節輸出、輸入間的微分方程具有形式，其傳遞函數為（2-24）8．延時環節（或稱遲延環節）延時環節是輸出滯后輸入時間、但不失真地反映輸入的環節。具有延時環節的系統便稱為延時系統。延時環節的輸入與輸出之間有如下關系式中:—延遲時間。延時環節也是線性環節，它符合疊加原理。延時環節的傳遞函數為（2-25）延時環節與慣性環節不同，慣性環節的輸出需要延遲一段時間才接近于所要求的輸出量，但它從輸入開始時刻起就已有了輸出。延時環節在輸入開始之初的時間τ內并無輸出，在τ后，輸出就完全等于從一開始起的輸入，且不再有其他滯后過程；簡言之，輸出等于輸入，只是在時間上延時了一段時間間隔τ。當延時環節受到階躍信號作用時，其特性如圖2-14所示。圖2-14延時環節輸入、輸出關系例2-10如圖2-15所示為軋鋼時的帶鋼厚度檢測示意圖。帶鋼在A點軋出時，產生厚度偏差Δh1（圖中為h十Δh1，h為要求的理想厚度）。但是，這一厚度偏差在到達B點時才為測厚儀所檢測到。測圖2-15軋鋼時帶崗厚度檢測示意圖厚儀檢測到的帶鋼厚度偏差Δh2即為其輸出信號x0(t)。若測厚儀距機架的距離為L，帶鋼速度為v，則延遲時間為τ＝L／v。故測厚儀輸出信號Δh2與厚度偏差這一輸入信號Δh1之間有如下關系：Δh2＝Δh1(t一`)此式表示，在t＜τ時，Δh2＝0，即測厚儀不反映Δh1的量。這里，Δh1為延時環節的輸入量，Δh2為其輸出量。故有因而有2.4系統框圖及其簡化一個系統由若干環節按一定的關系組成，將這些環節以方框表示，其間用相應的變量及信號流向聯系起來，就構成系統的方框圖。系統方框圖具體而形象地表示了系統內部各環節的數學模型、各變量之間的相互關系以及信號流向。事實上系統方框圖是系統數學模型的一種圖解表示方法，它提供了關于系統動態性能的有關信息、并且可以揭示和評價每個組成環節對系統的影響。根據方框圖，通過一定的運算變換可求得系統傳遞函數。故方框圖對于系統的描述、分析、計算是很方便的，因而被廣泛地應用。2.4.1.函數方框函數方框是傳遞函數的圖解表示，如圖2-16所示。圖2-16系統傳遞函數框圖圖中，指向方框的箭頭表示輸入，離開方框的箭頭表示輸出，方框中表示的是該輸入輸出之間的環節的傳遞函數。所以，方框的輸出應是方框中的傳遞函數乘以其輸入，即應當指出，輸出信號的量綱等于輸入信號的量綱與傳遞函數量綱的乘積。2.比較點比較點是兩個或兩個以上輸入信號之間代數求和運算元件，也稱比較器。如圖2-17所示。圖2-17相加點示意圖在比較點處，輸出信號（離開相加點的箭頭表示）等于各輸入信號（指向相加點的箭頭表示）的代數和，每一個指向相加點的箭頭前方的“十”號或“一”號表示該輸入信號在代數運算中的符號。在相加點處加減的信號必須是同種變量，運算時的量綱也要相同。相加點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。3.分支點分支點表示同一信號向不同方向的傳遞，如圖2-18所示。圖2-18分支點示意圖在分支點引出的信號不僅量綱相同，而且數值也相等。2.4根據描述系統運動的微分方程組，分別建立相應的子結構圖，按信號傳遞順序連接起來，可得到系統的結構圖。例2-11圖2-19中，，分別是電路的輸入、輸出電壓，試建立相應的系統方框圖。解根據克希荷夫定律，可寫出以下方程：圖2-19R-C無源網絡根據各方程可繪出相應的子系統的方框圖，分別如圖2-20（a）、(b)和（c）所示，按信號的傳遞順序，將各子結構圖依次連接起來，便得到無源網絡的結構圖，如圖2-20（d）所示。圖2-20R-C無源網絡的結構圖2.4.方框圖是從具體系統中抽象出來的數學結構圖形，當只討論系統的輸入、輸出特性，而不考慮它的具體結構時，完全可以對其進行必要的變換，當然，這種變換必須是“等效的”，應使變換前后輸入量與輸出量之間總的數學關系保持不變。系統各環節之間一般有串聯、并聯和反饋連接三種基本連接方式，方框圖運算法則是用于指導求取框圖不同連接方式下的等效傳遞函數的方法。1.串聯環節前一環節的輸出為后一環節的輸入的聯接方式稱為環節的串聯，如圖2-21所示。圖2-21串聯環節等效變換當各環節之間不存在（或可忽略）負載效應時，則串聯聯接后的傳遞函數為：故環節串聯時等效傳遞函數等于各串聯環節的傳遞函數之積。當系統由n個環節串聯時，系統的傳遞函數為式中：Gi(s)—第i個串聯環節的傳遞函數(i=1，2，…，n)。2．并聯環節各環節的輸入相同，輸出為各環節輸出的代數和，這種聯接方式稱為環節的并聯，如圖2-22所示。則有故環節并聯時等效傳遞函數等于各并聯環節的傳遞函數之和。推廣到n個環節并聯，則總的傳遞函數等于各并聯環節傳遞函數的代數和，即++等效式中：Gi(s)—第i個并聯環節的傳遞函數(i=1，2，…，++等效圖圖2-22并聯環節等效變換3．反饋聯接所謂反饋，是將系統或某一環節的輸出量，全部或部分地通過反饋回路返回到輸入端，又重新輸入到系統中去的聯接方式稱為反饋聯接，如圖2-23所示。反饋聯接實際上也是閉環系統傳遞函數方框圖的最基本形式。單輸入作用的閉環系統，無論組成系統的環節有多復雜，其傳遞函數方框圖總可以簡化成圖2-23所示的基本形式。圖2-23反饋聯接的等效變換圖2-23中，G(s)稱為前向通道傳遞函數，它是輸出Xo(s)與偏差E(s)之比，即H(s)稱為反饋回路傳遞函數，即前向通道傳遞函數G(s)與反饋回路傳遞函數H(s)之乘積定義為系統的開環傳遞函數Gk(s)，它也是反饋信號B(s)與偏差E(s)之比，即開環傳遞函數可以理解為：封閉回路在相加點斷開以后，以E(s)作為輸入，經G(s)、H(s)而產生輸出B(s)，此輸出與輸入的比值B(s)/E(s)，可以認為是一個無反饋的開環系統的傳遞函數。由于B(s)與E(s)在相加點的量綱相同，因此，開環傳遞函數無量綱，而且H(s)的量綱是G(s)的量綱的例數。輸出信號Xo(s)與輸入信號Xi(s)之比，定義為系統的閉環傳遞函數GB(s)，即由圖可知由此可得故反饋聯接時，其等效傳遞函數等于前向通道傳遞函數除以l加(或減)前向通道傳遞函數與反饋回路傳遞函數的乘積。閉環傳遞函數的量綱決定于與的量綱，兩者可以相同也可以不同。若反饋回路傳遞函數H(s)＝1，稱為單位反饋。此時有。開環傳遞函數、閉環傳遞函數、以及開環系統的傳遞函數是三個常常容易混淆的概念，開環傳遞函數和閉環傳遞函數的概念在上面有所敘述，二者均針對閉環系統而言，而開環系統的傳遞函數則是針對于開環系統而言的。2.4為便于計算分析，常需要對比較復雜的系統框圖結構（如多回路、多個輸入信號等）進行變換、組合和簡化，以便求出總的傳遞函數，并有利于分析各輸入信號對系統性能的影響。在對框圖進行簡化時，有兩條基本原則：1）變換前與變換后前向通道中傳遞函數的乘積必須保持不變。2）變換前與變換后回路中傳遞函數的乘積保持不變。表2-1列出了框圖變換過程中，分支點與相加點的移動規則。表2-1方框圖變換法則序原框圖等效框圖說明1AAB－A－BCA－B＋C__CAA－CCA－B＋CB－加法交換律2AAB－CA－B＋CAAB－A－BA－B＋CC加法結合率3AGAG1AG1GAG1G2AGAG2AG1GAG2G1乘法交換律4AGAG1AG1GAG1G2AGAG1GAG1G乘法結合率5AGAG1AG1＋AG2AG1G2AG2AGAG1＋AG2AG1＋G2并聯環節簡化6AAAGAG－BB－GAAAG－B/GAG－BB/G－G1/GB相加點前移7－－AA－BAG－BGBGAAG－BGAAG－GBBGG相加點后移8AAAGGAGAAAGGAGG引出點前移9AAAGGAAAAGGA1/GAG引出點后移10－－AA－BBA－B－A－AA－BBA－B－B引出點前移越過比較點11AGAG1AG1＋AG2AG1G2AG2AG1AG1＋AG2AG1AG1G2AG21/G2將并聯的一路變為112－－BAG1G2AAG1G21/G2B將反饋系統變為單位反饋13反饋系統簡化例2-12試化簡如圖2-24所示的系統方框圖，并求其傳遞函數。圖2-24系統方框圖解：2.5*系統信號流圖及梅蓀公式 2.5.1信號流圖是信號流程圖的簡稱，是與框圖等價的描述變量之間關系的圖形表示方法。圖2-25中所示的框圖可用圖2-26所示信號流圖表示。信號流圖尤其適用于復雜系統，其簡化方法與框圖的簡化方法是相同的。圖2-25框圖圖2-26信號流程信號流圖由一些定向線段將一些節點連接起來組成。其中節點用來表示變量或信號，輸入節點也稱源點，輸出節點也稱阱點、匯點；混合節點是指既有輸入又有輸出的節點。定向線段表示支路，其上的箭頭表明信號的流向，各支路上還標明了增益，即支路上的傳遞函數；沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑稱為通路，從輸入節點到輸出節點的通路上通過任何節點不多于一次的通路稱為前向通道；起點與終點重合且