專題19圖形的相似與位似的核心知識點精講

O復習目標O

1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關概念及性質.

2.探索并掌握三角形相似的性質及條件，并能利用相似三角形的性質解決簡單的實際問題.

3.掌握圖形位似的概念，能用位似的性質將一個圖形放大或縮小.

4.掌握用坐標表示圖形的位置與變換，在給定的坐標系中，會根據坐標描出點的位置或由點的位置寫出

它的坐標，靈活運用不同方式確定物體的位置。

O考點植理O

考點1:比例線段

1.比例線段的相關概念

如果選用同一長度單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n,那么就說這兩條線段的比是巴=竺，或寫

bn

成a：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比

例線段.

若四條a,b,c,d滿足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項，線段a,d叫做比例外項，線

段b,c叫做比例內項.

如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即色=2或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中項.

bc

2,比例的基本性質：①a：b=c：d=ad=be②a：b=b：cOb?=ac.

3.黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC(AOBC),并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，

點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=止二IAB^O.618AB.

2

考點2：相似圖形

1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似

圖形).

2.相似多邊形：對應角相等，對應邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質：

相似多邊形的對應角相等，對應邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質：

(1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.

(2)相似三角形對應邊上的高的比相等，對應邊上的中線的比相等，對應角的角平分線的比相等，都等

于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應相等,

那么這兩個三角形相似.

考點3：位似圖形

1.位似圖形的定義

兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，不經過交點的對應邊互相平行，像這樣的兩

個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.

2.位似圖形的分類

(1)外位似：位似中心在連接兩個對應點的線段之外.

(2)內位似：位似中心在連接兩個對應點的線段上.

3.位似圖形的性質

位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；

位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；

位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.

4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關鍵點,并任取一點作為位似中心;

第二步：作位似中心與各關鍵點連線；

第三步：在連線上取關鍵點的對應點，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接截取點.

【注意】在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應點的

坐標的比等于k或-k.

【題型1:相似三角形的相關計算】

【典例1】（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點E,F分別在正方形4BCD的邊BC,CD上，BE=3,EC=6,

CF=2.求證：LABEsAECF.

L（2024遼寧?中考真題）如圖，ABWCD,4。與相交于點0,且△4。8與△。。。的面積比是1:4,若

AB=6,則CD的長為.

2.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，點4（0,-2），5（1,0）.將線段28平移得到線段DC,若

AABC=90°,BC=2AB,則點D的坐標是

3.(2024?山東日照?中考真題)如圖，以口/lBCD的頂點B為圓心，4B長為半徑畫弧，交BC于點E,再分別以

點4E為圓心，大于%E的長為半徑畫弧，兩弧交于點F,畫射線BF,交2D于點G,交CD的延長線于

點H.

⑴由以上作圖可知，41與42的數量關系是

⑵求證：CB=CH

(3)若4B=4,AG=2GD,/.ABC=60°,求△BCH的面積.

典例引領

【題型2：相似三角形的實際應用】

【典例2】(2024?湖北?中考真題)小明為了測量樹AB的高度，經過實地測量，得到兩個解決方案：

方案一：如圖(1),測得C地與樹4B相距10米，眼睛。處觀測樹48的頂端4的仰角為32。：

方案二：如圖(2),測得C地與樹4B相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達點E,眼睛。在鏡子C

中恰好看到樹A8的頂端4

已知小明身高1.6米，試選擇一個方案求出樹的高度.(結果保留整數，tan32°?0.64)

0力即時檢測

1.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，小杰從燈桿AB的底部點8處沿水平直線前進到達點C處，他在燈光

下的影長CD=3米，然后他轉身按原路返回到點3處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（）

A

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

2.（2024?江蘇揚州?中考真題）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現圖像投

影的方法.如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經小孔。在屏幕（豎直放置）上成像設力B=36

cm,AB'=24cm.小孔。到A8的距離為30cm,則小孔。到4B'的距離為cm.

3.（2024,湖南長沙?模擬預測）某同學在做"小孔成像"實驗時，將一支長為3cm的蠟燭（包括火焰高度）立

在小孔前，蠟燭所立位置離小孔的水平距離為6cm,此時蠟燭火焰通過小孔剛好在小孔另一側距小孔

2cm處的投影屏上形成了一個"像"，若以小孔為坐標原點，構建如圖所示的平面直角坐標系xOy,設蠟

燭火焰頂端A點處坐標為（-6,3），則A點對應的"像”的點的坐標為.

典例引領

【題型3：位似】

【典例3】(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖，矩形02BC各頂點的坐標分別為0(0,0),4(3,0)，5(3,2).C

(0,2)，以原點。為位似中心，將這個矩形按相似比J縮小，則頂點B在第一象限對應點的坐標是()

A.(9,4)B.(4,9)

即時檢淵

1.(2024?浙江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，△4BC與△4B'C'是位似圖形，位似中心為點

0.若點力(-3,1)的對應點為4(-6,2),則點B(-2,4)的對應點方的坐標為()

A.(—4,8)B.(8,-4)C.(—8,4)D.(4,-8)

2.(2024?四川涼山?中考真題)如圖，一塊面積為60cm2的三角形硬紙板(記為△4BC)平行于投影面時,

在點光源。的照射下形成的投影是△&B1G，若。B:B%=2:3,則△a/iCi的面積是()

O好題沖關O

%碼基礎過關

1.（2024?湖南株洲?模擬預測）如圖，已知4BII0E且4B:DE=3:4,乙4=DB.若47=6,則8。的長度為

()

A.8B.12C.14D.16

2.（2024?安徽?模擬預測）如圖，△48C中，E是48的中點，過點E作ED||8C,交4C于點D,則△4ED與四

邊形BCDE的面積比是（）

3.（2024?廣東廣州?模擬預測）已知點力與點B分別在反比例函數3/=%>0）與）/=—%>0）的圖像上，且

OA1OB,貝1癡乙84。的值為（）

A.-B.-C.2D.4

4.（2024?四川廣安?模擬預測）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，直線48與。￡>交

于點。，點/,B,C,D,O都在橫線上.若線段ac=4,則線段8。的長是（）

5.（2024?河北?模擬預測）如圖，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一個可以探究小孔成像特點的

物理實驗裝置，他在薯片筒的底部中央打上一個小圓孔。，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏,

可知得到的像與蠟燭火焰位似，其位似中心為。，其中薯片筒的長度為16cm.蠟燭火焰高為6cm,若

像高CD為3cm,則蠟燭到薯片筒打小孔的底部的距離為（）

“…二二二…

25

A.—cmB.25cmC.32cmD.64cm

4

6.（2024?山西大同?二模）如圖，在平面直角坐標系中，A,B,C,。四個點都在格點上.若正方形4BCD

和正方形AB'C'D'是以原點。為位似中心的位似圖形，且相似比為1:2,則點B'的坐標為（）

A.（4,2）或（4,一2）B.（一4,一2）或（一4,2）

C.（4,2）或（一4,一2）D.（4,一2）或（一4,2）

7.（2024?廣東?模擬預測）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的.如圖是"小狗手影"游戲，光源。

與手4B的距離OE為3米，手與墻壁的距離EF為1米，4B與墻壁平行.在光源。不動的情況下，要使

在墻壁上的"小狗手影"CD的高度增加一倍，則手與墻壁的距離應增加—米

8.（2024?海南?中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱OM經過4B的中點。，OM與地面CD垂直于點

OM=40cm,當蹺蹺板的一端N著地時,另一端B離地面的高度為cm.

9.（2024?四川樂山?模擬預測）如圖，已知線段2B,CD相交于點0,AD\\CD,AO=2,AB=5.求胃.

AD

10.(2024?浙江寧波?模擬預測)如圖，在RtaABC中，NC=90。，過點E作ED14B,垂足為D.

(1)若4B=10,AC=8,AE=5,求4D的長；

(2)連接BE,若LCEBs^CBA,且CE=1,AE=3,求DE的長.

11.(2024?四川眉山?二模)如圖，M是正方形A8CD的邊BC上一點，尸是AM的中點，過點F作的垂線，交

DC于點、N,交ZD的延長線于點E.

(1)求證：△ABM-'AEFA；

(2)若正方形的邊長為12,MC=7,求DE的長.

?丹能力提升

1.（23-24九年級下?貴州黔東南?階段練習）如圖，△ABC中，AB=AC=4,BC=2而,以為直徑

的。。分別交AC,BC于點。，E,連接ED,貝UC。的長為（）

2.（2024?福建泉州?模擬預測）如圖，在RtaABC中,ZB2C=90。,AB=5,AC=12,。為BC上一點，且

滿足4。=CD,E為AC的中點，連接BE交4。于點尸，則△2BF的面積為（）

A

/

----------C

A.6B.8C.10D.12

3.（2024?浙江寧波?模擬預測）如圖是一個常見的鐵夾的剖面圖，。4。8表示鐵夾的剖面的兩條邊，點C是

轉動軸的位置，CDLOA,垂足為。，DA=15mm,。。=24mm,DC=10mm,且鐵夾的剖面圖是軸

對稱圖形，則4B兩點間的距離為（）

A.30mmB.32.5mmC.60mmD.65mm

4.（2024?內蒙古包頭?模擬預測）如圖，在△ABC中＜AC,將△ABC以點/為中心逆時針旋轉得到△ADE,

點。在BC邊上，DE交4c于點用下列結論：

①△AFE-△DFC；

②。4平分NBDE；

③2C平分NDAE,其中所有正確結論的序號是（）

A,①②B.②③C.①③D.①②③

5.（2024?重慶?二模）如圖，已知△4B￡'與△ABC是以點。為位似中心的位似圖形，位似比為2:3,下列說

法錯誤的是（）

A.AC\\A'CB.OB'.BB'=3:2

C.△BCOSAB'C'。D.S人4，R/，：SA4BC=4：9

6.（2022?浙江?二模）如圖，在平面直角坐標系中，以P（O,-1）為位似中心，在y軸右側作AABP放大2倍

后的位似圖形△DCP,若點2的坐標為（-2,-4），則點2的對應點C的坐標為（）

A.(4,5)B.(4,6)C,(2,4)D.(2,6)

7.（2024?山東德州?中考真題）如圖RCBC中,/.ABC=90°,BD1AC,垂足為。，4E平分加C,分別

交BD,BC于點尸，E.若力B:BC=3:4,貝！jBF:FD為（）

A.5:3B.5:4C.4:3D.2:1

8.（2024?山東淄博?中考真題）如圖所示，正方形ABCO與4EFG（其中邊BC,EF分別在％,y軸的正半軸上）

的公共頂點力在反比例函數y=J的圖象上，直線DG與x,y軸分別相交于點M,N.若這兩個正方形的面

1C

積之和是彳，且MD=4GN.貝狄的值是（）

9.（2024?廣西貴港?模擬預測）數學興趣小組對"測量某池塘寬度4B”進行了熱烈討論，展示方法如下：

小麗的方法：如圖（1）,在過點B且與力B垂直的直線/上確定一點D,使點D可直接到達點4連接力D,

在4B的延長線上確定一點C,使CD=4。，測出BC的長，則力B=BC.

小麗的理由：■.CD=AD,DB1AC,：.AB=BC.（依據是：）

小強的方法：如圖（2）,在地面上選取一個可以直接到達點4B的點C,連接AC,BC,在力C和BC上分

別取點。和￡使=BE=CE,連接DE,測出DE的長，貝小B=2D￡

小強的理由：■-AD=CD,BE=CE,；.DE是△ABC的中位線，.?.4B=2DE.（依據是：）

小亮的方法：如圖（3）,在B4的延長線上取一點C,在過點C且與48垂直的直線a上確定一點D,使從

點D可直接到達點B,在過點力且與ZB垂直的直線b上確定一點E,使點B,E,。在同一條直線上，測出

AC,AE,CD的長，即可求出力B的長.

小方的方法：如圖（4）在過點4且與力B垂直的直線Z上確定一點C,只需測得NBC4的度數和C4的長度,

就可求出池塘的寬度.

圖⑷

請根據以上方法按要求完成以下問題：

⑴填空：小麗的方法依據是二小強的方法依據是「

⑵若按照小亮的方法，測出40=10〃?，AE=40m,CD=60m,請你求出池塘AB的寬度;

⑶若按照小方的方法，測得N8C4=30。，C4的長度為34米，求池塘48的寬度.

10.（2024?青海西寧?一模）【問題呈現】

如圖1,△4BC和△4DE都是等邊三角形，連接BD,CE.求證：BD=CE；

【類比探究】

如圖2,△ABC和△4DE都是等腰直角三角形，AD=a,AB=b,^ABC=AADE=90°.連接BD,

CE.請寫出舞=;并寫出詳細解答過程.

圖1圖2

（2024?上海?模擬預測）如圖所示，在平行四邊形48CD中,點E是邊CD上一點，點F是邊4。的中點,

（1）求證：EF1BF；

⑵如果BE平分NCBF,求證：DF-AD=CD-CE.

12.（2024?新疆中考真題）如圖，在。。中，4B是。。的直徑，弦CD交于點E,AD=BD.

(1)求證：AACDFECB；

(2)若AC=3,BC=1,求CE的長.

真題感知

1.（2024?湖北?中考真題）在矩形ABCD中，點￡,尸分別在邊AD,上,將矩形4BCD沿EF折疊，使點/

的對應點尸落在邊CD上，點B的對應點為點G,PG交BC于點、H.

圖3

（1）如圖1,求證：4DEPMCPH；

⑵如圖2,當尸為CD的中點,AB=2,AD=3時，求GH的長;

⑶如圖3,連接BG,當尸，8分別為CD,BC的中點時，探究BG與的數量關系，并說明理由.

2.（2024?湖北?中考真題）某數學興趣小組在校園內開展綜合與實踐活動，記錄如下:

活動

測量校園中樹4B的高度

項目

活動"測角儀"方案"平面鏡”方案

方案

.,4

方案

示意c//

圖c」早於、/)

DEB

DB

1.選取與樹底8位于同一水平地面的。處；1.選取與樹底8位于同一水平地面的￡處；

2.測量。，8兩點間的距離；2.測量￡,3兩點間的距離；

實施3.站在。處，用測角儀測量從眼睛。處3.在E處水平放置一個平面鏡，沿射線8E方向后退

過程看樹頂月的仰角乙4CF；至。處，眼睛C剛好從鏡中看到樹頂4

4.測量C到地面的高度CD.4.測量￡,。兩點間的距離；

5.測量C到地面的高度CD.

1.DB=10m；1.EB=10m；

測量

2.NACF=32.5。；2.ED=2m；

數據

3.CD—1.6m.3.CD=1.6m.

1.圖上所有點均在同一平面內；1.圖上所有點均在同一平面內；

2.AB,CD均與地面垂直；2.AB,CD均與地面垂直；

備注

3.參考數據：tan32.5°~0.64.3.把平面鏡看作一個點，并由物理學知識可得

Z.CED=Z.AEB.

請你從以上兩種方案中任選一種，計算樹4B的高度.

3.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，4B是。。的直徑，內接于。。，CD=DB,AB,CD的延長線

相交于點E,S.DE=AD.

⑴求證：

⑵求乙4DC的度數.

4.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，平行四邊形48CD中，AE,CF分別是NB力。，NBCD的平分線，且

E、廠分別在邊8C,4。上.

⑴求證：四邊形&