2025屆山西省太原市小店區(qū)山西大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（A）注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若，則的值為（）A． B． C． D．3．設(shè)雙曲線(xiàn)（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A,過(guò)F作AF的垂線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于B,C兩點(diǎn)，過(guò)B,C分別作AC，AB的垂線(xiàn)交于點(diǎn)D．若D到直線(xiàn)BC的距離小于，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．4．已知集合，，若AB，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，，是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)在上的投影為，則的最大值是（）A． B． C． D．6．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對(duì)應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線(xiàn)Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：，已知，則（）A． B．4 C． D．167．下列選項(xiàng)中，說(shuō)法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿(mǎn)足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件8．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．9．設(shè)集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}10．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．如圖，拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若直線(xiàn)與以為圓心，線(xiàn)段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）長(zhǎng)為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于值的說(shuō)法正確的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不確定12．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則()A．3 B．5 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_______14．如圖所示，在△ABC中，AB=AC=2，，，AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)F，若，則____.15．在棱長(zhǎng)為6的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是面，所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則三棱錐的體積的最大值是__________.16．已知是偶函數(shù)，則的最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，直線(xiàn)與函數(shù)圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對(duì)的邊分別是，若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，且，求面積的最大值.18．（12分）已知x，y，z均為正數(shù)．（1）若xy＜1，證明：|x+z|?|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy?2yz?2xz的最小值．19．（12分）已知三棱錐中側(cè)面與底面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且面面，分別為線(xiàn)段的中點(diǎn).為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且.（1）證明：為線(xiàn)段的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點(diǎn)，且，求的值.21．（12分）（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線(xiàn)與橢圓C交于點(diǎn)M,N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且OM+ON=t22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于兩點(diǎn)A，B，求線(xiàn)段的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

對(duì)分類(lèi)討論，當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡(jiǎn)單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

根據(jù)，再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋远?xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力3．A【解析】

由題意,根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知在軸上，設(shè)，則由得：，因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離小于，所以，即，所以雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)斜率，故選A．4．D【解析】

先化簡(jiǎn)，再根據(jù)，且AB求解.【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)椋褹B，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

試題分析：設(shè)在直線(xiàn)上的投影分別是，則，，又是中點(diǎn)，所以，則，在中，所以，即，所以，故選B．考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的性質(zhì)．【名師點(diǎn)晴】在直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題中，涉及到拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)（或與準(zhǔn)線(xiàn)平行的直線(xiàn)）的距離時(shí)，常常考慮用拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．象本題弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離首先等于兩點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離之和的一半，然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而與弦長(zhǎng)之間可通過(guò)余弦定理建立關(guān)系．6．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對(duì)于B若向量滿(mǎn)足，則與的夾角為鈍角或平角；對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí)，滿(mǎn)足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷．【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項(xiàng)B若向量滿(mǎn)足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿(mǎn)足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項(xiàng)D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等，屬于簡(jiǎn)單題.8．A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9．C【解析】

先求集合A，再用列舉法表示出集合B，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10．C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．11．A【解析】

利用的坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，然后聯(lián)立方程得，最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，據(jù)，得，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相交問(wèn)題，解題核心在于聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，屬于基礎(chǔ)題12．C【解析】

先由已知，求出，進(jìn)一步可得，再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù)，得且，所以，.因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意可得導(dǎo)數(shù)在恒成立，解出即可．【詳解】解：由題意，，當(dāng)時(shí)，顯然，符合題意；當(dāng)時(shí)，在恒成立，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．14．【解析】

過(guò)點(diǎn)做,可得，，由可得，可得，代入可得答案.【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)做,易得：,,,故,可得：，同理：,,可得,,由，可得,可得：,可得：，,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積，由題意作出是解題的關(guān)鍵.15．【解析】

根據(jù)與相似，，過(guò)作于，利用體積公式求解OP最值，根據(jù)勾股定理得出，，利用函數(shù)單調(diào)性判斷求解即可.【詳解】∵在棱長(zhǎng)為6的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，又，∴與相似∴，即，過(guò)作于，設(shè)，，∴，化簡(jiǎn)得：，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷，時(shí)，取得最大值36，，在正方體中平面.三棱錐體積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似，幾何體體積以及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，難度一般.16．2【解析】

由偶函數(shù)性質(zhì)可得，解得，再結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】令得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：2【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（Ⅰ）3；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)函數(shù)，利用和差公式和倍角公式，化簡(jiǎn)即可求得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù)，根據(jù)點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】(Ⅰ)的最大值為最小正周期為(Ⅱ)由題意及（Ⅰ）知，,故故的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔基礎(chǔ)題.18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）最小值為1【解析】

（1）利用基本不等式可得,再根據(jù)0＜xy＜1時(shí),即可證明|x+z|?|y+z|＞4xyz.（2）由＝,得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】（1）證明：∵x，y，z均為正數(shù)，∴|x+z|?|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)取等號(hào)．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|?|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，即．∵，，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)取等號(hào)，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy?2yz?2xz＝2xy+yz+xz≥1，∴2xy?2yz?2xz的最小值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬中檔題．19．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，先證明，可證得，假設(shè)不為線(xiàn)段的中點(diǎn)，可得平面，這與矛盾，即得證；（2）以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面，平面的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.【詳解】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié).∴，，又平面，平面，∴.又分別為中點(diǎn)，，又，∴.假設(shè)不為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則與是平面內(nèi)內(nèi)的相交直線(xiàn)，從而平面，這與矛盾，所以為線(xiàn)段的中點(diǎn).（2）以為原點(diǎn)，由條件面面，∴，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為所以取，則，.同法可求得平面的法向量為∴，由圖知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何與空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.20．（1），（2）0【解析】

（1）分別把兩曲線(xiàn)參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到普通方程；（2）把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入的普通方程，化為關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解．【詳解】（1）由曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得；由曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得，即．（2）把為參數(shù)）代入，得．，．．解得：，即，滿(mǎn)足△．．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，特別是直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．21．（1）x24+【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問(wèn)，先利用離心率、a2=b2+c2、四邊形的面積列出方程，解出a和b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，討論直線(xiàn)MN的斜率是否存在，當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到x1+x2、x1x試題解析：（1）∵e=22，??∴又S=12×2a×2b=4∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由題意知，當(dāng)直線(xiàn)MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-1)，M(x聯(lián)立方程x24+因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，所以Δ=16k∴x又∵OM∴因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓x24+即2k又