PAGEPAGE2第46講雙曲線課時達標一、選擇題1．假如方程eq\f(x2,k＋1)－eq\f(y2,2)＝1表示雙曲線，則實數k的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B解析雙曲線的方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.依據定義和條件知k＋1>0?k>－1.故選B.2．已知實數1，m,9成等比數列，則圓錐曲線eq\f(x2,m)＋y2＝1的離心率為()A.eq\f(\r(6),3) B．2C.eq\f(\r(6),3)或2 D.eq\f(\r(2),2)或eq\r(3)C解析依據條件可知m2＝9，所以m＝±3.當m＝3時，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)；當m＝－3時，e＝2.故選C.3．(2024·全國卷Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)xA解析因為eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝3，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.故選A.4．(2024·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(2)，則點(4,0)到C的漸近線的距離為()A.eq\r(2) B．2C.eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)D解析由eq\f(c,a)＝eq\r(2)得a＝b，所以雙曲線為等軸雙曲線，漸近線為x±y＝0，所以點(4,0)到漸近線的距離d＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2).故選D.5．(2024·天津卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1A解析如圖，不妨設點A在點B的上方，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝eq\f(bc－b2＋bc＋b2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2bc,c)＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝eq\f(c,a)＝2知a2＋b2＝4a2，所以a＝eq\r(3).所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.故選A.6．(2024·長陽一中期中)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1，過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，則該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積為()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),8) D.eq\f(\r(2),16)C解析雙曲線C1：2x2－y2＝1，即eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1，所以左頂點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，漸近線方程y＝±eq\r(2)x，過點A與漸近線y＝eq\r(2)x平行的直線方程為y＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),2)))，即y＝eq\r(2)x＋1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)x，,y＝\r(2)x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),4)，,y＝\f(1,2)，))所以該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積S＝eq\f(1,2)|OA||y|＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),8).二、填空題7．(2024·北京卷)若雙曲線x2－eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\r(3)，則實數m＝________.解析由已知可得a＝1，c＝eq\r(1＋m)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋m)＝eq\r(3)，解得m＝2.答案28．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線l：x＋eq\r(3)y＝0垂直，雙曲線C的一個焦點到直線l的距離為1，則雙曲線C的方程為________．解析因為雙曲線的一條漸近線與直線l：x＋eq\r(3)y＝0垂直，所以雙曲線的漸近線的斜率為eq\r(3)，即eq\f(b,a)＝eq\r(3).①由題意知雙曲線的焦點在x軸上，可設雙曲線的一個焦點坐標為(c,0)，依據點到直線的距離公式，得eq\f(|c|,2)＝1，所以c＝2，即a2＋b2＝4.②聯立①②，解得a2＝1，b2＝3，所以雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.答案x2－eq\f(y2,3)＝19．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－6,0)和C(6,0)，若頂點B在雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,11)＝1的左支上，則eq\f(sinA－sinC,sinB)＝________.解析由條件知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12.又在△ABC中，有eq\f(|BC|,sinA)＝eq\f(|AB|,sinC)＝eq\f(|AC|,sinB)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)，從而eq\f(sinA－sinC,sinB)＝eq\f(|BC|－|AB|,|AC|)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)三、解答題10．(2024·洛陽一中期中)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，點(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個頂點．(1)求雙曲線的方程；(2)經過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求|AB|.解析(1)因為雙曲線C：eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，點(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個頂點，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦點為F2(3,0)，所以經過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－3)．聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3，))得5x2＋6x－27＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(6,5)，x1x2＝－eq\f(27,5).所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,5))))＝eq\f(16\r(3),5).11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))．點M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積．解析(1)因為e＝eq\r(2)，所以雙曲線的實軸、虛軸相等．則可設雙曲線方程為x2－y2＝λ.因為雙曲線過點(4，－eq\r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以雙曲線方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明：不妨設F1，F2分別為左、右焦點，則eq\o(MF1,\s\up12(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．所以eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，因為M點在雙曲線上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).所以△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，所以S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.12．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F(c,0)．(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－eq\r(3)，求雙曲線的離心率．解析(1)因為雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以雙曲線方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)設點A的坐標為(x0，y0)，所以直線AO的斜率滿意eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，所以x0＝eq\r(3)y0，①依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，所以x0＝eq\f(\r(3),2)c，所以點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c))，代入雙曲線方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又因為a2＋b2＝c2，所以將b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因為e＞1，所以e＝eq\r(2)，所以雙曲線的離心率為eq\r(2).13．[選做題](2024·長沙二中月考)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1，以C，D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e2，若對隨意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，則t的最大值為()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C．2 D.eq\r(2)B解析由平面幾何學問可得|BD|＝|AC|