山東省臨沂市2025屆高三2月一模考試數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.—=（）

2-1

A.2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

2.已知集合/=同2》-〃40},8=同1<無<2}.若/。2=0,貝匹的取值范圍為（）

A.（-℃,!）B.C.（-℃,2）D.

3.直線2尤-3y+l=0的一個方向向量是（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（2,-3）D.（3,-2）

4.圓G：尤?+了~=1與圓。2：廠+/-6x-8y+9=0的位置關系是（）

A.內切B.相交C.外切D.相離

—?—?1—?

5.在V45C中，點。是48的中點，點尸在上，若=+則2=（）

,1124

A.-B.—C.-D.一

6333

6.（1+》嚴的展開式中的一項是（）

A.45xB.90x2C.120/D.240/

7.已知/（x）=tanx,若對任意實數ae（-1,1）,be（-1,1）,貝!]“a+6>0”是"/（。）+/（6）>0

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.設數列{叫的前〃項和為S,,,且S“+”=l,則滿足S,>0.99時，〃的最小值為（）

A.49B.50C.99D.100

二、多選題

9.甲，乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績（單位：厘米）如下:

試卷第1頁，共4頁

甲組：244,245,245,246,248,251,251,253,254,255,257,263

乙組：239,241,243,245,245,247,248,249,251,252

則下列說法正確的是（）

A.甲組數據的第60百分位數是252

B.乙組數據的中位數是246

7

C.從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為工

D.甲組中存在這樣的成員，將他調派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高

io.圓柱的軸截面是正方形，a，o?分別是上、下底面的圓心，48是下底面圓周上兩

個不同的點，8c是母線，若圓柱002的側面積為16兀，則（）

A.圓柱的體積是16兀

B.圓柱內切球的表面積是8兀

C.AOlBC=16

D?點3到直線距離的最大值為百

11.將曲線。。=色+述經過旋轉可得到雙曲線￡：工-?=1,若直線＞=加與C只有

一個公共點，與E交于43兩點，則（）

A.m=2V2B.a=2-\/3

C.b—2D.\AB\=2^6

三、填空題

12.設隨機變量J~N（2,5）,若「?＜〃?）=尸偌＞加一1）,貝打"=.

13.2025年春晚，劉謙表演了一個現場互動魔術，道具只有三個：勺子、筷子和杯子.劉謙

讓觀眾從左到右隨便擺放這三個道具，分為三個位置：左位、中位和右位.假若按照魔術規

則只進行前兩步：第一步，筷子跟它左邊的東西互換位置，如果筷子已經在最左邊，那么就

不需要移動；第二步，杯子跟它右邊的東西互換位置，如果杯子已經在最右邊，就不需要移

動.完成這兩步后，在杯子出現在右位的條件下，筷子出現在中位的概率是.

14.點加）在直線了=加+〃（〃€川）上，點？/C2，加）在拋物線了2=4》上，記MN兩點

試卷第2頁，共4頁

n-29

N

間的最小距離為服(”,),若nq.=a1a2a3,,,則n《，(M,N)=.

z=ln=2

四、解答題

15.已知a,6,c分別為V/3C三個內角42,C的對邊，且GacosC+csii/-揚=0.

⑴求A；

(2)若c=3,asinS=2百，求

16.已知函數/(x)=(2x+l)e1

⑴求曲線y=/(x)在點(oj(o))處的切線方程；

⑵若函數g(x)=〃x)-履在(-90)上恰有兩個零點，求左的取值范圍.

17.《教育強國建設規劃綱要(2024-2035年)》中指出深入實施素質教育，健全德智體美

勞全面培養體系，加快補齊體育、美育、勞動教育短板，某中學為了解學生每天參加綜合體

育活動的情況，隨機調查了100名男生和100名女生，統計他們周一到周五在校期間的運動

步數，數據如下表所示：

運動步

合

數(萬(2,3)口，4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)

計

步)

人數

12a]a2a394100

(男)

人數

144b2272100

(女)

表中數據%,出，的，9成等差數列；4也也成公比為正整數的等比數列.

(1)若周一到周五在校期間的運動步數達到5萬步視為體育鍛煉達標，估計該中學男生體育

鍛煉的達標率；

(2)為進一步了解女生每天參加綜合體育活動的情況，在步數位于(2,5),[5,8)兩組內的女生中,

采用等比例分層抽樣的方法抽取10人,現從這10人中隨機抽取3人進行訪談，記步數在[5,8)

內的人數為X,求X的分布列和期望.

試卷第3頁，共4頁

18.在zJVSC中，NB=90°,4D//BC,NA=CD=2AB=2,如圖將VM1。沿4D翻折至

△PAD.

(1)證明：平面尸8C_L平面尸/B；

(2)若二面角8大小為120°.

(i)求PN與平面P8C所成角的正弦值；

(ii)在線段尸。上是否存在點E,使得平面N8E與平面PDC所成角的余弦值為g?若存在,

確定點￡的位置；若不存在，說明理由.

22/7

19.已知橢圓氏二+3=1僅>01>0)的離心率為空，片，巴是￡的左、右焦點，且

ab3

由周=4近，直線《過點力與E交于43兩點.

(1)求E的方程；

(2)若|明=2后,求4的方程；

(3)若直線4過點月與E交于C,。兩點，且4,4的斜率乘積為-,W,N分別是線段AB,CD的

中點，求A0W面積的最大值.

試卷第4頁，共4頁

《山東省臨沂市2025屆高三2月一模考試數學試卷》參考答案

題號12345678910

答案ADBCBCCDBCDAC

題號11

答案BC

1.A

【分析】運算復數除法的運算法則進行求解即可.

55（2+i）5（2+i）、.

【詳解】二=（2_i）（2+i廣匚可=2+1，

故選：A

2.D

【分析】由/口3=0,可得即可得解.

2

【詳解】={x|2x-a<0）=jxr<-|j,

因為/ng=0,

所以解得a42,

所以”的取值范圍為

故選：D.

3.B

【分析】把直線方程化為斜截式，根據直線方向公式進行判斷即可.

【詳解】2x-3^+l=0^j=|x+1,所以該直線的一個方向向量為

因為（3,2）=3m,所以向量（3,2）與向量［1,￡|是共線向量，

其他選項的向量與向量不是共線向量，

故選：B

4.C

【分析】根據給定條件，求出圓心距即可判斷.

【詳解】圓G：尤2+/=1的圓心q（o,o）,半徑11,

2

HC2:x+/-6x-8y+9=0,即C?:（x-3）?+（y-4了=16,圓心。2（3,4）,半徑々=4,

答案第1頁，共14頁

則|GG|=V?*=5=4+2，所以兩圓外切.

故選：C.

5.B

【分析】由題意存=「一仆石+2.，麗=g9+；而，根據點P在C。上，即可列方

程求解.

—?1—?1—>

【詳解】由題意點。是45的中點，所以。。二7口+大口，

22

又不=2萬+;就，所以刀+反=2函+西+g就，

^CP=X^CA+XCB,

又因為點尸在CD上，

1

所以--=1,解得久「或％=-；(舍去).

--2233

3

故選：B.

6.C

【分析】由二項式定理展開式通項即可驗算.

【詳解】(1+?°的展開式通項為&|=。。，，對比選項依次代入廠=1,2,3,4得對應項，

(1+方°的展開式中的項可以是10》,45/,120/,210/.

故選：C.

7.C

【分析】綜合利用正切函數的單調性和奇偶性分析判定.

【詳解】因為/'(x)=tanx是內的單調遞增函數，并且是奇函數，

所以tana+tan6>0otan〃>一tanb=tana>tan(-Z))OQ>-Z?O〃+6>0,

所以“a+6>0”是“/⑷+/9)>0”充分必要條件，

故選：C.

8.D

【分析】根據S,,。,的關系求出a“,S”的表達式，進一步解不等式即可得解.

答案第2頁，共14頁

【詳解】因為S,+〃a“=l,所以%=；,

當“22時，S"+"%=1,所以+,

即&=曰，此時%=2x—x吐…X&X生X4

aa

n-\〃+1n-2%-3a2%

n-1n-2n—332111

=----------X------------X----------X???X—X—X—X—=--------------------〃=1也滿足該式,

n+1nn-15432〃（"+1）

七總二1一'町

故4=

n+1

若s“=l--1->0.99,解得”>99,故所求為100.

n+1

故選：D.

9.BCD

【分析】對于A直接利用百分位數計算公式即可；對于B根據公式計算中位數和平均數；

對于C根據古典概率公式計算即可；對于D,求出兩者平均數判斷即可.

【詳解】對于選項A,因為12x60%=7.2,所以甲組數據的第60百分位數是第8個數，即

253,故A錯誤;

對于選項B,因為10x50%=5,所以乙組數據的中位數是第5個數與第6個數的平均數,

口口245+247,,-I-T-ZZ.

即--------=246,故B正確;

2

對于選項C,甲組中跳遠成績在250厘米以上的有7人，乙組中跳遠成績在250厘米以上的

有2人,

所以從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為

727

____V_____—____故C正確;

1210-60（

對于選項D,甲組的平均成績為

244+245+245+246+248+251+251+253+254+255+257+263……

---------------------------------------------------------------------------------------=251厘米,

239+241+243+245+245+247+248+249+251+252

乙組的平均成績為=246厘米,

W

所以將甲組中跳遠成績為248厘米的成員調派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提

高，故D正確.

故選：BCD.

10.AC

【分析】根據圓柱體積公式、側面積公式，結合空間向量數量積的坐標公式、點到線距離公

答案第3頁，共14頁

式逐一判斷即可.

【詳解】設圓柱。。2的底面半徑為「，所以母線為2八

因為圓柱。1。2的側面積為16兀,所以2兀r-2r=16兀=>r=2.

因為圓柱。。2的體積是7i-22x2x2=167t,所以選項A正確；

因為圓柱。。2的底面半徑為2,所以母線為4,所以圓柱內切球的半徑為2,

所以圓柱。。2內切球的表面積是4兀=16兀，因此選項B不正確；

建立如圖所示的空間直角坐標系，

Q(0,0,4),8(0,2,0),C(0,2,4),設

------->-v

(2cos0,2sin0,0),sin6>#1,

AOi?；(-2cos0,-2sin0,4),W=(0,0,4),

JQ-SC=(-2cos6?,-2sin(9,4).(0,0,4)=12co的卜N92si坦*岳4x4=16,

所以選項C正確；

設。=AB-(-2cos9,2-2sin8,0),

直線的單位方向向量為

答案第4頁，共14頁

〃=?§=/(-2cos。，-2sin^,4)=-(-cosa-sin。,]

\AO]V4cos^+4sin^+16V一小

所以點3到直線/Q距離為

I_4.232._"I36I_4/.~"I__~~?2__77

=J-—sm0n--sin0+—=J-y(sin0+4)+20,

o/F

由題意TVsinJvl,所以當sin6=-l時，41ax=三一，選項D不正確,

故選：AC.

【點睛】關鍵點睛：求點3到直線/Q距離的最大值的關鍵是利用點到直線距離的向量公式

寫出表達式，根據正弦函數與二次函數的性質求出最值.

II.BC

【分析】由雙曲線定義、對勾函數性質以及旋轉的性質依次求得優,進一步只需聯立

22

?=2后與5:^--匕=1即可判斷D.

124

【詳解】對于BC,由題意將曲線。:了=縣+西夾在中間的兩條漸近線方程為

3x

V3

y=——x.x=0，

3

兀71

所以這兩條漸近線所形成的那個銳角的一半為〃_5一7—兀，

(7二-----=一

26

曲線C:y=叵+空的兩條漸近線y=Bx,x=0的中間那條直線為y=Qx,

3x3

聯立尸氐以及c：尸縣+也，解得卜=8或

3%卜=3》=-3

由旋轉的性質可得，—=tan0=,2a=2J3+9=46,解得。=2百,6=2,故BC正確,

a3

對于A,若直線丫=皿與c：y=^+這只有一個公共點，由對勾函數性質可得切=±2百，

3x

故A錯誤；

22

對于D,要求以同，由雙曲線的對稱性可知，只需聯立＞=2后與￡:￡-亍=1,

fx—6[x——6..

解得]-20或h，-2Vr即"同=12,故D錯誤，

答案第5頁，共14頁

故選：BC.

【分析】由正態分布的性質即可得解.

【詳解】由題意〃=2,P^<m）=P^>m-l）,所以竺芳二1=2,解得機=看

故答案為：

2

13.-

5

【分析】由條件概率知識即可求解.

【詳解】我們不妨把勺子、筷子和杯子的第一個字的拼音的第一個小寫英文字母來代替這三

個東西，

例如s妨代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，

一開始的狀態有skb,sbk,bks,bsk,ksb,kbs六種情況，我們用->表示一次調換，

那么根據題意有，第一種初始狀態下的變換過程為：skbfksb,

第二種初始狀態下的變換過程為：sbkTskb,

第三種初始狀態下的變換過程為：bksfkbsfksb,

第四種初始狀態下的變換過程為：bskTbksTkbs,

第五種初始狀態下的變換過程為：ksbTksb,（本質上沒有調換），

第六種初始狀態下的變換過程為：kbsTksb,

從以上可以看出來，末狀態杯子在右邊對應的初始狀態有：第一、二、三、五、六種初始狀

態共5種情況，

在杯子出現在右位的條件下，筷子出現在中位的末狀態只能是求6（對應的初始狀態是第二

種初始狀態），

故所求概率為。

故答案為：

1013

14.----

2025

【分析】本題可先求出M、N兩點橫坐標的關系，進而得出的表達式，然后求出

,最后根據的表達式計算n4（M,N）的值.

n=2

【詳解】已知點“（尤”加）在直線y=〃尤+"（〃eN*）上，

答案第6頁，共14頁

則將點M代入直線方程可得加=〃%+”①.

點N6,⑼在拋物線『=4尤上，則將點N代入拋物線方程可得加2=4%②.

因為M、N兩點縱坐標相同，所以|跖V|=|尤2-X]|.

222

由①可得玉=1,由②可得％=二，貝1MV1=1仁一匕]！1=1乜-4+”.

〃44〃4〃

令t==,貝|]|皿|=產一0+11,將其轉化為頂點式：

2n

22

|jWHf-—+1|=|?-—+-fU+1|^C_0+1_Li,

nn\n)\n)\nJn

因為（/二）220,所以當/=,時，取得最小值，lAWIminqi-Al.

nnn

(1)0+1)

因為〃WN*,所以1----F＞°，則“〃(MN)=|MV/=1---T=~~2~

nnn

咨7，一“、1x32x43x52024x2026

口4,(“川)=干*丁*下＞＜一^^025T-，

可以發現上式中相鄰兩項的分子分母可以約分，約分后可得:

2025120261013

rp〃"N)—x--------

n=2220252025

1013

故答案為:

2025

【點睛】方法點睛:

對于求平面直角坐標系中兩點間距離最值的問題，先根據點所在的曲線方程得到坐標之間的

關系，再將距離表示為關于某一變量的函數，通過函數的性質（如二次函數的頂點式）來求

解最值.在處理連乘形式的式子時，要善于觀察式子中各項的規律，通過約分等方法簡化計

算.

TT

15.⑴、

⑵汨

【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得tan/=百，由此即可得解；

（2）由正弦定理得6=4,再由余弦定理即可求解.

【詳解】（1）由正弦定理邊化角可得百sin/cosC+sinCsin/-，§sin8=0,

即6sinZcosC+sinCsinN=V^sinj3=V^si《/+。=i3sinZcosC+7_3cosZsin（,

答案第7頁，共14頁

所以sinCsinN=6cosNsinC，因為sinC>0,cos/=上^>0,

所以tan/=百，又Ne(O,兀)，解得N=g；

(2)若。=3,asinB=2>/^,貝!josin5=2Rsin4sin5=6sin4=——b=2和，這里H是三角形

2

45。外接圓的半徑，

解得6=4,

由余弦定理可得。=J/+c2-26ccos/=，42+32-2x4x3xg=g.

16.(l)3x->+1=0

⑵卜:]

【分析】(1)求導，再根據導數的幾何意義即可得解；

(2)分離參數可得l=(2x+l)e：構造函數M%)=(2x+l)e',x.(_QO,o),利用導數求出函

XX

數的單調區間，作出函數的大致圖象，結合圖象即可得解.

【詳解】⑴由〃x)=(2x+l)e"得r(x)=(2x+3)e)

則"0)="(0)=3,

所以曲線>=/(》)在點(。，/⑼)處的切線方程為>-1=3無，即3x-y+l=0；

(2)令g(x)=/(x)—丘=0,則2=幺"=(2x+l)e.,

XX

令Mx)=(2x：l)e：xe(_8,o),

z(2x2+x-1)ex(2x-l)(x+l)ex,、

則miI/(x)x=A——p)=，----%一」，了《_%0)，

令//(x)〉0,貝令/(x)<0,貝

所以函數力⑴在(-巴-1)上單調遞增，在(TO)上單調遞減，

所以'(XU=〃(T)=：，

V

(2x+l)e'=2/+巨,當xfe時，”(尤)一o,

XX

當X.0時，//(%)-?-<?,

如圖，作出函數〃(x)的大致圖象，

答案第8頁，共14頁

因為函數g(x)=y(x)-foe在(-oo,0)上恰有兩個零點，

所以函數y=Ky=Mx)的圖象恰有兩個交點，

所以上的取值范圍為[o.]

17.(1)30%

3

(2)分布列見解析，￡(X)=|

【分析】(1)需要根據等差數列的性質求出男生運動步數達到5萬步的人數，進而計算達標

率；(2)先根據等比數列性質求出相關人數，再利用分層抽樣確定抽取人數，最后通過古典

概型求出隨機變量X的分布列和期望.

【詳解】(1)已知q,外，%，9成等差數列,設公差為d,則q+3d=9.

又因12+4]+?+。3+9+4=1009即%+出+的=75.

由等差數列性質q+。2+。3=3%=75,可得4=25.

(a,+d=25

聯立方程組11C，解得d=-8,1=33,“3=25+(-8)=17.

[6+3d=9

男生運動步數達到5萬步(即[5,6)、[6,7)、[7,萬這三組)的人數為17+9+4=30人.

30

所以男生體育鍛煉的達標率為—xlOO%=30%.

(2)因為4也在成公比為正整數的等比數列，設公比為^("N+),

且14+4+仇+Z?]+7+2=100,即4+仇+4=77.

答案第9頁，共14頁

所以4+639+6342=77,即4(1+1+/)=77.

因為q￡N+，4GN+,

77

當4=1也=?，舍去；當夕=2,4=11,打=224=44滿足題意；

7711

當9=3,4=5，舍去.當9=4,a=§,舍去.

7777

當9=5,63=3^,舍去.當夕=6,4=ZJ,舍去.

7777

當夕=7,a=為，舍去.當夕=8,63=1^，舍去.當^=9,&<1,舍去.

步數位于(2,5)內的女生人數為14+44+22=80人，步數位于［5,8)內的女生人數為

11+7+2=20A.

QA

采用等比例分層抽樣抽取10人，則從步數位于(2,5)內抽取10X言=8人，從步數位于［5,8)

內抽取10-8=2人.

隨機變量X表示步數在［5,8)內的人數，X的可能取值為0,1,2.

r37C2cl7121

P(X=0)=W=,；尸(x=l)=^^=,；P(X=2)=^CC^=上

333

JCo15JJcoI2SJco15

所以X的分布列為：

X012

771

P

151515

77193

期望頤X)=0x，+lx，+2x—=Z=」

151515155

18.(1)證明見解析

/n114

(2)(i)與(ii)存在點E,當。￡=不。「或。￡=—DP時滿足題意

1425

【分析】(1)只需證明8C_L平面尸48,注意到/D//BC,故只需證明4。_L平面尸,由

AD1AP,AD14B即可證明AD1AP,AD1AB；

(2)(i)由題意得/尸即二面角尸的平面角，結合解三角形知識求解即可；(ii)

建立適當的空間直角坐標系，引入參數彳市=2赤,2e(0,1),將平面/BE與平面尸DC的法

向量表示出來，結合平面N3E與平面PDC所成角的余弦值為(列出關于％的方程，判斷該

答案第10頁，共14頁

方程的解的情況即可得解.

【詳解】(1)因為/5=90°,/D//3C,所以,

因為P/c48=A,PA,ABu平面PAB,所以/￡>_L平面PAB,

所以3C_L平面尸又BCu平面尸BC,所以平面尸5C_L平面P43；

(2)(i)在四棱錐P-/8CD中，由(1)知即二面角尸的平面角，

故NP48=120。，因為M4=CD=2/3=2,所以NC=6,NB=3,

從而BC=36,ZDCB=30°,

過點A作4F_LPB,交PB于點、F,又因為4FJ8C,可得/尸_L平面P8C,尸/與平面尸8C

所成角即為N/尸尸.

在△尸48中，由余弦定理可得：PB=y/PA2+AB2-2PA-AB-cos1200=V7>

PA-AB-sinl20D而AF

由等面積法，AF=2——---------=2,sinNAPF=—,

iPBAP14

2

所以尸工與平面尸5c所成角的正弦值為叵；

14

(ii)如圖，建立空間直角坐標系，

則4(0,0,0),尸(—1,0,75),用1,0,0H0,小,q,qJ,

麗=卜1,-2亞6),

設麗=X麗,;le(0,1),可得4-九26(1-/1),收)，

設平面M3E的法向量為成=(x,y,z),平面POC的法向量為五=(。,4c),

m-AB=0x=°

應.4E-0~Ax+(1-2+九z—0

答案第11頁，共14頁

令y=可得玩=（0,42（2-1））,

n-DP=Of—a-2回+&=0

一，即廠，

n-DC=O|a+j3，=0

令a=0>,可得為=（后,一>1）,

132-2|1

設平面ME與平面PDC的夾角為6,cos3='==-,

V5-V5A2-8/l+45

14

解得2=萬或W,

14

所以存在點￡,當。￡尸或。￡=《。尸時滿足題意.

【點睛】結論點睛：若直線/,加的方向向量分別為Z3,平面名△的法向量分別為￡3,則

（4\a-b

①兩異面直線/,加所成的角為cos6=k$;

（兀、\a-u\

②直線,與平面夕所成的角為夕。《。4彳，smJ=帛；

I2）\a\\u\

③二面角a-/-尸的大小為61（0464兀），|cose"麗?.

22

19.⑴」匕二1

124

（2）x-J/+2V2=0,或x+y+2后=0；

聲

3

【分析】（1）根據橢圓焦距公式。橢圓離心率公式，結合橢圓標準方程中的關系進行

求解即可；

（2）根據直線《的斜率是否為零，結合橢圓弦長公式分類討論進行求解即可

（3）根據一元二次方程根與系數關