第7節銳角三角函數

回歸教材?過基礎

【知識體系】

直角三角形邊角關系銳角三角函數特殊角的三角函數值

II_1?_I_I

正弦余弦正切解直角實際應用：測

三角形不可及物高度

【考點清單】

知識點1銳角三角函數的定義

定義:在RtAABC中,NC=9(T,/A,NB,/C的對邊分別為a,b,c.

(1)/A的正弦:sinA=絲器包=*

(2)ZA的余弦:cosA—A?產=?

⑶/A的正切?A=*|q________________________________________________________

技巧提示

銳角三角函數只能在直角三角形中使用,如果沒有直角三角形，常通過作垂線構造直角三角形.

知識點2特殊角的三角函數值

/a三角函數值三角函數0°30°45°60°90°

1V3

cinn

OlliVA.01

2T

1

reqa10

2

tana01V3不存在

知識點3解直角三角形

1.定義

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫作解直角三角形.(直角三角形

中，除直角外,一共有5個元素，即3條邊長和2個銳角)

2.直角三角形的邊角關系

在RtAABC中,NC=9(F,/A,/B,NC的對邊分別為a,b,c.

(1)已知三邊之間的關系:a?+b2=c2.

(2)已知銳角之間的關系:/A+/B=90。.

(3)邊角之間的關系:sinA=-,cosA=-,tanA=-,sinB=-,cosB=-,tanB=-.

ccbcca

3.解直角三角形的幾種類型及解法

已知條件解法

斜邊c和銳角AB=90°-A,a=csinA,b=ccosA

一條邊和一個銳角

直角邊和銳角B=90°-A,b=—,c=—

aAtanAsmA

兩條直角邊a和bc=-a2+b2,由tanA/求角A,B=90°-A

b

兩條邊

直角邊a和斜邊cb=Vc2_a2,由sinA=2求角A,B=90°-A

知識點4解直角三角形的常見實際應用

在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角

仰角、俯角

叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角

坡面的鉛直高度h和水平寬度1的比叫坡度（坡比），

坡度（坡比）、坡角

用字母i表示;坡面與水平線的夾角a叫坡角,i=tana3

一般指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為

起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角）,

方向角通常表達成“北（南）偏東（西）xx度”.如圖,A點位于0點

的北偏東30。方向,B點位于O點的南偏東60。方向，

C點位于O點的北偏西45。方向（或西北方向）

【基礎演練】

(原倉|J)已知△ABC,/B=3(T,AB=6.

圖1

⑴如圖l,/C=90。,則sinB=,AC=,BC=，點C到直線AB的距離

是.

(2)如圖2,/C=45。,則sinB=,AC=,BC=，點C到直線AB的距離

是.

(3)如圖3,/C=135。,則sinB=,AC=，:BC=，點C到直線AB的距離

是.

真題精粹?重變式

考向1銳角三角函數的計算

熱點訓練

l.sin30。=.

考向2解直角三角形

熱點訓練

2.如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A,B,C都在格點上，以AB為直徑的圓經過點C.D,

則cosZADC的值為)

A2713

A.-----B.甯c

13-t

考向3解直角三角形的應用e年1考

3.(2022?福建)如圖,衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,ZABC=27°,BC=44cm,

則高AD約為(參考數據:sin27°=0.45,cos27°=0.89,tan27°=0.51))

RDC

A.9.90cm

B.l1.22cm

C.19.58cm

D.22.44cm

4.（2024?福建）無動力帆船是借助風力前行的.如圖，這是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船

航行方向與風向所在直線的夾角/PDA為70。,帆與航行方向的夾角/PDQ為30。,風對帆的作用

力F為400N.根據物理知識,F可以分解為兩個力Fi與F2,其中與帆平行的力Fi不起作用,與帆垂

直的力F2又可以分解為兩個力fi與f2,fi與航行方向垂直，被舵的阻力抵消,f2與航行方向一致，是真

正推動帆船前行的動力.在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學型:F=AD=400N,

則f2=CD=N.（單位:N.參考數據:sin40*0.64,cos40%0.77）

5.如圖，小睿為測量公園一涼亭AB的高度，他先在水平地面點E處用高1.5m的測角儀DE測得

NADC=31。,然后沿EB方向向前走3m到達點G處，在點G處用高1.5m的測角儀FG測得

NAFC=42。.求涼亭AB的高度.（A,C,B三點共線,人8_18￡八（2_1?口與口=：6￡,：6?=口￡.結果精確到

0.1m)(參考數據:sin31°=0.52,cos31°~0.86,tan31°~0.60,sin42°=0.67,cos420~0.74,tan42°M.9O)

A

D

E

核心突破?拓思維

考點1解直角三角形

1如圖,AC,BD為四邊形ABCD的對角線,AC_LBC,AB_LAD,CA=CD.若tan/BAC除則

，解題指南根據tan/BAC喙得出/BAC的度數，則在RtAACB中，設BC=1,則AC=g.證明

ACAD為等邊三角形，過點D作DE_LCA,交CA于點E,設CA與BD交于點F,則DE〃BC,從而

NDBC=NFDE.設CF=x，則EF哼x,根據tan/DBC=tan/FDE列出關于x的方程，解得x的值，則

可求得tanZDBC的值.

變式

別以點A,B為圓心，大于：AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點C,畫射線0C.過點A作AD〃ON,交射

線0C于點D,過點D作DE_LOC,交ON于點E.設OA=1QDE=12,則sinZMON=.

三角函數在幾何圖中的用法

1.當所求三角函數（角或邊）在直角三角形中時,考慮直接代入銳角三角函數的定義求解.

2.當所求三角函數（角或邊）不在直角三角形中時，可根據等角的銳角三角函數值相等,進行等

量轉換或作輔助線構造直角三角形.

考點2解直角三角形的應用

￡卜2如圖，這是處于工作狀態的某型號手臂機器人示意圖,0A是垂直于工作臺的移動基

座,AB,BC為機械臂,OA=1m,AB=5m,BC=2m,/ABC=143。.機械臂端點C到工作臺的距離

CD=6m.

(1)求A,C兩點之間的距離.

(2)求OD的長度.

(結果精確至U0.1m,參考數據:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,V5=2.24)

核心方法

解直角三角形的實際應用問題的方法

要讀懂題意，分析背景語言,再理清題中各個量的具體意義及各個已知量和未知量之間的關

系,把實際問題轉化為直角三角形中的邊角關系問題，具體方法如下：

1.緊扣三角函數的定義，尋找邊角關系；

2.添加輔助線，構造直角三角形，作高是常用的輔助線添加方法（如圖所示）；

3.逐個分析相關直角三角形，構造方程求解，一般設最短的邊為x,先分別在不同的直角三角形

中用含x的代數式表示出未知邊，再根據兩個直角三角形邊的數量關系（和、差或相等）列方程求出

未知量.

在東海一次軍事演習中,某潛艇由西向東航行，如圖，到達A處時，測得某島上的敵方預警

雷達C位于它的北偏東70。方向,且與潛艇相距500海里，再航行一段時間后于當天晚上6:00到達

B處，測得島上的敵方預警雷達C位于它的北偏東37。方向.上級要求潛艇以每小時20節（海里）速

度繼續航行,到達島的正南方向的D處20分鐘后使用艦對岸導彈攻擊，摧毀假設敵方預警雷達C,

求發起攻擊的時間.（參考數據:Sin70%0.94,cos70%0.34,tan70%2.75,sin37%0.6,cos37%0.80,

tan37°=0.75)

變式［真情境］圖1是一輛吊車的實物圖，圖2是其工作示意圖,AC是可以伸縮的起重臂，其轉

動點A離地面BD的高度AH為3.4m.當起重臂AC長度為9m,張角ZHAC為118。時，求操作平

臺C離地面的

高度.（結果保留小數點后一位，參考數據:sin28°=0.47,cos28°~0.88,tan28°=0.53）

圖1圖2

變式?3綜合與實踐活動中,要利用測角儀測量塔的高度，如圖，塔AB前有一座高為DE的觀景臺,

已知CD=6m,/DCE=30。,點E,C,A在同一條水平直線上.某學習小組在觀景臺C處測得塔頂部B

的仰角為45。,在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為27°.

⑴求DE的長.

（2）設塔AB的高度為h（單位:m）.

①用含有h的式子表示線段EA的長（結果保留根號）；

②求塔AB的高度（tan27。取0.5,g取1.7,結果取整數）.

參考答案

回歸教材?過基礎

基礎演練

(1)|33V3誓(2)j3V23V3+3

(3)|3V23V3-3

真題精粹?重變式

l.|2.B3.B

4.128解析:如圖，

??ZPDA=70°,ZPDQ=30°,

ZADQ=ZPDA-ZPDQ=70°-30°=40°,Z1=ZPDQ=30°.

：AB〃QD,

.?.ZBAD=ZADQ=40°.

在RtAABD中,F=AD=400N,ZABD=90°,

.?.F2=BD=AD-sinZBAD=400-sin40°=：400x0.64=256(N).

由題意可知,BDLDQ,

.?.ZBDC+Z1=9O°,

.?.ZBDC=90°-Zl=60°.

在RtABCD中,BD=256N,ZBCD=90°,

1

f2=CD=BDcosZBDC=256xcos60°=256x128(N).

故答案為128.

5.解析:由題意得BC=FG=DE=1.5m,DF=GE=3m,ZACF=90°.

設CF=xm,

則CD=CF+DF=(x+3)m.

在RtAACF中,NAFC=42。，

AC=CFtan42°-0.9x(m).

在RtAACD中,NADO31。,

.AC0?9x?八(

..tan31=——=——=0.6,

CDx+3'

x=6.

經檢驗,x=6是原方程的根,

AB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(m),

涼亭AB的高度約為6.9m.

核心突破?拓思維

例1D解析:tanZBAC=y,

JZBAC=30°.

VACXBC,

???ZACB=90°.

設BOI,貝！!AC=V3.

VABXAD,

JNBAD=90。，

JZDAC=60°.

VCA=CD,

:?△CAD為等邊三角形.

過點D作DELCA,交CA于點E,設CA與BD交于點F,如圖所示.

則CE=iAC=—,DE=ADsin60。=瘁旦三.

2222

設CF=X，則EF=y-X.

VAC±BC,DE±CA,

：.DE//BC,

：.ZDBC=ZFDE,

tanZDBC=tanZFDE,

.CF_EF

,?BC：―DE，

V3

?X_~X

*'1~-'

2

解得X=9，

tanZDBC=-=—.

15

變式§

例2解析:⑴如圖，過點A作AELCB,垂足為E,

在RtAABE中,AB=5,NABE=37。.

VsinZABE=^|,cosZABE=^|,

*,?—~0.60,—~0.80,

555'

???AE=3,BE=4,

ACE=6.

在RtAACE中,由勾股定理得AC=V32+62=3V5~6.7m.

⑵如圖，過點A作AFLCD,垂足為F,

.,.FD=AO=1,

???CF=5.

在RtAACF中,由勾股定理得AF=A/45-25=2遙,

OD=2A/5m-4.5m.

變式1解析:在RtAACD中