江西省上饒市余干縣2025屆高三下學期第一次模擬考試數學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合可=卜卜2-6日-7<0},"=53>0},若^=",則實數0的取值范圍為（）

A.（-<?,14]B.（-oo,14）C.（-2,+oo）D.（-oo,-2]

A.—1—3iB.—1+3iC.1-3iD.l+3i

22

3.“別>1”是“橢圓C:二+」一=1的焦點在x軸上”的（）

m2-m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某統計數據共有13個樣本匕（力=1,2,3,…,13）,它們依次成公差"=1的等差數列，若這組

數據的60%分位數是26,則它們的平均數為（）

A.25B.23C.21D.19

5.在平行四邊形中，48=4,AD=2,ZA=60°,DM=3MC，則而.麗=（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

6.將編號為1,2,3,4的4個小球隨機放入編號為1,2,3,4的4個凹槽中，每個凹槽放一個小球,

則至少有1個凹槽與其放入的小球編號相同的概率是（）

17517

A.-B.—C.—D.—

424824

22

7.已知雙曲線C:1T-。=1（°>0）的左、右焦點分別為片,E，點尸在雙曲線右支上運動（不

與頂點重合），設咫與雙曲線的左支交于點。，AP空的內切圓與QR相切于點若

閭=2,則雙曲線。的離心率為（）

A.73B.2C.V5D.76

8.利用所學數學知識解決新問題是我們學習數學的一個重要目的，同學們利用我們所學數

試卷第1頁，共4頁

學知識，探究函數/（x）=x*,xe（O,+8）,下列說法正確的是（）

B.[（X）在[of]上單調遞增

A./（X）有且只有一個極大值點

1

C.存在實數“40,+⑹，使得D./（尤）有最小值，最小值為下

eee

二、多選題

9.已知直線/:辦+（。+1）了+2=0,圓。：/+必=9,則下列說法正確的是（）

A.存在實數〃，使圓。關于直線/對稱

B.直線/過定點（2,-2）

C.對任意實數。，直線/與圓。有兩個不同的公共點

D.當”=-;時，直線/被圓。所截弦長為2

10.已知函數/（x）=coso尤-sino尤（。＞0）,則下列說法正確的是（）

A.當0=3時，/⑺在0,：上單調遞減

B.若函數/⑺的圖象向左平移5個單位長度后得到函數g（x）=Vasins的圖象，則。

的最小值為5

C.若函數/（x）|的最小正周期為：，則0=8

D.當。=2時，若關于x的方程/（x）=l的兩個不相等實根為芯，x2,則上一工2上=1

numUULULILU__

11.在棱長為2的正方體中，點P滿足。尸=彳。。]+〃。4,As[0,1],

[0,1],則下列說法正確的是（）

A.當a=4時，BP1.ACX

B.當〃=g時，三棱錐G-P3。的體積為定值

C.當九+〃=1時，PC+PB的最小值為J12+2瓜

D.當4=〃=0時，若點〃■為四邊形431G2（含邊界）內一動點，且加P=2,則

點M的軌跡長度為必兀

2

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.若[x-：；展開式中的常數項為-160,則實數。=.

13.已知函數〃x)=e2i-+sin[則不等式/(/+2x-3)+/(2-x卜2的

解集為.

14.已知S”為數列｛4｝的前〃項和，％=2,+則｛%｝的通項公式為____；

n2

+1

令2=2~",則6也一4&+…+(-1)"bnb?+1=.

四、解答題

15.已知V/3C的內角4B,C的對邊分別為a,6,c,b=2

⑴求A；

(2)若6=3,8c邊上的高為主包，求V4BC的周長.

7

16.如圖，在正三棱柱/3C-4耳G中，N8=/4=8,N是44的中點，點尸，。分別是8C，

4N的中點，與平面CP。相交于點

(2)求二面角片-C"-P的正弦值.

17.已知函數/(x)=31--?R).

⑴若曲線了=/(x)在(1,/。))處的切線的斜率為求。的值;

(2)若x=0是/(尤)的極小值點，求。的取值范圍.

試卷第3頁，共4頁

18.已知點A是直線x=T上的動點，。為坐標原點，過點A作y軸的垂線/,過點。作直

線。/的垂線交直線/于點8,記點B的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程；

⑵過曲線C上一點尸化2)的直線乙,4分別交C于兩點(異于點P),設乙4的斜率分別

為匕他.

4

(I)若上芯=-§，求證：直線跖V過定點；

(II)若尢+后2=。，且的縱坐標均不大于0,求APAW的面積的最大值.

19.2024年7月26日至8月H日在法國巴黎舉行了夏季奧運會.為了普及奧運知識，M大

學舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽.

(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進入決賽.已知這6道題中小王能答對其中

4道題，求小王在已經答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率；

(2)M大學為鼓勵大學生踴躍參賽并取得佳績，決定對進入決賽的參賽大學生給予一定的獎

勵.獎勵規則如下：對于進入決賽的每名大學生允許連續抽獎3次，中獎1次獎勵120元，

中獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元，假定每次

中獎的概率均為且每次是否中獎相互獨立.

(I)記一名進入決賽的大學生恰好中獎1次的概率為/(P),求/'(P)的極大值；

(IDM大學數學系共有9名大學生進入了決賽，若這9名大學生獲得的總獎金的期望值不

小于1120元，試求此時P的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《江西省上饒市余干縣2025屆高三下學期第一次模擬考試數學試題》參考答案

題號12345678910

答案DABADCCDBCDAB

題號11

答案ABD

1.D

【分析】解不等式求得集合〃，N,由M=可得求解即可.

【詳解】由/-6x-7＜0,得(x-7)(x+l)＜0,解得一l＜x＜7,所以M=(-l,7),

N={x|2x＞a}=卜|x＞3,

由M=所以白-l,解得aW-2,所以實數。的取值范圍為(-*-2].

故選：D.

2.A

【分析】先根據虛數單位i的運算性質化簡分母，再對z進行化簡，最后根據共輾復數的定

義求出

【詳解】“，3；：+1=2=3i-1,其共輾復數彳=-1-3i.

1+1+11-1+1-1-1

故選：A.

3.B

【分析】根據橢圓的幾何性質可求解焦點在％軸時1(加＜2,即可根據必要充分條件的定義

求解.

22

【詳解】橢圓。：二+上一=1的焦點在工軸上，則加＞2-加＞0,解得1＜相＜2,

m2-m

22

故'加＞1”是“橢圓C:土+3^=1的焦點在X軸上”的必要不充分條件，

m2-m

故選：B

4.A

【分析】先根據百分位數的概念確定為的值，再根據等差數列的性質求其平均數.

【詳解】因為數列{%}為公差為1的等差數列，且13x0.6=7.8,

所以該組數據的60%分位數為x8,由/=占+7=26=＞國=19.

根據等差數列的性質，它們的平均數為上手=19+4+12=25.

22

答案第1頁，共16頁

故選：A

5.D

【分析】以｛甌而｝為基底,表示痂，兩，結合向量數量積的概念和運算律可求而?瓦7

的值.

【詳解】如圖:

以｛/優/。｝為基底，則存2=]6，而2=4，28.2D=4X2COS60°=4.

且AM=AD+DM=a4B+力。，BM=BC+CM=——AB+AD,

所以

(3—?——A(1—?——A3--21—?-231

AMBM=—AB+AD?——AB+AD=-----AB+—AB-AD+AD=-----xl6+—x4+4

(4八4)162162

=3.

故選：D

6.C

【分析】利用排列組合，先求出將編號為1,2,3,4的4個小球隨機放入編號為1,2,3,4的4個

凹槽中的放法數，再求出4個凹槽與其放入小球編號互不相同的放法數，再利用對立事件的

概率公式，即可求出結果.

【詳解】將編號為123,4的4個小球隨機放入編號為123,4的4個凹槽中，共有A：=24種

放法，

4個凹槽與其放入小球編號互不相同的有C；?C；=9種放法，

95

所以至少有1個凹槽與其放入小球編號相同的概率是尸=1-5=].

248

故選：C.

7.C

【分析】根據內切圓的性質與雙曲線的定義，列式化簡求解可得。=1,進而求得離心率.

【詳解】

答案第2頁，共16頁

=2a

設尸耳，尸石分別切內切圓于43,則由雙曲線的定義可得，即

。周一也可=2a

「四+闡|+以卜附一|陷|=2a

'\QM\+\MF2\-\QF,\=2a

根據內切圓的性質可得|，訓=|尸卻,\QA\=\QM\,\P^\=\PB\,

〕/0|+|。甲-|8￡|=2a

故八二八！c，兩式相加化簡可得21。〃1=4%即|。河|=2。=2,故4=1.

\^QM\+\MF2\^QF\=2a

故雙曲線的離心率為e=￡=、=VL

a'I14

故選：C

8.D

【分析】根據對數恒等式將函數/(x)=xX變形轉化為〃x)=eHn工，利用導函數研究

g(x)=xlnx的單調性，再由復合函數單調性得“X)單調性、極值與最值，再分別判斷選項

即可.

【詳解】由尤>0,貝I］/(無)=工工=9匠=eM*xe(O,+e),

令g(x)=xln尤，尤>0,貝ljg'(x)=l+lnx,令g'(x)=0,解得x=」，

e

當0<x<：時，g'(x)<0,g(x)在(0,J上單調遞減；

當時，g'(x)>0,g(x)在(：,+e］上單調遞增；

/(x)由函數y=e"與〃=g(x)復合而成，而y=e"在(-雙+8)上單調遞增；

故"X)在(0,；］上單調遞減，在g,+x］上單調遞增；

所以/(X)在X=工處取極小值/(-)=ee=F,且無極大值，

ee-

答案第3頁，共16頁

又/（x）1nHi=/（，]=￡>e-=：,故不存在實數ae（O,+8）,使得了（“）=：.

故ABC錯誤，D正確.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：應用對數恒等式轉化為復合函數/（x）=eHn，是解題關鍵.

9.BCD

【分析】根據直線是否過圓心判斷A的真假；把點代入方程判斷B的真假；根據B的結論

可判斷C的真假；利用幾何法求弦長可判斷D的真假.

【詳解】對A：因為圓。的圓心為（0,0）,因為ax0+（a+l）x0+2=2w0,所以不存在“,

使得直線/經過圓心，即不存在實數。，使圓。關于直線/對稱.故A錯誤；

對B：因為2a-2（a+l）+2=0恒成立，所以直線/過定點（2,-2）,故B正確；

2

對C：因為22+（-2『=8<9,所以點（2,-2）在圓。：%+/=9^^，又直線/過定點（2,-2）,

所以直線/與圓。必有兩個不同的公共點，故C正確；

對D：當a=時，直線/：_§x+[_]++2=0即x—y—4=0.

圓心O到直線/的距離為："=七=2后，所以弦長為：2曲彳=25亞=2,故D正

確.

故選：BCD

10.AB

【分析】根據輔助角公式化簡/（X）=后cos（ox+3（o>0）,即可根據余弦函數的單調性判

〃，冗jr37r

斷A,根據平移的性質，可得,+r=求出。即可判斷B,根據周期公式即

442

JT

可求判斷C,由題可求得方程的根石=-1+左兀/2=七兀，左WZ計算可判斷D.

兀

【詳解】由/(x)=cosGx—sin@x(0>0)可得/(x)二后cosCOXH-----0>0),

4

對于A,當①=3時，/(x)=V2cosl3%+^-當0,—時，3%+—G—,7TC[0,7ll,

444-LJ

故f（x）在0,；上單調遞減，A正確；

對于B,將函數y（x）的圖象向左平移5得（x+：|=0cos15+竽+：3>0）,

答案第4頁，共16頁

rr.IT（con兀）一r,口口兀兀3兀…，”

則V2sincox=?\/2coscoxH---1—,可*4W---1—=F2kn,kE.Z,

I44j442

解得0=5+8左4eZ,故。的最小值為5,B正確；

對于C,|/（X）|的最小正周期為；X腎，故;X*=：,解得①二4,故C錯誤；

對于D,當①=2時，/（x）=V^cos[2x+：）,由后cos[2x+：）=l可得cos（2x+：]二三,

.,_7171__7171_77r-y

ftx2/+—=——+274]兀,2/+——~+2742兀，左1,左2￡/，

則&=-彳+左71戶2=勾匹左,&eZ,故卜-引=，及eZ,因止匕卜-司面。=：，故D錯

誤.

故選：AB

11.ABD

【分析】當4=〃時，點尸的軌跡為線段證明平面4夕。即可判斷選項A正確；

當〃=；時，點P的軌跡為線段E尸，由斯//平面25℃，得出三棱錐G-Pqc的體積為

定值，所以選項B正確；

當X+〃=l時，點尸的軌跡為線段/口，將三角形C/2旋轉至平面D/8G內，由余弦定理

可得選項C錯誤；

當力=；,〃=0時，點P為。2的中點，由用=2,可得點”的軌跡為以。為圓心，厲為

半徑的;圓，所以選項D正確.

【詳解】對于A,如圖所示，當4="時，點尸的軌跡為線段，連接/C、3D,可得/C」3D,

C,C1BD,

所以8。1平面/CG，所以同理可證得/C|_L4B,所以平面48。，所

以NG^BP，所以選項A正確；

答案第5頁，共16頁

對于B,如圖所示，取49的中點￡、F,當〃=：時，

點尸的軌跡為線段跖，“口心=%菖即=36久即/，5C,S1C=1^C1-CC1=1X2X2=2,

因為跖//平面80GC,所以尸到平面BgC的距離h=2G，

所以三棱錐G-Pqc的體積為定值，所以選項B正確;

可知尸C+P323C,

由余弦定理可得

BC=yjAC2+AB2-2AC-ABcosABAC=^（272）2+22-2x2A/2x2x一9=yJl2+4s/6,

所以選項C錯誤；

答案第6頁，共16頁

對于D,如圖所示，當2=；,〃=。時，點尸為的中點，PR=1,MP=2,

所以0M=石，即點”的軌跡為以口為圓心，百為半徑的;圓，所以點M的軌跡長度為

所以選項D正確.

【點睛】本題考查空間幾何體的線面關系、體積、軌跡等知識，考查空間想象能力與運算求

解能力，考查直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養.

12.1

【分析】求得二項展開式的通項，結合通項求得『的值，代入列出方程即可求解.

【詳解】由二項式(2龍-(I展開式的通項為=C[(2x)j(-(丫=(-426一()63,

令6-2廠=0,可得r=3,

代入通項公式可得4=(-。)323《=-160/=一160,解得a=l.

故答案為：1.

13.[-2,1]

【分析】先證明函數的對稱中心，即/(x)+/(l-x)=2,化簡不等式得到

/(X2+2X-3)</(X-1),然后由導函數得到函數單調性，然后由單調性得到不等式，就不

等式即可.

【詳解】/(l-x)=e1-^-e2-1-sin(不一j+1,

則〃x)+〃lr)=2,即〃1一力=2-/(x),

.-.2-/(2-x)=/(x-l),

答案第7頁，共16頁

V/(X2+2X-3)+/(2-X)<2,

/./(X2+2X-3)<2-/(2-X)=/(X-1),

：尸(x)=2尸+2e~+工cos區-映2也門+2產_芻o,

v'2U4)22

即函數/(無)在R上單調遞增，

x2+2x-3<x-1,即/+x-240,(x+2)(x-l)V0,

即-2<x<1.

故答案為：卜2,1].

【分析】根據S”,巴的關系即可求解｛%｝為等差數列，即可求解空1,根據等比數列的求和

公式即可求解.

【詳解】由，=%+?可得

當“22時，S,T,

,,(\-n\n/、(2—力(〃一1)

故4=nan+------------(附T%-----------，

化簡可得("22),

故｛%｝為等差數列，且公差為1,故。"=2+(〃-1)=〃+1,

3

故｛(-1廣'她，+1｝為等比數列且公比為首項為

答案第8頁，共16頁

71

15.(D-

(2)5+>/7

【分析】(1)根據正弦定理結合二倍角公式求角A.

(2)根據6sinC=坦，可求sinC,根據正弦定理三二三可得的數量關系，再

7sinAsinC

結合余弦定理Q2=〃+C2—2ACOSZ,可求〃，。的值，進而可求V/BC的周長.

=b=bcos--A+1-asinB,

【詳解】⑴由6=2(6J

所以bcos[W_4j=〃sin5.

由正弦定理可得：sinBcos(E—4]=sin4sinB,因為sinBwO,所以cos(E—4]=sinZ.

所以tan/=g,又/e(O,兀)，所以/=1.

(2)因為b=3,8c邊上的高為之⑵

7

所以2貫=苧—心理.

根據正弦定理：士

sm/

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAna2=9+c2-3c，

7

所以^。2=9+/-3。=，=2或。=一6(舍去)，所以°=行.

所以V/2C的周長為：°+6+c=5+3+2=5+".

16.(1)!

⑵?

44

【分析】(1)建立空間直角坐標系，求平面CP。的法向量。利用a7,［可確定M點的

答案第9頁，共16頁

位置，確定三m的值.

MB

(2)利用空間向量求二面角的余弦，再根據同角三角函數的基本關系求二面角的正弦.

【詳解】(1)取8c中點。，連接。4,OP,因為三棱柱/8C-4耳G為正三棱柱，所以。4,

OB,O尸兩兩垂直.

故可以。為原點，建立如圖空間直角坐標系.

因為三棱柱ABC-4耳。為正三棱柱，且=/4=8,

所以C（一4,0,0）,P（0,8,0）,修（4,8,0）,N（0,4,46）,N（0,0,46）,5（4,0,0）

因為。為用N的中點，所以0（2,6,2■

所以岳=（4,8,0）,西=（6,6,2石）.

設平面CP。的法向量為五=（西,必,向），

[cPln[（x1,y1,z1）.（4,8,0）=014%+8%=0

貝U_=><Z廠、=>vL，

[CQVn（西,M,4>（6,6,23）=016芭+6%+273^=0

取為=（2,_1-6）,

設M（Xo,O,Zo）,AM=AAB,即卜。，。丹-46）=2（4,0,-4/），

所以“（440,4同1一2））,屈=（4（2+1）,0,460-孫.

因為點M在平面。尸0內，所以a7,.=>（4（2+1）,0,46（1-2）>（2,-1,-6）=0,

所以8（2+1）-12（1-2）=0=

maAM1

所以---

MB4

（4___?（2416、?

（2）由（1）得：M不0,差，所以彳，°，十，又。⑸=（8,8,0）.

155JI55J

答案第10頁，共16頁

設平面耳CM的法向量為玩=優,%,Z2),

(74)作。，警>。=/+2屬=0,取應二卜2,2,可

mlCM

則—.n<

所1cBi(x2,y2,z2)-(8,8,0)=0民+%=0

八\m-n\1-4-2-319亞

設二面角B.-CM-P的平面角為。，則由圖cos6=方貸=?L

\m\-\n\Vllx^/844

所以sin0=31i

44

⑴-！

⑵si

【分析】(1)先對函數進行求導，根據導數值可求得結果;

(2)求導函數，根據極小值點得到原函數為先增后減，導函數值為零，則導函數再次求導

函數大于零，據此可求得取值.

QX+Q-X(f、

【詳解】(1)已知〃X)=F--。1+*QeR)，

根據求導公式(e)=4,(b)'=_尸,(x")'=wx"T，

可得/，⑴=-----ax,

因為曲線y=/(x)在(1J。))處的切線的斜率為］,

_-11

所以"1)=1--a=?解得。=七;

(2)由(1)可得----ax,令g(x)=f(x)=-----ax

則/(加汨-，

若x=0是/(x)的極小值點，則r(o)=dJ-axO=O,

則/'(X)在x=0左側附近小于0,在x=0右側附近大于0,

這意味著/'3在x=0處的導數g'(x)>0,

0-0

把'=0代入g'(x)得g，(x)=——----a=l-a>0,解得。<1；

當a<1時，

答案第11頁，共16頁

因為e'+eT22Ve^e1=2，當且僅當爐=片3即x=0時，等號成立，

所以g，(x)=W二一“>0恒成立，則/'(X)在R上單調遞增，

當x<o時，r(x)<r(o)=o,y(x)單調遞減;

當尤>0時，r(x)>/,(0)=0-y(x)單調遞增，所以x=o是“尤)的極小值點；

當a=l時，此時g'⑼=0,令力(x)=g1x)=±1,

則/卜)=三匚，此時〃(0)=0,

因為〃(%)=-----1>-----1=0，

當且僅當e'e,即x=0時，等號成立，所以g'(x"o恒成立，

則/'(X)在R上單調遞增，

當x<o時，r(x)<r(o)=o,〃x)單調遞減;當x>o時，r(x)>r(o)=o；

所以x=0是f(x)的極小值點；

當Q>1時，

令g'(x)=0,即h等一0=0,設e'=(>0),

!

貝/十?一小整理得〃一2m+1=0,

2

由一元二次方程求根公式t=2。±"/-4=°土,

2

因為。>1，所以v+J/-l>l，0<a-V?2-l<l>

存在％70(%=In。，使得在遍附近，當x在七到o之間或0到%之間時，g<x)<0,f'(x)

單調遞減，

此時/'(x)在x=0兩側不滿足左負右正，則x=0不是/⑺的極小值點；

綜上。的取值范圍是(-叫1].

18.(1)/=4尤

(2)(I)證明見解析，(II)6

【分析】(1)根據向量垂直的坐標運算即可求解，

答案第12頁，共16頁

（2）聯立直線與拋物線方程可得韋達定理，進而根據斜率公式，化簡即可求解（I）,根據

斜率關系可得加=-1,進而根據弦長公式以及點到直線的距離得面積的表達式，即可根據導

數，求解函數的單調性，即可求解.

【詳解】⑴設5(x,y),則/(一4/),

根據04_L02可得。/=(-4,y)(x,y)=-4x+y、0,故j?=4x,

聯立x=+"與j?=4x可得r_4,盯_4"=0,

JI+%=4機

則，M%=-4〃，

A=16m2+16〃>0

22

故項+%=加（必+%）+勿=斬2+3?丙々二""=n2'

16

將尸億2）代入拋物線方程中可得?（1,2）,

rn蘭…__4川~左=%—2%—2二%8一2（/+%）+4——4〃—8加+4.4

12-3’、12再一]%_]匹馬_（再+%）+]/_卜加2+2〃）+13，

化簡可得—4m2-5n-6m+4=0,

故（〃一2〃7—4）（"+2加-1）=0,故"+2加-1=0或"一2%-4=0,

當〃+2加-1=0時，直線的方程為x=%y+l-2加，故x-l=〃z（y-2）,此時直線經過點

（1,2）,不符合題意，故舍去，

當〃一24—4=0時，直線AGV的方程為x=my+2加+4,故工一4=機（了+2）,此時直線經過

點（4,-2）,故直線過定點（4,-2）；

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%%=-4月20

(II)由于W,N的縱坐標均不大于0,則

A=16加2+16〃>0

由左+3o,則+鋁二也乎用

一/一1x2-1XxX2-+x2J+1

故(必一2)卜2-1)+(%-2)(占-1)=0,

則5-2)(叩2+〃-1)+3-2)(町+M-l)=0,

故2加》為+(〃-1)(必+%)-4(〃-1)-2加?+%)=0,

貝(j-8mH+(w-l)(4m)-4(H-l)-2m(4m)=0,

可得一〃(加+1)=2m2+m-l,故(加+1)(2冽+〃-1)=0,

由(I)知〃+2加一1，0,故加=一1,

yy=-4n>0

12故一1<〃W0,

A=16+16〃>0

故=J1+/+弘)2—4j]