微專題22計數原理與概率統計壓軸小題

【典型例題】

例1.（2024?高三?貴州?階段練習）已知P（A）=0.6,P（AB）=0.3,P（B|A）=0.5,下列選項正確的是

（）

A.P（B）=0.4B.P（A|B）=0.6C.P（A|B）=0.5D.P（AB）P（A）P（B）

【答案】B

【解析】因為尸（B|A）=0.5,即市廣=2

又尸（A）=0.6,尸（AS）=0.3,

所以尸（3）=05,故A錯誤；

/,.P（AB）0.3,

又尸（A|3）=-p（B）=癡-0.6,故B正確；

尸（AB）=尸（A）P（3）,故D錯誤；

0.5-0.3

中回需二號產=0.4,故C錯誤.

0.5

故選：B

例2.（2024?浙江?模擬預測）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙,

一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有（）

A.2025種B.4050種C.8100種D.16200種

【答案】B

【解析】先考慮兩對混雙的組合有2C；?屋種不同的方法，

余下4名男選手和4名女選手各有3種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合,

故共有2CrC；x3x3=4050.

故選：B

例3.（2024?四川成都?二模）現有四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊

的兩塊著不同顏色的概率為（）

一一

A144「64「9n3

A.B.C.—D.—

6251256464

【答案】c

【解析】根據題意，用四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，每個部分都有4種涂色方法，

則有4x4x4x4x4=1024種涂色方法；

若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，有兩種情況：①只用三種顏色涂這5個區域，則有

C：x2xA；=48種涂色方法；②用四種顏色涂這5個區域，則有4xA：=96種涂色方法，所以若其中任意有

公共邊的兩塊著不同顏色，共有144種涂色方法，故四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，

其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為需144=《9.

102464

故選：C

例4.（2024?山東荷澤?一模）若數列｛4｝的通項公式為凡=（-1廠/,記在數列｛《,｝的前〃+2（〃wN*）項中

任取兩數都是正數的概率為匕，則（）

2

A.耳=]B.8</C.兒<41D.Pn<Pi2

【答案】C

【解析】〃為奇數時，前〃+2項中有片個奇數項，即有片個正數，

22

Q2n+3n+1

P=等(力+),《=_,

F3("+1)"+3故A錯誤;

nC：+2++4(〃+2)(〃+1)4(〃+2)3

幾+2幾+2

"為偶數時,前〃+2項中有亍個奇數項,即有〒個正數,

?n+2\n

12J2_(〃+2)〃n

J+2(n+2)(n+l)4(n+2)(n+l)4(n+l)

―二九=若吟’故B錯誤；

147

昂=7一直=宏>/，故C正確；

4x1326

Pn=-1T2^=^3<Pn^故D錯誤.

4x1313

故選：C.

例5.（2024?廣東湛江?一模）在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確選項，A和D是

錯誤選項，甲、乙兩名同學都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機選取兩個選項.設事件M=

“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同"，事件N="甲、乙兩人所選選項完全不同"，事件X="甲、乙兩人所

選選項完全相同"，事件丫="甲、乙兩人均未選擇B選項"，貝|（）

A.事件M與事件N相互獨立B.事件X與事件y相互獨立

c.事件M與事件y相互獨立D.事件N與事件y相互獨立

【答案】C

【解析】依題意甲、乙兩人所選選項有如下情形：

①有一個選項相同，②兩個選項相同，③兩個選項不相同，

C2c2

所以尸(加)=臂*=|1C；ccj

「3)=生P(X)=p(y)=

'-/46C'c廠6'C〉c；4

因為事件加與事件N互斥，所以P(MN)=O,又尸(M)-P(N)=",

所以事件M與事件N不相互獨立，故A錯誤；

C211

網")='=不*尸(X)尸")=五，故B錯誤；

由尸(My)=m§=±=p(M)p(y),則事件M與事件y相互獨立，故c正確；

c4C46

因為事件N與事件y互斥，所以「(NK)=o,又p(y>p(N)=],

所以事件N與事件y不相互獨立，故D錯誤.

故選：C.

例6.(2024?高三?河南?專題練習)信息端是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為

1,2,L,”，且尸(X=i)=p,>0(i=l,2,,〃)，定義X的信息嫡"(xh-tpJogzR，則下列判

z=li=l

斷中正確的是()

①若￡=1(i=L2,,〃)，則H(x)=log2〃

n

②若H(x)=0,則〃=1；

③若“=2,則當0】=g時，取得最大值

④若〃=2相，隨機變量y所有可能的取值為1,2,L,m,且尸(丫=/)=?/+3+"，=1，2,,加)，則

H(X)>H(Y)

A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【解析】①若￡=々；1,2,,〃)，則Ha)=-￡LogJ=_"，logJ=log”，故①正確;

ni=\nnnn

②假設〃22,因為P(X=i)=p>0(i=l,2,■,〃)，￡p,=l,所以。<p,<l,

i=l

所以pjog2A<0(i=l,2,,n),所以7/(x)=-EpJog2p,>0,

Z=1

這與〃(x)=0矛盾，所以假設不成立，

而當”=1時，易得H(元)=0,所以〃=1,故②正確；

③若n=2,則Pi+P2=1,

H(x)=~(ptlog2Pi+p2log2J??)=-[pjog?A+(l-p1)-log2(l-p1)],

/(P)=Hplog2p+(1^p)log2(1-p)],0<p<l,

「1-11〃

貝I」/'(〃)=-bg2P+，?——-10g(l-/7)+(l-/7)----——=-10g-----,

pin22(1-/?)ln2J21-p

令尸(p)<0,得d->l,解得!<P<1,此時函數/(。)單調遞減，

令f<p)>0,0<七<1，解得0<P<g，此時函數/5)單調遞增，

所以當。二3時/(°)最大，所以當"二3時，"(X)取得最大值，故③正確；

PY

④由題意知，P(Y=l)=Pi+p2m,P(Y=2)=p2+p2m_x,P(Y=3)=p3+p2m_2,(=m)=P,n+P,?+l

H(Y)=-[(A+p2,?)log2(A+p2J++(p?,+P,?+1)log2(pm+pm+1)],

+

又H(X)=-(01Og2R+P21Og2P2+Pj°S2Pm++P2,“kg2P2”,)，

H(丫)-H(X)=pJog?——+p2log2—%—++p2mlog2%”,

A+Pin,Pi+Pim-xPim+A

又一--<1,--—<1,L,P2m<1,

P1+P2優必+必,”-1P1+P2,”

/.W(y)-H(X)<0,H(X)>H(Y),故④正確.

綜上，正確說法的序號為①②③④，

故選：D.

例7.(多選題)(2024?山東濟南.一模)下列等式中正確的是()

88

A.之晨=2'B.

k=lk=2

。J,18°

C段?iiD-Z(C『C；6

z=o

【答案】BCD

【解析】對于A,因為(1+域=C；+C；x+C；尤2++c；f,

8

令X=l,得28=1+C；+C；++d=l+Ecf,則ZC=28-1,故A錯誤；

k=lk=l

對于B,因為C：+C：=C",

8

所以X或=c；+C+c；++C；=C；+C；+C；++C；

k=2

=c；+c+…+c]==C；+C；=C；,故B正確;

對于C因為'____1=.!-(1)!=(1)(1)!=1

對十，因為k\婦優-1)!總優-1)!k\

匕匚1“小左—1e111111

所以二IT_￡[(/_])!_石_|一1一司+%一或++/《=1$,故C正確.

對于D,(1+%)16=(1+%)8(1+%)8,

對于(1+可\其含有犬的項的系數為C3

對于(1+域(1+域，要得到含有f的項的系數,

須從第一個式子取出左(。4々48歡eN)個x,再從第二個式子取出8-k個x,

88?

它們對應的系數為Xcyd=￡?),

k=0k=0

82

所以Z(cf)=C：6,故D正確.

氏=0

故選：BCD.

例8.(2024?高三?江蘇泰州?階段練習)將“用一條線段聯結兩個點”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為

“邊”.若單位圓上，個顏色各不相同的點經過人次操作后，從任意一點出發，沿著邊可以到達其他任意

點，就稱這〃個點和左條邊所構成的圖形滿足“條件T”，并將所有滿足“條件T”的圖形個數記為T(〃,Q,

則T(5,4)=.

【答案】125

【解析】7(5,4),即〃=5,%=4.如圖，在單位圓上有5個顏色不同的點，由4條邊連接起來，每條邊有

2個端點，所以4條邊一共有8個端點，又由于從任意一點出發，沿著可邊可以達到任意一點，所以每一

點必定會作邊，至少一條邊的端點.所以可能出現的情形有三種情形，按照5個點可能同時做邊幾條邊的公

共端點來分情況討論.

0-???o

情形1：有3個點是2條邊的端點，另2個點是1條邊的端點，有g=60種;

2

情形2：有1個點是3條邊的端點，有1個點是2條邊的端點，另3個點是1條邊的端點,

有孝=60種;

情+形3：有1個點是4條邊的端點，另4個點是1條邊的端點，共有C；A；=30種;

綜上：7（5,4）=60+60+30=150.

故答案為：125

例9.（2024?遼寧葫蘆島.一模）某機器有四種核心部件A,B,C,D,四個部件至少有三個正常工作時，

機器才能正常運行，四個核心部件能夠正常工作的概率滿足為P（A）=尸①），尸（C）=P（0,且各部件是

否正常工作相互獨立，已知P（A）+P（C）=],設X為在〃次實驗中成功運行的次數，若E（X）=16,則至

少需要進行的試驗次數為.

【答案】27

【解析】^P（A）=P（B）=aeQ,l^貝P（C）=P（￡＞）=g-a,

設一次實驗中成功運行的概率為P,

則p=P（A）-P（B）-P（C）-P（D）+[l-P（A）]P（B）-P（C）-P（Z））+

[1-P（B）]P（A）-P（C）-P（D）++[1-P（C）]P（A）-P（B）-P（D）+

口一尸（￡＞）]尸（A）.尸（2）.尸（C）=/[g_a]+2.（1一+

c2r4K4、27/-72/+72/一32a

2cl—ci1-----Fa-----------------------------------,

13人3J9

f(a)=27a4-72a3+72a2-32a,aeQ,lj,

貝I]/,(a)=108a3-216a2+144a-32=4(3a-2)3,

當卜寸，r（a）＜0,當時，f'（a）＞0,

則仆）在[，"上單調遞減，在（|』J上單調遞增，

故"小27伯4.72x（|[+72x]|j-32x1|]一日，

16

故。＜一二16,

927

〃-3＞絲-27

由X服從二項分布，故有E（X）=〃0=16,則"p-16.

27

故答案為：27.

例10.（2024?全國?模擬預測）神舟十五號飛行任務是中國載人航天工程2022年的第六次飛行任務，也是

中國空間站建造階段最后一次飛行任務，航天員乘組將在軌工作生活6個月.某校為了培養學生們的航天精

神，特意舉辦了關于航天知識的知識競賽，競賽一共包含兩輪.高三（9）班派出了a和"兩位同學代表班級

4

參加比賽，每輪競賽〃和y兩位同學各答1題.已知〃同學每輪答對的概率是彳，"同學每輪答對的概率是

彳，每輪競賽中〃和V兩位同學答對與否互不影響，每輪結果亦互不影響,則〃和v兩位同學至少答對3道

4

題的概率為（）.

A39n129129「39

A.-----B.-----C.-----D.-

2002005050

【答案】D

【解析】若M和V兩位同學答對4道題，則其概率為

若〃和v兩位同學答對3道題，貝IJ其概率為2x，xdx13Y+2x」x3x[4丫21

55⑷44⑸~50；

故〃和v兩位同學至少答對3道題的概率為^9+布21=不39.

乙。JU

故選：D.

例11.（2024?廣東?一模）已知隨機變量X的分布列如下：

X12

pab

47

則E（X）=§是。（X）=g的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由題意可知。+6=1,

44?1

若E（X）=z，貝！］。+2/?=彳，^a=-,b=-,

v73333

O(X)=(g-l)xg+(g-2]xg=g,故充分性滿足；

o21?

若o(x)=貝1](°+26-1)-94+(4+26-2)-96=462+69一1)-9=-62+匕=—,解得6=§或匕=§.

12214

當辦=§時，〃=§，此時石^X)=1乂耳+2xg=耳，

71175

當/?=§時，tz,此時￡(X)=lx§+2x§=§,

則E(X)=g或磯X)=g,故必要性不滿足.

故選：A.

例12.（2024.江蘇宿遷.一模）人工智能領域讓貝葉斯公式：尸（A⑻=”黑勺站在了世界中心位

置，AI換臉是一項深度偽造技術，某視頻網站利用該技術摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為

0.001.某團隊決定用AI對抗AI,研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假.該鑒偽技術的準確率是0.98,

即在該視頻是偽造的情況下，它有98%的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.04,即在該視頻是真實的情況

下，它有4%的可能鑒定為“AI”.已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（）

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

【答案】C

【解析】記“視頻是AI合成”為事件A,記“鑒定結果為AI”為事件B,

則尸(A)=0.001,P(A)=0.999,P(B|A)=0.98,P(B|A)=0.04,

P(A)P(B|A)0.001x0.98ccc,

由貝葉斯公式得:尸（刎==---------------------------------=0.024

P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.001x0.98+0.999x0.04

故選：C.

【過關測試】

1.（2024?海南省直轄縣級單位.一模）英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理

論，隨機事件A,B存在如下關系：P（A忸尸尸丹^4!若某地區一種疾病的患病率是0.05,現有一種

試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%,即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有

95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%,即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的

可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（）

.495c99521

A.------B.------c.WD.

100010001122

【答案】C

【解析】依題意，設用該試劑檢測呈現陽性為事件8,被檢測者患病為事件A,未患病為事件彳,

則P（B|A）=0.95,尸（A）=0.05,P（B|A）=0.005,P（A）=0.95,

故尸（3）=0.95x0.05+0.005x0.95=0.05225,

則所求概率為P（A|B）==尸（靠網0.95x0.0510

005225一五

故選：C.

2.（2024.河南.一模）甲、乙兩人進行一場友誼比賽，賽前每人記入3分.一局比賽后，若決出勝負，則勝

的一方得1分，負的一方得-1分；若平局，則雙方各得0分.若干局比賽后，當一方累計得分為6時比賽

結束且該方最終獲勝.令耳表示在甲的累計得分為i時，最終甲獲勝的概率，若在一局中甲獲勝的概率為

0.5,乙獲勝的概率為0.3,則片=（）

【答案】C

【解析】由題意可知：i的取值集合為｛0,1,2,3,4,5,6｝,且4=0線=1,

在甲累計得分為1時，下局甲勝且最終甲獲勝的概率為0.5心，

在甲累計得分為1時，下局平局且最終甲獲勝的概率為0.24，

在甲累計得分為1時，下局甲敗且最終甲獲勝的概率為。34，

根據全概率公式可得耳=06g+0.2耳+0.3兄，

QQO

整理得變形得6-4=弓（6-綜），

p-P3

因為《一此》。，則于3二三，

問理可行p3_p2p4_p3p5_p45'

所以｛九一用。=0,1,2,,5）是公比為1的等比數歹!J,

所以匕|一々=（|］（4一片）（i=0』，2,,5），

各項求和得￡（%「￡）=￡佶］記-耳）

Z=1Z=1

3_m6邛］$$

則”一片=（片一即，解得片=箸1

1----1----

55

故選：C.

3.（2024?云南?一模）一個信息設備裝有一排六只發光電子元件，每個電子元件被點亮時可發出紅色光、藍

色光、綠色光中的一種光.若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，根據

這三個被點亮的電子元件的不同位置以及發出的不同顏色的光來表示不同的信息，則這排電子元件能表示

的信息種數共有（）

A.60種B.68種C.82種D.108種

【答案】D

【解析】每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，

所以需把3個亮的發光原件插入未點亮的元件中，有C：=4種方法，

且不同顏色數有3x3x3=27種，

所以這排電子元件能表示的信息種數共有4x27=108種.

故選：D

4.（2024?高三?福建福州?期中）江先生每天9點上班，上班通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行，私家

車路程近一些，但路上經常擁堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態分布N（38,72）,從停車場步行到單位

要6分鐘；江先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需間（單位：分

鐘）服從正態分布N（44,2°）,下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘，從統計的角度出發，下列說法中合

理的有()

參考數據：若尸(Z)~NS，/),則P(〃一cr<Z<〃+cr)=0.6826,P(〃-2cr<Z<〃+2cr)=0.9544,

P(//-3cr<Z<〃+3cr)=0.9974

A.若8:00出門,則開私家車不會遲到

B.若8:02出門,則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大

C.若8:06出門,則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大

D.若8:12出門,則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到

【答案】D

1-P(17<Z<59)1-0.9974

【解析】對于A,當滿足P（ZN59）==0.0013時,

22

江先生仍舊有可能遲到，只不過發生的概率較小，故A錯誤;

對于B,若8:02出門,

①江先生開私家車，

當滿足尸（Z<52）=1-P（24；Z<52）+<z<52）=0.9772時,

此時江先生開私家車不會遲到；

②江先生乘坐地鐵，

當滿足P（Z<48）=1-<Z<48）+p（40<Z<48）=0.9772時，

2

此時江先生乘坐地鐵不會遲到；

此時兩種上班方式，江先生不遲到的概率相當，故B錯誤；

對于C,若8:06出門，

①江先生開私家車，

當滿足尸（Z<48）>P（Z<45）=1-\（3；<45）+尸。1<Z<45）=0.8413時，

此時江先生開私家車不會遲到；

②江先生乘坐地鐵，

當滿足P（ZW44）='="5時，此時江先生乘坐地鐵不會遲到；

2

此時兩種上班方式，顯然江先生開私家車不遲到的可能性更大，故C錯誤；

對于D,若8:12出門，

江先生乘坐地鐵上班，

當滿足P（Z<38）=1一尸（38<Z<50）=0.00/3時，江先生乘坐地鐵不會遲到，

2

此時不遲到的可能性極小，故江先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到，故D正確.

故選：D.

5.（多選題）（2024.甘肅.一模）圍棋是古代中國人發明的最復雜的智力博弈游戲之一.東漢的許慎在《說文

解字）中說：“弈，圍棋也”，因此，“對弈”在當時特指下圍棋，現甲與乙對弈三盤，每盤贏棋的概率是

P1，其中甲只贏一盤的概率低于甲只贏兩盤的概率.甲也與丙對弈三盤，每盤贏棋的概率是。2,而甲只贏

一盤的概率高于甲只贏兩盤的概率.若各盤棋的輸贏相互獨立，甲與乙、丙的三盤對弈均為只贏兩盤的概率

分別是尸（A）和尸（2）,則以下結論正確的是（）

A.0<P2<；<Pi<l

B.當Pi+pT時，P（A）>P（B）

C.池?0,1）,使得對雙e（O,l）,都有P（A）>尸（3）

4

D.當尸（A）=尸（3）時,P；+RPZ+P；>]

【答案】ABC

【解析】對于A,根據題意，甲與乙對弈只贏一盤的概率為只贏兩盤的概率為pj,

911

則—解得Pl>3，故]<R<1，

甲與丙對弈只贏一盤的概率為C；A（1-P2）2,只贏兩盤的概率為C；P；（1-P2），

?11

則C；P2（1—P2）>C；p：（1—2）,解得P2<2，故。<P2<5，

故0<0<；<網<1,則A正確；

對于B,由P1+P2=1得月=1-%,

則尸（4）=C；（l-P2）2p2=C；P；0-P2）?匕&,即尸（A）=P（8）

又0<必<:，所以工-1>1,所以P（A）>尸（3）,故B正確；

222

對于C,明?。,1）,使得對的2e（0,1）,結合B分析,只滿足Pi+P2=l,都有P（A）>尸（3）,故C正

確；

對于D,令尸（A）=尸（3）,則C；p；（l-R）=C；/（1-㈤,化簡為P：-P；=P；-P；,

++

故（口+。2）（月一。2）=（月一上）（。；+。也+團，即Pl+P2=PlPlP2Pi-

11313

又因為0<P2<5<Pi<1,則不<Pi+P2<5，即5<P；+P1P2+P；<5，故D錯誤，

故選：ABC.

6.（多選題）（2024?云南貴州?二模）袋子中有2個黑球，1個白球，現從袋子中有放回地隨機取球4次，

每次取一個球，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分數為X,則（）

A.X?4,胃B.尸（X=2）*

QO

C.X的期望E（x）=々D.X的方差D（x）=]

【答案】ABCD

【解析】從袋子中有放回的取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到的黑球概率相等，

又每次取一個球，取到白球記0分，黑球記1分，故4次取球的總分數相當于抽到黑球的總個數，

又每次摸到黑球的概率為1,因為是有放回地取4次球，所以故A正確；

尸（X=2）=C；?m*,故B正確;

9Q

根據二項分布期望公式得E（X）=4x1=|,故C正確；

O1Q

根據二項分布方差公式得O（X）=4x：x：=],故D正確.

故選：ABCD

7.（多選題）（2024?浙江?模擬預測）高考數學試題的第二部分為多選題，共三個題每個題有4個選項，其

中有2個或3個是正確選項，全部選對者得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.小明對其中的一

道題完全不會，該題有兩個選項正確的概率是g，記X為小明隨機選擇1個選項的得分，記Y為小明隨機

選擇2個選項的得分.則

A.P（X=O）＞P（y=O）B.P（X=2）＞P（y=2）

c.E（x）＞E（y）D.r）（x）＞r）（y）

【答案】BC

【解析】X為小明隨機選擇1個選項的得分，所以X=0,2,

則X的分布列為:

515

X—=

816

y為小明隨機選擇2個選項的得分，所以y=o,2,6,

則y的分布列

Y026

2]_1

P

3412

由止匕可得E（y）=2x；+6xg=l,

D(y)=(0-l)2x-+(2-l)2x-+(6-l)2x—=-+-+—=3.

、,34123412

所以尸(x=o)〈尸(y=o),尸(x=2)>尸(y=2),E(X)>E(Y),D(X)<D(Y).

故選：BC.

8.（多選題）（2024?浙江.二模）已知正方體A8CD-44GA，的棱長為1,點尸是正方形4與G2上的一

個動點，初始位置位于點A處，每次移動都會到達另外三個頂點.向相鄰兩頂點移動的概率均為%向對角

頂點移動的概率為如當點尸在點A處時，向點用，A移動的概率均為J,向點C1移動的概率為

24，

則（）

A.移動兩次后，“|尸。=6"的概率為|

O

B.對任意“eN*,移動〃次后，“PA//平面BOG”的概率都小于g

C.對任意〃eN*,移動〃次后，“PC,平面BOG”的概率都小于g

D.對任意“eN*,移動〃次后，四面體P-BOG體積V的數學期望E（V）＜；（注：當點尸在平面

BDCt上時，四面體尸-BDC,體積為0）

【答案】AC

【解析】設移動〃次后，點?在點A，耳,G，A的概率分別為?！ㄒ?，與，4，

其中6=0,4=；，4=；，4+2+g+d〃=1，

1,11一

%=7%+/〃T+~cn-y1,1（n

42+—

〃I2J

11142

+4C-'+-d.

2a1T

解得：，c=

1,1,1n4A2<2J

%=盧1+J"T+]""T

1

b二d

1+/T4

d〃=%an-l+產

對于A,移動兩次后，“|尸。|=石”表示點尸移動兩次后到達點4,

所以概率為七卜〈，故A正確;

對于B,以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

所以A(1,O,O),D(O,O,O),3(1,1,O),C(O,1,O),4(1,0,1),〃(0,0,1),4(1,1,1),G(0,1,1),

因為DB=(l,l,0),DG=(O,Ll),B1A=(O,-l-l),D1A=(l,O,-l)，4C=(-l,l,-l),

設平面BOG的法向量為〃=(x,y,z),貝葉-

[n?DC]=y+z=0

取y=l,可得x=Tz=-l,所以“=(-!,1,-1),

而g4"=0,D]4"=0,44,940平面806，

所以當點P位于耳或2時，PA//平面BDC-

當P移動一次后到達點耳或。時，所以概率為;x2=；＞；,故B錯誤；

對于C,AC=(T,l,-l)=〃,所以當點尸位于4時，PC,平面BDG，

所以移動〃次后點尸位于A,貝1[一＜p故C正確;

對于D,四面體尸-瓦乂體積V的數學期望磯丫）=%

"K\-BDQ+優■%-BDCX+Cn'VQ-BDCI+4〃?VQ-BDCI

S.Bg=￥（夜）=￥，因為￡＞A=（1,0,1）,

所以點A到平面BDQ的距離為4="3=2=2叵,

\n\y/33

同理，點"，〃到平面皿G的距離分別為李片,

所以，Bg=；X孝X半］，匕,_Bg=5一Bg=%￥',=＞匕_吶=0,

所以E(v)=llxl0lxl=ll

3+46++466+6

當w=2時,即）=1+工51

當〃為偶數,所以E(V)=——>-

）4出66245

11￡

當“為奇數，所以E（V）=故D錯誤.

66265

故選：AC.

9.（多選題）（2024?高三?浙江?開學考試）日常生活中植物壽命的統計規律常體現出分布的無記憶性.假設

在一定的培養環境下，一種植物的壽命是取值為正整數的隨機變量X,根據統計數據，它近似滿足如下規

律：對任意正整數“，壽命恰好為”的植物在所有壽命不小于”的植物中的占比為10%.記“一株植物的壽命

為〃，，為事件4,“一株植物的壽命不小于〃”為事件&.則下列結論正確的是（）

A.p(4)=o.oi

B.P(B?)=0.9,,-1

C.設%=p（4"與），則｛凡｝為等比數列

D.設s,,=記(4),則￡S?<10

k=\

【答案】BCD

【解析】設植物總數為壽命為i年的植物數為

由題意，P⑷噬=!’

貝U碼=*["_(町+%++St)]n10叫+叫+根2++%T="①

10m.+1+m[+m2+++mi=M@

gi9Z-1

②-①得，10叫M=9s.nP(4j=正尸(a)nP(Aj=而

71—12-1

即尸⑷」99

,故尸（4）=：x=0.09,故A錯誤;

\n,1011010

由犯=，［”—（見+牡++"*）］nP（4）=、P（g）,

n—\

故尸（紇）=IOP（4）=,故B正確;

19

n-l

P(4+1B2)_P(4+1)_TOIIOi

由4=P(AJB2)=

P(幻P(B2)910

10

9

故%1=Z，即｛g｝為等比數列，故C正確;

因為s“=〃p(A)=g〃

設c.=￡s”則眸i目+2x/+3*j+

k=l

相減可得&=1+/+盾+^J+

10

所以=1°-("+1°){4]<10>故D正確.

故選：BCD

10.(多選題)(2024?高三?湖南長沙?開學考試)某企業使用新技術對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片

由智能檢測系統進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經篩選的芯片進入流水線由工

人進行抽樣檢驗.記A表示事件“某芯片通過智能檢測系統篩選”，3表示事件“某芯片經人工抽檢后合格”.改

進生產工藝后，該款芯片的某項質量指標J服從正態分布N(5.40,0.052),現從中隨機抽取加個，這加個

芯片中恰有加個的質量指標4位于區間(5.35,5.55),則下列說法正確的是()(若占NO；。?)，則

一+0.6826,PQi一3b<J?〃+3cr)?0.9974)

A.P(B|A)>P(B)

B.P(A|B)<P(A|B)

C.P(5.35<^<5.55)?0.84

D.尸(〃?=45)取得最大值時，加的估計值為53

【答案】ACD

【解析】依題意，P(B|A)>P(B),A正確；

由P⑷.P(B|A)>P(A)-P(B),則P(AB)>尸⑷.P(B),

又P(AB)+P(AB)=P(A)-P(B\A)+P(A)-P(B|A)=P(A),

于是P(AB)>P(B)-[P(AB)+尸(A月)],即P(AB)-P(B)>尸(B)?P(A月),

,P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)

因此rl「-->—―即a二一->-,則n尸l(A|B)>「(A[8),B錯誤；

P(B)l-P(B)P(B)P(B)g

由尸(5.35<(<5.55)=P(5.40-0.05<J<5.40+3x0.05)=尸(〃-<<X<〃+3cr)

▽c、P(〃一b<Xv〃+b)+P(〃-3crvX<〃+3cr)0.6826+0.9974八”一十花

又尸(4-cr<X<4+3b)=—-------------匕—)2------------------------a-------------------=0.84,C正確；

m~B(Af,0.84),P(m-45)-x0.8445x0.16M-45,

設/(x)=C,x0.8445x0,16-5,

3=C%皿84：xO.16：=°16x3>1,

/(x)C'5xO.8445xO.ie"-45x-44

解得x〈詈。52.6,BP/(53)>/(52),

,f(x)CfxO.8445xO.16"-45x,

由-------—77---------------T7—O.16X-----<1,

/(x-1)0X0.84"X0.16—6x-45

解得x>皆375=53+4—,即/（53）>f（54）,

77

所以P（%=45）最大時M的估計值為53,D正確.

故選：ACD

11.（多選題）（2024?高三?江蘇泰州?階段練習）甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色

外完全相同.把從甲、乙兩個口袋中各任取一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復〃次操作后，甲口袋

中恰有0