考點01集合與返輯

（16種題型3個易錯考點）

【課程安排細目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點清單

三、題型方法

四、易錯分析

五、刷好題

六.刷壓軸

選擇題（共3小題）

1.（2022?上海）若集合A=[-1,2）,B=Z,則AC8=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{-1}

【分析】根據(jù)集合的運算性質(zhì)計算即可.

【解答】解：；A=[-1,2）,B=Z,

-1,0,1},

故選：B.

【點評】本題考查了集合的交集的運算，是基礎(chǔ)題.

2.（2021?上海）己知集合4={無僅>-1,xCR},2={尤*-尤-220,xeR},則下列關(guān)系中，正確的是（）

A.AQBB.CRACCRBC.AAB=0D.

【分析】根據(jù)集合的基本運算對每一選項判斷即可.

【解答】解：已知集合4={尤|尤>-1,尤CR},B={x|/-x-220,xGR）,

解得B={x|尤22或xW-1,xGR},

CRA={X|XW-1,xeR},CRB={X|-l<x<2}；

貝!jAUB=R,AA8={x|x22},

故選：D.

【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎(chǔ).

3.（2020?上海）命題p：存在a€R且aWO,對于任意的x€R,使得/'（x+a）<f（x）+f（a）；

命題qi：f(x)單調(diào)遞減且/(x)>0恒成立；

命題〃2:f(X)單調(diào)遞增，存在％0<0使得/(%0)=0,

則下列說法正確的是()

A.只有m是p的充分條件

B.只有夕2是p的充分條件

C.qi,《2都是p的充分條件

D.qi,q2都不是p的充分條件

【分析】對于命題qi：當(dāng)a>0時，結(jié)合/(x)單調(diào)遞減，可推出/(x+〃)<f(x)<f(x)4/(4)，命

題qi是命題p的充分條件.對于命題《2：當(dāng)〃=%oVO時，f(4Z)=f(xo)=0,結(jié)合/(x)單調(diào)遞增，

推出了(x+〃)<f(x),進而/(%+〃)<f(x)+于Qa),命題“2都是p的充分條件.

【解答】解：對于命題磯：當(dāng)/(x)單調(diào)遞減且/(%)>0恒成立時，

當(dāng)a>0時，此時x+a>x,

又因為/(%)單調(diào)遞減，

所以/(x+〃)<f(x)

又因為/(%)>0恒成立時，

所以/(x)<f(X)+于(〃)，

所以/(x+〃)<f(x)+f(〃)，

所以命題m=命題p,

對于命題0：當(dāng)/(%)單調(diào)遞增，存在％0<0使得/(xo)=0,

當(dāng)Q=XO〈O時，止匕時x+aVx,f(tz)=f(xo)=0,

又因為/(%)單調(diào)遞增，

所以/(x+〃)<f(x),

所以/(x+〃)<f(x)+f(〃)，

所以命題p2n命題p,

所以qi,42都是p的充分條件，

故選：C.

【點評】本題考查命題的真假，及函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是分析不等式之間關(guān)系，屬于中檔題.

二.填空題(共5小題)

4.(2022?上海)已知集合4=(-1,2),集合5=(1,3),則(1,2).

【分析】利用交集定義直接求解.

【解答】解：：集合A=（7,2）,集合B=（1,3）,

：.AHB=（1,2）.

故答案為：（1,2）.

【點評】本題考查集合的運算，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.（2021?上海）已知A={x|2rWl},B=[-1,0,1},則-1,0}.

【分析】直接根據(jù)交集的運算性質(zhì)，求出AC8即可.

【解答】解：因為A={x|2xWl}={x|x《/},B={-1,0,1},

所以AA8={-1,0}.

故答案為：{-1,0}.

【點評】本題考查了交集及其運算，屬基礎(chǔ)題.

6.（2020?上海）已知集合4={1,2,4},集合8={2,4,5},則"8={2,4}.

【分析】由交集的定義可得出結(jié)論.

【解答】解：因為A={1,2,4},B={2,4,5）,

則AC2={2,4}.

故答案為：{2,4}.

【點評】本題考查交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2020?上海）集合A={1,3},B={1,2,a],若AUB,則a=3.

【分析】利用集合的包含關(guān)系即可求出a的值.

【解答】解：V3GA,且AU8,：.3&B,：.a^3,

故答案為：3.

【點評】本題主要考查了集合的包含關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

8.（2023?上海）已知集合4={1,2},B={1,a],且A=B,則a=2.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合相等的定義，即可求解.

【解答】解：集合A={1,2},B={\,a},且A=B,

則a—2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查集合相等的定義，屬于基礎(chǔ)題.

B二、考點清單

1.集合的有關(guān)概念

（1）集合元素的三大特性：確定性、無序性、互異性.

（2）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為且；不屬于，記為今

（3）集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

（4）五個特定的集合

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

文字語言符號語言

相等集合A與集合B中的所有元素都相同A=B

集合間的子集集合A中任意一個元素均為集合B中的元素AQB

基本關(guān)系集合A中任意一個元素均為集合8中的元素，且集合8

真子集A與B

中至少有一個元素不是集合A中的元素

空怎空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集

3.集合的基本運算

集合的并集集合的交集集合的補集

若全集為U,則集合A的

符號表示AUB

補集為［以

圖形表示

U0

AUBAOB

集合表示[x\x^Af或工￡團且％￡5}{小￡億且x住A}

4.集合的運算性質(zhì)

（1）AAA=A,AH0=0,AnB=BDA.

（2）AUA=A,AU0=A,AUB=JBUA.

（3）An（［uA）=0，AU（［uA）=U，〔17（［以）=A

5.常用結(jié)論

（1）空集性質(zhì)：①空集只有一個子集，即它的本身，0三0；

②空集是任何集合的子集（即0UA）；

空集是任何非空集合的真子集（若AW0,則0UA）.

(2)子集個數(shù)：若有限集A中有"個元素，

則A的子集有2"個，真子集有2"—1個，非空真子集有2"-2個.

(3)AAB=AOACB；AUB=AOA3B.

(4)([⑷n&B)=[MAUB),([⑼uQB)=[u(AnB).

6.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p=>9且94p

p是q的必要不充分條件p4q且qnp

p是q的充要條件poq

p是q的既不充分也不必要條件p力q且q力p

7.充分、必要條件與集合的關(guān)系

設(shè)Dq成立的對象構(gòu)成的集合分別為A,B.

(1)p是q的充分條件oA&B,p是〃的充分不必要條件QAU&

(2)p是q的必要條件p是q的必要不充分條件02。A；

(3)p是q的充要條件=A=8.

〈知識記憶小口訣〉

集合平時很常用，數(shù)學(xué)概念有不同，理解集合并不難，三個要素是關(guān)鍵，元素確定和互譯，還有無序要牢記，

空集不論空不空，總有子集在其中，集合用圖很方便，子交并補很明顯.

(解題方法與技巧〉

集合基本運算的方法技巧：

(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算，也可借助Venn圖運算；

(2)當(dāng)集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解.對于端點處的取舍，可以單獨檢驗.

集合常與不等式，基本函數(shù)結(jié)合，常見邏輯用語常與立體幾何，三角函數(shù)，數(shù)列，線性規(guī)劃等結(jié)合.

充要條件的兩種判斷方法

⑴定義法：根據(jù)片sgnp進行判斷.

(2)集合法：根據(jù)使p,g成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.

充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不

等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取

等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.

(3)數(shù)學(xué)定義都是充要條件.

三、題型方法

一.集合的含義(共1小題)

1.(2022?上海自主招生)等勢集合指兩個集合間一一對應(yīng)，下列為等勢集合的是()

A.[0,1]與｛EI0WEW1｝B.[0,1]與｛a,b,c,d]

C.(0,1)與[0,1]D.｛1,2,3｝與｛a,b,c,d]

【分析】根據(jù)等勢集合的定義，即可解出.

【解答】解：根據(jù)等勢集合的定義可判斷選項A正確，

選項8、C、。錯誤，

故選：A.

【點評】本題考查了等勢集合的定義，學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

二.元素與集合關(guān)系的判斷(共3小題)

2.(2022?黃浦區(qū)模擬)若集合A=｛川工=0.；；,"6N*｝,其中。和b是不同的數(shù)字，則A中所有元素的和

n

為()

A.44B.110C.132D.143

【分析】由題意得上=0.；；=四支也，從而表示出10a+b=99,再由(10a+b)CN*,得到”的可能取

nab99n

值，從而得到a,b的值，可確定”的值.

0?0ab卜

【解答】解：VO.」+0.00仍+?+?=?,=旭,

ab1199

100

又ab—10a+b,

；」=0.；；=10a+b,.?joq+b=組

nab99n

可以為1,3,9,11,33,99,

(a,b)可以為(9,9),(3,3),(1,1),(0,9),(0,3),(0,1),

?：a,6是不同的數(shù)字，中所有的元素的和為11+33+99=143.

故選：D.

【點評】本題考解答的關(guān)鍵是正確理解是循環(huán)節(jié)長度為兩位的循環(huán)純小數(shù)，從而得到0二；=需，

進而求出結(jié)果，是中檔題.

3.(2022?寶山區(qū)模擬)已知集合5={小=。+初，a,Z?eZ},i是虛數(shù)單位，對任意xi,X2G5(XI,X2可以

相等)均有衛(wèi)es,則符合條件的元素個數(shù)最多的集合s={1,-1,i,-i}

x2

【分析】由題意可以判斷OWS,16S,再設(shè)x=a+6，(a,6eZ)且a,b不同時為0,有與題

目條件進行推理求解即可.

【解答】解：因為，對任意XI,X2CS,有2_}_es,所以，ogs,les,

x2

假設(shè)s中有不為1的元素，不妨設(shè)其為：x=a+bi,(a,beZ)且a,6不同時為0,有屋+房》1,

則11a-bi-=—w--——ies,

22上卜22上b2

xa+bia+b2a+ba+b

其中bez,且一—事不同時為0,

22-2

a+b2a+ba+b

2b22b2

因此，__ez,且——-----+.>o,

/2,,2\2222222/2,,2\2

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

又〃，又Z,

2a2

.?.ow------?-_+1<1,

2222222

(a+b)a+ba+b

同理，0W---------------<1,

/2,,2\2

(a+b)

.*----------=0或------=0,即<2=0或b=3

2八22八2

a+ba+b

〃=0時，—=-—--eZ,b=±1,止匕時，兀=，或1=-力；

xbb

b=o時，X^lez,/.AGZ,又X不為1,故a=-l,此時，尤=-l,

xaa

因此，符合條件的元素個數(shù)最多的集合S={1,-1,i,-i},

故答案為：{1,-Lif-i].

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的概念，元素與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.

4.(2022?青浦區(qū)二模)已知集合A=[s,s+工]U[t,t+1]，其中1CA且s+工<3函數(shù)/(x)=^-,

66x-1

且對任意。巳4,都有/(。)GA,貝”的值是遮+1或3.

一2

【分析】先判斷區(qū)間上，什1]與x=l的關(guān)系為/>1,再分析s+工VI時，定義域與值域的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)

6

的單調(diào)性可確定定義域與值域的區(qū)間端點的不等式，進而求得S與r,確定定義域與值域的關(guān)系，能求出

f的值.

【解答】解：先判斷區(qū)間［r,r+1］與尤=1的關(guān)系,

???什1<1或/>1,

??,當(dāng)什1V1,即/<0時，由題意當(dāng)怎4時,」一〉0￡A，不成立，故>1;

t-1

再分析區(qū)間［s,x=l的關(guān)系,

VlgA,或s>l,

6

①當(dāng)5+A<1，即s<至■時，（尤）X.在區(qū)間［s,s+」］上為減函數(shù),

66X-16

1

昨

，/(尤)G[-

D

1

S+

6->

i5）

—―—<1?1，,?[―，———]—[s，

_t>_5飛'

S1g--5-S1

6

7T<S^6

212

s>s4ss-^s-^-<0----

?入〈立，666,，6s,解得s=3口近

6252112

Ss丁ss

6s6s6

=11-V145

.X

612

此時區(qū)間［s,尸1左側(cè),汁1］在了=1右側(cè),

.?.當(dāng)什1］時，f(%)=［主旦

t

??t+1〉1,t+1],

ttt-1

<t+l

t71七2十1>0,...尸，1=0,

此時<

t+10

t

解得-1士遮，,/?>1,.1=,

22

②當(dāng)S>1時，f(x)=1+」」在區(qū)間xHs,什1］上單調(diào)遞減,

t-1

:.f(X)e[l+A,1+^^]u[1+^^,1+^^],

tt-lg-5s-l

6

FF|1小+1

?1_t+6

:-t-6=0,

t-l6t

9：t>\,：.t=3.

綜上，r的值為近上1或3.

2

故答案為：塞上！或3.

2

【點評】本題考查函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，是中檔題.

三.集合的表示法(共2小題)

5.(2022秋?徐匯區(qū)校級期末)若函數(shù)/(無)=4W+(2k|-14)2同+/-14|x|+33有零點，則其所有零點的集

合為{-3,-1,1,3).(用列舉法表示).

【分析】注意到/(x)=(2w+|x|-11)(2w+|.r|-3),令/(x)=0,結(jié)合x>0時，偶函數(shù)g(無)—2M+\x\

-11,h(x)=2叫|x|-3均在(0,+8)上單調(diào)遞增可得答案.

【解答】解：f(x)=(2w+|x|-11)(2w+|x|-3),令于(x)=0,

得2國+|x|-11=0或2叫|尤|-3=0,

令g(x)=2w+|x|-11,h(x)=2w+|x|-3,

注意到g(x),h(x)均為偶函數(shù)，g(3)=h(1)=0,

又x>0時，

函數(shù)y=2"與函數(shù)y=x在(0,+°°)上單調(diào)遞增，

則g(x)=2w+|x|-11,h(x)=2國+|x|-3在(0,+°°)上單調(diào)遞增,

故g(x),h(x)在(0,+8)上有唯一零點，得2叫國-ll=0nx=±3,2w+|x|-3=0nx=±l.則/(尤)

所有零點的集合為{-3,-1,1,3).

故答案為：{-3,-1,1,3).

【點評】本題主要考查集合的表示法，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2022秋?浦東新區(qū)期末)已知集合A={(x,y)|y=4x-l},集合2={(尤，y)|y=W+2},用列舉法表

示集合ACB.

【分析】求出直線y=4尤-1與拋物線y=/+2的交點坐標(biāo)，即可得到集合AC2.

【解答】解：由題意可知，集合的元素為表示直線y=4x-1與拋物線y=x?+2的交點坐標(biāo)，

聯(lián)立方程(MJ,解得卜口或卜=3,

y=x2+2ly=3ly=ll

；."8={(1,3),(3,11)}.

【點評】本題主要考查了集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

四.集合的相等(共1小題)

7.(2020?崇明區(qū)二模)已知函數(shù)/(無)=nf2x+^+nx,記集合A={x，(x)=0,xGR},集合8={尤川(x)]

=0,x￡R},若A=B,且都不是空集，則加+”的取值范圍是()

A.[0,4)B.[-1,4)C.[-3,5]D.[0,7)

【分析】由{巾(工)=0}=W(/(x))=0}可得戶0)=0,從而求得力=0；從而化簡了"(無))=(J+raD

(f+nr+w)=0,從而討論求得

【解答】解：設(shè)尤ie{x|f(x)=0}={尤，(/(無))=0},

(xi)=f(/(xi))=0,

：.f(0)=0,

即/(0)=m=0,

故m=0；

故/(x)=/+〃％,

f(/(x))=(/+〃％)(x2+nx+?)=0,

當(dāng)〃=0時，成立；

當(dāng)時，0,-〃不是/+加+幾=0的根，

故A=〃2-4〃V0,

解得：0V〃V4；

綜上所述，0W〃+m<4；

故選：A.

【點評】本題考查了函數(shù)與集合的關(guān)系應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了方程的根的判斷，屬于

中檔題

五.集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用（共2小題）

8.（2023?浦東新區(qū)校級三模）設(shè)集合M={0,1,2},N={1,a],若則實數(shù)a=0或2.

【分析】根據(jù)包含關(guān)系和集合元素互異性可得.

【解答】解：：加二]。，1,2},N={1,a},M2N,

.".a—0或2,

故答案為：。或2.

【點評】本題考查集合包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022?金山區(qū)二模）已知集合4={-1,3,0},B={3,iv1},若8UA,則實數(shù)m的值為0.

【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系確定能值，求解即可.

【解答】解：集合A={-1,3,0},B={3,tn2},且照A,

；.m2=0,加2=-1（舍），

解得：m=0.

故答案為：0.

【點評】本題考查的知識點是集合的包含關(guān)的應(yīng)用，集合關(guān)系中的參數(shù)問題，是基礎(chǔ)題.

六.子集與真子集（共2小題）

10.（2023?松江區(qū)模擬）非空集合A中所有元素乘積記為T（A）.已知集合知={1,4,5,8},從集合M

的所有非空子集中任選一個子集A，則TG4）為偶數(shù)的概率是4（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.

一5一

【分析】先求出集合M的所有非空子集的個數(shù)，然后求出T（A）為奇數(shù)的集合A的個數(shù)，從而求出T

（A）為偶數(shù)的集合A的個數(shù)，由古典概型的概率公式求解即可.

【解答】解:因為集合河={1,4,5,8},

所以集合M的所有非空子集共有24-1=15種，

若7（A）為奇數(shù)，則A中元素全部為奇數(shù)，

又{1,5}的非空子集個數(shù)，共有2?-1=3種，

所以T（A）為偶數(shù)的共有15-3=12種，

故T（A）為偶數(shù)的概率是￡=4.

155

故答案為：冬.

5

【點評】本題考查了概率與集合的綜合應(yīng)用，涉及了集合子集個數(shù)的求解，古典概型概率公式的運用，

考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2022?閔行區(qū)校級二模)設(shè)的冊=1,2,3)均為實數(shù)，若集合{m,碓，。3}的所有非空真子集的元素

之和為12,則a1+a2+a3=4.

【分析】列舉出集合{。1,。2,03}的所有非空真子集，根據(jù)題意列方程，可求得41+42+43的值.

【解答】解：集合{。1,“2,。3}的所有非空真子集為：{ai},{。2},{。3},{ai,ai},{ai,as],{ai,。3},

由題意，可得3(41+。2+。3)=12,解得41+及+。3=4.

故答案為：4.

【點評】本題主要考查子集與真子集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

七.集合中元素個數(shù)的最值(共2小題)

12.(2022?上海自主招生)已知集合4={(x,y)|x2+/^2,xeZ,yCZ},則A中元素的個數(shù)為()

A.4B.5C.8D.9

【分析】集合A的元素代表圓周及其內(nèi)部的點，分坐標(biāo)軸和象限進行討論，即可得到結(jié)論

【解答】解：根據(jù)題意：A={(x,y)僅2+/五2,x,yEZ}={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,

-1),(0,0)(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)}共9個元素，是平面直角坐標(biāo)系中9個點.

故選：D.

【點評】本題考查集合的表示以及點與圓的位置關(guān)系，解題時需注意集合A的元素為兩坐標(biāo)均為整數(shù)的

點，本題屬于基礎(chǔ)題.

13.(2022秋?浦東新區(qū)校級期中)已知集合A為非空數(shù)集，定義：S={x\x=a+b,a,bEA],T={x\x=\a-

b\,a,Z?GA}.

(1)若集合A={1,3},直接寫出集合S,T(無需寫計算過程)；

(2)若集合4={尤1,X2,X3,X4},X1<X2<X3<X4J且T=A,求證：X1+X4=X2+X3；

(3)若集合AU{x|0WxW2021,xGN},SCT=0,記|A|為集合A中元素的個數(shù)，求|A|的最大值.

【分析】(1)根據(jù)題目的定義，直接計算集合S,T即可；

(2)根據(jù)集合相等的概念，能證明尤1+X4=X2+無3；

(3)通過假設(shè)集合A={%，機+1,m+2,；2021)(%W2021,〃￡N),求出對應(yīng)的集合S,T,通過SCT

=0,建立不等式關(guān)系，求出對應(yīng)的值即可.

【解答】解：(1),集合A={1,3},S—{x\x—a+b,a,bGA},T={x\x=\a-b\,a,b&A),

.?.集合5={2,4,6},集合T={0,2}.

(2)證明：?.,集合A={尤1,XI,X3,X4),X1<X2<X3<X4J且T=A,

...T中也只包含4個元素，即T={0,X2-XI,X3-XI,X4-X1},

剩下的元素滿足X2-XI—X3-X2—X4-尤3,

；.X1+X4=X2+X3；

(3)集合AU{尤|0WxW2021,XGN},SCT=0,記|A|為集合A中元素的個數(shù)，

設(shè)集合A={iU,02,?嬴}滿足題意，其中。1<。2<，<或，

則2al<a1+。2<ai+t/3<*<a\+ak<a2+ak<a3+ak<*<ak-1+ak<2ab

\S\^2k-I,a\-ai<a2-ai<cz3-ai<*<ak-ai,\l\^k,

vsnr=0,由容斥原理，\su7]=\s\+m^3k-1,

SUT最小的元素為0,最大的元素為2以，

.,.|SU7]W2at+l,

：.3k-1^2^1^4043(依N*),解得左W1348,

實際上當(dāng)4={674,675,：2021}時滿足題意.

證明如下：

設(shè)4={〃2,m+1,m+2,m+3,?2021},(?J6N),

則5={2機，2/77+1,2/71+2,?4042},T={0,1,2,；2021-m],

依題意，有2021-初<2%，即機>673?,...根的最小值為674,

3

當(dāng)加=674時，集合A中元素最多，即4={674,675,；2021}時滿足題意，

綜上，|A|的最大值為1348.

【點評】本題考查集合的運算、容斥原理、交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

八.空集的定義、性質(zhì)及運算(共2小題)

14.(2022秋?寶山區(qū)校級月考)設(shè)集合X是實數(shù)集R的子集，如果點xoeR滿足：對任意40,都存在

尤6X,使得0<|尤-無o|<a,稱尤o為集合X的聚點.用Z表示整數(shù)集，則在下列集合中：

①{六工M€2,n>0]；②{小eR,尤WO}；③(|n€Z,n卉0}；④整數(shù)集Z

以0為聚點的集合有()

A.②③B.①④C.①③D.①②④

【分析】由已知中關(guān)于集合聚點的定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚

點的定義，進而得到答案.

【解答】解：①中，集合端1|n€Z,n>0｝中的元素是極限為1的數(shù)列，

除了第一項0之外，其余的都至少比0大工，

2

...在a<工的時候，不存在滿足得0<|尤的%,

2

??.0不是集合｛q|n€z,n30）的聚點

②集合｛MreR,x#0｝,對任意的a,都存在尤=包（實際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0<伙|=旦<“

22

??.0是集合｛小eR,尤#0｝的聚點

③集合｛L|n€Z,n戶0｝中的元素是極限為0的數(shù)列，

n

對于任意的a〉0,存在〃>工■，使0<|九|=工<〃

an

???0是集合p|n€Z,n卉0｝的聚點

n

④對于某個〃V1,比如。=0.5,此時對任意的xEZ,都有仇-0|=0或者枕-0|21,也就是說不可能OV

|x-0|<0.5,從而0不是整數(shù)集Z的聚點

故選：A.

【點評】本題考查的知識點是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本

題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?徐匯區(qū)校級月考）不等式組!**2-1的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是（-1,+

x+a>0

8）.

【分析】從反面分析，根據(jù)題意，x+a>0的解集為x>-。，若這個不等式組的解集是空集，則有辦>-

1,即辦+1>0的解集為｛尤|尤《-a｝的子集，分析可得a的范圍，進而可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，尤+。>0的解集為了>-a,

若這個不等式組的解集是空集，

貝Iax>-1,即辦+1>0的解集為｛龍忱《-。｝的子集，

分析可得，當(dāng)。<-1,成立；

故當(dāng)。>-1時，該不等式組的解集不是空集，

故答案為（-1,+°°）.

【點評】本題考查空集的性質(zhì)的運用，注意結(jié)合題意，分析空集的幾何或代數(shù)意義，有時需從反面下手.

九.集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題(共2小題)

16.(2020?浦東新區(qū)校級模擬)已知集合4={-1,0,a],2=何1<2*<2},若AC8W0,則實數(shù)a的取

值范圍是(0,1).

【分析】解指數(shù)不等式求得集合2,再根據(jù)ACBW0,求得實數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：：集合A={-1,0,a],B={x|l<2A<2}={x|0<x<l},若ACB=。，則有0<a<l,

故實數(shù)。的取值范圍是(0,1),

故答案為(0,1).

【點評】本題主要考查集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問題，集合間的包含關(guān)系，指數(shù)不等式的解法，屬于

基礎(chǔ)題.

17.(2021秋?寶山區(qū)校級期中)已知集合人={x二&》2}，8={刃？-(a+1)x+aWO}.

x-2

(1)若求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若AU5=A,求實數(shù)。的取值范圍.

【分析】A二{x卜3:》2}=32),B={x|x2-(〃+1)x+〃W0}={x|(x-1)(x-a)WO},結(jié)合間關(guān)系

x-2

可解決此題.

【解答]解：A={x2)，B={x|?-(a+1)無+aW0}={x|(x-1)(x-a)WO},

x-2

(1)'：AQB,：.ae[2,+8)；

(2)VAUB=A,：.BQA,；.回，2).

【點評】本題考查一元二次不等式解法及集合間關(guān)系應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

一十.并集及其運算(共2小題)

18.(2023?徐匯區(qū)二模)已知集合4=*以<3},B={x|y=V2^x},則AUB={尤|尤<3}.

【分析】首先求集合B,再求AU8.

【解答】解：因為B={x|y=Y2-x}={xIx42},4={小<3},

所以AUB={4x<3}.

故答案為：{x|x<3}.

【點評】本題主要考查了集合的并集運算，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2023?靜安區(qū)二模)若集合A={2,k>g2a},B=[a,b],且AAB={0},則{1,0,2}.

【分析】根據(jù)ACB={0},求出a,6的值，從而確定AU8.

【解答】解:AAB={0},OeA,log2a=0,

則2={1,b},又O€B,：.b=O,

：.B={1,0},A={2,0},.,.AUJ5={1,0,2).

故答案為：{1,0,2).

【點評】本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題.

一十一.交集及其運算(共2小題)

20.(2023?松江區(qū)二模)若方程(無)=0的解集為則以下結(jié)論一定正確的是()

(1)M={x\f(x)=0}U{x|g(尤)=0)

(2)M={x\f(x)=0}C{x|g(x)=0}

(3)MQ{x\f(x)=0}U[X\g(尤)=0}

(4)M^{x\f(x)=0}C{x|g(x)=0}

A.(1)(4)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(3)(4)

【分析】由/(xAg(x)=0可得出/(x)=0或g(x)=0,從而可得出(3)(4)正確.

【解答】解：根據(jù)題意，MQ{x\f(x)=0或g(尤)=0}={x|f(x)=0}U[x\g(x)=0},M^[x\f(x)—

0}n{Rg(x)=o).

故選：c.

【點評】本題考查了集合的描述法的定義，并集和交集的定義，子集的定義，考查了計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

21.(2023?浦東新區(qū)三模)已知集合4=(1,3),集合8=(2,4),則A(8=(2,3).

【分析】由已知結(jié)合集合的交集運算即可求解.

【解答】解：因為集合人=(1，3),集合8=(2,4),

貝((2,3).

故答案為：(2,3).

【點評】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

一十二.補集及其運算(共3小題)

22.(2023?楊浦區(qū)校級三模)已知全集"=&集合A=(-8,1)u[2,+8),則＞—1,2).

【分析】根據(jù)集合補集運算定義運算即可.

【解答】解：由題意結(jié)合補集的定義可得丞=[1,2).

故答案為：［1,2）.

【點評】本題考查集合補集的運算、考查數(shù)學(xué)運算能力及直觀想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

23.（2023?普陀區(qū)二模）設(shè)全集U=R,若集合A={利尤|，1,xGR},則/=3-1＜尤＜1,xeR}

【分析】求解絕對值的不等式化簡A，再由補集運算的定義得答案.

【解答】解：?.?全集U=R,集合A={劉心1,尤€R}={x|尤1或xGR）,

A=M_Kx＜LxGR}.

故答案為：{X|-1＜X＜1,xER］.

【點評】本題考查補集及其運算，是基礎(chǔ)題.

24.（2023?閔行區(qū)二模）設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={-2,0,2},則/={-1,1}.

【分析】由已知直接利用補集運算的定義得答案.

【解答］解：U={-2,-1,0,1,2},A={-2,0,2）,

由補集的定義得：A={-b1}.

故答案為：{-1,1}.

【點評】本題考查補集及其運算，是基礎(chǔ)題.

一十三.子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換（共4小題）

25.（2022秋?寶山區(qū)校級期中）用C（A）表非空集合A中元素的個數(shù)，定義

A*B=-‘'（B），C（A）jC（B）,若從=⑴，2={小（/+以+2）=0},且A*B=1,設(shè)實數(shù)a

,C（B）-C（A）,C（A）＜C（B）

的所有可能取值構(gòu)成集合S,則C（S）=（）

A.4B.3C.2D.9

【分析】根據(jù)新定義可確定幾何B中元素個數(shù)，從而解得a的取值即可.

C（A）-C（B）,C（A）＞C（B）

【解答】解：由于A*B=，,A={1},且A*B=1,貝i|C（2）=0或2,

C（B）-C（A）,C（A）＜C（B）

顯然068,則BW0,故C（B）=2,

由于0不是/+（0：+2=0的根，則/+以+2=0有兩個相等的實數(shù)根,

故A=/-8=0,從而a=±2&，故C（S）=2.

故選：C.

【點評】本題考查集合中元素個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

26.（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)集合M、P手。,定義集合P={尤|尤CM,xiP},則集合CM-

尸)是()

A.PB.MC.MUPD.MCtP

【分析】由條件中差集的定義便可表示AT(M-P)={x\xEM,且煌(M-P)},然后用ve〃〃圖表示

集合M,P,由圖形即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)差集的定義，M-(M-P)^{x\xGM,且娓(M-P)),用vew?圖表示集合M,尸的

關(guān)系如圖：

陰影部分表示M-P,

：.M-(M-P)

故選：D.

【點評】本題主要考查對差集定義的理解，描述法表示集合，借助〃圖解決集合問題的方法.

27.(2022秋?金山區(qū)校級月考)數(shù)學(xué)中經(jīng)常把集合{x|尤6A,娓引稱為集合A對B的差集，記作A-2,M=

(-8,3]U(5,2022),N是自然數(shù)集，則N-{巾:=4或尤22022,且無6N}.

【分析】根據(jù)差集定義，計算即可.

【解答】解：M=(-8,引u(5,2022),N是自然數(shù)集，則N-{x|x=4或尤22022,且xeN}.

故答案為：{小=4或x22022,且xCN}.

【點評】本題是新定義題型，考查差集定義，屬于基礎(chǔ)題.

28.(2022秋?青浦區(qū)校級期中)用C(A)表示非空集合A中元素的個數(shù)，設(shè)4={尤||酎+4/+3尤|+旬7-1|=

0),若C(A)=5,則實數(shù)。的取值范圍(-8,-9)U(-1,0).

【分析】由題意可得：E+4x2+3x|+a|/-1|=0有5個不同實數(shù)解.必然。＞0,方程化為：|x(x+l)(尤+3)

\+a\(x-1)(x+1)|=0,可得x=-1是此方程的一個實數(shù)根，xW-1時，化為：|x(尤+3)|=-a\(x-

1)1，分別作出函數(shù)y=|x(x+3)I，y=-a|(尤-1)|的圖象.P(1,0),。(-3，Q由于函數(shù)y=h

(x+3)I，y=-3(x-1)|的圖象必須有四個交點，當(dāng)y=-。|(x-1)|的圖象與y=x(x+3)(-

0)相切時，解得。，進而得出.

【解答]解：A=[x\\^^^3x\+a\x1-1|=0},C(A)=5,

則|酎+4，+3龍|+如2-1|=0有5個不同實數(shù)解.

必然a＜Q,

方程化為：|x(x+1)(x+3)\+a\(尤-1)(x+1)|=0,

x=-1是此方程的一個實數(shù)根，

尤力-1時,化為:\x(x+3)|=-a\(x-1)I，

分別作出函數(shù)y=|尤(x+3)|,y=-a|(x-1)|的圖象.P(1,0),。(導(dǎo)?

由于函數(shù)y=|無(x+3)I，j=-a\(x-1)|的圖象必須有四個交點，

當(dāng)y=-a\(x-1)|的圖象與y=-無(x+3)(-3WxW0)相切時，可得：y=-a\(x-1)|化為：y—a(尤

-1).

聯(lián)立化為：/+(3+a)尤-°=0,由4=(3+a)2+4a=0,解得a=-1,或a=-9.

二-1＜。＜0或-9.

實數(shù)a的取值范圍是(-1,0)U(-8

n<i?Hi*3i

9）.

故答案為：(-8,-9)U(-1,0).

【點評】本題考查了方程的解法、集合運算性質(zhì)、分類討論方法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計

算能力，屬于難題.

一十四.V