第八章平面問題的極坐標解答要點：（1）極坐標中平面問題的基本方程：——平衡方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。（2）極坐標中平面問題的求解方法及應用應用：圓盤、圓環、厚壁圓筒、楔形體、半無限平面體等的應力與變形分析。彈性力學主講鄒祖軍第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程§8-2平面軸對稱應力問題§8-3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板§8-4勻速轉動的圓盤§8-5曲梁的純彎曲§8-6曲梁一端受徑向集中力作用§8-7圓孔對應力分布的影響§8-8集中力作用于全平面§8-9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體主要內容

彈性力學主講鄒祖軍第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程A.直接坐標與極坐標間的關系第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程(a)(b)(c)(d)如圖8.1第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程(e)又(f)求導(g)利用式(d)和式(f),則二維梯度算子(Hamilton算子)在極坐標中的表達式第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程即(8.1)Laplace算子(8.2)極坐標中的位移(8.3)徑向位移環向位移B.極坐標下的幾何方程第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程位移的左梯度

(h)應變張量(8.4)利用從式(h)和式(8.4)得幾何關系(8.5)第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程直接推導幾何方程(1)只有徑向變形，無環向變形。徑向線段PA的相對伸長：（a）徑向線段PA的轉角：（b）線段PB的相對伸長：（c）環向線段PB的轉角：（d）xyOPBA第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程xyOPBA徑向線段PA的相對伸長：（a）徑向線段PA的轉角：（b）環向線段PB的相對伸長：（c）環向線段PB的轉角：（d）剪應變為：（e）第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程yxOPBA(2)只有環向變形，無徑向變形。徑向線段PA的相對伸長：（f）徑向線段PA的轉角：（g）環向線段PB的相對伸長：環向線段PB的轉角：（h）（i）剪應變為：（j）第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程(3)總應變整理得：（8.5）——極坐標下的幾何方程第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程C.極坐標下的平衡方程體積力矢量(8.6)(8.7)剪應力互等定理極坐標下的平衡方程(8.8)第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程1.極坐標中的微元體體力：應力：PA面PB面BC面AC面應力正向規定：正應力——拉為正，壓為負；剪應力——

r、θ的正面上，與坐標方向一致時為正；r、θ的負面上，與坐標方向相反時為正。xyOPABC直接推導極坐標的平衡方程第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程考慮微元體平衡（取厚度為1）：將上式化開：（高階小量，舍去）xyOPABC2.平衡微分方程第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程兩邊同除以：兩邊同除以，并略去高階小量：xyOPABC第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程xyOPABC——剪應力互等定理于是，極坐標下的平衡方程為：（8.8）方程（8.8）中包含三個未知量，而只有二個方程，是一次超靜定問題，需考慮變形協調條件才能求解。第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程D.極坐標下的物理方程(8.9)對平面應變問題,E和V分別換成E1和V1即可E.極坐標下的應力協調方程極坐標下體積力的散度由不變量得(h)(i)第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程將(h)和(i)代入式(7.17)得(7.17)(8.10)上式即為平面應力問題極坐標形式的應力協調方程,將v換為v1即可得平面應變問題極坐標形式的應力協調方程設體積力為有勢力.則(8.11)直角坐標為新坐標,極坐標為老坐標則由由張量變換得(j)第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程由(7.20)和(e)(7.20)(k)比較(k)與(j)得(8.12)應力函數表示的協調方程是標量方程,形式不變即平面應力平面應變(8.13)F應力分量的坐標變換式(1)用極坐標下的應力分量表示直角坐標下的應力分量(2)用直角坐標下的應力分量表示極坐標下的應力分量第八章平面問題的極坐標解答§8-1基本方程§8.2平面軸對稱應力問題無體積力,且與θ無關.求解方法：——逆解法A.軸對稱問題應力分量與協調方程（1）應力分量（a）（2）協調方程B.協調方程的求解將協調方程表示為：4階變系數齊次微分方程將其展開，有第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題——4階變系數齊次微分方程方程兩邊同乘以：——Euler齊次微分方程令：有代入上述方程其特征方程為方程的特征值第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題方程的特征根為：于是，方程的解為：將代回：（b）——軸對稱問題協調方程的通解，A、B、C、D

為待定常數。C.應力分量將方程（b）代入應力分量表達式（8.14）——軸對稱平面問題的應力分量表達式第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題D.位移分量對于平面應力問題，有物理方程（c）積分式（c）第一式，有第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題（d）——是任意的待定函數將式（d）代入式（c）中第二式，得將上式積分，得:（e）——是r

任意函數將式（d）和式（e）代入(c)的第三式，得或寫成：要使該式成立，兩邊須為同一常數。第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題（f）（g）式中F為常數。對其積分有：（

h）其中H為常數。對式（g）兩邊求導其解為：（i）（j）將式（h）(i)（j）代入式（d）

（e），得（d）（e）（8.15）第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題平面軸對稱問題小結：（b）（1）應力函數（2）應力分量（8.14）（3）位移分量（8.15）式中：A、B、C、H、I、K

由應力和位移邊界條件確定。第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題（3）位移分量（8.15）式中：A、B、C、H、I、K

由應力和位移邊界條件確定。由式（8.15）可以看出：應力軸對稱并不表示位移也是軸對稱的。但在軸對稱應力情況下，若物體的幾何形狀、受力、位移約束都是軸對稱的，則位移也應該是軸對稱的。對于完整的圓環域,根據位移單值性條件,從（8.15）第二式可看出：第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題從（8.15）第二式還可看出：H只引起環向剛體轉動位移Ｈr，如圖若把常數Ｉ及Ｋ相應的位移記為第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題(8.17)相應的直角坐標系，則說明Ｋ是x方向的平移，Ｉ是y方向的平移．對整環或圓域的軸對稱問題，如不考慮剛體位移，則(8.16)又平面問題極坐標下的平面問題的基本方程（8.5）幾何方程：（8.8)物理方程：（8.9）平面應力情形（8.9a）平面應變情形平衡微分方程：第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題邊界條件：位移邊界條件：應力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）相容方程：（8.13a）——常體力情形的相容方程。應力分量計算式：（8.12a）第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題彈性力學極坐標求解歸結為（1）由問題的條件求出滿足式（8.13a）的應力函數（8.13a）（2）由式（8.12a）求出相應的應力分量：（8.12a）（3）將上述應力分量滿足問題的邊界條件：位移邊界條件：應力邊界條件：（位移單值條件）第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題（1）應力分量（8.12b）（2）相容方程軸對稱問題的應力分量與相容方程：第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題平面軸對稱問題小結：(b)（1）應力函數（2）應力分量（8.14）（3）位移分量（8.15）式中：A、B、C、H、I、K

由應力和位移邊界條件確定。第八章平面問題的極坐標解答§8.2平面軸對稱應力問題§8-3圓環或圓筒受均布壓力壓力隧洞A.圓環或圓筒受均布壓力已知：求：應力分布。確定應力分量的表達式：（8.14）邊界條件：（a）將式（8.14）代入，有：（b）第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板（b）式中有三個未知常數，二個方程不能確定求解。對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件。位移多值項要使單值，須有：B=0，由式（b）得將其代回應力分量式（8.14），有：第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板（8.18）（1）若：(二向等壓情況)（2）若：（壓應力）（拉應力）第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板（3）若：（壓應力）（壓應力）（4）若：——具有圓形孔道的無限大彈性體。邊緣處的應力：第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板B.壓力隧洞問題：厚壁圓筒埋在無限大彈性體內，受內壓q作用，求圓筒的應力。1.分析：與以前相比較，相當于兩個軸對稱問題：(a)受內外壓力作用的厚壁圓筒；(b)僅受外壓作用的無限大彈性體。確定外壓p的兩個條件：徑向變形連續：徑向應力連續：2.求解第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板2.求解(1)圓筒的應力與邊界條件應力：（a）邊界條件：(2)無限大彈性體的應力與邊界條件應力：（b）邊界條件：將式（a）、（b）代入相應的邊界條件，得到如下方程：第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板4個方程不能解5個未知量，需由位移連續條件確定。上式也可整理為：(c)(d)第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板利用：(e)要使對任意的成立，須有(f)對式（f）整理有，有0第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板(g)式（g）中：將式（g）與式（c）（d）聯立求解(c)(d)（4-16）當n<1時，應力分布如圖所示。第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板討論：（1）壓力隧洞問題為最簡單的接觸問題（面接觸）。完全接觸：接觸面間既不互相脫離，也不互相滑動。接觸條件為應力：位移：（1）非完全接觸（光滑接觸）應力：位移：接觸條件：第八章平面問題的極坐標解答§8.3內外壁受均布壓力作用的圓筒或圓環板§8-4勻速轉動的圓盤由問題的幾何形狀與外力（體力）均對稱于軸O，因而為軸對稱問題。

等厚度圓盤，半徑為a，均勻旋轉的角速度為ω，回轉軸為O，圓盤的密度為ρ，求：圓盤內的應力與位移。1.等厚度圓盤（1）問題的描述圓盤內任一點具有加速度（徑向）：圓盤內任一點具有慣性力（徑向）：由此可見，該問題為一變體力的問題，體力分量為：——沿r方向線性變化的體力所以有：axyOrA第四章平面問題的極坐標解答§8-4勻速轉動的圓盤（2）平衡方程、相容方程與應力函數平衡方程：（a）將上式兩邊同乘以r,有引入函數，使得：（b）這里也稱為應力函數?！獞Ψ至坑嬎闶剑ǖ皇浅ｓw力下的應力函數）第四章平面問題的極坐標解答§8-4勻速轉動的圓盤相容方程：（變形協調方程）軸對稱問題的幾何方程為：（c）在式（c）中消去位移分量，有：——應變表示的變形協調方程（相容方程）由平面應力情形下的物理方程：（b）代入上式，有再將應力分量式（b）代入，并整理得（d）第四章平面問題的極坐標解答§8-4勻速轉動的圓盤（d）兩邊同除r2也可簡寫成：將上式對r積分一次，得：兩邊同乘以r，并積分，得：——應力函數表示的相容方程應力函數：兩邊同除以r，并整理，得：第四章平面問題的極坐標解答§8-4勻速轉動的圓盤再將應力函數代入應力分量式（b），有（e）式中：A、B

為任意常數。由定解條件確定。（3）應力分量應力有界條件：對實心圓盤，為保證r=0

處應力的有界性，應取：邊界條件：——自動滿足代入式（e），有axyOrA第四章平面問題的極坐標解答§8-4勻速轉動的圓盤（f）最大應力點位于圓盤的中心：（4）位移分量由幾何方程，可得：（g）最大位移點位于圓盤的邊緣：axyOrA第四章平面問題的極坐標解答§8-4勻速轉動的圓盤axyOrA最大位移點位于圓盤的邊緣：2.變厚度圓盤作為自學（一般了解）內容第四章平面問題的極坐標解答§8-4勻速轉動的圓盤§8-5曲梁的純彎曲1.問題及其描述矩形截面曲梁：內半徑為a，外半徑為b，在兩端受有大小相等而轉向相反的彎矩M作用（梁的厚度為單位1），O為曲梁的曲率中心，兩端面間極角為β。取曲梁的曲率中心O為坐標的原點，并按圖示建立坐標系。由于各截面上彎矩M相同，因而可假定各截面上應力相同，構成一軸對稱問題（對稱軸為z軸）。2.應力分量1.曲梁的應力第八章平面問題的極坐標解答§8-5曲梁的純彎曲3.邊界條件——自然滿足（1）（2）將應力分量代入，有（a）（b）注：此處為單連體問題，（3）端部：（c）（d）由軸對稱問題應力分量式將其代入式（c）第八章平面問題的極坐標解答§8-5曲梁的純彎曲（c）（d）軸對稱問題應力分量式：代入式（c），有代入式（d），有（分部積分）00第八章平面問題的極坐標解答§8-5曲梁的純彎曲將其代入，有整理，有（d）（a）（b）聯立求解式（a）（b）（d）,可求得：第八章平面問題的極坐標解答§8-5曲梁的純彎曲其中：將其代入應力分量式，有（8.20）其截面上的應力分布如圖：第八章平面問題的極坐標解答§8-5曲梁的純彎曲討論：（1）（2）中性軸（）距內側纖維較近，離外側較遠，中性軸不過截面形心。（3）中性軸與材力中比較：

關于截面不再成線性分布，而是成雙曲線分布。但在曲率不大時這種影響較小；

擠壓應力實際不為零；2.曲梁的位移第八章平面問題的極坐標解答§8-5曲梁的純彎曲2.曲梁的位移假定：（8.15）代入位移分量式（8.15），確定得代回位移分量式（8.15），即得相應的位移分量。這里只給出環向位移：第八章平面問題的極坐標解答§8-5曲梁的純彎曲將上式對變量r求導，得由上式可知：當θ

一定時，曲梁截面任意徑向線段dr轉角都相同，即平面保持平面。

表明：材力中純彎曲曲梁的平面保持平面假設是正確的。第八章平面問題的極坐標解答§8-5曲梁的純彎曲

問題：圖示為帶有一微小張角α缺口的圓環，若將此圓環焊成一整環，試求此時環內的內力矩M。解：要使該圓環焊成一整環，需在兩端加上一對平衡力矩M。MM使其產生環向位移為：由兩端受力偶作用時的環向位移計算式：由前面系B的計算式：代入應力分量式，可求出圓環中的裝配應力。第八章平面問題的極坐標解答§8-5曲梁的純彎曲

矩形截面曲梁（單位厚度），內半徑為a，外半徑為b，一端固定，另一端受徑向集中力作用。（1）應力函數的確定分析：任取一截面m-n

，截面彎矩為由材料力學初等理論，可知截面上正應力由此假定：再由應力分量與應力函數間的關系，可推得：將其代入相容方程

（a）第八章平面問題的極坐標解答§8-6曲梁一端受徑向集中力作用§8-6曲梁一端受徑向集中力作用

（b）該方程可轉變為歐拉方程求解，其解為

（c）代入應力函數為（2）應力分量的確定

（8.22）第八章平面問題的極坐標解答§8-6曲梁一端受徑向集中力作用邊界條件：代入應力分量得：端部條件：代入剪應力分量得：聯立求解得：第八章平面問題的極坐標解答§8-6曲梁一端受徑向集中力作用其中，代入應力分量式（8.22），有：

（8.22a）第八章平面問題的極坐標解答§8-6曲梁一端受徑向集中力作用

（d）

（e）第八章平面問題的極坐標解答§8-6曲梁一端受徑向集中力作用求位移:將應力代入本構關系(8.9)得應變,將應變代入幾何關系(8.5)得位移

（f）積分（f）第一式

（g）

將（g）代入(f)第二式積分整理得

（h）第八章平面問題的極坐標解答§8-6曲梁一端受徑向集中力作用

將（g）和(h)代入(f)第三式整理得

（i）上式成立必須兩邊同時等于一個常數F

（j）

（k）

對（j）求導得

（l）

方程（k）的通解

（m）第八章平面問題的極坐標解答§8-6曲梁一端受徑向集中力作用

利用(l),(m),從（i）得

（n）將(l)和(n)代入

(g)和(h)得位移

（8.23）H,K和L為常數,由約束確定,對應項為剛體位移第八章平面問題的極坐標解答§8-6曲梁一端受徑向集中力作用切口處相對徑向位移為由(8.23)得代入式(d)的最后一式得

（o）代入式(d)求出A,B,再由式(8.22)示出應力§8-7圓孔對應力分布的影響1.孔邊應力集中概念

由于彈性體中存在小孔，使得孔邊的應力遠大于無孔時的應力，也遠大于距孔稍遠處的應力。稱為孔邊的應力集中。應力集中系數：與孔的形狀有關，是局部現象；與孔的大小幾乎無關。（圓孔為最小，其它形狀較大）2.孔邊應力集中問題的求解（1）問題：

帶有圓孔的無限大板（B>>a），圓孔半徑為a，在無限遠處受有均勻拉應力q作用。求：孔邊附近的應力。第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響（2）問題的求解

問題分析坐標系：就外邊界（直線），宜用直角坐標；就內邊界（圓孔），宜用極坐標。A

取一半徑為r=b(b>>a），在其上取一點A的應力：OxybAArA由應力轉換公式：原問題轉化為：無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。b第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響（a）新問題的邊界條件可表示為：xyba內邊界外邊界問題1（b）（c）baba問題2將外邊界條件（a）分解為兩部分：第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響（a）問題1ba

問題1的解：內邊界外邊界（b）

該問題為軸對稱問題，其解為當b>>a時，有（d）第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響

問題2的解：ba問題2（非軸對稱問題）內邊界外邊界（c）

由邊界條件（c），可假設：為r的某一函數乘以；為r的某一函數乘以。

又由極坐標下的應力分量表達式：可假設應力函數為：

將其代入相容方程：第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響（e）

與前面類似，令：有

該方程的特征方程：特征根為：方程的解為：第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響（f）ba問題2

相應的應力分量：

對上述應力分量應用邊界條件（c）,有內邊界外邊界（c）(g)第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得ba問題2代入應力分量式（g）,有

（h）第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響將問題1和問題2的解相加,得全解：

（8.24）討論：（1）沿孔邊，r=a，環向正應力：3q2qq0－q90°60°45°30°0°（2）沿y軸，θ=90°，環向正應力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb——齊爾西（G.Kirsch）解第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響（3）沿x軸，θ=0°，環向正應力：（4）若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響（4）若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應力q1、q2作用疊加后的應力：（5）任意形狀薄板（或長柱）受面力

作用，在距邊界較遠處有一小孔。只要知道無孔的應力，就可計算孔邊的應力，如：xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響（5）任意形狀薄板（或長柱）受面力

作用，在距邊界較遠處有一小孔。只要知道無孔的應力，就可計算孔邊的應力，如：

45°第四章平面問題的極坐標解答§8.7圓孔對應力分布的影響第四章平面問題的極坐標解答§8.8集中力作用于全平面§8-8集中力作用于全平面

如圖8.11應力分量可為(a)周期為只有當n=0時,應力分量關于x軸對稱才能成立,式(a)為(b)a,b,c是r的函數,應力([力][長度]-1)與P([力][長度]-1)成正比,用因次分析法得第四章平面問題的極坐標解答§8.8集中力作用于全平面(c)將(c)代入平衡方程得(d)以任意r為半徑割出一個圓,考慮整體平衡則將(c)代入上式得(e)(f)B由位移單值條件確定第四章平面問題的極坐標解答§8.8集中力作用于全平面(g)(g)中K,L,H三個與剛體位移相對應的常數,要使位移單值,必(h)應力分量為(8.25)對平面應力第四章平面問題的極坐標解答§8.8集中力作用于全平面略去剛體位移,則(8.26)直角坐標系下的位移(8.27)式中將代入上式得對平面應變,V和E分別換成V1和E1即可式(8.27)或(8.28)是平面問題的基本解或Kelvin解,在邊界元法中起著關鍵作用A.楔頂受有集中力偶M作用（1）應力函數的確定由應力函數與應力分量間的微分關系，可推斷：將其代入協調方程：

（a）xyOM第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

§8-9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

（b）（2）應力分量的確定xyOM第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

xyOM邊界條件：（1）——自然滿足第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

（c）

（b1）xyOMab（2）代入應力分量表達式（b1）,得：

（8.29）——英格立斯（C.E.Inglis）解答說明：另外兩個邊界條件，一定自動滿足。楔頂的邊界條件：第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

特殊情況：xyOM說明：

前面有關楔形體的分析結果，在楔頂處應力均趨于無窮，這是由于集中力P和集中力偶M的原因，事實上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小區域上的面力；另一方面，分布在小區域的面力超過材料的比例極限，則彈性力學的基本方程不再適用。

前面有關楔形體的分析結果的適用性：離楔頂稍遠的區域。第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

xyOPB.楔頂受有集中力P作用

楔形體頂角為α，下端為無限長（單位厚度），頂端受有集中力P，與中心線的夾角為β，求：（1）應力函數的確定因次分析法：由應力函數與應力分量間的微分關系，可推斷：

（d）將其代入相容方程，以確定函數：第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

得：xyOP——4階常系數齊次的常微分方程其通解為：其中A，B，C，D為積分常數。將其代入前面的應力函數表達式：xy（對應于無應力狀態）第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

（2）應力分量的確定xyOP(3)邊界條件：（1）——自然滿足（2）楔頂的邊界條件：ab任取一圓弧，其上的應力應與楔頂的力P平衡。

（e）將式（e）代入，有：第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

積分得：可解得：代入式（e）得：

（8.30）

——密切爾（J.H.Michell）解答xyOPab第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

兩種特殊情況：P（1）（2）兩種情況下的應力分布：應力對稱分布應力反對稱分布PxyOabxyOab第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

（3）PxyO無限大半平面體在邊界法線方向受集中力作用第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

C.楔形體一側面上受有均布面力

作用（1）應力函數的確定由應力函數與應力分量間的微分關系，可推斷：將其代入相容方程：

（f）得到：第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

該方程的解為：

（4-24）（2）應力分量的確定

（g）邊界條件：由此可確定4個待定常數。第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

可求得：將常數代入應力分量表達式，有第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

特殊情況：xyO若用直角坐標表示，利用坐標變換式：第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

axyOxyO第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

xyOaaxyOaxyOa第八章平面問題的極坐標解答§8.9在頂端受集中力或集中力偶作用的楔形體

§8-10邊界上受法向集中力作用的半平面PxyO1.應力分量由楔形體受集中力的情形，可以得到

（8.31）——極坐標表示的應力分量利用極坐標與直角坐標的應力轉換式（4-7），可求得

（4-27）或將其改為直角坐標表示，有第八章平面問題的極坐標解答§8-10邊界上受法向集中力作用的半平面

（8.32）2.位移分量——直角坐標表示的應力分量假定為平面應力情形。其極坐標形式的物理方程為將式（8.31）代入PxyO第八章平面問題的極坐標解答§8-10邊界上受法向集中力作用的半平面由幾何方程(a)(b)(c)積分式（a）得，(d)將式（d）代入式（b），有積分上式，得(e)第八章平面問題的極坐標解答§8-10邊界上受法向集中力作用的半平面將式（d）(e)代入式（c）得，(d)(e)(c)要使上式成立，須有：第八章平面問題的極坐標解答§8-10邊界上受法向集中力作用的半平面不妨令ω=0，可解得：代入位移分量式（d）（e），有式中，常數H，I，K由邊界條件確定。(f)PxyO(d)(e)第八章平面問題的極坐標解答§8-10邊界上受法向集中力作用的半平面常數I須由鉛垂方向（x方向）位移條件確定。(f)由式（f）得：(g)由問題的對稱性，有：Pxy