2025屆江蘇省揚州、泰州、淮安、南通、徐州、宿遷、連云港市高三質量監測數學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在棱長均相等的正三棱柱中，為的中點，在上，且，則下述結論：①；②；③平面平面：④異面直線與所成角為其中正確命題的個數為()A．1 B．2 C．3 D．42．設拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A．2 B． C． D．33．已知函數，要得到函數的圖象，只需將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度4．數學中的數形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優美的曲線是數學形象美、對稱美、和諧美的結合產物，曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結論：①曲線C經過5個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區域的面積大于；④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結論的序號是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④5．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標原點，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．6．已知為虛數單位，若復數滿足，則（）A． B． C． D．7．正方體，是棱的中點，在任意兩個中點的連線中，與平面平行的直線有幾條（）A．36 B．21 C．12 D．68．若的展開式中含有常數項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．9．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．510．已知函數，，若對任意的，存在實數滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．511．若函數（其中，圖象的一個對稱中心為，，其相鄰一條對稱軸方程為，該對稱軸處所對應的函數值為，為了得到的圖象，則只要將的圖象()A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度12．若點(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，分別為內角，，的對邊，，，，則的面積為__________.14．若，則__________．15．設全集，集合，，則集合______.16．如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題：，；命題：函數無零點.（1）若為假，求實數的取值范圍；（2）若為假，為真，求實數的取值范圍.18．（12分）如圖，已知四邊形的直角梯形，∥BC，，，，為線段的中點，平面，，為線段上一點（不與端點重合）．（1）若，（?。┣笞C：PC∥平面；（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）否存在實數滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由．19．（12分）已知函數，．（1）當時，討論函數的單調性；（2）若，當時，函數，求函數的最小值．20．（12分）已知函數（1）求函數的單調遞增區間（2）記函數的圖象為曲線，設點是曲線上不同兩點，如果在曲線上存在點，使得①；②曲線在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數存在“中值和諧切線”，當時，函數是否存在“中值和諧切線”請說明理由21．（12分）在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設，∠，∠，將沿折起，構成如圖②所示的三棱錐，且使=.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調查某一社區人們的幸福度．現從該社區群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數,結果見如圖所示莖葉圖,其中以小數點前的一位數字為莖,小數點后的一位數字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸福”．(Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕剩?Ⅱ)以這18人的樣本數據來估計整個社區的總體數據,若從該社區(人數很多)任選3人,記表示抽到“很幸福”的人數,求的分布列及．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷是的中點推出②正的誤；利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標系求出異面直線與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設棱長為：2，對于①連結，則，即與不垂直，又，①不正確；對于②，連結，，在中，，而，是的中點，所以，②正確；對于③由②可知，在中，，連結，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標原點，平面上過點垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系；，，，，，；，；異面直線與所成角為，，故．④不正確．故選：．【點睛】本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結構特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關系的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．2、A【解析】

分析：題設的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點到準線的距離，也就是到焦點的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準線的距離，故為到焦點的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點睛：拋物線中與線段的長度相關的最值問題，可利用拋物線的幾何性質把動線段的長度轉化為到準線或焦點的距離來求解.3、A【解析】

根據函數圖像平移原則，即可容易求得結果.【詳解】因為，故要得到，只需將向左平移個單位長度.故選：A.【點睛】本題考查函數圖像平移前后解析式的變化，屬基礎題.4、B【解析】

利用基本不等式得，可判斷②；和聯立解得可判斷①③；由圖可判斷④.【詳解】，解得（當且僅當時取等號），則②正確；將和聯立，解得，即圓與曲線C相切于點，，，，則①和③都錯誤；由，得④正確.故選：B.【點睛】本題考查曲線與方程的應用，根據方程，判斷曲線的性質及結論，考查學生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.5、D【解析】

作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設F1A＝x，根據雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進而得到e的值【詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，設F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．【點睛】本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數形結合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.6、A【解析】分析：題設中復數滿足的等式可以化為，利用復數的四則運算可以求出.詳解：由題設有，故，故選A.點睛：本題考查復數的四則運算和復數概念中的共軛復數，屬于基礎題.7、B【解析】

先找到與平面平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.【詳解】考慮與平面平行的平面，平面，平面，共有，故選：B.【點睛】本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡單的組合問題，是一中檔題.8、C【解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數項，所以，即為整數，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.9、D【解析】

根據雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.10、A【解析】

根據條件將問題轉化為，對于恒成立，然后構造函數，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉化思想，屬于難題.11、B【解析】

由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得的解析式，再根據函數的圖象變換規律，誘導公式，得出結論．【詳解】根據已知函數其中，的圖象過點，，可得，，解得：．再根據五點法作圖可得，可得：，可得函數解析式為：故把的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，故選B．【點睛】本題主要考查由函數的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，函數的圖象變換規律，誘導公式的應用，屬于中檔題．12、D【解析】

由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據題意，利用余弦定理求得，再運用三角形的面積公式即可求得結果.【詳解】解：由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面積.故答案為：.【點睛】本題考查余弦定理的應用和三角形的面積公式，考查計算能力.14、【解析】

因為，由二倍角公式得到，故得到．故答案為．15、【解析】

分別解得集合A與集合B的補集，再由集合交集的運算法則計算求得答案.【詳解】由題可知，集合A中集合B的補集，則故答案為：【點睛】本題考查集合的交集與補集運算，屬于基礎題.16、【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設圓錐的底面半徑為，體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為，如圖則，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案為：【點睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算，考查學生空間想象能力與計算能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）為假,則為真，求導，利用導函數研究函數有零點條件得的取值范圍；（2）由為假，為真，知一真一假；分類討論列不等式組可解.【詳解】（1）依題意，為真，則無解，即無解；令，則，故當時，，單調遞增，當，，單調遞減，作出函數圖象如下所示，觀察可知，，即；（2）若為真，則，解得；由為假，為真，知一真一假；若真假，則實數滿足，則；若假真，則實數滿足，無解；綜上所述，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查根據全(特)稱命題的真假求參數的問題.其思路：與全稱命題或特稱命題真假有關的參數取值范圍問題的本質是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化，得到關于參數的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數的值或范圍．18、（1）（?。┳C明見解析（ⅱ）（2）存在，【解析】

（1）（i）連接交于點，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形，從而有，，由此能證明PC∥平面（ii）推導出，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解；（2）設，求出平面的法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）（?。┳C明：連接交于點，連接，，因為為線段的中點，所以,因為，所以因為∥所以四邊形為平行四邊形．所以又因為，所以又因為平面，平面，所以平面．（ⅱ）解：如圖，在平行四邊形中因為，，所以以為原點建立空間直角坐標系則，，，所以，，，平面的法向量為設平面的法向量為，則，即，取，得，設平面和平面所成的銳二面角為，則所以銳二面角的余弦值為（2）設所以，，設平面的法向量為，則，取，得，因為直線與平面所成的角的正弦值為，所以解得所以存在滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】此題二查線面平行的證明，考查銳二面角的余弦值的求法，考查滿足線面角的正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線，線面，面面的位置關系等知識，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）的最小值為【解析】

（1）由題可得函數的定義域為，，當時，，令，可得；令，可得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，令，可得；令，可得或，所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，恒成立，所以函數在上單調遞增．綜上，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增．（2）方法一：當時，，，設，，則，所以函數在上單調遞減，所以，當且僅當時取等號．當時，設，則，所以，設，，則，所以函數在上單調遞減，且，，所以存在，使得，所以當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，因為，，所以，所以，當且僅當時取等號．所以當時，函數取得最小值，且，故函數的最小值為．方法二：當時，，，則，令，，則，所以函數在上單調遞增，又，所以存在，使得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為，所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，所以函數在上單調遞減，所以函數的最小值為．20、（1）見解析（2）不存在，見解析【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導數，結合導數的幾何意義，再令，轉化為方程有解問題，即可說明.【詳解】(1)函數的定義域為，所以當時，；，所以函數在上單調遞增當時，①當時，函數在上遞增②，顯然無增區間；③當時，，函數在上遞增，綜上當函數在上單調遞增.當時函數在上單調遞增；當時函數無單調遞增區間當時函數在上單調遞增(2)假設函數存在“中值相依切線”設是曲線上不同的兩個點，且則曲線在點處的切線的斜率為，.令，則，單調遞增，，故無解，假設不成立綜上，假設不成立，所以不存在“中值相依切線”【點睛】本題考查了函數的單調性，導數的幾何意義，考查導數的應用以及分類討論和轉化思想，屬于中檔題．21、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取AB的中點O，連接，證得，從而證得C′O⊥平面ABD，再結合面面垂直的判定定理，即可證得平面⊥平面；（2）以O為原點，AB，OC所在的直線為y軸