2024-2025學年河北省石家莊二十八中八年級（下）開學數學試卷

一、選擇題：本題共14小題，每小題3分，共42分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1?若分式鼻無意義，貝式）

A.x=-1B.x=3C.x——1且X—3D.x=-1或x=3

2.若a、b均為正整數，且a>b〈冠，貝Ua+b的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

3.如果點“（￡1+3,（1+1）在直角坐標系的；1軸上，那么點M的坐標為（）

A.(0,-2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,-4)

4.用科學記數法表示的近似數1.58xICT?精確到哪一位？（)

A.十分位B.百分位C.干分位D.萬分位

5.比較2,，虧，舊的大小，正確的是（）

A.2<A<5<V7B.2<V7<<5C.V7<2<<5D.<5<V7<2

6.點4（-2,-3）向上平移3個單位長度后得到的點的坐標是（）

A.(-2,-6)B.(-2,0)C.(2,-6)D.(2,0)

7.四邊形A3C。的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化.當

△4BC為等腰三角形時，對角線AC的長為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

8.已知點M（a,b）在第二象限內,且|a|=l,網=2,則M的坐標是（）

A.（-2,1）B.（-1,2）C.（2,-1）D.（1,-2）

9.若關于x的分式方程在9=弱勺解為非負數，則實數a的取值范圍是（）

X-Zo

2222

A.u—B.a<—C.a之W且。工4D.a<§且。。—4

10.如圖，A/IBC的三邊AB,BC,CA的長分別是20,30,40,其三條角B

平分線將△ABC分為三個三角形，則S-B。：SABC。：SA“O等于（）

A.1：1：1

B.1：2：3

C.2：3：4

D.3：4：5

11.考查50名學生的年齡，列頻數分布表時，這些學生的年齡落在5個小組中，第一、二、三、五組的數

據個數分別是2,8,15,5,則第四組的頻率是（）

A.20B.0.4C.0.6D.30

12.如圖，已知鈍角△4BC,依下列步驟尺規作圖，并保留作圖痕跡.

步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫弧①；

步驟2：以8為圓心，8A為半徑畫弧②；

步驟3：連接AD,交8C延長線于點”；

下列敘述錯誤的是（）

A.8”垂直平分線段

B.AC平分NBA。

1

C.S^ABC=2BC,AH

D.AH=DH

13.如圖，在直角△ABC中，ZC=9O°,AC=8,BC=6,按圖中所示方法，將

△BCD沿BD折疊,使點。落在邊A3上的點O處，則△ADC，的面積為（）

A.6

B.9

C.10

D.12

14.如圖，在△ABC中，AB=AC,=90。.直角NEPF的頂點尸是

8C中點，兩邊PE、尸尸分另I」交A3、AC于點E、F,給出以下四個結

論：?AF=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=

?A4BC；?EF=AP.當NEPF在AABC內繞頂點尸旋轉時（點￡不與

A,2重合），上述結論中始終正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

15.若用反證法證明命題“若a?>b2,則a>b”,應假設

16.在四邊形A8CD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1,且NB=90。，則

/.DAB=

17.已知a,方都是實數，設點P(a,6),若滿足3a=2b+5,則稱點P為“新奇點”.若點—1,3m+2)

是“新奇點”，則點M在第象限.

18.如圖，在△4BC中，AB=AC=BC=2,AD,CE是△4BC的兩條中線,

(1)ZBXD=°；

(2)P點是線段上一個動點，貝IBP+EP的最小值是.

19.觀察下列幾組勾股數：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；…按此規律，當直角三角形的

較短直角邊長是11時，較長直角邊長是；當直角三角形的較短直角邊長是2n+1(71為正整數)時，

較長直角邊長是.

三、解答題：本題共3小題，共24分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

20.(本小題8分)

(1)先化簡，再求值：(x+1—>其中x=1；

fl

(2)/484-<3-x^12+<24.

21.(本小題8分)

某服裝店用960元購進一批服裝，并以每件46元的價格全部售完.由于服裝暢銷，服裝店又用2220元，

再次以比第一次進價多5元的價格購進服裝，數量是第一次購進服裝的2倍，仍以每件46元的價格出售.

(1)該服裝店第一次購買了此種服裝多少件？

(2)兩次出售服裝共盈利多少元？

22.(本小題8分)

小明同學發現這樣一個規律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角

頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)問題發現：如圖1,若△ABC和AADE均是頂角為40。的等腰三角形，BC、分別是底邊，求證：

BD=CE-,

(2)拓展探究：如圖2,若AZCB和ADCE均為等邊三角形，點A、。、E在同一條直線上，連接BE,則

N4EB的度數為；線段3E與之間的數量關系是.

(3)解決問題：如圖3,若A4CB和ADCE均為等腰直角三角形，乙4cB=NDCE=90。，點A、D、E在同

一條直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，連接BE.

①請求出乙4EB的度數；

②線段。0、AE、8E之間的數量關系為.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：若分式無意義，

則/—2%—3=0,即(x—3)(x+1)=0,

即久-3=0或x+1=0,

解得x=或x=3.

故選：D.

分式沒有意義的條件分母為0,即廣―2久-3=0,解得彳的值.

本題考查的是分式無意義的條件分母等于0和一元二次方程的解法.

2.【答案】B

【解析】解：a、b均為正整數，且a>，7,b<VL

a的最小值是3,

b的最小值是：1，

則a+b的最小值4.

故選：B.

本題需先根據已知條件分別求出a、b的最小值，即可求出a+b的最小值.

本題主要考查了如何估算無理數的大小，在解題時要能根據題意求出a、b的值是本題的關鍵.

3.【答案】B

【解析】解：,點M(a+3,a+1)在直角坐標系的無軸上，

???a+1=0,

解得a=-1,

所以，。+3=-1+3=2,

點M的坐標為(2,0).

故選：B.

根據x軸上的點的縱坐標為0列式求出。的值，即可得解.

本題考查了點的坐標，熟記無軸上的點的縱坐標為0是解題的關鍵.

4.【答案】D

【解析】解:1.58x10-2=0.0158,

所以精確到萬分位.

故選：D.

先化成原數，再進行判斷即可.

本題主要考查科學記數法與有效數字，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

5.【答案】C

【解析】解：???23=8,(AT=5愿=11.2,(V7)3=7

?-?V7<2<V-5.

故選：C.

首先把各數同時立方，然后比較被開方數的大小，即可解決問題.

此題主要考查了實數大小的比較，本題可通過比較它們的立方來比較大小.

6.【答案】B

【解析】解：點(—2,—3)向上平移3個單位長度后得到的點的坐標是(—2,—3+3),即(—2,0).

故選：B.

根據點的坐標的平移規律：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減求解即可.

此題主要考查了坐標與圖形變化-平移，關鍵是掌握點的坐標的變化規律.

7.【答案】B

【解析】解：當47=48=3時，△48C為等腰三角形，

當4C=BC=4時，在△ADC中，AC<AD+CD,即AC<4,此種情況不成立，

故選：B.

分力C=AB,AC=BC兩種情況，根據三角形的三邊關系解答即可.

本題考查的是等腰三角形的性質、三角形的三邊關系，靈活運用三角形的三邊關系是解題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：；|a|=1,\b\=2,點M(a,b)在第二象限，

???a=—1,b=2,

.??點M的坐標為(-1,2).

故選：B.

根據第二象限點的橫坐標是負數，縱坐標是正數求出以方的值，即可得解.

本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號

特點分別是：第一象限(+,+)；第二象限(-,+);第三象限(-,-)；第四象限(+,-).

9【答案】9

【解析】解：去分母得：6%-3a=%-2,

解得：x=V，

由分式方程的解為非負數，得到等20,且喈中2,

解得：a>|且a豐4.

故選：C.

表示出分式方程的解，由解為非負數確定出a的范圍即可.

本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，注意對分式方程增根的討論是解題的關鍵.

10.【答案】C

【解析】解：過點。作。D1BC于點。，作。E14C于點E,作。F14B于點F.

OA,OB,OC是AABC的三條角平分線，OD1BC,0E14C于，OF1AB

OD=OE=OF,

???△4BC的三邊A3、BC、AC長分別為20、30、40,

SAAB。：^ABCO:^HCAO

1i1

=Cx4BxOF)：(ifiCxOD)：(^xACxOE)

=BA：CB：CA

=2：3：4.

故選：C.

過點。作。D1BC于點。，作0EL2C于點E,作。FLAB于點孔由。4,OB,OC是A4BC的三條角平

分線，根據角平分線的性質，可得。。=。5=。/，然后利用三角形面積的計算公式表示出SMB。、

S^BCO、SACAO，結合已知，即可得到所求的三個面積的比?

本題考查角平分線的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用角平分線的性

質定理解決問題.

11.【答案】B

【解析】解：???第一、二、三、五組的數據個數分別是2,8,15,5,

???第四組的頻數是50-(2+8+15+5)=20,

第四小組的頻率為：=0.4.

故選：B.

根據題意可得：第四小組的頻數是50-(2+8+15+5)=20,再代入公式即可求得頻率.

本題是對頻率、頻數靈活運用的綜合考查，各小組頻數之和等于數據總和，各小組頻率之和等于1.

12.【答案】B

【解析】解：連接CO,8D.

由作圖可知：CA=CD,BA=BD,/

???直線BC垂直平分線段AD,帝二-------4-

a,』②

???S^ABc=1-BC-AH,故A,C,D正確，

故選：B.

根據線段的垂直平分線的判定即可解決問題.

本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學

知識解決問題.

13.【答案】A

【解析】解：???NC=90。，AC=8,BC=6,

.-.AB=10.

根據折疊的性質，BC=BC,CD=DC,ZC=^AC'D=90。.

???AC=10-6=4.

在△AC'。中，設DC'=x,貝1]4。=8-刀，根據勾股定理得(8-乂)2=/+42.

解得x=3.

CD=3,

1-1

的面積=搟xAC、/x4x3=6,

故選：A.

首先根據勾股定理求出A2的長，然后利用折疊的性質求出4C'的長，在△AC'。中，設。C'=x,則

8-久，根據勾股定理求出x的值即可，即可求解.

本題考查了翻折變換，勾股定理，掌握翻折的性質是解題的關鍵.

14.【答案】B

【解析】解：?；AB=AC,/.BAC=90°,

???Z-B=Z-C—45°,

?.P為邊的中點，/\

??.AP=BP=CP,Z-BAP=NG4P=45°,APIBC,BPC

???Z-EAP=",

又???/,EPA+AAPF=90°,乙FPC+^APF=90°,

???Z-EPA=Z.FPC,

在△EPA和中，

ZEAP=ZC

AP=PC,

.Z.EPA=FPC

AE=CF,EP=FP,所以①正確；

.?.△EPF是等腰直角三角形，所以②正確；

???四邊形AEPF的面積等于△4PC的面積，

???2s四邊形AEPF=ABC,所以③不一定正確；

又▽??,EreF=—PF,

而只有歹點為AC的中點時，AP=^-,

即點尸為AC的中點時有EF=4P,所以④不一定正確.

所以當NEP尸在A8C內繞頂點P旋轉時（點E不與A、8重合），上述結論中始終正確的有①②，共2個.

故選:B.

由等腰直角三角形的性質可得NB=NC=45。，AP=BP=CP,Z.BAP=ACAP=45°,AP1BC,由直角

三角形的兩個銳角互余，可得NEP4=NFPC,所以△EPA^^FPC,所以①②③都得到證明.當EF是三

角形ABC的中位線時，才有EF=4P.

本題考查了三角形全等的證明、直角等腰三角形的性質、以及三角形的中位線定理.解決本題的關鍵是利

用直角三角形的性質，說明△EPAgAFPC.

15.【答案】a<b

【解析】解：用反證法證明命題“若a?>b2,則a>6"，應假設a<b,

故答案為：aWb.

反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立.

本題考查的是反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟.在假設結論不成立時要注意考慮結論的反

面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

16.【答案】135°

【解析】解：連接AC.

設=貝MB=2k,BC=2k,CD=3k.A，、\

???ZB=90°,AB；BC=2：2,''、、\

???ABAC=45",AC2=AB2+BC2=4fc2+4fc2=8k2,、'、\

v(3fc)2-k2=8k2,Bc

：./.DAC=90°,

???^DAB=^BAC+^DAC=135".

故答案為：135。.

連接AC,由已知和等腰三角形的性質可知N84C=45。，在4c中利用勾股定理的逆定理可ND4C=

90°,從而求出的度數.

本題考查等腰三角形的性質及勾股定理的逆定理的應用.本題將ND4B分成/B4C,4c是解題的關鍵.

17.【答案】三

【解析】解：由題意得：

3(m-1)=2(3m+2)+5,

解得m=-4,

■■■m—1——5,3m+2——10,

M的坐標為(-5,-10).

.??點M在第三象限.

故答案為：三.

直接利用“新奇點”的定義得出加的值，進而得出答案.

此題主要考查了點的坐標，正確掌握“新奇點”的定義是解題關鍵.

18.【答案】3073

【解析】解：(1)???AB=AC=BC=2,

.?.△2BC為等邊三角形，

???/.BAC=60",

又???4。是中線，

1

,-.4BAD=^ABAC=30°.

故答案為：30；

(2)如圖,連接尸C,

???AB=AC,BD=CD,

：.AD1BC,

：.PB=PC,

PB+PE=PC+PE,

■：PE+PC>CE,

P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，

CE=<AC2-AE2=V22-1=<3,

BP+EP的最小值是JW

故答案為：73.

如圖連接PC,只要證明P8=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC2CE,推出尸、C、E共線

時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度.

本題考查軸對稱-最短問題，等腰三角形的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用

所學知識解決問題.

19.【答案】602n2+2n

【解析】解：設勾股數中最小數是。，最大數是c,中間數是6,

由幾組勾股數：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41可以看出：c=b+l,a2^b+c,

則直角三角形的較短直角邊長是11時，1/=121,

則較長直角邊長是60,

當直角三角形的較短直角邊長是2?i+1(n為正整數)時，(2n+I)2=4n2+4n+1,

較長直角邊長2幾2+2n,

故答案為：60；2n2+2n.

根據題意得到c=b+l,a1=b+c,根據規律解答即可.

本題考查的是勾股數，正確找出三個勾股數之間的關系是解題的關鍵.

20.【答案】解：(1)原式==+—三)

、'X—1X—1x—r

X—2%2—4

~X—1.X—1

x—2X—1

~X—1(%+2)(%—2)

=x+2f

當久=V-3-1時，

原式一二一一田?

原八一/3+1-2'

(2)原式=V16—V-6+V24

=4-V6+2A/-6

=4+AA6.

【解析】(1)先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算即可；

(2)先根據二次根式的乘除運算法則計算，再化簡，最后計算加減即可.

本題主要考查分式的化簡求值、二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法

則、二次根式的乘除運算法則.

21.【答案】解：(1)設該服裝店第一次購買了此種服裝1件，則第二次購進2x件，

根據題意得：^--=5,

2%x

解得：%=30,

經檢驗，x=30是原方程的根，且符合題意.

答：該服裝店第一次購買了此種服裝30件.

(2)46x(30+30x2)-960-2220=960(元).

答：兩次出售服裝共盈利960元.

【解析】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出分式方程；(2)根據數量

間的關系