機密★啟用前

2024-2025學年度高三年級上學期第一次綜合素養測評

數學學科

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題共58分）

一、單項選擇題（每小題5分，共40分.下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答

案的序號填涂在答題卡上）

x+3_

2-----------<0

1.已知不等式X-2%-3<°的解集為A,不等式x—2的解集為3,則AcB為（）

A.[-3,3]B.（-3,3）C.[-1,2]D.（-1,2）

2.已知同=6指,忖=1。》=一9,則向量a與b的夾角為（）

27t57r7T7T

A.—B.—C.-D.一

3636

3.如圖所示，為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角

NM4N=30°,C點的仰角NC48=45°以及NM4C=75°,從C點測得NMC4=60°,已知山高

BC=100m,則山高MN=()

A.120mB.150mC.50指mD.160m

,、，、S”3〃+4+a7+a.

4.已知等差數列｛叫和也｝的前〃項和分別為s“、Tn,若宣=-則378=（）

Ill3711137

A.——B.—D.

13132626

22

5.已知雙曲線c：=—2=l(a〉0,6〉0)的左、右焦點分別為居,工，尸是雙曲線C的一條漸近線上的

ab‘

3

點，且線段尸耳的中點N在另一條漸近線上.若cosNPgG=g,則雙曲線C的離心率為()

55

A-B.-C.2D.75

34

6.點尸(-2,-1)到直線/:(1+32)x+(l+2)y-2-42=0(2eR)的距離最大時，其最大值以及此時的直線

方程分別為()

A713;3x+2y-5=0B.TH；3x+2y-5=0

C.屈;2x-3j+l=0D.7n；2x-3y+l=°

1gt三+3<x<0

+X

7.已知函數/(%)的定義域為(―3,3),且/(x)=<!若3/[x(x_2)]+2〉0,

i3+x2八，-

1g----------------,0<x<3

l3-xx+3

則x的取值范圍為()

A.(-3,2)B.(-3,0)o(0,1)0(1,2)

C.(-1,3)D.(-l,0)o(0,2)o(2,3)

8.已知/T21nx+@對也>0恒成立，則。的最大值為()

X

1

A.0B.-C.eD.1

e

二、多項選擇題(每題6分，共18分，每題給出的選項中有多項符合要求，全部選對得6分,

錯選得0分，部分選對得部分分)

9.若數列｛%｝為遞增數列，則｛4｝的通項公式可以為()

2n

A.an=------B.an=2n-lC.an=n-3nD.an=2

n+1

10.函數/(x)=2sin(0x+e40〉O,|d<|J的部分圖象如圖中實線所示，C為函數與左軸的交

點，圓c與〃％)的圖象交于M,N兩點，且〃在y軸上，則()

i4\f\/..

A.(o=2B.圓的半徑為空

3

C.函數〃X)的圖象關于點E，0成中心對稱D.函數在丁蕓，口耳3上單調遞增

22

11.已知耳，鳥是橢圓C:工+2r=l(a〉6〉0)的兩個焦點，點尸在橢圓C上，若「耳J_P6，.書尸心的

ab

面積等于4.則下列結論正確的是()

22

A.若點P是橢圓的短軸頂點，則橢圓C的標準方程為土+乙=1

84

B.若P是動點，則》的值恒為2

C.若尸是動點，則橢圓的離心率的取值范圍是

D.若P是動點，則|P耳|+|。閭的取值范圍是［40,+可

第n卷(非選擇題共92分)

三、填空題(每題5分，共15分)

2

12.已知a是第四象限角，且sin2a=—耳，貝Ucose-sina=.

13.已知/(x)=x2+cosx,若a=于e4,6=c=則°,6,c按從小到大排列

為：.

14.定義:對于函數/(%)和數列｛%,｝,若(乙+1-玉)/'(%")+/(%)=。，則稱數列｛七｝具有“/(%)函

數性質”.已知二次函數〃龍)圖象的最低點為(O,T),且/(x+l)=/(x)+2x+l,若數列｛七｝具有

“〃龍)函數性質”，且首項為1的數列｛4｝滿足4=ln(x?+2)-ln(x?-2),記｛%｝的前〃項和為S“，

ri\

則數列s“?--5的最小值為.

四、解答題(本大題有5個小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并

寫在答題紙的相應位置，否則無分數.)

15.已知數列｛4〃｝為遞增的等比數列，S.為數列｛4｝的前〃項和，且S3=14,2=4.

(1)求數列｛為｝的通項公式；

M2m

(2)記bm為數列｛4｝在區間(2,2](meN*)中的所有項的和，求數列｛bm｝的前m項和Tm.

16.已知函數/(x)=R>g2；?log2'|(14xW4),g(x)=4'+4~1—a-2x—a-2~x+1.

(1)求函數最大值；

(2)設不等式/(X)WO的解集為A,若對任意為eA,存在使得菁=g(%2)，求實數。的

值.

17.如圖，拋物線「：:/=22%(夕〉0),%(2,1)是拋物線內一點，過點"作兩條斜率存在且互相垂直的動

直線設4與拋物線「相交于點A3,與拋物線「相交于點c，D,當M恰好為線段的中點

時，|附=2指.

18.已知函數/(x)=lnx-x+a.

⑴若直線y=(e—1)九與函數的圖象相切，求實數。的值；

/\

(2)若函數g(%)=4(%)有兩個極值點耳和馬，且西<%2，證明：X2+%；>1+In—.(e為自然對

數的底數)

19.法國數學家費馬在給意大利數學家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內到三角形三個頂點距

離之和最小的點，托里拆利確定費馬點的方法如下：

①當VABC三個內角均小于120時，滿足NAO3=/BOC=NCQ4=120°的點。為費馬點；

②當VA3C有一個內角大于或等于120時，最大內角的頂點為費馬點.

請用以上知識解決下面的問題：

已知VA3C的內角A&C所對的邊分別為名氏。，點”為VA3C的費馬點，且

cos2A+cos2B—cos2C=1.

(1)求C；

(2)若c=4,求|心中|"8|+|"8卜阿。+|“。卜|他4|的最大值；

⑶^\M^+\MB\=t\MC\,求實數/的最小值.

參考答案

一、單項選擇題(每小題5分，共40分.下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答

案的序號填涂在答題卡上)

x+3八

2-----------<0

1.已知不等式X-2%-3<°的解集為A,不等式x—2的解集為3,則為()

A.[-3,3]B.(-3,3)C.[-1,2]D.(-1,2)

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.

【詳解】解不等式2x—3<0,得一l<x<3,即A=(—1,3),

x+3

解不等式上」<0,得—3〈尤<2,即3=(—3,2),

x-2

所以A3=(—1,2).

故選：D

2.已知同=6后忖=l,a-Z?=-9,則向量。與6的夾角為()

【答案】B

【解析】

【分析】結合向量的夾角公式，以及向量的夾角的范圍，即可求解;

【詳解】因為同=6百,網=l,a?/?=-9,設向量。與6的夾角為。

a-b_-9_A/3

所以cos6=

|a||/?|6百xl2

5兀

又因為6e[0,可，所以。

~6

故選：B.

3.如圖所示，為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角

ZMAN=30°,C點的仰角NC48=45°以及NM4c=75°,從C點測得NMC4=60。，已知山高

BC=100m,則山高MN=()

A.120mB.150mC.50百mD.160m

【答案】C

【解析】

【分析】由題意，可先求出AC的值，從而由正弦定理可求A"的值，在心&WA入中,

AM=100圓，ZMAN=30°,從而可求得肱V的.

【詳解】解：在拓ABC中，ZG4B=45°,BC=100m,所以AC=100后m.

在，AMC中，ZMAC=J5°,ZMCA=6Q°,從而NAMC=45°,

由正弦定理得，因此AM=100百m.

sin45°sin60°

「MN

RtAMNA中,AM=100V3m,AMAN=30°,由二一=sin30°得=50點m;

AM

山iW]MN=50Gm;

故選：c

4.已知等差數列｛4｝和也｝的前〃項和分別為%Tn,若寸=-則378=（）

〃+/"2+%

1113711137

A.-----B.—C.-----D.—

13132626

【答案】C

【解析】

tz,++a?3a,

【分析】根據等差數列的性質和通項公式可得:[=7,管，再根據等差數列的求和公式可得

4+%2b6

變=粵，結合己知條件求解即可

Tn1血

【詳解】設等差數列｛a“｝的公差為d,則%+%+%=%+2d+q+62+%+72=34+15d=34,

因為或+4o=24，

%+%+%3a6_3/

所以或二5可

人2+b、o

因為等差數列｛4｝和｛2｝的前〃項和分別為s“、Tn,滿足率=即上;

〃十/

n（4+%i）

所以S“_2.3x11+4—37

所以工一11色+如）一”—11+2-13

2

%+%+%3a$3a6337111

所以X

b2+bw~2b^~2''b^~213~^6

故選：C

5.已知雙曲線C:=—3=l（a〉0,6〉0）的左、右焦點分別為耳，工，尸是雙曲線C的一條漸近線上的

ab

3

點，且線段尸耳的中點N在另一條漸近線上.若cos/P&K=g,則雙曲線。的離心率為（）

55廠

A.—B.—C.2D.

34

【答案】A

b

【分析】利用平方關系、商數關系求出tanNP^E，再由NO〃P￡得出自.=-2可得答案.

a

【詳解】因為N,。分別是「耳,耳巴的中點，所以NO〃P￡,

3兀

又cosNP月片=->0,:.0<ZPF2F1<-,

sinNPF2R=Jl—cos2/”耳=|,

4

所以tanNPgK=—,

b4故」尸

所以％=-1=-§

a\a

故選：A.

6.點P(-2,-l)到直線1:(1+32)x+(1+4)y—2—44=0(%eR)的距離最大時，其最大值以及此時的直線

方程分別為()

A.^3；3x+2y-5=0B.Til;3x+2y-5=0

C.713；2x-3j+l=0D.y/ii；2x-3j+l=0

【答案】A

【解析】

【分析】求出直線/所過的定點，再確定最大值條件即可求解.

【詳解】將直線/：(l+32)x+(l+/i)y-2-44=0(4eR)變形得x+y-2+2(3x+y-4)=。，

x+y-2=0fx=l

由L"“c，解得<,，因此直線/過定點A。/)，

3x+y-4=0[y=l

當AP，/時，點尸(一2,-1)到直線/：(l+32)x+(l+2)y-2-42=0(2eR)的距離最大，

22

最大值為|=7(-2-1)+(-1-1)=V13,又直線AP的斜率kAP=三二|=|,

—2—13

3

所以直線/的方程為y—1=—5(%—1)，即3%+2y—5=0.

故選：A

1g---+2,-3<%<0

:+工若(尤-

7.已知函數的定義域為(—3,3),且〃x)=<31nx2)]+2>0,

,3+x2八，c

1g---------------,0<x<3

3-xx+3

則x的取值范圍為()

A.(-3,2)B.(-3,0)0(0,1)0(1,2)

C.(-1,3)D.(一1,0)50,2)52,3)

【答案】D

【解析】

【分析】當—3<x<0時，判斷函數單調性，由單調性可知g；當0Wx<3時，根據單調性的

2

性質和復合函數單調性可知“X)單調遞增，可得7(x)2-然后將原不等式轉化為

—3<x(x-2)<3

即可得解.

x(x-2)w0

6

【詳解】當—3<%<0時，〃x)=lgT+展

x+3

由復合函數的單調性可知/(可在(-3,0)上單調遞減,

9

所以/(力>/(。)=_§；

當0W龍<3時，/(x)=lgf-^--11--

<3-xJx+3

因為":在［0,3)上單調遞增，y=lg?—1)為增函數,

5-x

所以y=1g［三在［0,3)上單調遞增,

又、=—會在［0,3)上為增函數，所以/(x)=lg［三-展在［0,3)單調遞增，

2

所以〃x)N〃0)=—了

2

綜上，〃力2在(—3,3)上恒成立，當且僅當尤=0時取等號.

所以不等式3f［x(x—2)］+2〉0of［x(x-2)］〉—|o?-3<-2)<3

x(x-2]w0

解得—l<x<3且xwO且x/2,即原不等式的解集為(—1,0)D(0,2)D(2,3).

故選：D

【點睛】思路點睛：解分段函數相關不等式時，需要根據自變量范圍進行分類討論，利用單調性求解即

可.

8.已知2111］+旦對\&>0恒成立，則。的最大值為()

X

1

A.0B.-C.eD.1

e

【答案】D

【解析】

【分析】由題意得e'x—對X/x>0恒成立，令/(x)=xlnx,利用導數求得了(%)2—』，即

e

xlnx>—1,再令/=xlnx,g(/)=e'-/jj2-：),利用導數求出g?)的最小值，可求出。的取值范圍,

從而可求出。的最大值.

【詳解】由x'T2ln%+@(%>。)，得如”之％ln%+a，

x

所以e'inx-xlnx^Q對Vx>0恒成立，

令/(%)=xlnx,則((%)=In%+1在(0,+8)上單調遞增,

由/'(%)=0,得彳=!，

e

當0<%<,時，f\x)<0,當時，f\x)>0,

ee

所以/(%)在［O。)上遞減，在［%+8］上遞增，

所以即%

ee

令1=xlnx,g(0=er-t^t>-—^,

則g'?)=e'—l在—：,+8)上單調遞增，

由g'?)=。，得％=O,

所以當—時，g'?)v0,當，>0時，g'?)>0,

e

所以g⑺在-：,o1上遞減，在(0,+8)上遞增，

所以g?)min=g(°)=1，所以aWl，

所以。的最大值為1.

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：此題考查利用導數解決不等式恒成立問題，考查利用導數求函數的最值，解題的關鍵

是通過對原不等式變形，將問題轉化為e*'-xlnxNa對\%>0恒成立，然后構造函數，利用導數求出最

值即可，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題.

二、多項選擇題(每題6分，共18分，每題給出的選項中有多項符合要求，全部選對得6分，

錯選得0分，部分選對得部分分)

9.若數列｛4｝為遞增數列，則｛%｝的通項公式可以為()

n2

A.an=B.an—2n—\C.an=n-3nD.an=2"

n+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用作差法判斷A、B、D,利用特殊值判斷C.

n+1n_(zi+1)2-n(n+2)_1

【詳解】對于A：a-a

n+lnn+2n+1(”+2)(〃+l)++

Yl

所以4+i>%，所以4=——為遞增數列，故A正確；

n+1

對于B：a“+i—%=2（〃+1）—1—2〃+1=2,所以％+］>%,所以4=2〃—1為遞增數列，故B正確;

對于C：因為氏=〃2-3〃，貝!］弓=-2,a2=-2,所以a“=〃?一3〃不單調，故C錯誤;

對于D：。用―。“=2.—2"=2"〉0,所以％+1>%,所以=2"為遞增數列，故D正確;

故選：ABD

10.函數/（x）=2sin（ox+。）［o>0，M<|J的部分圖象如圖中實線所示，C為函數/（%）與％軸的交

點，圓C與〃龍）的圖象交于MN兩點，且〃在y軸上，則（）

B.圓的半徑為一L

3

2021兀2023兀

C.函數八％）的圖象關于點成中心對稱D.函數/（X）在上單調遞增

12'12

【答案】AC

【解析】

【分析】根據圖象，求出了（%）解析式，可判斷ABC選項，對D選項，求出2x+g范圍即可判斷

【詳解】根據函數/（x）=2sin（（y%+9）的圖象以及圓C的對稱性，

可得N兩點關于圓心C（c,0）對稱,

rri

所以c=5，于是u=c+：=￡=/===°=2,故A正確;

3262。2

IJI]兀

由刃=2及41一《,0）得一,+夕=0+為1,左eZncp=飛+kn,keZ,

由于所以e=1,

所以/（x）=2sin[2x+1],/（O）=百，從而M（O,石），故半徑為|CM|=l1j+3w斗，故B錯誤;

將[7,。]代入得f（，）-2sinf—+,所以是中心對稱，故C正確；

2021712023兀2023K2025兀TTTV9兀

當工￡時,2x+畀即2%HG3367tH-----,3367tH-----,止匕時

12'126,6366

“X）為減函數，故D錯誤.

故選：AC

22

11.已知石，工是橢圓。：三+4=13〉6〉0）的兩個焦點，點「在橢圓。上，若尸耳，P《，月尸耳的

ab

面積等于4.則下列結論正確的是（）

A.若點尸是橢圓短軸頂點，則橢圓C的標準方程為土+乙=1

84

B.若尸是動點，則》的值恒為2

C.若尸是動點，則橢圓的離心率的取值范圍是g,l]

D.若P是動點，則忸耳|+忸閭的取值范圍是[4近,+對

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據橢圓性質以及一耳尸月的面積可得A正確；設P（x,y）可得y2=1,利用P耳，P罵并結合

橢圓方程可得B正確；由橢圓范圍可得2也可得離心率,即C錯誤；由橢圓定義可得

儼可|+盧6|的取值范圍為[4忘,+可，即D正確.

【詳解】對于A,若點尸是橢圓的短軸頂點，則b=c,a=J為，又5點尸=L42c=k=4,

?rrir22

22

所以儲=8,所以橢圓C的標準方程為二+乙=1,故選項A正確；

84

對于B,設P（x,y）,由題意可知=；?2c-3=c?|y|=4①，

22

因為尸耳,尸工，所以“——乙=一1,即/+丁2=02②，又y=1③,

x-cx+ca

由②③及〃+°2=/得>2=（,又由①知丁=與，所以b=2.故選項B正確;

cc

2

對于C,由②③得所以02^82,從而"=52+022202=8,故。》2&.

軍,11,故選項c錯誤;

所以橢圓的離心率e=f

a2J

對于D,由橢圓定義可得|尸盟+戶閭=2。24夜，即歸川+歸耳|的取值范圍為［40,+可，即選項D正

確.

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：求解橢圓離心率等范圍問題經常利用橢圓定義以及橢圓性質得出關系式，再由變量自身

范圍即可得出結論.

第II卷（非選擇題共92分）

三、填空題（每題5分，共15分）

~2

12.已知。是第四象限角，且sin2a=-§,貝！Jcosa-sina=.

【答案】巫

3

【解析】

【分析】根據題意，得到cosa-sina>0,再結合三角函數的基本關系式和正弦的倍角公式，即可求解.

【詳解】由題意知，a是第四象限角，可得cosa>0,sina<0,所以cosa—sin（z>0,

25

因為sin2a=一耳，可得(cosa-sino)2=cos2a+sin2a-2sinacosa=l-sin2a=—

3

故答案為：叵.

3

13.已知/(x)=f+cosx,若a=于e4,6=c=則°,6,c按從小到大排列

為：,

【答案】b<c<a

【解析】

【分析】構造函數丸(x)=e*-(x+1),t(x)=lnx—(x-1),利用導數與單調性最值得關系可比較出

C1_3

0<ln：<、<e和再結合原函數/(x)=x2+cosx的單調性和奇偶性即可比較大小.

【詳解】因為函數/'(力=好+以^^的定義域為R,

/(-%)=(-x)2+cos(-x)=f(x),所以函數/(x)為偶函數，

故以下只用討論函數在［0,+8)的單調性，

因為g'(x)=2-cosx>。在［0,+8)上恒成立，

所以g(x)=2x-sinx在［0,+oo)上單調遞增，

所以g(x)=2x-sinx>g(0)=0,

即/'(X)=2x—sinx?。在［0,+<?)上恒成立，

所以了(%)在［0,內)上單調遞增,則"％)在(f,0)上單調遞減，

設函數/z(x)=e*-(x+1),A(x)=ev-1,

當尤<0時，h'(x)<0；當x>0時，h'(x)>0；

所以函數九(x)=e，-(x+1)在(―,0)單調遞減，(0,+。)上單調遞增,

3—上］--1

所以以——)=4——〉丸(0)=0,即e4〉—〉0,

44e4

11—Y

設函數Xx)=ln%_(x_l),/(%)=——1=---,

XX

當0<X<1時，t\x)>0；當x>1時，t\x)<0；

所以函數f(無)在(0,1)單調遞增，［1,+8)上單調遞減,

所以?9)=ln』—!</(1)=0,即

44444

51-2511-2)

所以0<ln3<±<e"所以/(In：)</(：)</e4,

44441J

又因為6=/jn：［=/［—In：］=/(ln|),c=/(一：)=/(：),

所以，

故答案為：b<c<a.

14.定義：對于函數八％)和數列｛尤“｝,若(%!+1—%)/'(%)+/(%)=。，則稱數列｛尤“｝具有""%)函

數性質”.已知二次函數八％)圖象的最低點為(O,T),且〃x+l)=/(x)+2x+l,若數列｛%｝具有

/(X)函數性質”,且首項為1的數列｛%｝滿足%=ln(x?+2)-ln(x?-2),記｛4｝的前〃項和為S“,

〃I

則數列s.?--5的最小值為.

12J

【答案】-----

2

【解析】

【分析】利用二次函數的性質求解析式，再利用數列的遞推思想構造等比數列，即可求和，從而用數列的單

調性來求出最小值.

【詳解】由二次函數最低點為(0,—4)可知：/(%)=依2-4(。>0),

X/(x+1)-/(x)=a(x+l)--4-av2+4=a(2x+l)=2x+l,所以a=l,

%+2

則/(%)=x2-4.由題意得a”=ln(x?+2)-ln(x?-2)=ln-^―

七一2

又由(Z+1—七)/'(%)+/(%)=。,得(%+1—)2%+解一4=0,

因為x“-2〉0,所以

又x+2-（X"+2『x2-（七—2『

即互+i2天一2%'又3+2-不^，％-2-

)

所以上11互+2=2(%+42'則M%iK+2=2叱%3+2’即%=2%,

x.+i

故｛4｝是以1為首項，2為公比的等比數列，所以a“=2"T,S"=2"—l.

令L=S.-[—5]=[-5](2"-1),則%-q=(“-8)-2"T—g,

故當〃W8時，cn+l<cn,當〃上9時，c,i+1>cn,

故（"n=。9=-米

故答案為：------

2

【點睛】方法點睛，根據二次遞推，則需要通過構造兩邊對數，來得到等比數列遞推關系.

四、解答題（本大題有5個小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并

寫在答題紙的相應位置，否則無分數.）

15.已知數列｛4｝為遞增的等比數列,S“為數列｛%,｝的前”項和,且S3=14,%=4.

（1）求數列｛4,｝的通項公式；

m2m

（2）記bm為數列｛%｝在區間（2,2］（rneN*）中的所有項的和，求數列｛bm｝的前m項和1m.

產+34

【答案】（1）4=2"；（2）Tm=-------------2M.

【解析】

【分析】（1）設公比為4,根據邑=14,%=4,求得%q,寫出通項公式；

（2）由》7=1,m=2,加=3,…推出2”對應的區間（2"122"］中包含｛%｝的項，然后利用等比數列的前"項和

公式和分組求和法求解.

【詳解】（1）設公比為4,由題意得，q+/+%=，■+%+出4=一+4+4q=14,

qq

解得4=2,4=2,或q=8,q=g（舍去），

所以%=2",故數列｛〃“｝通項公式為%=2".

(2)由題意得，仇對應的區間為：Qi,2?],其中包含出，則偽=%；

為對應的區間為：(22,24],其中包含生，%，則為=%+。4；

與對應的區間為：(23,26],其中包含為，a5>。6，則4=q+。5+。6；……

心對應的區間為：(272嗎,其中包含冊+1，am+2,a2m,則/=4旬+4初++%,，

因此粼=2"+2*2++22"',

Q/M+lZ1Om\

所以勾=—:，=2x4m-2",

故T=8(1-4")4(14)223+4

m-1-41-2-3

【點睛】方法點睛：求數列的前〃項和的方法

(1)公式法：①等差數列的前n項和公式，Sn="(4+4)=〃q+"("T)d②等比數列的前n項和公

"212

navq-\

式S"=<—;

------

Ii-q

(2)分組轉化法:把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.

(3)裂項相消法:把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.

(4)倒序相加法:把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推導過程的推廣.

(5)錯位相減法:如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項之積構成的，則這個數

列的前n項和用錯位相減法求解.

(6)并項求和法：一個數列的前"項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如斯=(—1)叭")類

型，可采用兩項合并求解.

16.已知函數=log2：-log2"|(lWx<4),g(x)=4'+4~x-a-2x-a-2~x+1.

(1)求函數/(%)的最大值；

(2)設不等式/(x)<0的解集為A,若對任意看eA,存在使得X=g(%)，求實數。的

值.

【答案】(1)2(2)-

2

【解析】

【分析】(1)根據對數運算化簡為二次函數的復合函數，結合二次函數的值域求出最值即可；

(2)先換元把指數函數復合函數轉化為二次函數，再分段分類討論求出最值，再根據已知等式求值即可.

【小問1詳解】

=log2；-log21=(log2x-2)-(log2x-1)

=(log2x)"-310g2尤+2,

l<x<4,0<log,%<2,

.,.當log2X=0,即l=1時，/(l)=2,當log2X=2,即x=4時，f(4)=0,

???當x=l時，””的最大值為2.

【小問2詳解】

由/(x)W0,得l<log2X<2,

即2W九W4,...A=[2,4],

設"2*+2,則當2xe[l,2],2,1,

g(x)=4x+4--x-a-2x-a-2-x+1=(2X+-a(2x+2-x)-l=r-at-1,

設人(%)=e—dt~\,

由題意，A=[2,4]是當te2,1時，函數力⑺的值域的子集.

①當￡<2,即aW4時，函數可。在2,|上單調遞增，

②當3?』，即。25時，函數入⑺在2,|上單調遞減,

222

則5日不等式組無解.

——a<2,

2

③當即4<a<5時，函數人⑺在2,1上單調遞減，|，|上單調遞增,

則函數h（t）的最大值是h（2）與丸的較大者.

令/z（2）=3—2a?4,得a4—g,

令=?一二。"4,得均不合題意.

。422

綜上所述，實數。的值為

2

【點睛】關鍵點點睛：本題第2小問解決的關鍵是，利用換元法將問題轉化為A=[2,4]是/1（。=/一成一1

的值域的子集，從而得解.

17.如圖，拋物線「丁=2/5〉0）,河（2,1）是拋物線內一點，過點〃作兩條斜率存在且互相垂直的動

直線/1」2,設4與拋物線「相交于點A3,，2與拋物線「相交于點C,D，當“恰好為線段的中點

時，|附=2指.

（1）求拋物線「的方程；

（2）求08的最小值.

【答案】（1）y2=2x

（2）12

【解析】

【分析】(1)設直線2=m(y—1),A(%聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達

定理，依題意可得〃〃=1,再由弦長公式得到方程，解得P即可；

⑵根據數量積的運算律得到ACDBUMCI-IMDI+IAMI-IMBI，X\MA[\MB^=3(1+m2),同理

可得31+3再由基本不等式計算可得.

【小問1詳解】

解法一：設直線48:*_2=鞏,_1),4(%,%),6(%,%)，

x=my-m+2,

聯立<2，得y-2pmy+2pm-4p=0,

y=2px

所以為+%=2p/n，X%=2pm—4p.

又因為M(2,l)是AB的中點，所以七=p機=i,

又|=71+m2I%一為I=Vl+m24%%

=Jl+J16p_4=2^6，

代入化簡得(〃—1)(4/—3〃+l)=0,解得p=1.

故拋物線「的方程為V=2x.

解法二：設直線A3的傾斜角為8,再設A、3的坐標都為(2+tcos6U+/sin6"),

代入拋物線方程得(l+fsin￡)2=2p(2+fcos8),

化簡得產sin?9+2%(sine-pcos6)+l—4p=0.

-2(sin。一〃cos。)1-4/?

"J/--,%sin2^

因為M(2,l)是AB的中點，所以4+^=0,即，=tan氏

又因為2#=『修=2回］)而2。,

sin0

tan

將sin2e=f=rJ代入化簡得(0—1)(4p2—3°+1)=0,

1+tan01+p'

即P=l,所以拋物線「的方程為_/=2x.

【小問2詳解】

解法一：ACDB=(MC-MA)(MB-MD)

=MC-MB-MA-MB-MCMD+MA-MD

=-MCMD-MAMB=\MC\-\MD\+\MA\-\MB\,

由(1)可得%+