專題12根據平行線的性質與判定求角度大題

1.如圖，直線PQ//MN,點、C是PQ、肱V之間（不在直線P。，肱V上）的一個動點.

（1）如圖L若團1與02都是銳角，請寫出回。與團1,回2之間的數量關系為：.

（2）把直角三角形/2C如圖2擺放，直角頂點C在兩條平行線之間，CB與PQ交于點、D,CA與

/AF.N

"N交于點￡,8/與P0交于點尸，點G在線段CE上，連接DG,有ZBDF=NGDF,下二;為

Z.CD（j

多少？

（3）如圖3,若點。是下方一點，2c平分即AD,平分回。1，已知NPBG=25。，求

NACB+NAD8的度數.

【答案】（1）NC=N1+N2；（2）|；（3）75°

【分析】（1）根據平行線的性質、余角和補角的性質即可求解；

（2）根據平行線的性質、對頂角的性質和平角的定義解答即可；

（3）根據平行線的性質和角平分線的定義以及三角形內角和解答即可.

【詳解】解：⑴ZC=Z1+Z2,

證明：過C作〃/MN,如下圖所示，

圖1

■.-1//MN,

.-.Z4=Z2（兩直線平行，內錯角相等）,

-.-1//MN,PQ//MN,

:.l//PQ,

二/3=/1（兩直線平行，內錯角相等）,

，N3+N4=N1+N2,

.\ZC=Z1+Z2；

(2)

ZBDF=Z.GDF,

?.?ZBDF=NPDC,

:.ZGDF=ZPDC,

???ZPDC+ZCDG+ZGDF=180°,

ZCDG+2ZPDC=180°,

ZPDC=90°--ZCDG,

2

由(1)可得，ZPDC+NCEM=NC=9Q。,

.\ZAEN=ZCEM,

NAEN_NCEM_90°-NPZ)C_90。-(90。—g/CDG)_工；

ZCDG~ZCDG~ZCDG-ZCDG-2

(3)設BD交MN于J.

PBQ

?;BC平分NPBD,AM平分NCW,NPBC=25。,

ZPBD=2ZPBC=50°,ZCAM=ZMAD,

PQ//MN,

:.ZBJA=ZPBD=50°,

:.ZADB=ZAJB-ZJAD=500-ZJAD=500-ZCAM,

由⑴可得，ZACB=ZPBC+ZCAM,

z.ZACB+ZADB=ZPBC+ZCAM+50°-ZCAM=250+50°=75°.

【點睛】本題考查了平行線的性質、余角和補角的性質，角平分線的性質，解題的關鍵是根據平行

找出角度之間的關系.

2.如圖，ABLAK,點A在直線上，A3、AK分別與直線E廠交于點5、C,/M4S+/KCF=90。.

(1)如圖1,求證：EF//MN；

(2)如圖2,作NCBA與/BC4的角平分線交于點G,求NG的度數；

(3)如圖3,作與/ECK的角平分線交于點H,請問N”的值是否為定值，若為定值請求出定

值，若不是，請說明原因.

【答案】⑴見解析

⑵N3GC=135°

(3)回，的值是為定值，NH=45。

［分析1(1)由垂直定義可得ZMAB+ZKCF=90°,然后根據同角的余角相等可得ZNAC=ZKCF,

從而判定兩直線平行.

(2)根據角平分線的性質和直角三角形兩個銳角互余，可得出/CBG+/BCG=45°，再利用三角

形內角和180,即可求解.

(3)設NM4B=NABC=x,則/KCF=90-x,再結合角平分線的性質和平行線的性質即可求解.

(1)

證明：HABLAK,

^\ZMAB+ZNAC=90°,

又國NMAB+NKCF=90°,

SZNAC=ZKCF,

?MN〃EF.

(2)

解：BAB±AK

SABAC=90°,

SZCBA+ZACB=90°,

EIBG平分NC54,

^ZCBG=-ZCBA,

2

同理ZBCG」NBCA,

2

0ZCBG+ZBCG=-(ZCBA+ZBCA)=45°,

2

EI/3GC=180O-(/CBG+ZBCG)=135。.

(3)

解：設/舷42=尤

貝|JNABC=X,

ZKCF=90-x,

EIAH平分/B4V,

^ZHAN=-ZBAN=90°--x,

22

SZHAC=-x,

2

同理ZHCK=-Z.BCK=45°+-x,

22

0ZH=45°.

【點睛】本題考查了角平分線的性質、平行線的判定及性質、直角三角形兩銳角互余知識，解決本

題的關鍵是熟練掌握知識點，找到角的關系，列出等式求解.

3.已知4BEICD,點M在直線48上，點、N、0在直線CD上，點尸在直線/2、CD之間，EL4MP

=^PQN,尸0平分0MPN.

⑴如圖①，若ELWPN=88。，則；

(2)如圖②，過點。作0E0PN交尸M的延長線于點過點E作斯平分EPE0且交尸。于點尸.求

證：￡7同尸0；

⑶如圖③，在(2)的條件下，連接EN,若NE平分即NQ,EL4W=24°,則EWEF=.

【答案】⑴22°;

(2)見解析；

(3)12°

【分析】(1)如圖①，過點尸作尸R||AB,可得AB||C0|PR,利用平行線的性質來得到結論；

(2)根據已知條件可得2ZEPQ+2ZP￡F=180。，進而可得EF與PQ的位置關系；

(3)結合(2)和已知條件可得國"￡=回°硒,根據三角形內角和定理可得回MVE=J(180。一回VQE)

=；(180°-3ct),可得0A?尸=18O-EIQEF-IWV0￡-I30NE,進而可得結論.

(1)

解：(1)如圖①，過點P作mIIA3,

?/AB//CD,AB\\PR,

:.PR\\CD,

ZRPQ=ZPQN.

■.■ZAMP=ZPQN,

ZAMP=ZMPR=ZRPQ=|ZMPQ.

■■■P0平分EAfPN,0A〃W=88。，

ZMPQ=|ZMPN=1x88°=44°,

ElZAMP=^ZMPQ=1x44°=22°.

故答案為：22°；

(2)

解：如圖②，EF^PQ,理由如下：設EL4MP=0PQN=a,

F

4M六B

CNQD

圖②

即。平分IWPN.

^\MPQ—^NPQ=2a.

BQE\\PNf

^\EQP=^\NPQ=2af

^\EPQ=^\EQP=2a.

團既平分即E。，

^PEQ=^\PEF=2^\QEF.

^EPQ+BEQP+^PEQ=180°,

團2蛇尸0+2即￡尸=180°,

如￡7乜+2EF=90。，

豳PFE=180°-90°=90°,

ELETW^Q

(3)

解：如圖③，SNEF=^^AMP=12°,理由如下：設EL4MP=EIPQN=a,

圖③

由(2)可知：WQP=2a,ELEFQ=90°,

回團。跖=90°-2a.

aiP0N=a,

^NQE=^PQN+WQP=3a.

07VE?平分EIPN0,

^\PNE=SQNE.

SQE\\PN,

^3\QEN=^PNE,

^QNE=^QEN.

EEN0E=3a,

^S\QNE=j-(180°-EWQE)=[(180°-3ct),

^\NEF=1800-SQEF-^NQE-SQNE

=180°-(90°-2a)-3a-y(18O°-3ot)

3

=180°-90°+2a-3a-900+-a

2

1

=2a

=^^AMP.

HZWEF=J回AMP=12°.

故答案為：12。.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的性質，理解平行線的判定和性質是解答關鍵.

4.AB^\CD,C在。的右側，平分0A8C,平分0AoC,BE、DE所在的直線交于點E.SL4DC

=70°.

(1)求回EDC的度數；

(2)若0Age=30。，求勖ED的度數；

(3)將線段BC沿。。方向移動，使得點8在點/的右側，其他條件不變，若&42C="。，請直

接寫出勖￡。的度數(用含"的代數式表示).

備用圖

【答案】(1)35°(2)50°(3)215°--n°

2

【分析】(1)根據角平分線定義即可得到答案；

(2)過點E作EF//AB,然后根據角平分線的定義、平行線的判定和性質以及角的和差進行推導即

可得解；

(3)過點E作所〃AB,然后根據角平分線的定義、平行線的判定和性質以及角的和差進行推導即

可得解.

【詳解】解：(1)回。E平分/ADC,ZADC=70°

0Z￡DC=-ZADC=35°；

2

(2)過點E作EF//AB,如圖：

EIOE平分/4X7,ZADC=70°；破平分/ABC,ZABC=30°

BlZEDC=-ZADC=35°,ZABE=-ZABC=15°

22

ABIICD,EF//AB

^ABIIEFIICD

S\ZFED=ZCDE=35°,NFEB=ZABE=15。

0/BED=/FED+/FEB=50°；

(3)過點E作EF//AB,如圖：

ElDE平分/ADC,ZADC=70°;BE平分/ABC,ZABC=n°

0ZEDC=-ZADC=35°,ZABE=-ZABC=-n°

222

SAB//CD,EF//AB

^ABHEFUCD

0/FED=ZCDE=35°,NFEB=180°-ZABE=180°--/i°

2

0/BED=/FED+ZFEB=35°+180°-1"°=215°-1.

22

故答案是：(1)35°(2)50°(3)215°--n°

2

【點睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的判定和性質以及角的和差，解答本題的關鍵是作出

輔助線，要求同學們掌握平行線的性質，難度中等.

5.已知AB〃C￡>,點〃、N分別是48、CD上的點，點G在CD之間，連接MG、NG.

Z7

⑴如圖1,若GM_GN,求EL4MG+EICNG的度數；

(2)如圖2,若點P是CD下方一點，MG平分B5WP,ND平濟0GNP,已知03MG=32。，求0MGN+ELWPN

的度數；

⑶如圖3,若點E是N2上方一點，連接瓦0、EN,且GM的延長線〃/平分的ME,NE平分回CNG,

2^MEN+^MGN=105a,求西ME的度數？

【答案】(1)90°

(2)96°

(3)50°

【分析】(1)過G作依據兩直線平行，內錯角相等，即可得到西MG+E1CNG的度數；

(2)過G作GK〃4B,過點尸作尸。〃48,設國GND=a,利用平行線的性質以及角平分線的定義，

求得ELWGN=32°+a,EA〃W=64°-a,即可得至1]回質7'+財花板=32。+(1+64。-a=96°；

(3)適G作GK"AB,過E作￡7〃/8,設a4MR=x,SGND=y,利用平行線的性質以及角平分線

的定義，可得0^￡、=回量^-13歷1/=90。-；卜-2》，^MGN=x+y,再根據2IWEN+[3G=：L05。，即可

得到2(90°-；y-2x)+x+y=105°,求得x=25°,即可得出EL4ME=2x=50.

【詳解】(1)如圖1，過G作

圖1

酎B〃CD,

^GHI/AB/ICD,

^AMG=WGM,您CNGFHGN,

^MG^NG,

^MGN=^MGH-^NGH=^AMG^CNG=90°；

(2)如圖2,過G作GKUAB,過點尸作尸。〃/5,設團GNL>=a,

團GK〃處

團RlKGN=R]GND=a,

◎GK"AB,^BMG=32°,

^\MGK=^\BMG=32°,

團MG平分團BMP,

^\GMP=^BMG=32°f

[WAfP=64°,

^PQ//AB,

^\MPQ=^BMP=2^BMG=64°,

即億>平分團GAT3,

^\DNP=^lGND=a,

酎BHCD,

^PQ//CD//GK,

^\QPN=BDNP=^KGN=a,

^\MGN=^MGK^GN=32°+a,^MPN=^MPQ-團。尸N=64°-a,

團必GN+團MPN=32°+a+64°-a=96°；

(3)如圖3,過G作GK〃4S,過E作ETUAB,設四MF=x,^\GND=y,

圖3

/G交于M,MF平分蜘ME,

回^FME=^FMA=^BMG=x，

^\AME=2x,

^GK//AB,

^\MGK=^\BMG=x,

⑦ETHAB,

^\TEM=^AME=2x,

^CD//AB,AB//KG,

團GK〃處

^KGN=^\GND=y,

W^\MGN=x+yf

^CND=18Q°,NE平分處CNG,

釀CNG=180°-y,^\CNE=-0C7VG=9O°--v,

22

^ET//AB,ABIICD,

^ETHCD,

團團TEN=RCNE=90°--y,

2

^BMEN=^\TEN-^\TEM=90°~^y-2x,^\MGN=x+y,

團21WEN+[WGN=105°,

02(90°-；y-2x)+x+y=105°,

盟=25°,

回囿4〃￡=2%=50°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角,

利用平行線的性質以及角的和差關系進行推算.

6.問題情境：如圖1,AB//CD,07%8=130。，0PC￡>=12O°,求a4PC的度數.小明的思路是：過

P悍PE〃AB,通過平行線性質來求a4PC.

（2）問題遷移：如圖2,AB//CD,點P在射線0M上運動，記皿B=a,回「。。=夕，當點尸在8、D

兩點之間運動時，問蜘PC與*/之間有何數量關系？請說明理由；

⑶在（2）的條件下，如果點P在3、。兩點外側運動時（點P與點O、B、。三點不重合），請直

接寫出明尸C與a、4之間的數量關系.

【答案】⑴110

⑵陰PC=a+￡,理由見解析

⑶當尸在AD延長線上時，EICE4=a/；當P在。2延長線上時，SCPA=/3-a

【分析】（1）過尸作小〃N8,通過平行線性質求mPC即可；

（2）過P作PE〃AB交AC于E,推出AB//PE//DC,根據平行線的性質得出回a=&4PE,回￡=團3￡,

即可得出答案；

（3）分兩種情況：尸在8。延長線上；P在。3延長線上，分別畫出圖形，根據平行線的性質得出

0a=EL4PE,股=回。尸￡,即可得出答案.

【詳解】（1）解:過點P作尸E〃/2,

^AB//CD,

^PE//AB//CD,

團西+助PE=180°,團C+團CPE=180°,

回叫5=130°,0PCZ)=120°,

團四尸E=50°,團CPE=60。,

團蜘尸。二四尸8+團。依=110°.

故答案為：110.

(2)解：^APC=a+/3,

理由：如圖2,過P作PE〃4B交AC于E,

^AB//CD,

^AB//PE//CD,

^a=^\APE,0器CPE,

^\APC=^\APE^CPE=a^；

(3)解分兩種情況：當尸在5。延長線上時，過尸作尸皿8交4。于E,如圖所示,

^AB//CD,

^AB//PE//CD,

^a^\APE,0E1CPE,

^\CR4=^APE-^CPE=a-/3f

即團C7M=a/；

當尸在延長線上時，過P作PE〃4B交4c于E,如圖所示,

N

O

^AB//CD,

BAB//PE//CD,

Ela=EL4PE,0@CPE,

EES=^CPE-^CR4=/3-a,

即EICE4=Q-a.

綜上，當尸在AD延長線上時，0CE4=a/；當尸在延長線上時，^CPA^-a.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一道比較

典型的題目，解題時注意分類思想的運用.

7.如圖1,AB//CD,G為AB、8之間一點.

圖2圖3

⑴若GE平分NAEF,GF平分/￡FC.求證：EGLFG；

44

⑵如圖2,若/AEP=~^AEF,NCFP=-ZEFC,且FP的延長線交/但的角平分線于點M,

EP的延長線交NCFP的角平分線于點N,猜想/M+/N的結果并且證明你的結論；

⑶如圖3,若點H是射線￡8之間一動點，FGN分NEFH,MF平分NEFC,過點G作GQL月0

于點Q,請猜想NEHF與NFGQ的關系；并證明你的結論.

【答案】⑴見解析

(2)/M+/N=120。，見解析

⑶NEHF=2NFGQ,見解析

【分析】⑴由平行線的性質可得/A￡F+/EFC=180。，再由角平分線的定義得NGEF=g/A所,

NEFG=；NEFC,從而利用三角形的內角和可求解；

⑵過點用作過點N作NK//CD,從而可得到AB//MH〃NK//CD,結合平行線的性

質及角平分線的定義可求得一￡MF+一￡2VF的度數；

(3)由垂直可得NG尸。=90。-/7^迨，再由角平分線的定義可求得/"FC=2/GFQ,再由平行線

的性質得/EHF+/HFC=180。，從而可求解.

(1)

證明：?.?AB〃CD,

NAEF+ZEFC=180°,

?.?GE平分上4￡F,GF平分/EFC,

NGEF=-NAEF,NEFG=-/EFC,

22

ZGEF+NGFE=1(NAEF+NEFC)=90°,

r.NG=180。-(/GEb+NGFE)=90°,

:.EG±FG；

(2)

解：ZM+ZN=\2Q°,

證明：過點“作MH/MB,過點、N作NKUCD,如圖2所示：

圖2

■：AB//CD,

:.AB//MH//NK//CD,^AEF+^EFC=180°,

:.NAEM二NEMH,NHMF=/MFC,NAEN=NENK,NKNF=NNFC,

NEMF=NEMH+NHMF=ZAEM+/MFC,/ENF=NENK+NKNF=/AEN+NNFC,

44

vZAEP=-ZAEF,NCFP'NEFC,EM平分NAEP,FN平分NMFC,

22

/.ZAEM=-ZAEF,NNFC=-NEFC,

99

2442

NEMF=-ZAEF+-NEFC,NENF=-NAEF+-NEFC,

9999

:.NEMF+NENF

2442

=-ZAEF+-NEFC+-NAEF+-NEFC

9999

22

=—NAEF+—NEFC

33

=：(/AEF+/EFC)

=120°；

(3)

解：ZEHF=2ZFGQ,

證明：???Ge，Rw,

ZGFQ=90°-ZFGQ,

FG平分NEFH,MF平分NEFC,

ZGFQ=NGFE+NQFE=g(NHFE+/EFC)=|NHFC,

NHFC=2NGFQ,

-.AB!/CD,

/EHF+NHFC=180°,

NEHF=180°—NHFC=180°—2/GFQ=2NFGQ.

【點睛】本題主要考查平行線的性質，垂線，解答的關鍵是結合圖形分析清楚各角之間的關系.

8.如圖，A5〃CD,點P,Q為直線CO,AB上兩定點，0°<NPAQ<180°.

(2)若PM平分NCPN,平分NAQN,NPNQ=110"；

①如圖2,點N在PQ左側時，求/尸河。的角度；

②如圖3,點N在PQ右側，求/PM。的角度；

⑶如圖4,PM平分■NCPN,QW平分NAQN,NPNQ=120。，點N在PQ右側，若NCPM與NAQM

的角平分線交于點“I，與的角平分線交于點AG;此次類推，貝|/加2必。

=.(直接寫出結果)

【答案】(1)N2=Z1+N3

⑵①55。；②125°

(1V022

(3)-xl20°

【分析】（1）根據平行線的性質與判定即可求解；

（2）①根據（1）的結論,結合角平分線的定義ZPMQ=NCPM+ZAQM=^ZCPN+ZAQN）=55°；

②點N在PQ右側時，過點N作NG〃AB,則GN〃CD,可得NPMQ=/CPM+NAQM

=J（/CPN+NAQN）=125°；

（3）根據（2）的結論，分別寫出前幾個角的度數，找到規律即可求解.

（1）

解：如圖，過點NV〃A3,

Z3=ZFNQ,

■.■AB//CD,NF//AB,

:.NF//CD,

:.N1=NPNF,

Z2=ZPNF+ZQNF,

.-.Z2=Z1+Z3,

故答案為：Z2=Z1+Z3；

(2)

①如圖，點N在尸。左側時,

由(1)可得/PNQ=NCPN+ZAQN,ZPMQ=ZCPMZAQM,

.?PM平令/CPN,QM平分NAQV,

NCPM=|NCPN,ZAQM=|ZAQN,

ZCPN+ZAQN=110°,

：.NPMQ=NCPM+ZAQM=：(NCPN+/AQN)=55。；

②如圖，點N在尸。右側時，過點N作NG〃AB,則GN〃C￡>

ZGNQ+ZAQN=180。,NCPN+ZGNP=180°,

ZCPN+ZAQN+NQNP=360。，

:/PNG=110°,

ZCPN+ZAQN=360°-110°=250°,

PM平分/CPN,QM平分ZAQN,

ZCPM=|ZCPN,ZAQM=|ZAQN,

：.NPMQ=NCPM+ZAQM=g(/CPN+ZAQN)=125°；

(3)

圖4

依題意由(2)②可知，^CPN+ZAQN+ZQNP=360°,NPNQ=120。，

ZPM2=1(ZCPA^+ZA0^)=1(360°-120°)=120°,

由①可知。，

(2)NPMQ=NCPM+ZAQM=120ZPMtQ=ZCPM+ZAQM

=^(ZCPM+ZAQM)=60。=IIxl20°；

同理可得/產4%。=30。=1Ixl20°,

(iY022

ZPM2022e=^-Jxl20°

【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，數形結合是解題的關鍵.

9.直線EF、GH之間有一個直角三角形ABC,其中回BAC=90。，回ABC=。.

（1）如圖1,點A在直線EF上，B、C在直線GH上，若回々=60。，0FAC=3O°.求證：EF0GH;

（2）將三角形ABC如圖2放置，直線EFI3GH,點C、B分別在直線EF、GH±,且BC平分回ABH,

直線CD平分回FCA交直線GH于D.在々取不同數值時，回BCD的大小是否發生變化？若不變求其值，

若變化指出其變化范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）不變，45。.

【分析】（1）要想求得兩條直線平行，我們先要確定題中的內錯角相等，即證明回EABWABC,由題

知13ABe=603E1FAC=3O9,所以回EAB=l3ABC=18CrEIBAC-[aFAC=：L80°-90°-30°=609,所以EF0GH.

（2）過點A作AM平行EF和GH,本題利用平行線間的同旁內角互補，回A=90。，求得EIFCA+EIABH=270。,

在利用已知條件中的兩個角平分線，得到EIFCD+I3CBH=1353再利用兩直線平行，內錯角相等，可知

0CBH=EECB,即EIFCD+OECB=135。，所以可以求得EIBCD的度數.

【詳解】解：（1）先要確定題中的內錯角相等，即證明國EABWABC,

fflEAB=180°-l3BAC-[3FAC,回BAC=90°,EIFAC=30°

00EAB=6O°,

又EBABC=60°,

fflEAB=0ABC,

0EF0GH;

fflFCA+ECAM=180°,EIMAB+0ABH=18O°,ECBH=EECB,

又H3CAM+EIMAB=I3BAC=90",

EBFCA+回ABH=270°,

又EIBC平分回ABH,CD平分EIFCA,

00FCD+0CBH=135",X0CBH=fflECB,BPEFCD+EECB=135",

H3BCD=180°-(0FCD+EECB)=180°-135°=45°.

考點：L平角定義；2.平行線性質與平行公理推論的應用.

（2）如圖2,若點尸是射線A4上的一點，且ZBEF=NBFE,EG平分/。班交射線A4于點G,ZZ）=30°,

求/FEG的度數.

【答案】⑴見解析

（2）NFEG=15°

【分析】（1）過點、E作EF〃DC,根據平行線的性質及角的和差求解即可；

（2）過點E作E/7//DC,根據平行線的性質及角的和差并結合（1）求解即可.

(1)

^EF//DC,

?/CDE=NDEF（兩直線平行，內錯角相等）.

^AB//DC,EF//DC,

0EF//AB,

fflZEEB+ZABE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

回ZFEB=ZDEB-ZDEF=ZDEB-NCDE,

0ZDEB+ZABE-ZCDE=180°（等量代換）.

即ZDEB+ZABE=180°+ZCDE；

（2）

0ZE>￡H=ZD=3O°（兩直線平行，內錯角相等）.

SEH//DC,AB//DC,

S\AB//EH,

fflZHEB+ZABE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）,

ZHEF=ZBFE（兩直線平行，內錯角相等）.

^ZBEF=ZBFE,

⑦NBEF=ZHEF（等量代換），

0NBEF=-NHEB=-（180°-ZABE）=90°--/ABE.

22'72

由（1）知：ZDEB+ZABE-ZCDE=180°,

0ZD=3O°,

回Z.DEB+ZABE=180°+ZCDE=180°+30°=210.

BEG平分NDEB,

0/BEG=-/DEB=-（210°-/ABE）=105°-工NABE,

22'72

0ZFEG=ZBEG-ZBEF=105°-1/ABE-^90°-1ZABE^=15°.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定與性質并作出合理的輔助線是解題的

關鍵.

11.（1）閱讀并回答：

科學實驗證明，平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的

角相等.如圖1,一束平行光線AB與射向一個水平鏡面后被反射，此時/1=N2,N3=-4.

①由條件可知：N1與N3的大小關系是,理由是；N2與N4的大小關

系是;

②反射光線BC與EF的位置關系是,理由是；

（2）解決問題：

如圖2,,一束光線加射到平面鏡“上，被。反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若b反射出的光線力

平行于小，且/1=40。，求N2和/3的度數.

【答案】（1）①相等；兩直線平行，同位角相等；相等；②平行；同位角相等，兩直線平行；（2）

80°,90°

【分析】（1）①根據題意利用平行線的性質進行分析即可；

②根據題意利用平行線的判定定理進行分析即可.

（2）根據題意利用平行線的判定定理與性質以及補角定義進行綜合分析求解.

【詳解】解：（1）?0AB//DE,

0Z1=Z3；

又團N1=N2,N3=N4,

EIZ2=Z4.

故答案為：相等；兩直線平行，同位角相等；相等.

②E1N2=N4,

SBC//EF.

故答案為：平行；同位角相等，兩直線平行.

（2）如圖

-.?Zl=40°,

.?_Z4=Z1=4O°.

.?.Z5=180°-40°-40°=100°,

m\\n,

/.Z2+Z5=18O°,

.*.Z2=180°-100°=80°,

,N6=N7=（180°-80。）+2=50。，

.?.Z3=180°-40°-50°=90°.

【點睛】本題考查角的運算，熟練掌握平行線的判定定理與性質以及補角定義是解題的關鍵.

12.如圖，已知直線I川2，點、A、B在直線乙上，點C、。在直線4上，點C在點D的右側，ZADC=80°,

ZABC=n°,BE平分/ABC,DE平分NADC,直線BE、DE交于點、E.

（1）寫出NEOC的度數；

（2）試求ZBED的度數（用含n的代數式表示）；

（3）將線段3c向右平行移動，使點B在點A的右側，其他條件不變，請畫出圖形并直接寫出N3ED

的度數（用含n的代數式表示）.

【答案】（1）40°;（2）ZBED=^n°+40°■（3）；喳+40。或220。一；廢或?『一40°,見解析.

【分析】（1）根據角平分線的定義，即可得至崛EDC=《回ADC；

(2)過點E作EF//AB,根據兩直線平行，內錯角相等可得回ABE=I3BEF,EICDE=I3DEF,根據角平分線的

定義求出回ABE,0CDE,然后求解即可；

⑶過點E作EF//AB,然后分類討論：①點A在點B的左邊，根據角平分線的定義求出回ABE,ECDE,

根據兩直線平行，內錯角相等可得I3ABF=EIBEF,0CDE=EIDEF,然后求解；②點A在點B的右邊時，

根據角平分線的定義求出回ABE,0CDE,根據兩直線平行，內錯角相等可得國CDEWDEF,根據兩直線

平行，同旁內角互補求出回BEF,然后求解即可.

【詳解】解：(1)「DE平分/4DC,ZADC=80°,

ZEDC=-ZADC=-x80°=40°■

22

(2)如圖1,過點E作EF//AB,

■.■AB//CD,

:.AB//CD//EF,

:.ZABE^ZBEF,NCDE=NDEF,

?.?BE平分/ABC,DE平分/ADC,ZABC=n°,ZADC=80°,

:.ZABE=-ZABC=-n°,ZCDE=-ZADC=40°,

222

1

ABED=ZBEF+ZDEF=-no+40°；

2

(3)過點石作瓦7/48,

①如圖1,點A在點6的右邊時，同(2)可得，石D不變，為■|〃。+40。；

②如圖2,點A在點6的左邊時，若點E在直線4和4之間，貝I

?/HE平分/ABC,平分/ADC,ZABC=n%ZADC=8Q°,

NABE=-/ABC=-n°,ZCDE=-ZADC=40°,

222

VAB//CD,

:.AB//CD//EF,

：./BEF=180°—/ABE=180°--n°,ZCDE=ZDEF=40°,

2

ABED=ZBEF+ZDEF=180°--M°+40°=220°--n°,

22

若點E在直線4的上方或乙的下方，則^BED=180°-（220°-1n°）=^na-40°,

綜上所述，/血＞的度數變化，度數為$產+40。或220。-]〃。或｝產-40。.

【點睛】此題考查平行線的性質與判斷，平移的性質，解題關鍵在于掌握各性質定義分情況進行討

論.

13.如圖，已知1面2，MN分別和直線Mb交于點A、B,ME分別和直線li、b交于點C、D,點P

在MN上（P點與A、B、M三點不重合）.

（1）如果點P在A、B兩點之間運動時，的、射、助之間有何數量關系？請說明理由；

（2）如果點P在A、B兩點外側運動時，Ela、附、助有何數量關系（只須寫出結論）.

【答案】（1）Ela+附=回丫?（2）①P在A點左邊時，Ela-附=助；②P在B點右邊時，Elp-0a=0y.

【分析】（1）根據平行線的性質可求出它們的關系，從點尸作平行線，平行于/C,根據兩直線平

行內錯角相等可得出.

（2）分類討論，①點尸在點/左邊，②點尸在點2右邊.

【詳解】解：⑴如圖，過點P做/C的平行線尸O,

XEL4C135Z),

ELPOaftD,

回回

團團a+第二團y.

(2)①P在/點左邊時，加-明=臥；

②尸在2點右邊時，冊-回a=Ely.

【點睛】主要考查了平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等.作出輔助線是解決本題的關鍵.

14.將一副三角板的直角重合放置，如圖1所示，

⑴圖1中回BED的度數為;

(2)三角板MOB的位置保持不動，將三角板回C。。繞其直角頂點。順時針方向旋轉：

①當旋轉至圖2所示位置時，恰好。。回AB,求此時MOC的大小；

②若將三角板配。。繼續繞O旋轉，直至回到圖1位置，在這一過程中，是否會存在回C。。其中一

邊能與AB平行？如果存在，請你畫出圖形，并直接寫出相應的蜘OC的大小；如果不存在，請說明

理由.B

,A

圖1

【答案】(1)15°;(2)①30°；(2)120°,165°,30°,150°,60°,15°.

【分析】(1)根據三角形的外角性質和對頂角的性質求出回BED的度數；

(2)①由0DI3AB可得回BOD=EIB=30°,再由EIBOD+IBBOC=90°和13Aoe+I3BOC=90°求出E1A0C的度數；

②根據題意作圖，可分6種情況進行分析求解.

【詳解】(1)00CEA=EBAO-0C=6O°-45O=15°,

EBBED=I3CEA=15°,

(2)①EIODEIAB,

fflBOD=0B=3O°

又EIBOD+I3BOC=90°和13Aoe+IBBOC=90°

00AOC=EBOD=3O-；

②存在，如圖1,I3AB0CO,

EEAOC=I3AOB+EIBOC=[3AOB+IBB=120°；

如圖2,延長AO交CD于E,

0AB0DC,ffl0DEO=0A=6O°,又I3C=45°,00COE=0DEO-EIC=15O,

EH3AOC=1800-EICOE=1650；

如圖3,0AB0DO,

團團A+團AOD=180°,

麗A=60°

團團A。D=120°

麗AOC二團AOD-團COD=30°；

如圖4,回AB回DO,回團AOC二回AOD+回COD=團BAO+團COD=600+90°=150°

如圖5,回ABR1C0,團團AOC二回BAO=60°

如圖6,

設AO與CD相交于點M

團AB團CD,

團團DMO=回A=60°

?AOD=180o-45°-60o=75°,

團團AOC=90°-回AOD=15°.

【點睛】此題主要考查三角形的角度計算，解題的關鍵是熟知三角形的外角性質及平行線的判定與

性質.

15.已知的三角形的三個內角的度數和是180。，如圖是兩個三角板不同位置的擺放，其中

ZACB=ZCDE=90°,44c=60。，ZDEC=45°.

(1)當AB〃OC時，如圖①，求NDCB的度數.

(2)當C。與C8重合時，如圖②，判斷與NC的位置關系，并說明理由.

(3)如圖③，當/DCB等于度時，AB//EC.(直接寫出答案)

【答案】⑴30。

(2)DESAC

(3)15

【分析】(1)根據運用平行線的性質，求得EDC8的度數；

(2)根據EL48E+皿C=180。，運用平行線的判定，得出。EEL4C；

(3)根據/8EICE,求得0￡C8=3O。，再根據E1￡>CE=45。，求得配)。8的度數.

【詳解】(1)解：KIEL4c5=90°,E3/C=60°,

EE3=180°-90°-60°=30°,

^AB^DC,

aar>C8=EB=30°；

(2)解：DE^AC.

當CD與CB重合時，EICD/=EIC8Z=30。，

^ADE=SCDE+SCDA=900+30°=120°,

EGA4c=60°,

aa4BE+aB/c=:i80°,

ELDEEWC；

(3)解：當/施CE時，勖=跖。2=30。，

又EEZ)CE=45°,

0ELDC5=45O-3OO=15°.

故答案為：15.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，解題時注意：平行線的判定是由角的數量關系判斷

兩直線的位置關系，平行線的性質是由平行關系來得出角的數量關系.

16.如圖，已知直線48E1CZ),EL4=0C=1OO0,E,尸在CD上，且滿足BE平分EIC8?

(1)直線與BC有何位置關系？請說明理由；

(2)求0DAE1的度數；

(3)若平行移動40,在平行移動40的過程中，是否存在某種情況，使aBEC=a4DB?若存在，求

出0AD3；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)AD^BC,理由見解析；(2)0￡B￡=40。；(3)存在，EL4DB=60°

【分析】(1)根據平行線的性質，以及等量代換證明的。C+回C=180。，即可證得4DESC；

(2)由直線/施CD,根據兩直線平行，同旁內角互補，即可求得a48c的度數，又由0D5斤;

即可求得前BE的度數.

(3)首先設西8。=&089=05/兀-。，由直線4BE1CD,根據兩直線平行，同旁內角互補與兩直線平

行，內錯角相等，可求得I38EC與EL4Z>5的度數，JL^BEC^DB,即可得方程：％°+40。=80。封°,解

此方程即可求得答案.

【詳解】解：(1)直線/。與BC互相平行，理由：

EL4BEICZ),

0EL4+EL4Z)C=18OO,

又0JL4=EIC,

0EL4Z)C+0C=18O°,

EL4P05C；

(2)EL4BECD,

0a45C=18O°-EC=8O",

'SEDBF^ABD,BE平分團CBF,

^\DBE=-SABF+-BiCBF=-&43。=40。；