第3講立體幾何與空間向量

真題速遞

1.(2024?北京?高考真題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC//AD,AB=3C=1,AD=3,點E在上，且

PEJ.AD,PE=DE=2.

(1)若下為線段PE中點，求證：BF〃平面PCD.

(2)若AB_L平面PAD,求平面R4B與平面PCD夾角的余弦值.

2.（2024?全國甲卷（文）?高考真題）如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,

CD=4,AD^BC^^/io,A￡=2&,M為CD的中點.

⑴證明：EM〃平面BCF；

⑵求點M到ADE的距離.

3.(2024?全國甲卷(理)?高考真題)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形ABC。與四邊

形均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=^AB=BC=EF=2,ED=5,FB=26,M為AO的中

點.

⑴證明：3M//平面CDE；

(2)求二面角尸-⑻欣-石的正弦值.

4.(2024?天津?高考真題)如圖，在四棱柱ABCD-AAG2中，平面ABC。，AB1AD,AS//DC,

AB=AAl=2,AD=DC=l.M,N分別為OR,4G的中點,

(1)求證：RN〃平面

(2)求平面C5M與平面BAGC夾角余弦值;

⑶求點B到平面C5M的距離.

5.(2024?新課標II卷?高考真題)如圖，平面四邊形A8CZ)中，AB=8,CD=3,AD=5>j3,ZAOC=90°,

__.9__.__.i__.

NBAD=30,點E,尸滿足AE=—AD,AF=—AB,將△AEF沿EP翻折至！PEF,使得PC=4^/3.

⑴證明：EF±PD；

(2)求平面尸CD與平面尸8尸所成的二面角的正弦值.

6.(2024?新課標U卷?高考真題)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABC。，R4=AC=2,

BC=\,AB=^3.

(1)若證明：AD〃平面PBC；

(2)若ADLDC,且二面角A-CP-。的正弦值為封，求AD.

7

7.(2023?新課標I卷?高考真題)如圖，在正四棱柱ABCZ)-ABGQ中，AB=2,懼=4.點4,凡仁也分別在

棱,BB[,CC],DD[上,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴證明：22c2〃4。2；

⑵點尸在棱B片上，當二面角尸-4c2-2為150。時，求星P.

實戰演練一：線面平行的判定與性質

【知識點解析】

1.線線平行的判定

（1）平行四邊形的對邊（2）三角形的中位線或等高線（3）線面平行與面面平行的性質

2.線面平行的判定與性質

判定性質

文字表示數學語言表示文字表示數學語言表示

如果平面外一條直線l\\m一條直線與一個平面平11|a

線</2a=/||a<1u/3=>Z||m

與此平面內的一條直mua行，如果過該直線的平ad/?=m

面

平線平行，那么該直線與面與此平面相交，那么

行此平面平行.該直線與交線平行.

【實戰演練】

1.（2425高三上?重慶長壽?期末?節選）如圖所示，在四棱錐中，24,底面ABC。，底面ABC。為正方

形，刈=48=2,E為2。的中點.

⑴求證：尸3〃平面ACE；

2.（2425高三上?江蘇揚州?期末?節選）如圖，在直三棱柱ABC-4與G中，G4=3,CC1=4,二面角

為直二面角.點N為棱G片的中點，棱A片與平面AOV相交于點

3.（2425高三下?湖北武漢?開學考試?節選）在五面體ABCDEF中，CD，平面ADE,平面ADE.

⑴求證：AB//CD；

4.（2425高三上?山東青島?期末?節選）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是正方形，側棱尸￡＞，底面

ABCD,PD=CD,E是尸C的中點，斯,依垂足為尸.

⑴求證：R4//平面3DE；

5.（2425高三上?廣東深圳?階段練習?節選）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A2CD為菱形，ZBAD=60°,平

面尸平面ABCD,瓦廠分別為A5,尸。的中點，AD=EF=2,PB=20,平面CEF與平面交于直線/.

⑴證明：EF//h

6.（2425高二上?山東泰安?期中?節選）如圖，在四面體ABCD中，平面BCD,M,P分別是線段AD,BM

的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.

⑴求證：PQ〃平面BCD；

實戰演練二：面面平行的判定與性質

【知識點解析】

1.面面平行的判定與性質

判定性質

文字表示數學語言表示文字表示數學語言表示

如果一個平面內的兩m\\a(1)兩個平面平行，如

<=>m||df

n\\a八mu0

面<^a\\6果另一個平面與這兩個

條相交直線與另一個m[\n-0

面平面相交，那么兩條交

m、iiuB

平平面平行，那么這兩個線平行.

行平面平行.(2)兩個平面平行，一a||￡

個平面內的任意一條直<=m=>m\\n

j3C\/=n

線與另外一個平面平

行.

【實戰演練】

1.(2425高三上?安徽亳州?期末?節選)如圖，在六面體ABCD砂中，/加工平面ABC。，CEL平面A3C￡),四邊

形ABC。為菱形，ABAD=60u,AD=DF=2,CE=1.

(1)證明：平面ADF〃平面BCE；

F

B

2.（2425高三上?湖北?期中?節選）已知圓柱。。2如圖所示，其中正方形9CD為軸截面，點E,G為圓。?上異于

A,3且同側的點，且NGO/+/EBa=180°，點下為線段DE的中點.

（1）求證：平面尸GO"/平面CBE；

3.（2425高二上?山東濰坊?期中）如圖，在直三棱柱A3C-A4G中，42=2攻，M=3>AC±BC,

AC=BC,D,E分別是A3,A片的中點.

（1）證明：平面AOC//平面BEC1；

4.（2425高三上?湖南長沙?階段練習?節選）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為等腰梯形，平面尸8,

平面ABCD,AB=AD=1,CD=2,PD=PC=y/2.

⑴若瓦尸分別為PA8C的中點，求證：所//平面PCD；

5.（2425高三上?福建?期中?節選）如圖，在四棱柱ABC。-中，底面A5C。為直角梯形，AD//BC,

ADLCD,AAX_1平面45。。,。4=。。=。。1=25。=2,后為62的中點.

（1）設平面5C石與平面4內。12的交線為/,求證：BC//Z；

6.（2425高三上?湖南?階段練習?節選）如圖，直四棱柱A8C￡>-A4G2的體積為12,AB//DC,DC=2AB,

△ABC的面積為20.

⑴求證：4c〃平面

D

實戰演練三：線面垂直的判定與性質

【知識點解析】

1.線線垂直的判定

（1）等腰三角形中線（2）勾股逆定理（3）菱形對角線（4）矩形鄰邊（5）正方形對角線與鄰邊

（6）圓直徑所對圓周角（7）線面垂直的性質（8）向量的數量積

※若提及空間中兩個角相等，應證明全等，進而得到邊相等，利用等腰三角形的性質

※若菱形有一內角為60。，則120。角頂點與對邊中點的連線與對邊垂直

2.線面垂直的判定與性質

判定性質

文字表示數學語言表示文字表示數學語言表示

如果一條直線與一個1.Lm一條直線與一個平面垂1.La

<=>/_L機

1.Lnmua

線n/_La

平面內的兩條相交直m\\n-0直，該直線與該平面內

面

m、nua

垂線垂直，那么該直線與任意一條直線垂直.

直此平面垂直.

【實戰演練】

1.（2425高三上?江西南昌?期末?節選）已知邊長為4的菱形ABC。（如圖1）,ZBAD=IjT,AC與8。相交于點

O,E為線段49上一點，將三角形ABD沿折疊成三棱錐（如圖2）.

（1）證明：BD1CE；

2.（2025?浙江溫州?模擬預測?節選）如圖，已知四棱錐P-中，頂點尸在底面ABC。上的射影H落在線段

AC上（不含端點），底面A3C￡＞為直角梯形，AD//BC,AB±AD,AB=2,BC=2AD=2^2.

⑴求證：應平面PAC；

?CP

3.(2425高三上?浙江寧波?期末?節選)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，其中

AD±BD,PA=PD=AD=BD=2,PB=2立,點尸為棱PD上一點.

(I)當尸為的中點時，證明：AFYBP-,

4.(2025?江西九江?一模?節選)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ZABC=6Q\PA±

平面ABC。，瓦廠分別為線段產民CD的中點，PF=BF.

(1)求證：依，平面AEF；

5.(2425高三上?廣東廣州?階段練習?節選)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA=PD=AD=CD=2,底面ABCD是

個直角梯形，AD//BC,ZDAB=90°,ZADC=60°.

(1)證明：PC1AD；

6.(2425高三上?內蒙古赤峰?期末?節選)如圖，在正四棱臺A2CD-ABC，中，ZB}BA=m,AB=A,\BX=2,E

是C。的中點，。1,。分別為上下底面的中心、

(1)求證：直線AC，平面80〃得

實戰演練四：面面垂直的判定與性質

【知識點解析】

1.面面垂直的判定與性質

判定性質

文字表示數學語言表示文字表示數學語言表示

如果一個平面過另一1.La兩個平面垂直，如果一aL)3

[/<=/?ap|￡="2,.

面n/_La

個平面的垂線，那么這個平面內有一直線垂直Il.m

面

lu0

垂兩個平面垂直.于這兩個平面的交線，

直那么這條直線與另一個

平面垂直.

【實戰演練】

1.（2025?福建?模擬預測?節選）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，上4，平面A5CD,AD，A3,3C〃AD,

4￡）=23。=245=2如=2,e為4。的中點.

（D證明：平面尸3E_L平面B4C；

2.（2025?福建廈門?一模?節選）如圖，在三棱柱A3C-A4G中，\B=\C=\A=2,BA1BC,BA=BC.

（1）證明：平面ABC_L平面ACGA；

3.（2425高三上?遼寧丹東?期末?節選）如圖，在邊長為4的正方形中，A為線段MB的中點，沿A。將

翻折至使得PC=4.

(1)求證：平面己4B_L平面PCD；

4.(2425高三上?河南周口?期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面平面ABCD,ABJ.AC,

AD//BC,ADLCD,且△上為正三角形，3C=2PA=8,點M為尸3的中點，點N為棱尸￡＞上一點，且

PN=APD，＞te[O,l].

⑴證明：依，平面MAC；

5.(2025?廣東肇慶?二模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，叢，平面ABC。，平面

APC_L平面PCD.

(1)證明：CD,平面PAC.

B

6.（2425高三上?青海?期末）如圖，已知VABC和VBDE都是等邊三角形，BD=2BC=4,平面ABC，平面

點尸在線段AC上（不含線段的端點）.

（1）證明：CELBF-,

實戰演練五：幾何法求空間角度、空間距離問題

【知識點解析】

1.異面直線成角

步驟：(1)證線線平行，轉化為相交直線所成角；

(2)找銳角(或直角)作為夾角；

(3)利用余弦定理或三角函數求解.

注意：取值范圍：R-.

_2_

2.表示角的方法：

(1)在中，C為直角，貝UsinA=/，cosA=+,tanA=外.

ABABAC

y+2—2

(2)余弦定理：在VABC中，a92=b-9+c92-2bc-cosA,cosA=^^——

2bc

3.直線與平面所成之角

(1)定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面重合，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫

做斜足.過斜線上斜足以外的一點向平面引垂足，過斜足和垂足的直線叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條

斜線和它在平面上的射影所成的夾角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

(2)規定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于上；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們

2

7T

所成的角等于0.因此，直線與平面所成的角。的范圍是0,-.

2

垂線

0

射影

4.二面角：從一條直線出發的兩個半平面形成的圖形

如圖：在二面角。一/一，中，。為交線/上一點，OA^a,OBu/3,且。4，/,OBU,則NAQfi為二面角

。一/一，的平面角；

TT

取值范圍：面a與面"的夾角的取值范圍為0,—.

(1)定義：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的

長度叫做這個點到該平面的距離

(2)等體積法：等體積法就是通過變換三棱錐(或四面體)的頂點、底面來求三棱錐(或四面體)的體積的方法。等體

積法就是一個幾何體利用不同的底面積和高來求體積，利用體積相等，可以求出某一底面所對應的高或某一條高所

對應的底面積。立體幾何中一般用來求點到面的距離。等體積法就是要類比等面積法。

(3)求三角形面積的常見方法：S=—dh=—ab-sinC=—ac-sinB=—be-sinA

△MAReC2222

6.直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這

個平面的距離.

7.平面到平面的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把

它叫做這兩個平行平面間的距離

【實戰演練】

1.（2425高三上?上海?期末）在如圖所示的圓錐中底面半徑為2,尸是頂點，。是底面的圓心，A、B是圓周上兩

點，且OA1OB.

⑴若圓錐的側面積為6兀，求圓錐的體積；

⑵設圓錐的高為2,M是線段上一點，且滿足求直線PM與平面所成角的大小.

2.（2425高二上?陜西安康?期末）如圖，三棱柱ABC-A用G中，是邊長為2&的正三角形,

4臺=A4=26,AG=2向

⑴證明：平面48月，平面84￡；

（2）求直線CA,與平面ABQ所成角的正弦值.

3.（2025?福建廈門?一模）如圖，在三棱柱4BC-ABC中，4B=4C=AA=2>BA1BC,BA=BC.

（1）證明：平面ABC,平面ACGA；

⑵若直線與平面ABC所成角為60。，求平面\BXC與平面ABC夾角的余弦值.

4.（2425高三上?浙江杭州?期末）如圖，三棱錐尸-ABC的底面是邊長為2的正三角形ABC,且=平面

ABC_L平面PAC.

⑴證明：PC，平面ABC；

(2)若BC與平面R4S所成角的正弦值為叵，求平面R4B與平面PAC夾角的余弦值.

8

5.(2425高三上?寧夏銀川?期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是直角梯形，ZBAD=ZCDA=90°,

PA，平面ABCD,。是P8的中點，PA=AD=OC=1,AB=2.

(1)證明：C。〃平面PAQ；

(2)求點Q到平面PAC的距離.

6.(2425高三下?貴州?開學考試)如圖，在三棱柱ABC-ABCI中，平面ACGA_L底面

ABC,ZA.AC=45。,4A=2,AC=&,AC，3c,與平面ABC所成角的余弦值為孚.

(1)求4到平面BCC內的距離；

⑵求二面角C-4瓦的正弦值.

實戰演練六：空間向量與立體幾何

【知識點解析】

1.平面的法向量的定義：法向量，是空間解析幾何的一個概念，垂直于平面內所有的直線所表示的向量為該平面

的法向量。法向量適用于解析幾何。由于空間內有無數個直線垂直于已知平面，因此一個平面都存在無數個法向

量。

2.平面的法向量的求解：已知平面ABC,且4(玉,％,zj、B(x2,y2,z2)>C(x3,y3,z3)

(1)表示平面ABC中兩條相交直線所形成的向量.(2)設記=(x,y,z)為平面ABC的一個法向量.

(3)利用法向量與平面ABC的所有直線垂直列方程.(4)賦值求解法向量.

3.空間向量與空間位置關系

空間位置關系AB//CDAB//面CDE面ABC//面。砂

向量關系AB//CD而，面CDE的法向量面鈣弼法向量//面DM的法向量

空間位置關系AB±CD面45(7_1面￡＞砂

向量關系通//面CDE的法向量面ABC的法向量1面。EF的法向量

4.求異面直線所成的角

求法：己知凡6為兩異面直線，A,B與C,。分別是上的任意兩點,

JUQULH\

記所成的角為氏則cos6=cos(/IB,C。).

解題步驟：若求直線與直線CD所稱之角

(1)表示A、B、C>￡)四點的坐標.

⑵表示通與CD.

uuouum

/uunuunixABCD

(3)記直線。、Z?所成之角為氏cos0=Cos(AB,CD)==nm-.

'/AB-CD

5.求直線和平面所成的角

求法：設直線/的方向向量為。，平面a的法向量為M,直線與平面所成的角為。，。與〃的夾角為0,則。為夕

/「r

的余角或。的補角的余角.即有：sind=cos(a,M

解題步驟：若求直線A3與平面C0E所成之角

⑴表示A、B、C、D、E五點的坐標.

(2)表示AB與平面CDE兩條相交直線所形成的向量.

(3)設平面CDE的一個法向量為m=(x,y,z),利用法向量與平面CDE的所有直線垂直列方程，賦值求解.

uunur

,uuuir、ABm

(4)記直線AB與平面CDE所成之角為氏sin0=cos(AB,=-wn-tr-

'/AB'm

6.求二面角

二面角的平面角是指在二面角a-l-/3的棱上任取一點。，分別在兩個半平面內作射線AO±l,BO±l,

則NA03為二面角a-l-(3的平面角.

求法：設二面角，的兩個半平面的法向量分別為￡、〃，再設味、〃的夾角為0,二面角。-/-，的平面角

為。，則二面角。為根、〃的夾角0或其補角萬—0.

根據具體圖形確定。是銳角或是鈍角:

,irr、m-n

如果。是銳角，則＜：05夕=|85同=＜：05(加,")=11rlJ,

ITfi

/irrm-n

如果。是鈍角，貝ljcose=—|cos°|-cos(m,n

I4H,

解題步驟：若求平面ABC與平面OEF所成之角

⑴表示A、B、C、D、E、尸五點的坐標.

⑵分別表示平面ABC與平面DEF兩條相交直線所形成的向量.

⑶設平面A5C的一個法向量為祇=(匹y,z),利用法向量與平面ABC的所有直線垂直列方程，賦值求解,

同理求平面DEF的一個法向量〃.

(4)記平面ABC與平面DEF所成之角為凡

7.點A到平面a的距離:

1uum

若點P為平面a外一點，點M為平面a內任一點，平面a的法向量為〃，則P到平面a的距離就等于“尸在

法向量,方向上的投影的絕對值.

|UUH|,ruuun

即d=cos(n,MP

8.點A到直線/的距離：

若點A為直線/外一點，B為直線/上一點，直線/的方向向量為7,則點低到直線/方向上的投影向量，再

利用勾股定理可得。

uun2

即d=AB

9.平行平面的距離

已知平面a與平面夕平行，若點A為平面。內一點，點8為平面夕內一點，平面夕的一個法向量為。，則平

面a與平面夕的距離為點A到平面夕的距離，即距離等于港在法向量。上的投影的絕對值.

即d二―尸j—.

H

10.異面直線的距離

uumuumia

已知直線A3與CO為異面直線，與A8與CO均垂直的向量為九，直線A3與上各取一點形成加，則異

面直線AB與CD的距離為)在3方向上的投影的絕對值.

\n-rn

即d=

H

【實戰演練】

1.(2425高三上?重慶長壽?期末)如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，上4,底面ABCD,底面ABCD為正方形,

PA=48=2,E為尸。的中點.

(1)求證：P3〃平面ACE；

⑵求二面角P-AC-E的余弦值.

2.(2425高二上?北京昌平?期末)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A瓦GR中，E為的中點，片，與平面

ACE交于點

⑴求證：EF//AC；

(2)求直線DE與平面ACE所成角的正弦值；

⑶求點與到平面ACE的距離.

3.(2025?福建?模擬預測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，B4_L平面

ABCD,A￡>_LAB,BCW,AD=2BC=2AB=2尸4=2,￡■為4。的中點.

⑴證明：平面尸跳;_L平面B4C；

(2)求PB與平面PCD所成角的正弦值.

4.(2025?江西九江?一模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，/ABC=60。,尸A，平面

ABCD,E產分別為線段尸氏C。的中點，PF=BF.

⑴求證：平面AEF;

(2)求二面角尸-5尸-A的余弦值.

5.(2425高三上?甘肅定西?期末)如圖，在三棱柱ABC-A用G中，A4t，平面ABC,

AB±AC,AB=2AC=2AAl,E,尸分別為棱43,BC的中點.

(1)證明：耳E_L平面AEF.

(2)求平面\EF與平面BCC國夾角的余弦值.

6.(2425高三上?黑龍江?期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BC。為矩形，PAL平面ABC。，E是。尸的

中點，AF1CP,垂足為尸，AB=y[2AP=^2AD,

⑴證明：PC,平面AEF；

⑵求二面角3-AF-E的正弦值.

實戰演練七：動點問題與邊長缺失問題

【知識點解析】

1.動點的表示方法：

(1)若動點所在直線與坐標軸平行或重合，則直接設動點坐標.

①若動點P所在直線與X軸平行或重合，則動點P的坐標可設為，其中〃2、〃為常數.

②若動點P所在直線與X軸平行或重合，則動點P的坐標可設為(m,％”),其中力7、”為常數.

③若動點P所在直線與X軸平行或重合，則動點P的坐標可設為(m,a,z),其中根、〃為常數.

(2)若動點所在直線與坐標軸不平行，已知點K，ZJ、B(x2,y2,z2),動點P(毛,為，Z3)在直線AB上運動，

uuuuim_____,

則AB//AP,所以而=2AB,由此可表示出P點坐標或直接利用AP表示出目標向量.

2.邊長缺失問題

條件缺失型問題為近年常考問題，條件缺失型主要是指缺少邊長問題或動點問題，導致無法在空間直角坐標系

中表示點的坐標。

但此類問題經常會給出其他條件，通過翻譯該條件可以求出幾何體的所有邊長或動點位置。

【實戰演練】

1.(2425高三上?江蘇常州?階段練習)如圖，三棱柱ABC-A片G中，=60°,AC±BC,AC±AB,

AC=1,A4,=2.

(1)求證：AC，平面ABC；

(2)直線BA與平面BCC內所成角的正弦值為B,求平面AB4與平面BCC4夾角的余弦值.

2.(2425高三上?江蘇揚州?期末)如圖，在直三棱柱A3C-A與G中，CA=3,CC1=4,二面角A-CC「B為直二

面角.點N為棱G片的中點，棱4瓦與平面ACN相交于點Af.

⑴求證：M為棱A片的中點;

(2)若直線AG與平面AQV所成角的正弦值為士石，求CB的長.

3.(2425高三上?北京石景山?期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，己4,平面ABC。，四邊形A3CD是邊長為1

的正方形，E是上4的中點.

⑴求證：PC〃平面3DE；

⑵求證：PC±BD；

(3)若直線BE與平面PCD所成角的正弦值為典，求PA的長度.

4.(2425高三上?河南周口?期中)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面PDC，平面ABC。，DC〃平面E4B,

AB±BC,PA=PB,AB=2DC.

⑴求證：P￡>_L平面ABC。.

(2)若3C=DC=1,平面上4B與平面尸3c夾角的余弦值為:，求。尸的長.

5.(2425高三上?安徽阜陽?期末)如圖，多面體ABCDE中，E4_L平面ABC,OC_L平面ABC,取=2￡＞C,P是￡8的

中點.

⑴證明：。///平面ABC.

(2)若出=48=2,/347=90。，且二面角3-少E-C的余弦值為老叵，求AC的長.

6.(2425高三上?廣東?期末)如圖，已知以，平面ABC,平面己平面P3C.

⑴證明：BC_L平面R4B；

(2)若＞1B=3C=2,且平面PAC與平面P2C的夾角的余弦值為畫,求PA的長.

10

7.(2425高三上?河南?期末)如圖，在多面體ABCDGE產中，四邊形ABCD為直角梯形，且滿足相＞_LC?,EG〃

AD,EG=AD=DC=DG=2BC=2,CD//尸G,￡>G_L平面A3CD

⑴證明：AG,平面CUE；

(2)在線段的上是否存在一點尸，使得直線DP與平面ABE所成角的正弦值為返？若存在，求出尸點的位置；若

85

不存在，說明理由.

A

8.(2425高三上?天津和平?期末)如圖，已知四邊形A8CD是矩形，AB=2BC=2,三角形PCD是正三角形，且

平面ABCD_L平面PCD.

(1)若。是CD的中點，證明:3O，R4；

(2)求二面角8-唐-。的正弦值；

(3)在線段CP上是否存在點。，使得直線A。與平面A3P所成角的正弦值為也，若存在，確定點。的位置，若不

存在，請說明理由

9.(2425高三上?山東日照?期末)如圖，ADUBC,AD±AB,點瓦/在平面ABCD的同側，CF//AE,AD=1,

AB=BC=2,iP?ACFE±ABCD,EA=EC=43.

⑴求證：ACLBE,

⑵若直線EC與平面EB。所成角的正弦值為孚，求線段CF的長.

10.(2425高三上?甘肅酒泉?期末)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是邊長為3的正方形，PA±AB,

PA=PC=30.

⑴證明：PD1,平面ABC。；

(2)已知點E在線段AC上，S.AE=AEC(A>0),若直線P8與平面PDE所成角的正弦值為叵，求力的值.

AB

11.（2025?江西?一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCZ）是平行四邊形，E是的中點，點下在線段PB

上.

⑴證明：依〃平面ACE.

⑵若PA_L平面ABC。，R4=AB=3,BC=5,AC=4,平面叢D與平面PAC夾角的余弦值為上叵，求生的

29FB

值.

12.（2425高三上?浙江麗水?期末）如圖，在三棱柱ABC-A用G中，平面44。。，平面A3C,ABJ.AC,

AB=2,N4AC=12。。，AC=AAl=2y/3,尸為線段上一點，M1?=2^（0<2<1）.

（1）求證：\C±BC1；

（2）是否存在實數力,使得平面8PG與平面A3C的夾角余弦值為迫？若存在，求出實數％的值；若不存在，請

7

說明理由.

13.（2425高三上?山東濰坊?期末）如圖，在直平行六面體ABCD-AB|G2中，AB1AC,且

AB=AC=AAt=l,E,歹分別為BC,C5的中點.

（1）證明：AF_L平面44E；

⑵點M在棱A片上，當平面與平面MAC所成角的余弦值為巫時，求AM.

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實戰演練八：最值問題

【知識點解析】

代數法求最值的常見方法

(1)單調性法

(2)二次函數法

(3)三角函數法

(4)換元法

(5)基本不等式法

(6)分離常數法

(7)判別式法

【實戰演練】

1.(2024?江西?模擬預測)如圖，在直三棱柱ABC-A4cl中，平面AdC，側面A3與A,點A到平面A^C的距離

等于L

(1)求證：AB^BC；

(2)若AA=BC,設直線AC與平面ABC所成的角為仇求。的最大值.

2.（2425高三上?安徽馬鞍山?階段練習）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面ABCD為正方形，側面尸CD，底面

ABCD.設平面PAD與平面P2C的交線為/.

⑴證明：/_L平面PCD；

（2）已知AD=2,PC=PD=也,Q為/上的點，求直線P8與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

3.（2425高三上?廣西河池?期末）如圖，在多面體A8C-AB￡中，VA5C是邊長為2的等邊三角形，AA，平面

ABC,%AIIB\B,QC//BjB,=2BBI=4,CCt=3,設。為4月的中點.

⑴證明：6。，平面42瓦4；

⑵設D為棱AG上的動點，求B,D與平面\BCX所成角的正弦值的最大值.

B

4.（2425高三上?廣東潮州?期末）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，上4,平面ABC￡>,底面ABCD是邊長為2的正

方形，PA=2A/3,G為CD的中點，E,尸是棱PD上兩點"在E的上方），且