重難點專題05三角形中的范圍與最值問題

【題型歸納目錄】

題型一：周長問題

題型二：面積問題

題型三：長度問題

題型四：轉化為角范圍問題

題型五：倍角問題

題型六：與正切有關的最值問題

題型七：最大角問題

題型八：三角形中的平方問題

題型九：等面積法、張角定理

【方法技巧與總結】

1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點。解決這類問題,

通常有下列五種解題技巧：

(1)利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；

(4)根據三角形解的個數求范圍或最值；

(5)利用二次函數求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數值，

轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍

限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善，避免結果的范圍過大.

2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：

(1)求角的最值；

(2)求邊和周長的最值及范圍；

(3)求面積的最值和范圍.

【典例例題】

題型一：周長問題

【例1】(2024?全國?高一假期作業)已知的內角A,8,C的對邊分別為名瓦c,且

A

sin——FcosA=1,acsinA+4sinC=4csinA.

2

⑴求邊長”和角A；

(2)求AASC的周長的取值范圍.

3

【變式1-1](2024?高一單元測試)在URC中，內角A,B,C的對邊分別為°,6,c,已知cos2A+5=2cosA.

(1)求角A的大小；

(2)若。=1,求的周長/的取值范圍.

【變式1-2](2024?全國?高一專題練習)(a+b+c)-(sinA+sinB-sinC)=asinB+2Z?sinA.②

2asinAcosB+)sin2A=26acosC這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.

在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足：.

(1)求角C的大小；

(2)若,=右，AASC的內心為/,求周長的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

題型二：面積問題

TT

【例2】(2024?全國?高一專題練習)己知中，3C=3,M在線段BC上，2BM=MC,ZBAM=-.

6

(1)若AB=2,求AC的長；

(2)求△AMC面積的最大值.

【變式2-1](2024.全國?高一專題練習)已知AABC的內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,

sinA-sinCsin(A+C)

sinB+sinCsinA+sinC

⑴求A；

(2)若角A的平分線AO交BC于點O,且AD=2,求AABC面積的取值范圍.

【變式2-2](2024.全國?高一專題練習)記"RC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,。，b=6.

c1cosC-bcosA

cosC+bcosA

⑴求的值;

(2)求AABC面積的最大值.

題型三：長度問題

2乃

【例3】(2024.全國?高一專題練習)如圖，在AABC中，/A2C=《-,。為AC邊上一點且A8_L8￡>,8r>=2.

B

(1)若C￡>=0，求ABCD的面積;

(2)求三2-七1的取值范圍?

【變式3-1](2024?全國?高一專題練習)已知AABC,D,E均在線段BC上，AO為中線，AE為/B4c的

平分線，@5^=25^；②仇2-cosA)=a^cos3.

(1)若AC=3DE,從①②中選擇一個作為條件，求cosB；

(2)若bc=20,3c=10,AD<5,求OE的取值范圍.

【變式3-2](2024?全國?高一專題練習)在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,為

ccosB+bcosC=2acosA

(1)求角A的大小；

（2）當々=退時，求號的取值范圍.

題型四：轉化為角范圍問題

【例4】（2024?海南?校聯考模擬預測）已知在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,

若sin2A-sinfeinC=0,則,嗎「卻。的取值范圍為（）

zsinA

A.B.［J。ElD-（Tl）

【變式4-l】（2024?全國?高三校聯考專題練習）已知在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a/,c,

若sin2A-2sin3sinC=0,則軍””的取值范圍為

sinA

A.（友,百）B.（1,72）C.（72,76）D.（1,76）

【變式4-2］（2024?河北石家莊?高一石家莊精英中學校考階段練習）已知a,b,c分別為AABC三個內角A,

B,C的對邊，acosC+s/3asinC-b-c=Q.

⑴求角A；

（2）若AABC為銳角三角形，求cosB+cosC的取值范圍.

題型五：倍角問題

【例5】（2024?江蘇南京?高一南京師范大學附屬揚子中學校考開學考試）己知銳角AABC的內角A,B,C

的對邊分別為a,b,c,若4=22,貝!jC+2：+41的取值范圍為____.

b

【變式5-1］（2024.江西撫州?統考一模）己知AABC的內角4B、C的對邊分別為公b、c,若4=23,則

c2b

9+3的取值范圍為________.

ba

題型六：與正切有關的最值問題

【例6】（2024?江蘇南京?高一南京市第二十九中學校考期末）已知銳角"LBC中，角A瓦C的對邊分別為

a,b,c,a2=b2+bc,貝！|tanAtanB的取值范圍為（）

A.（l,+oo）C.（0,1）

題型七：最大角問題

【例7】（2024.湖北.高二華中科技大學附屬中學校聯考期末）幾何學史上有一個著名的米勒問題:“設點”,N

是銳角N4Q8的一邊3上的兩點，試在邊上找一點P,使得/MPN最大.”如圖，其結論是：點尸為過

M,N兩點且和射線。8相切的圓與射線的切點.根據以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系xOy中,

給定兩點加（-1,2）,雙（1,4）,點尸在工軸上移動，當/MW取最大值時，點尸的橫坐標是（）

C.1或TD.1或一7

【變式7-1］（2024?遼寧?高一校聯考期末）設AA6C中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且

3

acosB-bcosA=-c,貝Utan（A-B）的最大值為（）

A.-B.-C.-D.-

5384

【變式7-2］（2024.浙江溫州.高一統考期末）設aABC的內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且

6a-cosC+2c-cosA=5b,貝!Itan（A-C）的最大值為（）

A.6B.1C.273D.B

3

題型八：三角形中的平方問題

27r

【例8】（2024?河南新鄉?統考一模）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a",c,若標+加+=12,A=方-,

則“出C面積的最大值為（）

A.友B.迪C.迪D.也

555

【變式8-1］（2024.河北石家莊.高一校考階段練習）已知實數a,6,c滿足標+4加+2c?=5,則2式+3c的

最大值為__________

【變式8-2］（2024?河南南陽?高三南陽中學校考階段練習）在AABC中，角A,3,C所對的邊分別為°,4c,

且滿足5/+3b1=3c2,則sinA的最大值是.

題型九：等面積法、張角定理

【例9】（2024?新疆伊犁?高一奎屯市第一高級中學統考期末）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,

b,c,NABC=120。，/ABC的平分線交AC于點。，且2。=1,則4a+c的最小值為（）

A.8B.9C.10D.7

【變式9-1］（2024?重慶云陽?高三校考階段練習）在AABC中，角A8C所對的邊分別為a,b,

c.ZABC=120,ZA3C的平分線交AC于點。，且跳）=1,則4a+3c的最小值為（）

A.7+4石B.7+2占

C.12+2A/7D.12+473

【同步練習】

一、單選題

1.（2024?遼寧沈陽?高一東北育才學校校考期末）在“WC中，角A5c所對的邊分別為a,反c,若

hr

工則角A的取值范圍是（）

a+ca+b

A1（cM兀1B.刀71711C.兇（c兀］D.川「兀、

hc

2.（2024?北京朝陽?高一統考期末）已知AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若——+-->1,

a+ca+b

則角A的取值范圍是（）

A-rijB-。,仁刁D.［丁J

jrJr

3.（2024?福建寧德?高一校考階段練習）已知在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，。，c,

64

若Z^=a（a+c）,則^_"s\”的取值范圍是（）

bcosA-acosB

4.（2024?河南安陽?高一統考期末）已知在銳角三角形ABC中，角4氏。所對的邊分別為a,4。，若

b2=a{a+c）,則角A的取值范圍是（）

5.（2024?山西呂梁?統考二模）銳角AASC是單位圓的內接三角形，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

nr

a2+b2—c2=4a2cosA—2accosB?則丁的取值范圍是（）

b

A.（2忘3aB.（V3,3A/3）C.與D.仁，出

6.（2024?江西上饒?高三上饒中學校考期末）在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

acosB-bcosA=^c,當tan（A—B）取最大值時，角C的值為

71

A.-B.-C.-D.

263~4

7.（2024?湖北武漢?統考一模）已知△ABC的三邊分別為a,b,c,若滿足4+62+2/=8,則△ABC面積的

最大值為（）

Ax/5g2亞03行nV5

5553

8.（2024?云南大理?統考模擬預測）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,ZABC=120\ZABC

的平分線交AC于點O,且皮＞=2,則4a+c的最小值為（）

A.16B.18C.20D.14

二、多選題

9.（2024.全國.高一期末）在AABC中，A、B、C所對的邊分別為〃、b、c,a2+b2+2c2=S,則當AABC

的面積取最大值時，下列說法正確的是（）

B-M1

5

「_2A/10

C.C----------

5

D.S?c的最大值為孚

三、填空題

10.（2024?江西.高三校聯考階段練習）記銳角三角形A8C的內角A5,C的對邊分別為a,4c,若

c+b=2acosB,則3的取值范圍為________

ab

11.（2024?安徽蕪湖?高一蕪湖一中校考期末）AABC的內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若C=23,

則—的取值范圍為____.

b

12.（2024?浙江溫州?高一校聯考期末）設的內角A,B,。所對的邊長分別為。，b,c,且

3a-cosC=2c-cosA+b,則tan（A-C）的最大值為.

13.（2024?山東臨沂?高一統考期末）已知△ABC中，角A,B,。所對應的邊分別為a,b,c,且，二（〃—。『+6,

若△ABC的面積為且，則sinAsin3的取值范圍為.

2

14.（2024?上海楊浦?高一上海市控江中學校考期末）在三角形ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為“、

b、c,若3a2+必+3/-3°2=0,則角C的大小是.

15.（2024?安徽合肥?合肥一六八中學校考模擬預測）銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,

c,若/一/+℃=0,則萼的取值范圍是.

16.（2024?上海?校聯考二模）給定平面上四點0,46C滿足。4=4,OB=3,OC=2,通.元=3,則AABC面

積的最大值為.

17.（2024.山東.高三山東師范大學附中校考階段練習）在AASC中，角ABC所對的邊分別為

a力,c,ZABC=12（F,ZA8C的平分線交AC于點D,且a）=1,則滿足的方程關系為;a+4c的

最小值為.

四、解答題

18.（2024?江蘇蘇州?高一校考階段練習）在AABC中，內角A,8,C的對邊分別為a/,c,若c=2,NBAC的角

平分線45交3C于點D.

（1）若6=1,NBAC=60°,求AD的長度；

⑵若AABC為銳角三角形，且學=1+當,NABC的角平分線的交AC于點E,且與血交于點。，求AAOB

btan5

周長的取值范圍.

TT冗

19.（2024?全國?高一隨堂練習）如圖某公園有一塊直角三角形A3C的空地，其中/ACB=7，/A8C=：,AC

26

長。千米，現要在空地上圍出一塊正三角形區域DEF建文化景觀區，其中。、E、尸分別在3C、AC.AB

上.設NDEC=6.

71

⑴若Y，求ADEF的邊長;

（2）求力EF的邊長最小值.

20.（2024?全國?高一專題練習）在下面的三個條件：①2a-5=2ccosB,②sin[C+"=cosC+g,③

sinAsinBsinC=^（sin2A+sin2B-sii?0.任選一個補充到問題中，并給出解答.

在銳角"1SC中，角AB,C的對邊分別為a,6,c,且__________.

⑴求角C；

⑵若c=g,求的取值范圍.

21.（2024?全國?高一專題練習）已知函數/（x）=2j^sinxc