第19講空間圖形的表面積和體積目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。1.了解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式；理解并掌握側(cè)面展開(kāi)圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計(jì)算公式求幾何體的表面積與體積。2.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積的計(jì)算公式；理解并掌握側(cè)面展開(kāi)圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計(jì)算公式求幾何體的表面積與體積。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01空間圖形的表面積1.直棱柱及其側(cè)面積和表面積(1)直棱柱、正棱柱的概念側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫作。特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作。直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)就是直棱柱的(兩底面所在平面之間的距離)。(2)直棱柱的側(cè)面積和表面積將直棱柱的側(cè)面沿一條側(cè)棱剪開(kāi)后展在一個(gè)平面上，展開(kāi)圖的面積就是直棱柱的。如圖，直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是，這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于直棱柱的底面周長(zhǎng)c，寬等于直棱柱的高h(yuǎn).因此，直棱柱的側(cè)面積是，表面積是。2.正棱錐及其側(cè)面積和表面積(1)正棱錐的概念：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為。正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都，側(cè)面均為全等的。(2)正棱錐的側(cè)面積和表面積：正n棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等的等腰三角形組成的，如圖所示。如果正n棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，周長(zhǎng)為c，斜高(即側(cè)面等腰三角形底邊上的高)為h'，則它的側(cè)面積為，表面積為。3.正棱臺(tái)及其側(cè)面積和表面積(1)正棱臺(tái)的概念：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作。正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都，側(cè)面均為全等的。(2)正棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積正n棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等的等腰梯形組成的，如圖：設(shè)正n棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是a'，a，斜高為h'，則正n棱臺(tái)的側(cè)面積，表面積，其中c'，c分別是上、下底面的周長(zhǎng)。4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及表(側(cè))面積公式（1）圓柱；；。其中,r是底面半徑,l是母線長(zhǎng)。（2）圓錐；；。其中,r是底面半徑,l是母線長(zhǎng)。（3）圓臺(tái)；，；。其中,r',r分別是上、下底面半徑,l是母線長(zhǎng)。【微點(diǎn)撥】求空間幾何體的表面積(側(cè)面積)(1)求表面積問(wèn)題的思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何表面積問(wèn)題的主要出發(fā)點(diǎn)。(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差求得幾何體的表面積.注意銜接部分的處理。【即學(xué)即練1】氈帳是蒙古族牧民居住的一種房子，內(nèi)部木架結(jié)構(gòu)，外部毛氈圍攏，建造和搬遷都很方便，適合牧業(yè)和游牧生活.如圖所示，某氈帳可視作一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合，圓錐的高為3米，圓柱的高為2.5米，底面直徑為8米，則建造該氈帳需要毛氈（

）平方米.A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)02空間圖形的體積1.柱體的體積(S是底面面積，h是柱體高)，(r是底面半徑,h是高).2.錐體的體積(S是底面面積，h是錐體高)，（r是底面半徑，h是高).3.臺(tái)體的體積（S'、S分別是上、下底面面積，h是臺(tái)體高)，（r',r分別是上、下底面半徑，h是高).【微點(diǎn)撥】求空間幾何體的體積(1)若所給的幾何體是可直接用公式求體積的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解。(2)若所給的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法或補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解。【即學(xué)即練2】已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C．1 D．知識(shí)點(diǎn)03球的表面積和體積1.球的表面積設(shè)球的半徑為R，那么它的表面積。2.球的體積設(shè)球的半徑為R，那么它的體積。3.解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的策略(1)“接”的處理①構(gòu)造正(長(zhǎng))方體，轉(zhuǎn)化為正(長(zhǎng))方體的外接球問(wèn)題；②空間問(wèn)題平面化，把平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當(dāng)(過(guò)球心或接點(diǎn)等)；③利用球心與截面圓心的連線垂直于截面來(lái)確定所在直線。(2)“切”的處理①體積分割法求內(nèi)切球半徑；②作出合適的截面(過(guò)球心或切點(diǎn)等)，在平面上求解；③多球相切問(wèn)題，連接各球，轉(zhuǎn)化為處理多面體問(wèn)題。【即學(xué)即練3】已知兩個(gè)球的表面積之比為，則這兩個(gè)球的體積之比為（

）A． B． C． D．能力拓展能力拓展考法01空間圖形的表面積【典例1】某工廠需要制作一個(gè)如圖所示的模型，該模型為長(zhǎng)方體挖去一個(gè)四棱錐后所得的幾何體，其中為長(zhǎng)方體的中心，，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，，，那么該模型的表面積為（

）．A． B．C． D．考法02空間圖形的體積【典例2】在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，小華進(jìn)行了如下探究：如圖1，水平放置的正方體容器中注入了一定量的水；現(xiàn)將該正方體容器其中一個(gè)頂點(diǎn)固定在地面上，使得DA，DB，DC三條棱與水平面所成角均相等，此時(shí)水平面為HJK，如圖2所示．若在圖2中，則在圖1中（

）A． B． C． D．考法03球的表面積和體積【典例3】在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”．如圖，在“陽(yáng)馬”中，底面，，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B．C． D．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．長(zhǎng)方體的體積是，若為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．2．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（

）A． B． C． D．3．等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為（）A． B．或C． D．或4．用與球心距離為的平面去截球，截面面積為，則球的體積為（）A． B． C． D．5．已知一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)中心角為直角的扇形，若該圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．6 D．26．已知圓柱上下底面圓周均在球面上，且圓柱底面直徑和高相等，則該球與圓柱的體積之比為_(kāi)_______．7．已知正三棱錐的側(cè)面積為，高為，則它的體積為_(kāi)__________.8．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球的表面積為_(kāi)_____.9．如圖，正四棱錐的高，，，為側(cè)棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．10．已知圓柱的體積為，側(cè)面積為．(1)求圓柱底面圓的半徑和圓柱母線的長(zhǎng)；(2)以上底面圓的圓心和下底面圓構(gòu)成圓錐，求此圓錐的表面積．題組B能力提升練1．已知A，B，C，D在球O的表面上，為等邊三角形且邊長(zhǎng)為3，平面ABC，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．2．若圓柱軸截面周長(zhǎng)C為定值，則表面積最大值為（

）A． B． C． D．3．如圖在RtABC中，AB＝BC＝6，動(dòng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，四邊形BDEF為矩形，剪去矩形BDEF后，將剩余部分繞AF所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，則當(dāng)該幾何體的表面積最大時(shí)，BD＝（）A．2 B．3 C．4 D．34．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列關(guān)于該多面體的說(shuō)法中不正確的是（

）A．多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為D．多面體有外接球（即經(jīng)過(guò)多面體所有頂點(diǎn)的球）5．已知某圓錐的內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為_(kāi)_________．6．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)的高為6，則球O的表面積為_(kāi)_________．7．足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng).已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，滿足，平面，，若三棱錐的體積為，則該“鞠”的體積的最小值為_(kāi)_____.8．已知圓柱的全面積為，圓柱內(nèi)有一平行于圓柱軸的截面，截面面積為，且截面上的兩條母線將圓柱側(cè)面分成兩部分的表面積之比為，則圓柱的體積是______.9．如圖，直三棱柱中，，，，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)P為線段上的中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐的體積；(2)當(dāng)P在線段上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．10．如圖所示，底面半徑為1，高為1的圓柱中有一內(nèi)接長(zhǎng)方體，設(shè)矩形的面積為S，長(zhǎng)方體的體積為V，，(1)將S表示為x的函數(shù)；(2)求V的最大值．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知正四棱臺(tái)中，，若該四棱臺(tái)的體積為，求這個(gè)四棱臺(tái)的表面積為（

）A．24 B．44 C． D．2．母線長(zhǎng)為1的圓錐體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖圓心角等于（

）A． B． C． D．3．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E為棱BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是長(zhǎng)方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且直線，EF與平面所成角的大小相等，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．三棱錐的體積為4C．存在點(diǎn)F，使得 D．線段的長(zhǎng)度的取值范圍為4．（多選題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．若為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為B．若為棱的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與直線都相交C．若為以為直徑的球面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為D．若平面，則截此正方體所得截面圖形的面積越大，其周長(zhǎng)越大5．（多選題）如圖，正方體中E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等D．平面截正方體所得大小兩部分的體積比為6．中，，過(guò)點(diǎn)A的直線在平面上，且在直線的同一側(cè)，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積的最大值為_(kāi)_____．7．正多面體與正多邊形一樣，具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，也是立體幾何學(xué)習(xí)中的常見(jiàn)模型.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別將6個(gè)正方形的中心點(diǎn)依次記為給出下列結(jié)論:①正方體的所有截面中，正多邊形只有正三角形和正方形;②以為頂點(diǎn)連成一個(gè)幾何體，這個(gè)幾何體是正八面體;③三棱錐是正四面體，它的外接球半徑是；④將②中多面體MNPQRS的各個(gè)面的中心標(biāo)出，用線段將這些中心點(diǎn)連成幾何體，可以得到一個(gè)新的正方體，它的棱長(zhǎng)是.則其中正確的有________.8．如圖所示，四邊形為菱形，，平面