撫州市2024-2025學年度上學期學生學業質量監測

高二數學試題卷

說明：1.本卷共有4大題，19個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.

一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，僅有一項符合

題目要求.

1.已知直線Z：x+2y=0,，2：辦+勿+1=0,若4U,貝匹+28=()

A.0B.1C.-1D.2

2.圓心為(4,0)且過點(0,-3)的圓的標準方程為()

A.x2+(j-4)2=25B.x2+(v+4)2=25

C.(x-4)2+y2=25D.(x+4)2+v2=25

2

3.設片，匕為橢圓C：A+)?=i的兩個焦點，點。在。上，若可.朋=o,則|刊訃［尸閭二()

A.1B.2C.4D.5

_____3___.____?1___?

4如圖，三棱錐O—45C中，O4^a>~OB=b>OC=c>且而=］厲，CN=—C8,則加=

,42

()

C1-1f1-

A.--a+-b+-cB.—aH—bH—c

433433

3-1r1-

D.—a+—b+—c

422

345

5.若(2%-1)5=4+%(%-1)+42(、-1)2+tz3(x-l)+tz4(x-l)+(25(X-1),則下列結論中正確的是

A.4=—1B.%=—80

1-310

5

C.Ia0I+I?1I+I?2I+I?3I+I?4I+I?51=3D.(4+4+%)(%+%+%)=——

6.已知過原點的直線/與圓C:(x—3『+"—4)2=49相交于48兩點，則以目的最小值為()

A.6B.V39C.4石D.476

7.在“文化撫州，夢想之舟”半程馬拉松比賽中，某路段設三個服務站，某高校5名同學到甲、乙、丙三個

服務點做志愿者，每名同學只去1個服務點，每個服務點至少1人，則不同的安排方法共有()

A.25種B.150種C.300種D.50種

22

8.如圖，已知片,用是雙曲線c二—4=1的左、右焦點，尸，。為雙曲線c上兩點，滿足片尸〃8。，

ab

且=囚尸1=3閨尸I，則雙曲線。的離心率為()

二、多項選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分.

9.已知空間向量浣=(—1,2,4),3=(2,-4,x),則下列選項中正確的是()

A.當前時，x=3B.當前/不時，x=-8

C.當辰+^=6時，x=-3D.當x=l時，sin,,0=F

10.如圖，在直三棱柱ABC-44cl中，NR4c=90°,AB=AC=g4^=2,瓦&G分別是棱

BC,4G，的中點，。在線段4G上，則下列說法中正確的有()

A.ER//平面力448B,8￡>//平面￡/6

C.存在點。，滿足BD1EFD.三棱錐Q-EEG的體積不變

11.天文學家卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現：在同一平面內，到兩個定點的距離之積為常

數的點的軌跡是卡西尼卵形線.已知兩定片(-2,0),月(2,0),動點尸(%,%)滿足|0/訃|尸閭=4,設p

的軌跡為曲線C,下列說法中正確的有()

A.尸的橫坐標最大值是2B.曲線C既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

C.存在點P,使得/與，尸6D.△片尸鳥面積最大值2

三、填空題：共3小題，每題5分，共15分.

12.雙曲線上+上^=1的離心率為2,求加=.

mm+1

13.設“為正整數,展開式中僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中的常數項為

14.在平面凸四邊形48c。中，CB=CD=41<ABAD,且N84D=60°,NBCD=90。,將四邊

一.兀2兀

形4BCD沿對角線8。折起，使點/到達點E的位置.若二面角E-8。-C的大小范圍是,則三

棱錐￡-8。的外接球表面積的取值范圍是.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.解答寫

在答題卡上的指定區域內.

15.設直線4:mx+3my-6=0與乙：(4-加)x+碎v+m？-4m=0.

(1)若“〃2,求4、4之間的距離；

(2)當直線4與兩坐標軸正半軸圍成的三角形的面積最大時，求加的值.

16.已知。為原點，直線X+2y—3=0與圓C：x2+y2+x-6y+加=0交于尸、。兩點.

（1）若|尸。|=25，求加的值；

（2）若過。點作圓的兩條切線，切點為M、N,求四邊形ONCAZ面積的最大值.

22

17.已知拋物線E：/=2px（夕〉0）與雙曲線（-\=1的漸近線在第一象限的交點為0,且。點的橫坐

標為3.

（1）求拋物線￡的方程；

（2）過點（2,1）作一直線交拋物線￡于48兩點，求弦4B的中點軌跡方程.

18.如圖，在三棱錐尸—48C中，ABJ.AC,APLBP,CALAP,BC=5M、N分別為

PB、P/中點.

（2）證明：平面CMN與平面Z8C的交線///平面尸48；

（3）若PA=PB,二面角C—MN—Z的正切值為2,求ZC的長.

19.如圖所示，在圓錐內放入兩個球它們都與圓錐的側面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這

兩個球都與平面a相切，切點分別為片，鳥，數學家丹德林利用這個模型證明了平面a與圓錐側面的交線

為橢圓，記為「，片,用為橢圓「的兩個焦點.設直線大與分別與該圓錐的母線交于43兩點，過點A的

母線分別與球Q相切于兩點，已知以。|=2-百，以0=2+百.以直線與耳為x軸，在平面

a內，以線段片耳的中垂線為了軸，建立平面直角坐標系.

（1）求橢圓「的標準方程;

(2)過點(1,0)作斜率不為0的直線/,直線/與橢圓「交于P,。兩點，48分別為橢圓左右頂點，記

/P的斜率為左，3。的斜率為質.求出

?2

撫州市2024-2025學年度上學期學生學業質量監測

高二數學試題卷

說明：1.本卷共有4大題，19個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.

一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，僅有一項符合

題目要求.

1.已知直線Z：x+2y=0,，2：辦+勿+1=0,若4U,貝匹+28=（）

A.0B.1C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用垂直的關系可得斜率之積為-1,即可得解.

【詳解】由直線4：x+2y=0,Z2\ax+by+\=Q,滿足/，乙可得，

-5義1—j=-1,可得a+2b=0,

故選：A.

2.圓心為（4,0）且過點（0,-3）的圓的標準方程為（）

A.x2+（j-4）2=25B.V+（y+4『=25

C.（x-4）2+v2=25D.（x+4）2+v2=25

【答案】C

【解析】

【分析】根據各項給定圓的方程確定圓心，判斷（0,-3）是否在圓上即可.

【詳解】由一+（y—4）2=25的圓心為（0,4）,人錯；

由/+（了+4）2=25的圓心為（0,-4）,B錯；

由（—4）2+）=25的圓心為（4,0）,顯然點（0,-3）在圓上,C對;

由（x+4）2+/=25的圓心為（一4,0）,D錯;

故選：c.

3.設片，鳥為橢圓C:?+/=1的兩個焦點，點尸在C上，若畫?朋=0,則戶用?|尸照=()

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根據條件得到a=2,b=l,c=JL設PFi=m,P,3=〃，再利用橢圓的定義及條件得到

陰+〃=4且機2+/=06)2,即可求出結果.

V2r

【詳解】因為橢圓C:亍+「=1,所以0=21=l,c=J

又因為兩?朋=0,所以所_1兩，即尸々，盟，

設PF\=m,PF2=n,則加+〃=4①，且加2+〃2=QJ?②，

由①2—②得到2加及=4,即加〃=2,所以附?尸6=2

故選：B.

,且血=；方，CN=^CB,則麗=

4.如圖，三棱錐O-48C中，厲=萬，OB=b，OC^c

()

O

B

1

A.--a+-b+-cB.-C-lH—bfH—1C-

433433

c-+ZDTQ-H--1b2H--1C-

422422

【答案】c

【解析】

【分析】利用空間向量的運算法則求解即可.

【詳解】如圖所示：

MN=MO+OC+CN

=-OM+OC+-CB

2

=-^OA+OC+^(OB-OC)

=--OA+-OB+-OC

422

3_1z1-

=——a+—o+—c.

422

故選：C.

2345

5.若(2x—l)5=a0+ax(x-l)+a2(x-l)+a3(x-1)+a4(x-l)+a5(x-l),則下列結論中正確的是

()

A.。()=-1B.a4=-80

1-310

5

C.|a01+1?1|+1a21+1a31+1a4|+1a51=3D.(旬+4+&)(%+%+%)=--—

【答案】C

【解析】

【分析】根據給定條件，利用賦值法逐項計算判斷.

【詳解】對于A,取x=l,得a°=r=l,A錯誤；

對于B,[2(x—1)+廳展開式中。一。項的系數為c；"=80,B錯誤;

對于C,二項式[2(x-l)+l1展開式中各項系數均為正，取》=2,

[a。||||a2|+|%I+I04I+I051=00+4]+42+a3+^4+“5=夢，C正?^;

對于D,取X=2,得+4]+a。+/+。4+05=3，，取X=0,得旬—+。2—。3+。4—。5=-1，

、一，35-135+1310-1,

聯立解得a0+a2+a4=---,ax+a3+a5=---,因此(a0+出+%)(%+%+%)=一~一，D錯誤.

故選：C

6.已知過原點的直線/與圓C:(x—3)2+"—4『=49相交于48兩點，則|幺回的最小值為()

A.6B.V39C.475D.476

【答案】D

【解析】

【分析】判斷原點與圓的位置關系，再由以8|最小有直線/ACO,最后應用幾何法求弦長即可.

【詳解】由（0—3丫+（0—4）2=25<49,即原點在已知圓內部，且圓心C（3,4）,r=7,

若原點為。，要使|48|最小，只需直線/人CO,而|。0=行邛=5，

所以最小\AB\=2xJ49-25=4^/6.

故選：D

7.在“文化撫州，夢想之舟”半程馬拉松比賽中，某路段設三個服務站，某高校5名同學到甲、乙、丙三個

服務點做志愿者，每名同學只去1個服務點，每個服務點至少1人，則不同的安排方法共有（）

A.25種B.150種C.300種D.50種

【答案】B

【解析】

【分析】利用先分組后分配來解題，分組中要注意均分組消序思想.

【詳解】五名同學分三個小組，

「2「2

若按2人，2人，1人來分有=15種,

若按3人，1人，1人來分有C；=10種,

再把這三個小組排列到三個服務站去共有A；=6種，

所以每個服務點至少有1人的不同安排方法有：（15+10）x6=150種，

故選：B.

8.如圖，已知片，鳥是雙曲線—?=1的左、右焦點，尸，。為雙曲線C上兩點，滿足「尸〃鳥0,

一crb，

5232

【答案】D

【解析】

【分析】根據雙曲線的定義和性質分析可得，=。，進而可得一片P'0=一片M=90。，結合勾股定理運算

求解.

【詳解】延長0g與雙曲線交于點P，

因為公尸〃因P,根據對稱性可知陽尸|=\F2P'\,

設內P[=|4P|=t,則囚尸月片。=37,

可得囚尸|—閨尸|=2/=2a,即/=a,

所以尸。|=今=4°,則|0周=|空|+2a=5a,1Gpi=|gP|=3a,

2

即\P'Qf+閨尸'「=\QFX|,可知NFFQ=NFiPF2=90°,

在AP'G心中，由勾股定理得|用產'「+陽尸’『=閨月

即/+（3。）2=402,解得6=二=巫.

V7a2

故選：D.

【點睛】方法點睛：1.雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定。，6,c的等量關系或不等關系，然后把6

用a,c代換，求e=9的值；

a

2.焦點三角形的作用

在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來.

二、多項選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分.

9.已知空間向量蔡=（—1,2,4）,】=（2,—4,x）,則下列選項中正確的是（）

A.當面_L［時，x=3B.當三〃-時，x=-8

C.當卜+“=癡時，x=-3D.當x=l時，sinun,?

7

【答案】BD

【解析】

【分析】根據向量垂直、平行的坐標表示列方程求參數判斷A、B；應用向量坐標加法及模長的坐標運算列

方程求參數判斷C；由向量夾角的坐標表示求余弦值，進而確定正弦值判斷D.

【詳解】A：m，則—2—8+4x=0,可得x=—,錯；

2

_2-4x

B：mlIn則--——-二:，可得X二—8，對；

-124

C：+“=J1+4+（4+X）2=A/6,可得x=-3或x=-5,錯;

—2—8+4

D：x=l,則1=（2,-4,1）,故cos（私〃）~>則sin（7〃,〃）=丁丁，對.

VHXV21

故選：BD

10.如圖，在直三棱柱4BC-44G中，NR4c=90°,AB=AC=6,AA1=2,E,RG分別是棱

BC,4G，的中點，。在線段4G上，則下列說法中正確的有（）

A,所//平面24用8B.AD//平面ERG

C.存在點。，滿足BDLEFD,三棱錐。-EEG的體積不變

【答案】AD

【解析】

【分析】根據已知易得3跖G為平行四邊形，有EE//8G,應用線面平行的判定判定A；由直線AD與面

5EFG相交判斷B；假設ADLETL即AD，5G,令與。=xe[0,2]并應用勾股定理列方程求解判斷

C；首先證用C"/平面ERG,再由棱錐的體積公式判斷D.

【詳解】由題設，易得5。。1片是邊長為2的正方形，豆GFIIB[G〃BC,GF=^BXCX=^BC,

又E是8c的中點，則GP//5E且GE=8￡,故8E尸G為平行四邊形，

所以EF//BG,￡E<Z面44148,BGu面則跖//平面池出出，A對；

由上分析知，面EEG即為面8EFG,顯然直線與面5EFG相交，B錯；

由EE//8G,若BD工EF,即5DL5G,

22

令5Q=xe[0,2],則8。2=》2+4，GE)2=x+I_2XCOS45°=X-V2x+b

而8G2=5，則BQ2+BG2=G￡>2,即8+JIX=0，顯然無解，C錯；

由GF〃司q,呂。1<2面EEG,Gbu面EPG,則4G//平面EEG,

又Q在線段4G上，故。到面EEG距離為定值，且A￡EG的面積為定值，

所以三棱錐。-EPG的體積不變，D對；

11.天文學家卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現：在同一平面內，到兩個定點的距離之積為常

數的點的軌跡是卡西尼卵形線.已知兩定片(-2,0),月(2,0),動點尸(%,%)滿足|刊訃|尸閭=4,設P

的軌跡為曲線C,下列說法中正確的有()

A.尸的橫坐標最大值是2B.曲線C既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

C.存在點P,使得尸片_1_「耳D.△片尸鳥面積最大值2

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用軌跡方程的代數關系來證明相關選項，對于A利用縱坐標放縮去求橫坐標范圍，對于B則利

用-不，-%的代入檢驗就可作出判斷，對于C則利用方程組消元看看是否有解，對于D,則利用定義來求

面積，只需要看是否存在直角.

【詳解】由|年;卜|尸閶=4可得：1國+2)2+了；'國一2)2+需=4,

即［（x：+Jo+4）+4xo］［（x：+Jo+4）-4x0J=16,

即（x；+Jo+4、一16x；=16n（x：+y；+4/=16（片+l）=＞x；+y；+4=4&+1,

則Jo=~xo+4Jv；+1-4,

對于A,由-xj+4dx；+1-420,得x1+4W4Jxj+1,

平方展開化簡得：解得—2后Wx。W2JL

即P的橫坐標最大值是2后，故A錯誤；

對于B,由（一須），一＞0）滿足（X；+V；+4）~—16x；=16,所以曲線C關于原點對稱，

又由（一%,%），（%,-乂））也滿足（X：+腳+4）'-16x；=16,所以曲線C關于坐標軸對稱，故B正確;

對于C,若存在點尸，使得尸片，尸與，則有焉+點=4,

又由于則訴=-片+4舊石-4聯立，消去犬可得：

4-x；=-X：+4Jx；+l_4njx；+l=2=＞x；=3,即有解，所以存在點尸，故C正確；

對于D,5有明=J尸制|尸閭sin，=2sin。，△片因面積最大值2,由選項C可知，

7T

存在，=—的最大值點尸，故D正確.

2

故選：BCD.

三、填空題：共3小題，每題5分，共15分.

22

12.雙曲線上+一匚=1的離心率為2,求"?=.

mm+1

3

【答案】—-##-0.75

4

【解析】

【分析】根據雙曲線的方程及離心率公式列方程求參數值即可.

【詳解】由題設，易知加＜0＜加+1,則a=Tm+l,b=,所以。=1,

c13

由一=乙=^=2,可得機=——.

a，加+14

3

故答案為：—

4

13.設〃為正整數，|%-4|展開式中僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中的常數項為

【答案】112

【解析】

G(-2)y”，令

【詳解】由展開式中僅有第5項的二項式系數最大得〃=8則Tr+i=8f

8-4r=0,r=2則展開式中的常數項為C；(—2)2=112

14.在平面凸四邊形4BCD中，CB=CD=垃,AB=AD,且N84D=60°,ZBCD=90°,將四邊

n27i

形4BCD沿對角線8。折起，使點/到達點E的位置.若二面角C的大小范圍是,則三

133」

棱錐￡-BCD的外接球表面積的取值范圍是.

.…小、「16兀5271

【答案】9

【解析】

【分析】取AD中點02,連接O2E,取AEBD的外心已,過點&作/，平面BCD,過點。作0。，平

面E8D交/于點。，進而確定球心的位置及二面角E-8。-C的平面角為NE。2c并確定范圍，利用幾何

關系求球體半徑，即可得球體表面積的范圍.

【詳解】由題意知，和△￡8。是等邊三角形，

取AD中點。2,連接儀￡，取的外心O1,則Q是的外心，

C

過點Q作/，平面BCD,則三棱錐E-BCD的外接球球心在I上

過點。作010±平面EBD交/于點。，則點。即為三棱錐E-BCD的外接球球心，

由8DLQE知，NE。2c為二面角￡—8。—C的平面角，則NEQCe

7T7T2兀7T兀

設/OQq=0,則0V。Vmax

2-i?T-26

V32

。。21

又。1。2=1XVsX所以。Q

3-TCOS。J^cos。V57

因為。2。，平面C8￡1,5Qu平面C5￡),所以。2。，8。,

2

所以三棱錐E-BCD的外接球半徑R=02B-+00}=1+00；e

1久

所以三棱錐￡-BCD外接球的表面積S=4兀7?~e———

16K52n

故答案為:

【點睛】關鍵點點睛：根據球心的性質確定位置，并求出二面角￡-8。-C的平面角NE&C的范圍為

關鍵.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.解答寫

在答題卡上的指定區域內.

15.設直線4:mx+3my-6=0與乙：(4一機)x+叼+機？-4m=0.

(1)若〃〃2,求4、4之間的距離；

(2)當直線4與兩坐標軸正半軸圍成的三角形的面積最大時，求加的值.

【答案】(1)叵;

10

(2)m=2.

【解析】

【分析】(1)由直線平行的判定列方程求參數，再由平行線的距離公式求距離；

12

(2)根據已知可得0＜加＜4,再由三角形面積公式有5=-](m-2)+2,即可確定面積最大時加的值.

【小問1詳解】

由〃〃2，則"—3祖一(4一切)=0,化簡得4機2—12機=0，可得加=0或機=3,

當加=0時，不成立，

當加=3時，4:x+3y—2=0,4：%+3y—3=0,

此時，i，，2之間的距禺為d=/—=----.

<12+3210

【小問2詳解】

fm>0

???直線乙與兩坐標軸的正半軸圍成三角形，｛4-機〉。，則0<m<4，

11,

：.12與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積為S=耳機(4—機)=--(m-2)+2,

...當加=2時，S有最大.

16.已知。為原點，直線x+2y-3=0與圓C：/+/+工一6^+機=o交于尸、。兩點.

(1)若|PQ|=2j7,求皿的值；

(2)若過。點作圓的兩條切線，切點為“、N,求四邊形ONCM面積的最大值.

37

【答案】(1)1(2)—

【解析】

【分析】(1)利用垂徑定理來求直線與圓相交的弦長，從而可得方程求解機的值；

(2)利用勾股定理來求切線長，從而可計算面積，然后可用基本不等式來求最值即可.

【小問1詳解】

由圓》2+>2+》-67+加=0可得：

圓心為（一半徑r="I-4m,其中機<衛，

I2）24

（11—J_+6-3r-

而圓心-不3到直線x+2y-3=0的距離426，

I2Jd=-----=—

V1+42

所以|尸@=2〃2_/=2/714〃_；=26,解得機=1,

即加的值為I.

【小問2詳解】

由勾股定理可得|0叫=7<9C2-r2f37~4m=而

四邊形ONCW由兩個全等的直角三角形組成。所以

37

/—V37-4mJm（37-4m）/（37mH----m

S=2x^\OM\37.

xr=Vmx--------=-...........=Jm----m<4

22,I4J28

當且僅當掰-時成立

8

3737

所以當機=——四邊形ONCM有最大面積——.

88

22

17.已知拋物線E：/=2RX（P〉0）與雙曲線:-,=1的漸近線在第一象限的交點為。，且。點的橫坐

標為3.

（1）求拋物線E的方程;

（2）過點（2,1）作一直線交拋物線￡于43兩點，求弦4B的中點軌跡方程.

【答案】⑴y2=4x；

⑵-J

【解析】

【分析】（1）設點。的坐標為（3,%）,由點在雙曲線的漸近線卜.確定點坐標，再由點在拋物線上求參數，

即可得方程；

（2）設2（西,必），B（x2,y2）,中點/（x,y）,y1+v2=2y,結合斜率兩點式及點差法得到

2V-』」=4,整理即可得軌跡，注意驗證ZBlx軸的情況.

x-2

【小問1詳解】

設點。的坐標為（3,%）,因為點。在第一象限，所以為〉0,

雙曲線!-;=1的漸近線方程為y=±今3》，

因為點。在雙曲線的漸近線上，所以為=2百，所以點。的坐標為（3,2百卜

又點Q（3,2g）在拋物線丁=2.上，所以12=2夕x3,所以2=2,

設/(%,%),8(%2，%),中點"(x,y),y1+y2=2y,

7y—1Vi—Vo

若直線/的斜率存在，kAB=>="^,

x-2Xj-x2

由％2=4x-乂=4%2，則（必-%）（必+%）=4（再-

所以2了即二R=4,即2了.』=4,

（Xj-x2）x-2

整理得y2—y=2x—4,化簡得[y—g]=2x—T，

直線/的斜率不存在，軸，弦4B中點為（2,0）也符合,

綜上：軌跡方程為[y—g]=2x—

18.如圖，在三棱錐尸—45C中，AB1AC,APIBP,CALAP,BC=5M、N分別為

PB、P4中點.

（1）證明：BPVAC-,

（2）證明：平面CMN與平面Z8C的交線〃/平面尸48；

（3）若PA=PB,二面角C—"N—Z的正切值為2,求NC的長.

【答案】（1）證明見解析

(2)證明見解析(3)1

【解析】

【分析】(1)利用線線垂直證明線面垂直即可得證；

(2)利用線面平行的判定和性質定理來進行推理證明即可；

(3)先把二面角的正切值轉化為余弦值，再利用空間向量法來求解二面角的余弦值，從而得到方程求解

邊長，也可以利用空間關系來證明線面垂直，并作圖證明二面角的平面角，再求解即可.

【小問1詳解】

因為ACLAP,AB\AP=A,平面尸4g,

所以ZC,平面尸48,又因為尸8u平面尸48,所以「

【小問2詳解】

因為N分別是尸瓦PN的中點，

所以〃/8,因為Z8u平面Z8C,W平面Z8C,

即MN//平面Z8C,又因為MNu平面MAC,而平面MA/Cn平面Z8C=/,

所以MN〃I,而MNu平面尸48,平面尸48,

所以///平面P48；

【小問3詳解】

解法一：以/為坐標原點，48,NC所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系:

由(2)知，ZC平面尸48且NCu平面48C,故平面48CJ_平面尸48,

???平面P45的法向量1=(0,1,0),

設AS=2a,則zc=J5-4a2，C(0,,5-4』,0),

—,0,—j,則CN=1萬,-，5-4〃1,NM=(1,0,0)

L1245-4/]

設平面CMN法向量％=（xj,z）,u,1,

a

\7

設二面角C—MN—Z的平面角為。，已知tanO=2,所以cos，=YS

5

cos0_〃].%_________i1_百

一麗一，4（5—吟,二三叫一5

a\a

解得：a=l.（設ZC=a也同樣可以）

解法二：延長MN,過C作九W于〃點，連接力?,過P作尸GLZ8于G點

P

■：MN//AB,AB1AC:.MNA.AC

.?.肱V，面ZCH,:.MN1AH,

ZAHC為C—MN—Z所成的二面角6

AQa

設/C=a,?.?二面角C—MN—/的正切值為2,則一=2得4H=—

AH2

△PAB中PA=PB,PALPB.?.△尸48為等腰直角三角形，

二.PG=a>AB=2a

在V/8C中，AB?+AC?=BC?，代入得/+(2。,=5,

解得：a=l,AC=1.

19.如圖所示，在圓錐內放入兩個球a,。2,它們都與圓錐的側面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這

兩個球都與平面a相切，切點分別為大，耳，數學家丹德林利用這個模型證明了平面a與圓錐側面的交線

為橢圓，記為:T,片，鳥為橢圓「的兩個焦點.設直線片不分別與該圓錐的母線交于48兩點，過點A的

母線分別與球。1,。2相切于兩點，已知|/C|=2—G，H刈=2+JT以直線片用為x軸，在平面

a內，以線段片8的中垂線為了軸，建立平面直角坐標系.

s

(1)求橢圓「的標準方程;

(2)過點(1,0)作斜率不為0的直線/,直線/與橢圓「交于P