微重點(diǎn)09截面、交線問題（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

“截面、交線”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線、面等元素，給

靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長、面積等相結(jié)

合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一：截面問題

★截面、交線問題

?考點(diǎn)二交線問題

ill考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：截面問題

規(guī)律方法作幾何體截面的方法

（1）利用平行直線找截面.

（2）利用相交直線找截面.

考向1多面體中的截面問題

【例1】（2024?四川?模擬預(yù)測）設(shè)正方體ABCD-ABCiR的棱長為1,與直線AQ垂直的平面。截該正方

體所得的截面多邊形為M,則M的面積的最大值為（）

A.-V3B.-A/3C.—D.V3

842

【變式1】（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體-中，點(diǎn)加，N分別

為棱B&,。上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），當(dāng)M,N分別為棱Bg,C。的中點(diǎn)時(shí)，則過4，M,N三點(diǎn)作正

方體的截面，所得截面為邊形.

【變式2】（23-24高三下,河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐尸-ABCD的底面為矩形，/為尸C的中

點(diǎn)，平面ABM截得四棱錐上、下兩部分的體積比為.

【變式3】（多選）（2023?河北承德?模擬預(yù)測）如圖，正六棱柱書的各棱長均為1,下

A.過A,G，紇三點(diǎn)的平面。截該六棱柱的截面面積為也

12

B.過A,G，&三點(diǎn)的平面。將該六棱柱分割成體積相等的兩部分

C.以A為球心，1為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為，無

D.以A為球心，2為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為11+*>

考向2球的截面問題

【例2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為4,若將△ABD沿8。翻折到A3。的位

置，使得二面角A-3O-C為60。，N為AD的四等分點(diǎn)（靠近。點(diǎn)），已知點(diǎn)A,B,C,。都在球。的

表面上，過N作球。的截面a,則a截球所得截面面積的最小值為（）

A.—7tB.無C.島D.37t

4

【變式1】（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓所在平面的

距離為1,則該球的體積為.

【變式2］（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知球。的直徑SC=4,A、8是該球面上的兩點(diǎn)，且AS=2,

ZASC=30°,ZBSC=45°,則三棱錐S—ABC的體積為（）

旦204夜?平

,3亍亍

考點(diǎn)二交線問題

規(guī)律方法找交線的方法

（1）線面交點(diǎn)法：各棱線與截平面的交點(diǎn).

（2）面面交點(diǎn)法：各棱面與截平面的交線.

考向1多面體中的交線問題

【例3】（23-24高三上?遼寧?階段練習(xí)）已知在正方體A3CD-ABG4中，AB=4,點(diǎn)尸，Q,T分別在

棱BB「CG和A3上，且4P=3,C,Q=1,BT=3,記平面PQT與側(cè)面ADRA,底面43co的交線分別

為"2,",則（）

A.加的長度為越B.機(jī)的長度為拽

33

C.〃的長度為拽D.〃的長度為，6

33

【變式1］（2023?云南昆明?模擬預(yù)測）已知正方體ABC。-平面a滿足AC〃①BCj/c,若直

線AC到平面a的距離與BG到平面a的距離相等，平面a與此正方體的面相交，則交線圍成的圖形為

（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式2】（23-24高三下?北京海淀,階段練習(xí)）"十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱"垂直貫穿"構(gòu)成

的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條

相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）若某"十字貫穿體"由兩個(gè)底

面邊長為2,高為3亞的正四棱柱構(gòu)成，則下列說法正確的是（）

A.一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線互相垂直

B.該"十字貫穿體"的表面積是32加

C.該"十字貫穿體"的體積是應(yīng)1

3

D.一只螞蟻從該"十字貫穿體”的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)B的最短路線長為4近

【變式3】（多選）（23-24高三上?湖北?期中）如圖,正方體ABCD-ABC9的棱長為4,點(diǎn)E、F、G分

D}ED,F1第=”幾＞0）,記平面跳G與平面4耳8的交線

別在棱。小、DC、AA上，滿足方'=方丁二z

JLV|ZA]JLV,I/L/1

A.存在Xe（0,1）使得平面E尸G截正方體所得截面圖形為四邊形

33

B.當(dāng)4=二時(shí)，三棱錐3-EFG體積為:

42

3

C.當(dāng)彳==時(shí)，三棱錐A-MG的外接球表面積為34萬

D.當(dāng)2==時(shí)，直線/與平面ABCD所成的角的正弦值為2叵

考向2與球有關(guān)的交線問題

[例4]（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）某圓柱的軸截面是面積為12的正方形為圓柱底面圓弧CD的

中點(diǎn)，在圓柱內(nèi)放置一個(gè)球。，則當(dāng)球。的體積最大時(shí)，平面R4B與球。的交線長為（）

人岳兀D2/式_4扃c4而兀

12555

【變式1]（2023?河南,模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐A-38中，AB,ACAD兩兩垂直，且

AB=AC=AD^3,以A為球心，而為半徑作球，則球面與底面3CD的交線長度的和為（）

A.2班兀B.百兀?李

~2~

【變式2】（22-23高三上?河北保定?期末）已知三棱錐。-ABC的所有棱長均為2,以8。為直徑的球面與

ABC的交線為L則交線L的長度為（）

2后無4百兀2娓n4"兀

A.-------D.-------。.-----L）.--------

9999

【變式3］（多選）（23-24高三上?遼寧?開學(xué)考試）若平面與一個(gè)球只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱該平面為球的切平

面.過球面上一點(diǎn)恒能作出唯一的切平面，且該點(diǎn)處的半徑與切平面垂直.已知在空間直角坐標(biāo)系。-孫z

上+美［作

中，球。的半徑為1.記平面xQv,平面zOx,平面yOz分別為名尸,7.過球面上一點(diǎn)《

切平面陽），且兀。與a的交線為/。，下列說法正確的是（）.

A.的一個(gè)方向向量為（應(yīng)，-1,0）.

B./（）的方程為x+0y+G=O.

C.過z正半軸上一點(diǎn)N（0,0㈤作與原點(diǎn)距離為1的直線廠，設(shè)「={加|加=/'八0},若「c/°=0,則

〃的取值范圍為（3,+8）.

D.過球面上任意一點(diǎn)P（x,y,z）作切平面無，記。=nc=,%=ncA，n=xcy,dp,dm,d〃分別為

27

，私〃到原點(diǎn)的距離，則dp?"n,d幾之1~

8

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（22-23高三上?四川成都,階段練習(xí)）已知正四面體ABCD的棱長為。，E為CD上一點(diǎn),且

CE:ED=2:1,則截面ABE的面積是（）

?&2R夜222

A.aB.—aCr.-------aDn.------a

421212

2.（23-24高三下,江西?開學(xué)考試）已知一正方體木塊ABC。-ABC。的棱長為4,點(diǎn)E在校AA上，且

AE=3.現(xiàn)過。，區(qū)用三點(diǎn)作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（）

A.4726B.5A/17C.2726?平

3.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）若平面1截球。所得截面圓的面積為12兀，且球心。到平面a的距

離為&,則球。的表面積為（）

A.48兀B.50兀C.56兀D.64兀

4.（2024?全國，模擬預(yù)測）在正方體ABCD-ABC2中，E,尸分別為棱入4，的中點(diǎn)，過直線跖的

q

平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s,最大值為S,則史=（）

S

A.顯B.』C.叵D.色

2255

5.（2024?陜西榆林?一模）已知H是球。的直徑上一點(diǎn)，AH:HB=1:2,ABJL平面a,"為垂足，?

截球。所得截面的面積為兀，M為a上的一點(diǎn)，且MH=也,過點(diǎn)〃作球。的截面，則所得的截面面積

4

最小的圓的半徑為（）

aV14而退而

A.D.L.U.

2442

6.（2024?四川成都?二模）在正方體ABCO-中，P、。分別是棱A4、CQ靠近下底面的三等分

點(diǎn)，平面2尸。平面ABCD=/,則下列結(jié)論正確的是（）

A./過點(diǎn)6

B.IHAC

C.過點(diǎn)R,P,Q的截面是三角形

D.過點(diǎn)Q,P,Q的截面是四邊形

7.（22-23高三上,廣東廣州,階段練習(xí)）已知三棱錐P-ABC的棱AB,AC,AP兩兩互相垂直，

AB=AC=AP=y[2,以頂點(diǎn)A為球心，1為半徑作一個(gè)球，球面與該三棱錐的表面相交得到的交線最長

為（）

A4n6n2A/2K267r

2333

8.（2024?廣西?模擬預(yù)測）在三棱錐u一ABC中，平面以LC,VA^l,AB=AC=y[2,ZVAC=~,點(diǎn)

4

廠為棱AV上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作三棱錐V-ASC的截面，使截面平行于直線和AC,當(dāng)該截面面積取得最大

值時(shí)，C尸=（）

廂V17r75n713

3423

二、多選題

1.（23-24高三上?廣東湛江?階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長為現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸

開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）

A.過棱AC的截面中，截面面積的最小值為縣

4

B.若過棱AC的截面與棱3。（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)P,則;<cosZAPCwg

2

C.若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為人

4

D.與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)

2.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，已知正三棱臺(tái)ABC-AqG是由一個(gè)平面截棱長為6的正四面體所得，

其中招=2,以點(diǎn)A為球心，2將為半徑的球面與側(cè)面BCC內(nèi)的交線為曲線尸為:T上一點(diǎn)，則下列結(jié)論

A.點(diǎn)A到平面BCC內(nèi)的距離為2而B.曲線「的長度為4n

C.CP的最小值為26-2D.所有線段"所形成的曲面的面積為生色

3

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知正方形ABC。的邊長為2,E為AB的中點(diǎn)，將△AED沿。￡折起，連

接A8,AC,得到四棱錐A—3CDE,則（）

A.存在使的四棱錐

B.四棱錐體積的最大值是卓

C.平面ABE與平面AC。的交線平行于底面

D.在平面ABC與平面ADE的交線上存在點(diǎn)R使得砂=也

2

三、填空題

1.（23-24高三下?江西?開學(xué)考試）在正四面體尸-ABC中，M為陰邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)又作該正四面體外接

球的截面，記最大的截面半徑為R,最小的截面半徑為r，則:=_______；若記該正四面體和其外接球的

R

體積分別為匕和匕，則*

2.（23-24高三下?江蘇?開學(xué)考試）在正三棱錐A-BCD中，底面&BCD的邊長為4,E為AD的中點(diǎn),AB^CE,

則以AD為直徑的球截該棱錐各面所得交線長為.

3.（2024?河南?模擬預(yù)測）在三棱柱ABC-A4G中，四面體AABC是棱長為2的正四面體，。為棱CG的

中點(diǎn)，平面。過點(diǎn)。且與48垂直，則a與三棱柱ABC-表面的交線的長度之和為

四、解答題

1.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）已知正方體ABCO-A81G2，棱長為2.

⑴求證：平面；

AC_LAB{DX

⑵若平面a〃平面A片2,且平面。與正方體的棱相交，當(dāng)截面面積最大時(shí)，在所給圖形上畫出截面圖形

（不必說出畫法和理由），并求出截面面積的最大值；

⑶在（2）的情形下，設(shè)平面a與正方體的棱A2、BB］、4G交于點(diǎn)E、F、G,當(dāng)截面的面積最大時(shí),

求二面角。-斯-G的余弦值.

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）四棱錐S-ABCD的底面為矩形，BC=a,AB=?，高SO=],。為底

面對(duì)角線的交點(diǎn)，過底面對(duì)角線BD作截面使它平行于S4,并求出此截面的面積.

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）單位正方體ABC。-A及GR中，2片和。R上各有一點(diǎn)￡,F,且

BE=DF=b（O<b<l）,過A,E,尸作正方體的截面，是否可能是正三角形？正方形？

4.（23-24高三下?貴州?階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABC。-AB1G。，E為。口的中點(diǎn).

DyC,

⑴過。1作出正方體的截面a,使得截面a平行于平面ABE,并說明理由;

7CF

⑵方為線段CG上一點(diǎn)，且直線2尸與截面儀所成角的正弦值為:，求才7.

5d]

5.（2024高三?全國?專題練習(xí)）正三棱臺(tái)ABC-44。中，下底面的邊長為。，側(cè)棱與底面成角60。，過AB

作截面垂直于CG，求截面面積.

微重點(diǎn)09截面、交線問題（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

“截面、交線”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線、面等元素，給

靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長、面積等相結(jié)

合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

知識(shí)導(dǎo)圖

__________________L—?考點(diǎn)一：截面問題

★截面、交線問題

----------一J一?考點(diǎn)二交線問題

考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：截面問題

規(guī)律方法作幾何體截面的方法

（D利用平行直線找截面.

（2）利用相交直線找截面.

考向1多面體中的截面問題

[例1]（2024?四川?模擬預(yù)測）設(shè)正方體gGR的棱長為1,與直線AQ垂直的平面。截該正方

體所得的截面多邊形為〃，則M的面積的最大值為（）

A.>6B.-73C.—D.G

842

【答案】B

【分析】首先確定截面的形狀，再通過幾何計(jì)算，確定面積的最大值.

【詳解】連結(jié)A8,因?yàn)槠矫鍭B44，A耳u平面所以8CLA用

且平面ABC,所以A耳，平面ABC,ACu平面ABC,

所以A4，AC,同理且ABt,4〃<=平面4月。，

所以AC平面ABQ；

所以平面a為平面A瓦2或與其平行的平面，M只能為三角形或六邊形.

當(dāng)"為三角形時(shí)，其面積的最大值為立x（0）2=立；

42

當(dāng)M為六邊形時(shí)，此時(shí)的情況如圖所示,

設(shè)7CD=x,則必=1-%乩=0（1-》）,村=缶，

依次可以表示出六邊形的邊長，如圖所示：六邊形可由兩個(gè)等腰梯形構(gòu)成,

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵1是理解題意，并能利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，直觀象限和數(shù)學(xué)計(jì)算相結(jié)

合，2是確定平面a,從而將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體計(jì)算.

【變式1】（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-AAGR中，點(diǎn)N分別

為棱4G，。上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），當(dāng)M,N分別為棱Bg,CD的中點(diǎn)時(shí)，則過4，M,N三點(diǎn)作正

方體的截面，所得截面為邊形.

【答案】五

【分析】利用線線、線面平行的性質(zhì)作出截面即可判斷.

【詳解】

D\

如圖，取BC中點(diǎn)M',連接AM',MM',有MM'UBBJ/AA,,且肽9=84=",

則四邊形①跖口是平行四邊形，有過N作W的平行線交A￡）于點(diǎn)E,

此時(shí)DE=[D4,則EN/&W,即EN為過A，M,N三點(diǎn)的平面與平面ABCD的交線，

連接AE,在8C上取點(diǎn)下，使得CF=：CB,連接BJ,同證W//4也的方法得AE//BL，

在棱CG上取點(diǎn)G,使CG=#G，連接MG并延長交直線BC于//,則C”=gGM=CP,

即切=而FH//B1M,于是四邊形五瓦是平行四邊形，

有MGIIB、F"E,則MG為過4，M,N三點(diǎn)的平面與平面BCG耳的交線，

連接NG,則可得五邊形AMGNE即為正方體中過A，M,N三點(diǎn)的截面.

故答案為：五

【變式2]（23-24高三下?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，加為PC的中

點(diǎn)，平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為.

【答案】3:5

【分析】設(shè)四棱錐P-ABCD的體積為V,取PZ）的中點(diǎn)N,連接MN、AN、BD、BN,即可得到

3

AffiWN為截面，再根據(jù)錐體的體積公式得到％.A.N=?V，從而得解.

O

【詳解】設(shè)四棱錐P-ABCD的體積為V,取尸。的中點(diǎn)N,連接MN、AN、BD、BN,

因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以MN//DC且MN=上DC,又AB//DC,

2

所以MN//AB,SPMN=^SPDC,所以A、B、M、N四點(diǎn)共面，即ABMV為截面,

又^P-ABMN~Vp_ABN+Vp_BMN,其中力一ABN=^B-PAN=萬^B-PAD=，

Vp—BMN=VB—PMN=~^B-PCD=g，

3

所以^P-ABMN=6V，

O

即截面截得四棱錐上部分的體積為93V,則下部分的體積為59V,

OO

所以平面ABM截得四棱錐上、下兩部分的體積比為3:5.

【變式3】（多選）（2023?河北承德?模擬預(yù)測）如圖，正六棱柱A3CDE尸-A4GRE書的各棱長均為1,下

A.過A,G，用三點(diǎn)的平面a截該六棱柱的截面面積為

B.過A,G，&三點(diǎn)的平面a將該六棱柱分割成體積相等的兩部分

C.以A為球心，1.為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為：無

D.以A為球心，2為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)平行關(guān)系分析交線，進(jìn)而運(yùn)算求解；對(duì)于B：利用割補(bǔ)法求體積，分析運(yùn)算；對(duì)于

c、D：根據(jù)球的半徑分析交線，運(yùn)算求解.

【詳解】對(duì)于A：過點(diǎn)A作GH〃G4,設(shè)GHIBC=G,GHIEF=H,

連接￡G,E}H,設(shè)GGIBBy=M,E}HIFF、=N,

則過A,G，&三點(diǎn)的平面a截該六棱柱的截面即為AMCgN,

22

可得BC_LAG,AG=AH=；eg=咚，GB=；,CQ=^GC+CXC=半，

因?yàn)镚B=2GC,且B8"/CG，則Affi=』CC]=2,C1M=2CIG=巫，

33131313

可得AM=^!AB-+BM-=—,

3

因?yàn)開L平面ABCDEF,G"u平面ABCDEF,

所以3耳J_G",

BCBBl=B,BC,BB}u平面BCCXB,,可得GH±平面BCCXB.,

GGu平面BCG耳，則GHLCQ,

由G//〃G&,則

連接3EMN,則MN=BF=6,

故截面面積S=+SMNEC=~XA/3x+A/3x,故A正確；

對(duì)于B：連接CE,

因?yàn)?片JL平面ABCDEF,G3u平面ABCDEF,

所以血口BG,

BF±BG,BFcBB1=B,防,8與u平面8M4，可得G5L平面8@片，

則四棱錐A-①?的高為GB=1,則其體積匕BFNM=-X-X-Xy/3=—,

2A-BFNM32318

四棱柱BCGM-BEgN的體積Q+l卜1五2出，

VBCCM-FE%N=--------------X小=亍

三棱柱CDE-G，耳的體積VCDE一c：6父八弋,

故平面a下半部分的體積匕=VA-BFNM+%GM-F%N+%E-G*I=++=+,

103121o1Z

正六棱柱ABCDEF-A#GRE■書的體積V=6x-Lxlxlx^xl=,

222

顯然hwgv,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)榍虻陌霃綖?,則球只與側(cè)面AB51A、側(cè)面Aga和底面ABCDEF相交,

7T9JI_1

因?yàn)橐耀E產(chǎn)二幺”二子/出臺(tái)二不，在側(cè)面AB4A、側(cè)面4尸耳片的交線為了個(gè)圓，在底面ABCDE尸的

交線為g個(gè)圓，半徑均為1,

故交線的長為2xjx27rxl+2x2無xl=",故C正確；

433

對(duì)于D：因?yàn)榍虻陌霃綖?,顯然球不與側(cè)面AB4A、側(cè)面相交，

由選項(xiàng)A可知：GH_L平面BCC；瓦，且JAG?+92=2,

則球與側(cè)面BCC石、側(cè)面瓦石耳分別交于點(diǎn)C1、E,,

連接AC,則ACJ_CD,

因?yàn)镃Cj_L平面ABCDEF,ACu平面ABCDEF,

所以CCJAC,

CDICCj=C,CZ),CGU平面CD〃G,可得AC_L平面CDDG,

且AC=6422-(⑹2=1,則球與側(cè)面CD2G的交線為:個(gè)圓，且半徑為1,

同理可得：球與側(cè)面EDR月的交線為;個(gè)圓，且半徑為1,

又因?yàn)?4,，平面44GA與￡，且朋=1,V22-12=g,NgAC=y，

則球與底面A4CR64的交線為，個(gè)圓，且半徑為6,

6

又因?yàn)锳D=2,則球與底面ABCDEF的交點(diǎn)為，

所以球面與該六棱柱的各面的交線總長為2中2兀xl+32”退

故D正確;

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法定睛：在立體幾何中，某些點(diǎn)、線、面按照一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空

間軌跡與探求平面軌跡類似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化.對(duì)于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考

慮，注意特定情況下的動(dòng)點(diǎn)的位置，然后對(duì)任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問題.對(duì)每一道軌跡

命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性.

考向2球的截面問題

【例2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為4,若將AABD沿BD翻折至I]A!BD的位

置，使得二面角A-BD-C為60。，N為AD的四等分點(diǎn)（靠近。點(diǎn)），已知點(diǎn)A,B,C,。都在球。的

表面上，過N作球。的截面則a截球所得截面面積的最小值為（）

A.—itB.無C.島D.3兀

4

【答案】D

【分析】記3c的中點(diǎn)為。，可得。為外接球球心，當(dāng)ON,截面a時(shí)，截面面積最小，再利用余弦定理

及截面小圓性質(zhì)計(jì)算求解.

【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)為。，

Af

N

D

A

由正方形ABCD的邊長為4,則。5=0。=。4=0。=2后,

因此。為空間四邊形A'BCD的外接球球心，外接球半徑R=2丘,

設(shè)球心到平面。的距離為d,截面圓的半徑為八貝U有尺2=產(chǎn)+/,

艮|3廠=,當(dāng)ON_L截面。時(shí)，d最大,此時(shí)截面面積最小，且QV=d,

jr

在△OND中，OD=2y[2，DN=\,ZODN=-,由余弦定理可得,

ON=^DN2+OD2-2DN-OD-cos^=Jl+8-4=石，

止匕時(shí)r=4R2—d”=J8—5=A/3）

所以截面面積最小值為it/=3兀.

故選：D

【變式1】（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓所在平面的

距離為1,則該球的體積為

［答案】苧

【分析】利用球的截面圓性質(zhì)求得球的半徑，再利用球的體積公式即可得解.

【詳解】由球的截面圓性質(zhì)可知球的半徑R=爐至=百,

則該球的體積為"X（君）3=迎回.

33

故答案為：型叵.

3

【變式2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知球O的直徑SC=4,A、8是該球面上的兩點(diǎn)，且AB=2,

ZASC=30°,ZBSC=45°,則三棱錐S-ABC的體積為（）

AV2R204&5&

3333

【答案】C

TT

【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理證明=設(shè).ABC的外心為8c中點(diǎn)V,可得平面

ABC,由VS_ABC=計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)球心為。，連結(jié)49、B0,

QSC為球的直徑，A、3是球面上的點(diǎn)，，ZS4C=NSBC=90。.

又?,ZASC=30P,ZSCB=45°,SC=4,

:.AC=2,AS=2y/i,BS=BC=2也.

又一AB=2,AB2+AC2=BC2,

TT

/.ZBAC=-設(shè);.ABC的外心為3C中點(diǎn)M,

29

連接ON,根據(jù)球的性質(zhì)，可得0Ml.平面A3C,

:.OM=-SB=42,

2

.".ABCxOM=；x；x2x2x7^=g^,

??瑪一枷=2%由=華，三棱錐5-ABC的體積為羋?

故選：C.

考點(diǎn)二交線問題

規(guī)律方法找交線的方法

(1)線面交點(diǎn)法：各棱線與截平面的交點(diǎn).

(2)面面交點(diǎn)法：各棱面與截平面的交線.

考向1多面體中的交線問題

【例3】(23-24高三上?遼寧?階段練習(xí))已知在正方體ABC。-A耳CQ中，AB=4,點(diǎn)2，°,丁分別在

棱明,和A3上，且4P=3,G°=l，BT=3,記平面PQT與側(cè)面A￡)AA，底面ABCD的交線分別

為加，幾，貝(J()

A.優(yōu)的長度為也B.的長度為遞

33

c.〃的長度為2叵D.〃的長度為巫

33

【答案】A

【分析】做出截面，確定線段加，"，由平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可得解.

【詳解】如圖所示,

連接QP并延長交CB的延長線于E,連接ET并延長交AD于點(diǎn)S,

交8的延長線于點(diǎn)H,連接交。A于點(diǎn)R，連接SR,

則優(yōu)即為SR,〃即為ST,

PBEB1

由P8〃QC，得透===§，所以班=2,EC=6,

AQAT117

由AS//EB,^―=—=-,則45=二防=/，

EDIDJJJ

所以“=ST=以1+獷=巫,故c,D項(xiàng)錯(cuò)誤;

3

SDHS5

由SDHEC,得zn一=——=-

ECHE9

又易知SR〃PQ,得器嚏,所以建一95,

所以SR=[QE=/QC2+EC2=乎,故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò),

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用平面的性質(zhì)作出截面，從而得到加為SR,"為ST,由此得

解.

【變式1]（2023?云南昆明?模擬預(yù)測）已知正方體48a）—4囪。0/,平面a滿足AC〃a,BG//a,若直

線AC到平面1的距離與8。到平面a的距離相等，平面a與此正方體的面相交，則交線圍成的圖形為

()

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】設(shè)瓦凡G,H,M,N分別為ABIC,C￡,￡2,42441的中點(diǎn)，證明6點(diǎn)共面，為六邊形，再證明

此平面滿足條件即可得解.

【詳解】如圖，

設(shè)E,F,G,H,M,N分別為AB,BC,CQ,CR,AQ,44,的中點(diǎn)，

連接EF,FG,GH,HM,MN,NE,AB,CQ,ADV\CX,

FG//BQ,MN〃AD1,FG=IBC],MN=^ADVBCX//ADX,BCX=AD,,

FG//MN,FG=MN,

同理可得，EF//MH,EF=MH,GH//NE,GH=NE,

共面,

AC//EF,ACtz平面EFGHMN,EFu平面EFGHMN,

r.AC〃平面EFGHMN,

同理可得BCJ/平面EFGHMN,

E為AB的中點(diǎn)，

A到平面EFGHMN的距離與B到平面EFGHMN的距離相等，

即平面EfGfflWN為所求的平面a,故與正方體交線為正六邊形EFG//MN.

故選：D

【變式2】（23-24高三下?北京海淀?階段練習(xí)）"十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱"垂直貫穿"構(gòu)成

的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條

相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）若某"十字貫穿體"由兩個(gè)底

面邊長為2,高為3亞的正四棱柱構(gòu)成，則下列說法正確的是（）

M

A.一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線互相垂直

B.該"十字貫穿體"的表面積是320

C.該"十字貫穿體”的體積是迎回

3

D.一只螞蟻從該"十字貫穿體"的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)B的最短路線長為4夜

【答案】C

【分析】對(duì)于A：求出OC,OD,￡)C,看是否符合勾股定理即可；對(duì)于B：該"十字貫穿體"由4個(gè)正方形和

16個(gè)與梯形加0G全等的梯形組成，分別求出來即可；對(duì)于C：求出兩個(gè)正四棱錐重疊部分為多面體

CHDOX7的體積，然后求整個(gè)幾何體的體積；對(duì)于D：將面ACO,面ECON,面NFDO繞著面與面之間

的交線旋轉(zhuǎn)到與面DOGB共面，則線段AB的長即為所求.

【詳解】依題意，不妨設(shè)該幾何體中心對(duì)稱，

對(duì)于A：在梯形3DOG中，BD=3^~2^=—,BG=2,OG=^,DC=2^2,

222

則0c=0￡>=/［孚—曰］所以O(shè)C'+OD?WDC"

即一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線不互相垂直，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：該"十字貫穿體"由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形應(yīng)>0G全等的梯形組成,

故表面積S=4x2x2+16x］X曰+^-x2=320+16,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：如圖兩個(gè)正四棱錐重疊部分為多面體CHDOK7,取C/的中點(diǎn)/,

則多面體CHDOKJ可以分成8個(gè)全等的三棱錐C-"O/,

1x2x2=^1

又VJHOI=不ex

23

所以該“十字貫穿體"的體積是2x2x2x30-8x迪=2,C正確;

33

對(duì)于D：將面ACO,面ECON,面NEDO繞著面與面之間的交線旋轉(zhuǎn)到與面OOG5共面，如圖:

tanADOG=—k------=\/2>1?.

則3A/2V2,所以NNOG=2/DOG為鈍角，

~2r

連接AB,則線段A3的長為一只螞蟻從該"十字貫穿體"的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)8的最短路線長,

根據(jù)對(duì)稱性可得AB,NO,

因?yàn)閠anZDOG=應(yīng)，所以tanZNOG=tan2NDOG=仝變=-272,

tan40G=金=限

~2~

貝D錯(cuò)誤.

。B

E、

VG

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于幾何體表面距離和問題，一般通過將各面旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為共面問題，然后距離最小問

題可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短或者垂線段最短的問題來解答.

【變式3】（多選）（23-24高三上?湖北?期中）如圖，正方體ABCD-4qGQ的棱長為4,點(diǎn)、E、F、G分

別在棱AA、2G、4A上，滿足羔=至=9，=記平面所G與平面的交線

為/，則（）

A.存在2e（0,1）使得平面印G截正方體所得截面圖形為四邊形

33

B.當(dāng)力=—時(shí)，三棱錐3-瓦G體積為一

42

3

C.當(dāng)彳=:時(shí)，三棱錐A-MG的外接球表面積為34萬

D.當(dāng)2=:時(shí)，直線/與平面ABCD所成的角的正弦值為2叵

233

【答案】BD

【分析】對(duì)于A,對(duì)彳分情況討論，圖形展示即可；

對(duì)于B,當(dāng)彳=［時(shí)，要=］=妾，得出〃平面EFG,利用等體積可求體積；

44A442

3

對(duì)于C,當(dāng)4=］時(shí)，三棱錐4-EFG的外接球心在過線段EG的中點(diǎn)，且垂直于平面ARDA的直線上，

4

可求出廠=畫，得表面積；

2

對(duì)于D,求出/的方向向量與平面ABCD法向量，利用向量公式可得答案.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為4,以。為原點(diǎn)，以D4、DC、。口所在的直線分別為x軸，＞軸，z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

鬻由所〃AC可知所〃AC，所以截面E產(chǎn)G即為四邊形

JLx.ZTJJL-AI

EFCA,Xe(0,1)由圖形知，截面所G為五邊形或六邊形.故A錯(cuò)誤.

所以GB〃平面跳G,

峰—「

EFG=V(JEFG=VG-ciEF,又GAJ平面E『G，

所以bGELlsAcGAiAxCxBxin三棱錐3-EFG體積為4,故B正確.

D)1乙)乙L

3

對(duì)于c選項(xiàng)，當(dāng)2=3時(shí)，4G=4E且A耳，平面AEG,

4

所以根據(jù)球的性質(zhì)容易判斷，三棱錐4-EFG的外接球的球心在過線段EG的中點(diǎn)，且垂直于平面ADtDA

的直線上,

￡(1,0,4),G(4,0,l),所以EG的中點(diǎn)