第08講等差數列、等比數列(3大考點+強化訓練)

［考情分析］1.等差、等比數列基本量和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現.2.等差、等比數列

求和及綜合應用是高考考查的重點.

知識導圖

?考點一：等差數列、等比數列的基本運算

★等差數列、等比數列?考點二：等差數列、等比數列的性質

考點三二等差數列、等比數列的判斷與證明

考點分類講解

考點一：等差數列、等比數列的基本運算

等差數列、等比數列的基本公式(neN*)

⑴等差數列的通項公式：a?=ai+(n-l)d,

=

anam+(n—m)d.

⑵等比數列的通項公式：an=aqnT,

—n—m

@n—*Q.

(3)等差數列的求和公式：

nai+ann-1

Sn=2n=nai+d.

(4)等比數列的求和公式：

ai1-qi11ai—aq,

in，qWl,

s0=Ji—qi—q

、nai,q=1.

規律方法等差數列、等比數列問題的求解策略

⑴抓住基本量，首項a1、公差d或公比q.

(2)熟悉一些結構特征，如前n項和為S0=an2+bn(a,b是常數)的形式的數列為等差數列，通項公式為a。

=p?qi(p,qWO)的形式的數列為等比數列.

⑶由于等比數列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行

相關計算.

［例1］（23-24高三下?甘肅張掖?階段練習）已知正項等差數列｛風｝滿足=3,4洶=匕，則的5=

)

A.39B.63C.75D.99

,、［4+2,〃=2左一1*

【變式1】（2024?廣東深圳?一模）已知數列｛%｝滿足卬=々=1，%+2=一”（左eN*）,若S“

為數列｛%｝的前〃項和，則京。=（）

A.624B.625C.626D.650

【變式2］（2024?陜西渭南?模擬預測）已知數列｛4｝滿足=。/“+2,若%=；,%=2,則

45=?

【變式3］（2023?全國甲卷）設等比數列設J的各項均為正數,前n項和為權，若a1=l,S5=5S3-4,則S’

等于（）

1565

A.-B.-C.15D.40

oo

【變式4】（2023?安康模擬）中國古代著作《張丘建算經》有這樣一個問題：“今有馬行轉遲，次日減半疾，

七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走

了700里路，則該馬第五天行走的里程數約為（）

A.2.76B.5.51

C.11.02D.22.05

【變式5】（2023?河南聯考）《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春

分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，前三個節氣日

影長之和為28.5尺，最后三個節氣日影長之和為1.5尺，則春分時節的日影長為（）

A.4.5尺B.3.5尺

C.2.5尺D.1.5尺

【變式6］（2023?石家莊質檢）已知數列｛aj為各項均為正數的等比數列,a】=4,S3=84,則logza^a2a3…血

的值為（）

A.70B.72C.74D.76

考點二：等差數列、等比數列的性質

1.通項性質：若m+n=p+q=2k（m,n,p,q,keN*）,則對于等差數列，有aH+akap+aquZak；對于等

比數列，有Hma-nap@q@k.

2.前n項和的性質：

⑴對于等差數列有Sm,s2m-sm,S31n—S-…成等差數列;對于等比數列有Sm,SZM—Sa,S3m-S2m,…成等比數

列（q=-1且m為偶數時除外）.

⑵對于等差數列有82?-1=（2n-l）a?.

規律方法等差數列、等比數列的性質問題的求解策略

（1）抓關系，抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手，選擇恰當的性質進行求解.

（2）用性質，數列是一種特殊的函數，具有函數的一些性質，如單調性、周期性等，可利用函數的性質解題.

【例2】（2024?吉林白山?二模）記等差數列｛4｝的前〃項和為S“，若幾=483,a3=12,則｛%｝的公差

為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式1］（2024?安徽合肥?一模）數列｛%｝中，a?=an+l+2,%=18,則4+%+…+%（）=（）

A.210B.190C.170D.150

【變式2］（2024?海南?模擬預測）已知等比數列｛4｝的公比為3,出+的=12,則%=（）

A.20B.24C.28D.32

【變式3］（多選）（2023?濟寧質檢）已知等差數列｛a?｝的前n項和為Sn,且ai>0,a-au〉。，a7a8〈0,則（）

A.數列｛aj是遞增數列B.S6>S9

C.當n=7時，Sn最大D.當S〉0時，n的最大值為14

【變式4】（2023?咸陽模擬）已知等差數列｛aj,?｝的前n項和分別為Sn,若（2n+3）S產nT“，則詈等

05

于（）

31911

732525

【變式5］（2023?滄州質檢）已知等比數列｛a?｝的前n項和為S?,若S3=2,S6=6,則S24=.

【變式6］（2023?全國乙卷）已知｛aj為等比數列，a2a4a5=a3a6,a9aio=-8,則a?=.

考點三：等差數列、等比數列的判斷與證明

等差數列等比數列

3-n+l/

定義法an+i-&!=d一q(qWO)x

Hn

_n—1

通項法an=ai+(n—l)dan=aiq

中項法2an=an-i+an+i(n22)an=an-iHn+i(n22,anWO)

2n

前n項和法Sn=an+bn(a,b為常數)Sn=kq—k(k^O,qWO,1)

證明數列為等差仕匕）數列一般使用定義法.

易錯提醒（l）￡=a-a0+i（n22,nGN*）是｛aj為等比數列的必要不充分條件，也就是判斷一個數列是等比

數列時，要注意各項不為0.

（2）｛aj為等比數列，可推出a“az,as成等比數列，但如,as成等比數列并不能說明｛4｝為等比數列.

（3）證明｛aj不是等比數列可用特值法.

【例3】（23-24高三下?內蒙古錫林郭勒盟?開學考試）若數列｛4｝的前n項和S“滿足S“=/?+w+3,則

A.數列｛%｝為等差數列B.數列｛%｝為遞增數列

C.%,為，%為等差數列D.5-2總/,58-56為等差數歹!1

【變式1】（多選）（23-24高三上?貴州安順?期末）甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球

傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概

率為匕，則

B.數列［匕為等比數列

D.第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種

【變式2】（23-24高三下?湖南長沙?開學考試）已知數列｛%｝與數列｛〃｝滿足下列條件：①qe｛-l,O,l｝,

b1

〃eN*；②"0,〃eN*；③$=（-1"。“-5見+","eN*,記數列｛%｝的前”項積為（.

(1)若4=4=1,a2=0,a3=-l,aA=1,求心；

（2）是否存在q,a2,%，%,使得4，％，4，”成等比數列？若存在，請寫出一組%,。2，。3，?4；

若不存在，請說明理由；

（3）若4=1,求幾。的最大值.

【變式3](2023?日照模擬)已知數列｛aj滿足：a尸人〉0,a同+1=2^.

(1)當入=擊時，求數列｛a/中的第10項；

(2)是否存在正數入，使得數列｛aj是等比數列？若存在，求出入值并證明；若不存在，請說明理由.

【變式4】.(2023?青島質檢)已知等差數列｛詼｝的前幾項和為公差d手。,S2,S4,亂+4成等差數列，a2,

04,伍成等比數列.

⑴求亂;

(2)記數列｛仇｝的前"項和為心,2瓦f=審，證明：數歹共一不為等比數列，并求｛兒｝的通項公式.

強化訓練

一、單選題

(2024?福建廈門?二模)已知正項等差數列｛%｝的公差為d,前〃項和為S“，且

4s3=(4+以,4S4=(%+1)=則”=()

A.1B.2C.3D.4

2.(2024?湖北?二模)己知公差為負數的等差數列｛%｝的前〃項和為S,,若生，%，%是等比數列，則當S.

取最大值時，n=()

A.2或3B.2C.3D.4

3.（2023?四川遂寧?三模）己知數列｛““｝為等比數列，的，%是方程爐-8x+4=0的兩個根，設等差數

列｛〃｝的前〃項和為S.,若…5,則怎=（）

A.-18或18B.-18C.18D.2

4.（2024?江蘇宿遷?一模）設S,是等比數列｛%｝的前幾項和，若S3,Sg,$6成等差數列，％=-2,則%的

值為（）

A.-2B.—~C.—D.1

5.（2024?甘肅?一模）已知數列｛4｝為等差數列，的+%+”6=6,%+。8+%=11，則陽+%+%2=

（）

A.16B.19C.25D.29

6.（2023?陜西咸陽?模擬預測）已知數列｛q｝的前“項和為S“，4=1,%=2,且對于任意〃22,

〃cN*,S.+I+S"T=2（S“+1）恒成立，則（）

A.｛為｝是等差數列B.｛見｝是等比數列

C.S9=81D.幾=91

7.（2023?新疆?一模）記5”為數列｛4｝的前〃項和，設甲：｛凡｝為等差數列，乙：2S,l=（al+a?）n（其

中〃eN*）,則下列說法正確的是（）

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

8.（23-24高三上?北京海淀?階段練習）斐波那契數列又稱為黃金分割數列，在現代物理、化學等領域

都有應用.斐波那契數列｛”"｝滿足q=a2=l,a“=%i+a,_2523,”eN*）.給出下列四個結論：

①存在meN*,使得a.,am+\，〃"?+2成等差數列；

②存在機eN*,使得am,am+i,am+2成等比數列；

③存在常數/，使得對任意〃eN*,都有%,tan+2,%+4成等差數列；

④存在正整數2，…%,S.h<i2<-<im,使得綜+縱+…+”=2023.

其中所有正確的個數是（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、多選題

1.（2023?湖北武漢?三模）已知實數數列｛4｝的前n項和為S“，下列說法正確的是（）.

A.若數列｛風｝為等差數列，則q+。3+%=24恒成立

B.若數列｛4,｝為等差數列，則S3,S6-S3,既-用，…為等差數列

7

C.若數列｛%｝為等比數列，且生=7,邑=21,則

D.若數列｛4｝為等比數列，則S3,S6-S3,反-%…為等比數列

2.（2024?海南?？?模擬預測）已知首項為正數的等差數列｛%｝的前〃項和為S“，若

（S15-SH）（S15-S12）<0,則（）

A.a13+a14>0

B.S[]<S[5<S]2

C.當〃=14時，S“取最大值

D.當S“<0時，〃的最小值為27

3.（2024?全國?模擬預測）已知長軸長、短軸長和焦距分別為2.、2萬和2c的橢圓。，點A是橢圓。與其

長軸的一個交點，點8是橢圓。與其短軸的一個交點，點與和F?為其焦點，AB1BF,.點尸在橢圓。上,

7T

若則（）

A.a,b,c成等差數列

B.a,b,c成等比數列

C.橢圓。的離心率6=有+1

D.AAB片的面積不小于鳥的面積

三、填空題

1.（2024?四川南充?二模）已知數列｛?！埃?滿足％=1,且4口"+1=2",則"7+。8=.

2.（2024?浙江金華?模擬預測）已知數列｛%｝是等差數列，數列抄“｝是等比數列，若的+%+4=5兀，

b由b°=3上,貝IJtan亡盂=.

3.（2024?浙江?模擬預測）用卜]表示不超過x的最大整數，已知數列｛4｝滿足：％=g,

若f=l'則2024恪i——.

%+i—1），〃EN*.若丸=。，4=-2,貝lj〃"=

四、解答題

1.(2024?廣東深圳?一模)設S,,為數列｛6｝的前〃項和，已知的=4,邑=2。，且為等差數列.

(1)求證：數列｛%｝為等差數列;

⑵若數列也｝滿足4=6,且誓=詈，設T”為數列也｝的前“項和，集合”=｛7；%eN*｝,求M(用列

UnUn+2I)

舉法表示).

2.(2024高三?全國?專題練習)已知數列｛%｝(〃eN*)的前n項和為S"，若"jS,=3/+6〃+3,

4=2.記勿=?！?。2判斷｛2｝是否為等差數列，若是，給出證明；若不是，請說明理由.

3.(2024?浙江?模擬預測)記等差數列｛4｝的前”項和為S"，等比數列也“｝的前〃項和為T,,且

卬=4=1鄧“=(4+1)2,隹=(2+1)2.

(1)求數列｛%｝,｛￡｝的通項公式；

⑵求數歹！1｛4山,｝的前”項和.

4.（2024?廣東深圳?模擬預測）設數列｛4｝滿足：4=2,a?+1=2a?+4?-4.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

⑵求數列｛"+3%”｝的前n項和S「

5.（2024?安徽黃山?一模）隨著信息技術的快速發展，離散數學的應用越來越廣泛.差分和差分方程是

描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應用.對于數列｛4｝,規定｛A%｝為數列｛為｝的一階差分數

列，其中△%=1-4（衣江），規定百見｝為數列｛%｝的二階差分數列，其中

⑴數列｛%｝的通項公式為q=〃3（〃eN*）,試判斷數列｛△%,｝,｛△4｝是否為等差數列，請說明理由？

⑵數列｛log/”｝是以1為公差的等差數列，且。>2,對于任意的“eN*,都存在機eN*,使得個%=粼，

求。的值；

⑶各項均為正數的數列｛g｝的前"項和為S"，且｛△4｝為常數列，對滿足機+〃=2乙相X”的任意正整數

見屋,才都有jh%,且不等式黑+s,>-E恒成式,求實數2的最大值.

第08講等差數列、等比數列(3大考點+強化訓練)

［考情分析］L等差、等比數列基本量和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現.2.等差、等比數列

求和及綜合應用是高考考查的重點.

知識導圖

?考點一：等差數列、等比數列的基本運算

★等差數列、等比數列?考點二：等差數列、等比數列的性質

考點三二等差數列、等比數列的判斷與證明

考點分類講解

考點一：等差數列、等比數列的基本運算

等差數列、等比數列的基本公式(ndN*)

⑴等差數列的通項公式：a?=ai+(n-l)d,

an=am+(n—m)d.

n_1

(2)等比數列的通項公式：a?=aiq,

n—m

an=am,q.

⑶等差數列的求和公式：

nai+annn-1

Sn=2=nai+d.

(4)等比數列的求和公式：

ai1-qnai—aq

i=-；n，qW1,

Sn=ji—qi—q

、nai,q=1.

規律方法等差數列、等比數列問題的求解策略

(1)抓住基本量，首項出、公差d或公比q.

(2)熟悉一些結構特征，如前n項和為S0=a/+bn(a,b是常數)的形式的數列為等差數列，通項公式為a.

=p?qi(p,qWO)的形式的數列為等比數列.

⑶由于等比數列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行

相關計算.

【例1】(23-24高三下?甘肅張掖?階段練習)已知正項等差數列｛風｝滿足4出=3,出/=15,則。洶=

()

A.39B.63C.75D.99

【答案】B

【分析】利用等差數列的通項公式列方程組求解.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,

、Fata2=3、%(%+d)=3

因為所以(％+d)(%+2d)=15，

a=l

解得1(舍去),

d=2

所以a4a5=(1+3X2)X(1+4X2)=63.

故選：B.

，、f+2,〃=2左一1*

【變式1】(2024?廣東深圳?一模)已知數列｛為｝滿足％=%=1,%+2=_9,(ZeN*),若S“

為數列｛%｝的前〃項和，則$5。=()

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

【分析】根據給定的遞推公式，按奇偶分類求和即得.

,、+2,〃=2左一1*

【詳解】數列出中，卬=々=1，%+2=2(左?N*),

-a,n=2k

當〃=24-1/eN*時，an+2-an=2,即數列｛%｝的奇數項構成等差數列，其首項為1,公差為2,

25x24

貝%+/+%+,??+。49=25x1H-----——x2=625,

當〃=2%?eN*時，—=-1,即數列｛%｝的偶數項構成等比數列，其首項為1,公比為-1,

an

e1X[1-(-1)25]]

=

貝U出+〃4+。6+…+〃5O=,~~1，

1一(一1)

以S50—(%+“3+05+,,,+〃49)+(“2+〃4+〃6+，，，+〃50)=626.

故選：C

【變式2】（2024?陜西渭南?模擬預測）已知數列｛%｝滿足。3=%。“+2,若q=；，?3=2,貝U

?5=?

【答案】8

【分析】判斷數列｛%｝為等比數列，求出4。結合。5=%/，即可求得答案.

【詳解】由于數列｛4｝滿足1A+2,故數列｛%｝為等比數列，設公比為q，

又q=萬，％=2,故/xq-=2,=4,

%==8，

故答案為：8

【變式3］（2023?全國甲卷）設等比數列設J的各項均為正數,前n項和為S”，若索=1,S6=5S3-4,則S4

等于（）

1565

A.—B.-C.15D.40

OO

【答案】C

【解析】方法一若該數列的公比q=l,代入Ss=5S3—4中，

有5=5義3-4,不成立，

所以qWL

化簡得q*—5/+4=0,

所以q2=l(舍)或q?=4,

由于此數列各項均為正數，

1—q4

所以q=2,所以S4=-j=15.

1-Q

方法二由題知l+q+q2+q3+q4=5(l+q+q2)-4,

即q3+q4=4q+4q2,

即q3+q2—4q—4=0,

即(q—2)(q+1)(q+2)=0.

由題知q〉0,所以q=2.

所以S4=l+2+4+8=15.

【變式4】（2023?安康模擬）中國古代著作《張丘建算經》有這樣一個問題：“今有馬行轉遲，次日減半疾，

七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走

了700里路，則該馬第五天行走的里程數約為（）

A.2.76B.5.51

C.11.02D.22.05

【答案】D

【解析】設該馬第n(n￡N*)天行走的里程數為%,

由題意可知，數列｛aj是公比為1的等比數列，

ad

127aiA”口27X350

所以該馬七天所走的里程為封=700,觸倚

-5

口、?r12X35012800

故該馬第五天仃走的里程數為a=ai?X-4=~—y^22.05.

5乙J.乙/乙_L乙/

【變式5](2023?河南聯考)《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春

分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，前三個節氣日

影長之和為28.5尺，最后三個節氣日影長之和為1.5尺，則春分時節的日影長為()

A.4.5尺B.3.5尺

C.2.5尺D.1.5尺

【答案】A

【解析】冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣日影

長構成等差數列｛aj,設公差為d,由題意得

ai+az+a3=28.5,

.aio+an+ai2=1.5,

所以an=ai+(n—l)d=ll.5—n,

所以@7=11.5—7=4.5,

即春分時節的日影長為4.5尺.

【變式6】(2023?石家莊質檢)已知數列a｝為各項均為正數的等比數列，ai=4,S3=84,則log2@ia2a3…a8

的值為()

A.70B.72C.74D.76

【答案】B

22

【解析】設等比數列｛aj的公比為q,則q>0,S3=ai(1+q+q)=4(l+q+q)=84,

整理可得q?+q—20=0,解得q=4(負值舍去)，

所以8=21廣|=4",

1238

所以1og2aia2a3,,,a8=1og2(4X4X4X???X4)

2x1+8X8

=2X(1+2+3+-+8)=一=72.

2

考點二：等差數列、等比數列的性質

1.通項性質：若m+n=p+q=2k(ni,n,p,q,k￡N*),則對于等差數列，有am+an=ap+aq=2ak；對于等

比數列，有cincinciptiqelk*

2.前n項和的性質：

⑴對于等差數列有Sm,S2m-Sm,S3B-S2?…成等差數列；對于等比數列有S.,S2m-Sm,S加一S2m，…成等比數

列(q=—1且m為偶數時除外).

⑵對于等差數列有Szn-i=(2n-l)a?.

規律方法等差數列、等比數列的性質問題的求解策略

(1)抓關系，抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手，選擇恰當的性質進行求解.

(2)用性質，數列是一種特殊的函數，具有函數的一些性質，如單調性、周期性等，可利用函數的性質解題.

【例2】(2024?吉林白山?二模)記等差數列｛%｝的前八項和為S"，若見=483,a3=U,則｛%｝的公差

為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】由等差數列的前“項和公式表示S”，根據等差數列的性質可求得出=57,進而求解公差d.

【詳解】設數列｛凡｝的公差為d,依題意，4=(4+；4”4=7儂+率)=483,

得生+/=69,故生=57,則［=^^=5.

12—3

故選：A.

【變式1】(2024?安徽合肥?一模)數列｛〃〃｝中，an=an+i+2,a5=lSf則4+%+…+%o=()

A.210B.190C.170D.150

【答案】C

【分析】根據等差數列的定義知公差為-2,然后利用求和公式結合等差數列通項性質求和即可；

【詳解】由2=為+i+2知數列｛為｝是公差為-2的等差數列,

所以％+為H---1~q0=5(%+4)=5x(18+16)=5x34=170.

故選：C.

【變式2］（2024?海南?模擬預測）已知等比數列｛%｝的公比為3,%+%=12,則生-卬=（）

A.20B.24C.28D.32

【答案】D

【分析】根據題意結合等比數列性質運算求解.

【詳解】由題意可知q+a3=%=4,%+%=3（a2+a4）=36,

所以％=（生+%）—（q+/）=36—4=32.

故選：D.

【變式3】（多選）（2023?濟寧質檢）已知等差數列｛aj的前n項和為S?,且a>0,a-aQO,a7a8<0,則（）

A.數列｛aj是遞增數列B.S6>S9

C.當n=7時，S"最大D.當S“>0時，n的最大值為14

【答案】BCD

【解析】???在等差數列｛aj中，ai>0,

a4+aii=a7+a8>0,a7a8<0,

a7>0,a8<0,

???公差d<0,數列｛aj是遞減數列，A錯誤；

?Sg-S6=a7+a8+a9=3a8<0,

.?.S6>S9,B正確；

Va7>0,a8<0,數列｛aj是遞減數列,

???當n=7時，Sn最大,C正確；

*/a4+an>0,a7>0,as<0,

.14ai+ai414a4-Fan

Su-2=2〉0，

15ai+ais15X2a

S―2=-2—8<0,

???當S，0時，n的最大值為14,D正確.

【變式4】（2023?咸陽模擬）已知等差數列｛aj,?｝的前n項和分別為S°,L,若（2n+3）Sn=nL,則守等

b5

于

31911

--c-

7B.3I).25

25

【答案】A

【解析】（2n+3）Sn=nT,

T?-2n+3,

又S9=5(ai+a9)=]X2a5=9a5,

99

T9=5(bi+b9)=]X2b5=9b5,

所以一，

1905

又&

人Tg2X9+3T

所以海

b57

【變式5](2023?滄州質檢)已知等比數列知J的前n項和為Sn,若Ss=2,S辭=6,S24=

【答案】510

【解析】因為數列｛劣｝為等比數列，由等比數列的性質知，

S3,Se—S3,Sg—Se,…，S24—S21,…構成首項為$3=2,

公比為q=弋自廠=2的等比數列，且S24是該等比數列的前8項和，

034

21—28

所以$24=\Q-510.

1-乙

【變式6】(2023?全國乙卷)已知｛aj為等比數列，a2a4a5=a3a6,a9aio=—8,則劭=

【答案】一2

【解析】方法一瓜｝為等比數列，，a4a5=a3a6,

??a2=1,

又，a2a9aio=a7a7a7,

3

.,.lX(-8)=(a7),

@7=—2.

方法二設凡｝的公比為q(qWO),

貝Ia2a4a5=a3a6=azq,asq,

顯然dnWO,

32

則a4=q\即aiq=q,

貝！Jaiq=l,

因為a9aio=18,

貝Uaiq8?aiq9=-8,

則q』(q5)3=—8=(—2”,

555

貝Uq=—2,則a7=aiq?q=q=—2

考點三：等差數列、等比數列的判斷與證明

等差數列等比數列

定義法a-n+i-an=d—=q(q^0)

Hn

_n-1

通項法%=ai+(n-1)d&n=3.1Q

中項法2an=an-i+an+i(n22)a：=an-ian+i(n22,@nW0)

2

前n項和法Sn=an+bn(a,b為常數)Sn=kq“一k(kW0,qWO,1)

證明數列為等差(比)數列一般使用定義法.

易錯提醒(l)￡=a-ae(n22,nGN*)是凡｝為等比數列的必要不充分條件，也就是判斷一個數列是等比

數列時，要注意各項不為0.

⑵｛aj為等比數列,可推出a“a2,as成等比數列，但a”as成等比數列并不能說明顯｝為等比數列.

(3)證明｛須｝不是等比數列可用特值法.

【例3】(23-24高三下?內蒙古錫林郭勒盟?開學考試)若數列｛%｝的前n項和S“滿足S“=〃2+〃+3,則

()

A.數列｛%｝為等差數列B.數列｛q｝為遞增數列

C.為等差數列D.S「S2，S6-S4，S8-S6為等差數列

【答案】D

(5IT—1

【分析】降次作差即可得到%一、C，根據等差數列的定義即可判斷A,根據數列單調性即可判B,

\2n,n>2

求出相關值結合等差數列定義即可判斷CD.

2

【詳解】當2時，cin=Sn-Sn_1=n+n+3—(n—1)1)-3=(2〃-1)+1=2〃，

[5,〃二1

當〃=1時，q=5,/.a=<,

n[2n,n>2

對于A：4=5不滿足%=2〃，故A不正確；

對于B：q=5>％=4,故B不正確；

對于C,4=5,4=6,“5=1。，不滿足2a3=4+%，故C不正確；

對于D：54-S2=a4+a3=14,S6-S4=a6+a5=22,S8-S6=a^+aJ=30,三項可構成等差數列，且公差

為8,故D正確；

故選：D.

【變式1】（多選）（23-24高三上?貴州安順?期末）甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球

傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概

率為匕，貝U（）

A.呂=工

34

B.數列,匕-;1為等比數列

D.第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種

【答案】ABD

【分析】根據題意，可得數列［匕-g1是以-;為首項，以-;為公比的等比數列，即可判斷ABC,然后逐

一列舉，即可判斷D.

【詳解】由題意可知，要使得n次傳球后球在甲手中，則第小-1）次球必定不在甲手中，

所以勺=：。一心），即匕T=［上-「J，

p-1

因為4=0,則片1=15—1W。所以，—〃2：=一1

則數列,匕是以為首項，以-g為公比的等比數列，故B正確；

則匕即故,錯誤；

11

且月二XI故A正確;

32134

若第4次傳球后球在甲手中，則第3次傳球后球必不在甲手中,

設甲，乙，丙對應。力,。,

貝！］a->h—>a―>b―>a，

a->b->Q->c->a,

a->c->a->b-》a,

CL->c—>ci―>c―>a,

a—>c—>a,

所以一共有六種情況，故D正確；

故選：ABD

【變式2](23-24高三下?湖南長沙?開學考試)已知數列｛%｝與數列也｝滿足下列條件：①a“e｛-l,O,l｝,

Z?1

〃eN*；②〃eN*；③，=(一1)""?！耙?%1,“cN*,記數列圾｝的前〃項積為人

(1)若4=4=1,a2=0,a3=-1,a4=1,求心；

(2)是否存在4,a2,a3,%,使得仿，b2,b3,4成等比數列？若存在，請寫出一組%,電，的，為；

若不存在，請說明理由；

(3)若4=1,求幾。的最大值.

【答案】(1)看=?3;

O

⑵不存在，理由見解析；

⑶(|嚴。.

【分析】(1)利用已知數據直接計算即得.

(2)假定存在，分兩種情況討論即得.

⑶設%=1%I，分析出區名尸聞=(滬<(\尸\b2\<(步.綱=.步,再求出小

的最大值即可.

/?9,1,,Z?o,1,11

【詳解】(1)由工■=—&一不％1=一1，得人2=-1，由丁=1〃2-不。31=不，得瓦=-入,

422222

,b4?1.33

由7=一修3_不&1=_不，得力4=:，

b3224

3

所以也./?3也=%.

O

(2)不存在.

假設存在,設耳也也也公比為0，

若々>0,則&<。也<0也>。，公比4=，<。應=，>。，矛盾，

若a<o,則a>o,4>。，a<。，公比，矛盾，

因此假設不成立，所以不存在.

(3)依題意，4=1>0,且“"3>°，%-2<0,%_1<0&>0,甌-3?%-20"「原?>。，笈eN*,

設%=憶-卜"+"，則4“€｛0,：,1,；｝,品=%，得|%|=置?也I,

2zz\^n\

931

于是Ibn+2|=qn-qn+l-\b?\,顯然q?-qn+l的值從大到小依次為：,,1,；,

若以Vm=：，則以=1且4M=；，當數列｛%｝為1，T/，T，L或T,L-M,…，可以取得，

顯然當qjq,+i=；時，⑴最大，此時1%1蕓也1,則也“"“：尸141=(：產，

也“嗚尸也區(:尸?|國1=|?(：尸，

bb

從而I工001=14也3?,…*1001=曲也4?,…99I?電也也??…偽00I

[1X|x(^)2X...X(1)49]X(|)50X[1XX(1)2X?..X令9]

50

=(1)X弓產“2+3++49)=(|)4950,又幾。>0,

所以(%:u=(|嚴.

【點睛】

思路點睛：涉及給出遞推公式探求數列性質的問題，認真分析遞推公式并進行變形，可借助累加、累乘求通

項的方法分析、探討項間關系而解決問題.

【變式3](2023?日照模擬)已知數列｛aj滿足:由=A>0,anHn+1==2.

(1)當入時，求數列｛a2n｝中的第10項；

(2)是否存在正數入，使得數列｛aJ是等比數列？若存在，求出入值并證明；若不存在，請說明理由.

【解析】(1)由己知須加+1=2-"

所以當n與2時，a1aliT=2f

相除得

又ai=a.，a2al=25,

OCi

所以也=2叱

==

loG)?256-

所以a2o=2X

(2)存在.假設存在正數入，使得數列｛8｝是等比數列，由azai=25得a?=丁,

A

由a2a3=8,得的=彳，

因為｛aj是等比數列，所以aia3=a；,

即入2=64,解得人=8.

下面證明當入=8時數列｛劣｝是等比數列，

由⑴知數列｛皿_｝和⑸,｝都是公比是:的等比數列，所以a"_=8?^'=25-2"；

a如=4-=

所以當n為奇數時，4=247

當n為偶數時，an=2-n,

所以對一切正整數n,都有％=2「"，

所以2±1=]nGN*,

所以存在正數入=8使得數列｛aj是等比數列.

【變式4].(2023?青島質檢)已知等差數列｛斯｝的前〃項和為S”,公差d#0,S2,S4,N+4成等差數列，a2,

a4,制成等比數列.

⑴求S"；

(2)記數列｛父｝的前"項和為〃,2兒一。=耍，證明：數歹標一不為等比數列，并求｛仇｝的通項公式.

S+4+S2=2S4,

(1)解由512,S4,S5+4成等差數列，。2,〃4,。8成等比數列，可得，?

=—,

5〃i+10d+4+2〃i+d=2(4〃i+6J),

即

+3<7)2=(〃]+①(〃]+7為，

=2,

解得，

d=2,

Sn=2〃+秋\1)X2=/+〃.

(2)證明由2bn—Tn——工-得

33

2b\~bx=y解得加=￡,

.〃+221

2bn=2+〃(w+l)=7"+n-^+T,

21

故2b〃+i=G+i+f—后工’

212111

--+bn+1-+

兩式相減可得