專題22幾何問題

例1.正四面體A3CD,棱長為1米，一條蟲子從頂點A開始爬行，在每一頂點，它等可能選擇三棱之一，

沿這棱到其它頂點，記。”是蟲子從A開始爬行了〃米回到A的概率，則％=—;通項公式%=—.("=0,

1,2,...)

【解析】小蟲從點A出發，一共分3步走，假設第一步到8,則第二部有三種走法，若回到A,則第三步

都回不到A,若第二部不到A,可以到C或。，到達下一個頂點后又有三種走法，只有一種能回到A.其

它類同.

所以蟲子從A開始爬行了3米回到A的概率為4=2；

39

〃=4:(若第三次爬回去，則第四次就不能會到A)

a.——(1—a)——(1—-^―■

4333927

〃=5:(若第四次爬回去，則第五次就不能會到A)

、1八7、20

所以a=~(1-.)=~(1------------)=--+(——),7—?

"3344-3"-2434

故答案為2,1+(-1)"^-.

9434

例2.在棱長為1米的正四面體A3CD中，有一小蟲從頂點A處開始按以下規則爬行，在每一頂點處以同

樣的概率選擇通過這個頂點的三條棱之一，并一直爬到這條棱的盡頭.記小蟲爬了力米后重新回到點A的

概率為P“.則尸4=-

【解析】由題意知本題是一個等可能事件的概率，

假設這個四面體的四個頂點分別為A3CD，小蟲從A開始爬.

如果爬到第三次時，小蟲在A點，那么第四次就一定不在A點，

.?.設小蟲第三次在A點的概率為X,那么最后的答案就是上工①

3

設小蟲第二次在A點的概率為y,那么最后的概率就是X=上上②

3

顯然小蟲第一次爬完之后在A點的概率為o,那么y=上9③

3

1-1

將③代入②，得x=—2=2④

39

1得7

將④代入①得p=

327

故答案為：L

27

例3.已知三棱錐尸—A5C中，尸A_L平面ABC,ZACB=90°,BC=1,AC=應.如圖，從由任

何二個頂點確定的向量中任取兩個向量，記變量X為所取兩個向量的數量積的絕對值.

(1)當尸4=2時，求尸(X=4)的值.

(2)當PA=1時，求變量X的分布列與期望.

【解析】(1)尸A_L平面ABC,ZACB=90°,

BC=],AC=應,PA=2,

以C4為x軸，CB為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

A(虛,0,0),5(0,1,0),C(0,0,0),尸(虛,0,2),

UUUlULO1

AB=(-在1,。)，AC=(-衣0,0),

uumuuu

AP=(0,0,2),PB=(-C,1,-2),

UUUULll

CB=(0,1,0),CP=(衣0,2),

由任何二個頂點確定的向量的個數為c；=15,

ULUUUUUumuULU

其中X=4的有IAP-PB|,IAP-PC|,共2個，

P(X=4)=2

(2)PA=1時，A(①,0,0),8(0,1,0),C(0,0,0),P(應,0,1),

UULUUUU

..AB=(-^,1,0),AC=(-后,0,0),

ULUJLUUU

AP=(0,0,1),PB=(—在1,—1),

ULUULU

CB=(0,1,0),CP=(衣0,1),

UUULUUUuumuumULOUUllUUULULUUUUlULll

|ABAC|=2,|ABAP|=0,|ABPB|=3,\ABCB|=1,\ABCP\=2,

ULUULUUUUUUUUUUUULUULttlULUuumuuu

\ACAP|=0,|ACPB1=2,|ACCB|=0,\ACCP|=2,\APPB|=1,

uumULUUUUlULUUUUlULBlUUllUUUUUUULU

\APCB|=0,|APCP|=1,|PBCB|=1,\PBCP\=3f\CBCP|=0.

??.X的取值為0,1,2,3,

P(X=0)=2，P(X=1)=士，P(X=2)=g,P(X=3)=劣,

15151515

:.X的分布列為:

X0123

P5442

15151515

例4.發展“會員”、提供優惠，成為不少實體店在網購沖擊下吸引客流的重要方式.某連鎖店為了吸引

會員，在2019年春節期間推出一系列優惠促銷活動.抽獎返現便是針對“白金卡會員”、“金卡會員”、

“銀卡會員”、“基本會員”不同級別的會員享受不同的優惠的一項活動：“白金卡會員”、金卡會員”、

“銀卡會員”、“基本會員”分別有4次、3次、2次、1次抽獎機會.抽獎機如圖：抽獎者第一次按下抽

獎鍵，在正四面體的頂點O出現一個小球，再次按下抽獎鍵，小球以相等的可能移向鄰近的頂點之一，再

次按下抽獎鍵，小球又以相等的可能移向鄰近的頂點之一……每一個頂點上均有一個發光器，小球在某點

時，該點等可能發紅光或藍光，若出現紅光則獲得2個單位現金，若出現藍光則獲得3個單位現金.

(1)求“銀卡會員”獲得獎金的分布列；

(2)=2,3,4,…)表示第，次按下抽獎鍵，小球出現在。點處的概率.

①求P2,P3,P4的值；

②寫出Pa與P,關系式，并說明理由.

【解析】(1)設“銀卡會員”獲得獎金為X個單位獎金，則X的可能取值為4,5,6,

則尸(X=4)=P(X=6)=-xl=l,尸(X=5)=2x1x1=1,

224222

故X的分布列為:

X456

PX1￡

7~27

(2)?P=1,P,=0,P=~,2=2,

123349

②若第〃次按下抽獎鍵時小球出現在。點，則第〃+1次按下抽獎鍵時小球出現在O點的概率為0,

若第w次按下抽獎鍵時小球不出現在。點，則第〃+1次按下抽獎鍵時小球出現在。點的概率為工，

3

:.Pn+1,=Pn-0+('l-P)--=-3--3P〃.

例5.如圖，四棱錐S-ABCD的所有棱長均為1米，一只小蟲從S點出發沿四棱錐爬行，若在每頂點處

選擇不同的棱都是等可能的.設小蟲爬行〃米后恰回到S點的概率為尸“(”..2,〃wN).

⑴求尸2，尸3的值;

(2)求證：3P+1+P=Kn..2,nwN)；

(3)求證：P+P+...+P>6,7~5(n..ZneN).

23n0/1

【解析】（I）P2表示從S點到A（或3、C>D）,然后再回到S點的概率，所以P=4x」一=L；

224x33

因為從S點沿一棱爬行，不妨設為沿著SA棱再經過8或。，然后再回到S點的概率為一—義2=工,

4x3x318

所以A=」-X4=2.

3189

（2）證明：設小蟲爬行〃米后恰回到S點的概率為P,,,

那么1-4表示爬行幾米后恰好沒回到S點的概率，

則此時小蟲必在A（或B、C、。）點，所以:*（1-片）=￡,+],即3P“+]+尸“=eN）.

（3）證明：由3P向+尸“=1,得（p向一5）=_《（2_5），

從而P=工+J_（_1）A2（62/eN）.

"4123

所以尸,+R+…+尸=—1+」-[-----3_]

23"412-1

1H-----

3

4163

例6.假設位于正四面體A6CD頂點處的一只小蟲，沿著正四面體的棱隨機地在頂點間爬行，記小蟲沿棱

從一個頂點爬到另一個頂點為一次爬行，小蟲第一次爬行由A等可能地爬向3、C、D中的任意一點，每

二次爬行又由其所在頂點等可能地爬向其它三點中的任意一點，如此一直爬下去，記第eN*）次爬行小

蟲位于頂點A處的概率為p“.

（1）求p「p2,P3的值，并寫出p“的表達式（不要求證明）；

⑵設=2。；eN*）,試求S,（用含〃的式子表示）.

［解析］（1）PI=O,。2=（，03=！（1一°2）=￡，P*="Q_pj=《

猜想：2=1［1

l23

(2)Sn=1p1Cn+1p2￡n+p1X3JnL+n...n+xPC\n/&N*)

=-(C1+C2+...+CB)+-[C1(--)1+C2(--)2+...C"(--)n]

nn，4n3n3n3

=-(C°+C1+C2+...+C,,)+-[C°(--)°+C1(--)1+C2(--)2+...C,!(--)n]-l

nnn，4n3n3n3n3

2n1

=2"-+l（2）--1

例7.已知正四面體A5CD的棱長為3c“z.

（1）己知點E是CD的中點，點P在AA3c的內部及邊界上運動，且滿足石尸//平面AAD,試求點P的

軌跡；

（2）有一個小蟲從點A開始按以下規則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，

并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了12c根之后，求恰好回到A點的概率.

【解析】（1）取3c中點連接并取AC的中點。，連QE,QM,

所以EQ//A。，EQC平面A3。，4。＜=平面43。，

所以EQ//平面A3。

同理可得：MQ//平面A3。.

因為E。，MQ為平面。內的兩條相交直線，

所以平面QEM//平面AAD，

所以得到點P的軌跡為線段.

(2)由題意可得：小蟲爬了12CW,并且恰好回到A點，

所以小蟲共走過了4條棱，

因為每次走某條棱均有3種選擇，

所以所有等可能基本事件總數為34=81.

當小蟲走第1條棱時，有3種選擇，即AB,AC,AD,不妨設小蟲走了A3,

然后小蟲走第2條棱為3A或3c或RD,

若第2條棱走的為3A,則第3條棱可以選擇走AB,AC,AD,計3種可能;

若第2條棱走的為BC,則第3條棱可以選擇走CB,CD,計2種可能；

同理第2條棱走AD時，第3棱的走法亦有2種選擇.

所以小蟲走12c,”后仍回到A點的選擇有3x(3+2+2)=21種可能.

例8.設正四面體ABCD的所有棱長都為1米，有一只螞蟻從點A開始按以下規則前進：在每一個頂點處

等可能的選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，

<1)求它爬了4米之后恰好位于頂點A的概率

(2)求它爬了3米后經過3的次數x的分布列和均值.

【解析】（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，

假設這個四面體的四個頂點分別為A3CD,螞蟻從A開始爬.

如果爬到第三次時，螞蟻在A點，那么第四次就一定不在A點，

.?.設螞蟻第三次在A點的概率為p,那么最后的答案就是亍，①

設螞蟻第二次在A點的概率為q,那么最后的概率就是°=寧，②

顯然螞蟻第一次爬完之后在A點的概率為0,

那么q=y,③

1-1、

將③代入②，得。=—之=2,④

39

1-2

將④代入①得P=—土=工.

327

故它爬了4米之后恰好位于頂點A的概率為2

27

(2)由已知得X的可能取值為0,1,2,

D/Y222,22216

P(X=m0)=—x—x——F—x—x—=——,

33333327

P(X=l)=lxlx^-+^-xlxl+-=-x^-x-l=-

3333333：

P(X=2)Jxlx'=L,

339

:.X的分布列為：

X012

P1681

27279

:.EX=0x至+lx8+2x114

2727927

例9.某商家推出一款簡單電子游戲用單射一次可以將三個相同的小球隨機彈到一個正六邊形的頂點與中心

共七個點中的三個位置上（如圖），用S表示這三個球為頂點的三角形的面積.規定:當三球共線時,S=0;當S最大

時，中一等獎，當S最小時，中二等獎，其余情況不中獎，一次游戲只能彈射一次.

(1)求甲一次游戲中能中獎的概率;

(2)設這個正六邊形的面積是6,求一次游戲中隨機變量S的分布列及期望值.

3+21

【解析】(1)甲中獎的概率為P=J1=-

(2)5的可能值為：0,1,2,3,其分布列為

s0123

318122

p

35353535

例10如圖，設…，穌為單位圓上逆時針均勻分布的六個點，現任選其中三個不同點構成一個三角形，

記該三角形的面積為隨機變量S.

(1)求5=走的概率；

2

(2)求S的分布列及數學期望E(S).

Pl

Pi/

P,

【解析】（1）從六個點任選三個不同點構成一個三角形共有《種不同選法,

其中S的為有一個是3。。的直角三角形（如：八利遇）共12種’

12_3

（2）S的所有可能取值為4-9—二~\'

424

S=￥的為頂角是120°的等腰三角形（如）,共6種，所以=63

10

S=”的為等邊三角形（如：△《舄鳥）共2種，所以P[S=3/]=/=/

414J。61（

'A123

又由（1）PS=-=，故S的分布列為：

36

S旦

42~T~

331

P

10510

所以E（S）=^x3+走二+迪J=蛀.

v74102541020

例11.已知正六棱錐S-ABCDEF的底面邊長為2,高為1.現從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構

成三角形，設隨機變量X表示所得三角形的面積.

（1）求概率P（X=/）的值;

⑵求X的分布列，并求其數學期望E（X）.

【解析】（1）從7個頂點中隨機選取3個點構成三角形,

共有C；=35種取法，其中x=有的三角形如AABF,

這類三角形共有6個

因此P=（X=@=捺=卷.

（2）由題意，X的可能取值為上,2,2下,30

其中X=石的三角形如AABF,這類三角形共有6個；

其中X=2的三角形有兩類，，如AR4O（3個），APAB（6個），共有9個；

其中X=#的三角形如NPBD,這類三角形共有6個；

其中X=2』的三角形如ACDF,這類三角形共有12個；

其中X=3百的三角形如ABDF,這類三角形共有2個；

因此P=（X=g）=（,P=（X=2）=*

P=（X="）=〈,P=（X=2*）=||,P=（X=3石卜得

所以隨機變量的概率分布列為：

X百2瓜2y/33A/3

696122

P(x)

3535353535

所求數學期望

36用6#+18

E(x)=6XA+2X±+V6x—+2A/3X—+3A/3X—=

353535