重難點專題14導數壓軸小題十四大題型匯總

a

題型1恒成立問題之直接求導型......................................................1

題型2恒成立問題之分離參數型......................................................2

題型3恒成立問題之隱零點型........................................................4

題型4恒成立問題之洛必達法則......................................................5

題型5恒成立問題之兩個函數問題....................................................6

?類型1同變量型.............................................................6

?類型2不同變量型...........................................................7

?類型3函數相等型...........................................................7

題型6恒成立問題之構造函數........................................................9

題型7零點問題.....................................................................10

題型8同構問題.....................................................................11

題型9整數解問題..................................................................12

題型10函數凹凸性問題.............................................................13

題型11倍函數問題.................................................................14

題型12二次型函數問題.............................................................16

題型13嵌套函數問題...............................................................17

題型14切線放縮法.................................................................18

題型1恒成立問題之直接求導型

劃1占

無論大題小題，分類討論求參是導數基礎，也是復習訓練重點之一：

1.移項含參討論是所有導數討論題的基礎，也是學生日常訓練的重點

2.討論點的尋找是關鍵.

3.一些題型，可以適當的借助端點值來"壓縮"參數的討論范圍

【例題1】（2023春?四川綿陽?高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）已知aeR,設函

數f。）=^x-^x,x>11-若關于%的不等式/（久）>。在％eR上恒成立，則a的取值范

圍為（）

A.[0,1]B.[1,2]C.[0,e]D.[l,e]

【變式1-1】1.(2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學?？茧A段練習)對正實數a

有f(x)=ex+1-a\nx-ln1>0在定義域內恒成立，則a的取值范圍為()

22

A.(0,1]B.[l,e]C.(0,e]D.(0,+8)

【變式1-1】2.(2022秋?安徽六安?高三六安市裕安區新安中學?？茧A段練習)若不等式

e—-小龍一2n—3》0對MteR恒成立，其中小40,則三的最大值為()

A.-哼B.-In3eC.In3eD.哼

【變式1-1】3.(2023春?四川南充?高三周中中學?？茧A段練習)一般地，對于函數y=f

(t)和t=g(x)復合而成的函數y=f(g(X)),它的導數與函數y=f(t),t=g(x)的導數間的

關系為以'=%'￡’.若關于》的不等式e*2x+b對于任意xeR恒成立，貝哈的最大值為

()

A.1B.1C.fD.e

【變式1-1】4.(2023?安徽合肥?合肥市第七中學校考三模)已知函數/(%)=租/—%—九—

l(?n,7iER),若/(%)之一1對任意的％ER恒成立，則血九的最大值是()

A.e-2B.—e-2C.e-1D.—e-1

【變式1-1]5.(2022春?安徽滁州?高三?？茧A段練習)已知函數f(%)=(%—a—l)ex+b.

若存在beR,對于任意xe[1,2],都有|/(x)|<5,則實數a的取值范圍是.

題型2恒成立問題之分離參數型

分離參數是屬于“暴力計算”型方法，分離參數：將參數提取到單獨的一俱U,然后通過求解

函數的最值來求解參數的取值范圍.

1.分離參數思維簡單，不需過多思考；

2.參變分離原則是容易分離且構造的新函數不能太過復雜

3.缺點是，首先得能分參，其次求導計算可能十分麻煩，甚至需要二階，三階..等等求導.

【例題2】(2023春?江蘇?高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習)若關于x的不等式e*

（3k-x）<2%+3對任意的xe（0,+8）恒成立，則整數k的最大值為（）

A.-1B.0C.1D,3

【變式2-1J1.（2022秋四11內江?高三威遠中學校?？茧A段練習）已知不等式xe'+i-%2

In久+2爪+3對Wxe（0,+8）恒成立，則小取值范圍為（）

A.m<—|B.m>—1C.m<—2D.m>—2

【變式2-1】2.（2023?全國?高三專題練習）已知f（x）,g（x）分別為定義域為R的偶函數和

奇函數,且f（K）+M=ex,若關于x的不等式2f（x）-ag2（x）>0在（0,In2）上恒成立,

則實數a的取值范圍是（）

A.（-8,匐B.黑+00）C.（一8知D.（-y,o）

【變式2-1J3.（2022秋?山西運城?高三?？茧A段練習）已知孫，孫是函數/（%）=乂2—2ax

+21nx的兩個極值點，且巧<如當a2|時，不等式/（?。?皿2恒成立，則實數小的取值

范圍（）

A.[—^―ln2,o]B.（―8,一7―ln2]

C.[―3―ln2,0）D.|ln2,+8）

【變式2-1]4.（2023?全國?高三專題練習）若關于x的不等式⑺+2）魯皿+13%在（0,+8）

上恒成立，則實數m的取值范圍為（）

A.（-oo,0]B.（-co,-e]

C.(—°°,e]D.(—oo,—1]

題型3恒成立問題之隱零點型

(2)知原函數最值處就是一階導函數的零點處，可代入虛根xo

(3)利用xo與參數互化得關系式，先消掉參數，得出xo不等式，求得xo范圍.

(4)再代入參數和xo互化式中求得參數范圍.

【例題3】(2023?河南鄭州?統考模擬預測)已知函數f(x)=§+岑+1,g(x)=(1+m)ex

(m￡R),若f(久)<9(久)恒成立，則實數m的取值范圍為.

【變式3-1]1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學校?？茧A段練習)若關于X

的不等式e'i>Inx+a對一切正實數x恒成立，則實數a的取值范圍是()

A.(―8,B.(—o°,e]C.(—00,1]D.(—oo,2]

【變式3-1]2.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(%)對任意久>0,都

有人乃〉aln(x+1)恒成立，則實數a的取值范圍是.

【變式3-1]3,(2023?廣東深圳?深圳中學校聯考模擬預測)若關于x的不等式eY2k-x)<

x+3對任意的xe(0,+8)恒成立，貝U整數k的最大值為.

【變式3-1】4.(2022?安徽?巢湖市第一中學校聯考模擬預測)已知不等式a光-臂2?對

v*e[l,+8)恒成立，則實數a的最小值為()

A.IB.|C.|D.1

題型4恒成立問題之洛必達法則

31塾重點

如果最值恰好在"斷點處"，則可以通過洛必達法則求出“最值”.

【例題4】(多選)已知函數/Q)=elxlsinx,則下列結論正確的是()

A./(久)是周期為27r的奇函數B./)在(—：,專上為增函數

C./(久)在(-10兀,10兀)內有21個極值點D./(x)》a久在[0北上恒成立的充要條件是唯1

【變式4-1】1.(2020春?黑龍江哈爾濱?高三黑龍江實驗中學?？奸_學考試)已知函數

)=Ninx—磯/—1)(awR),若/(x)20在XW(O,1]時恒成立,則實數a的取值范圍是

A.呼+8)B.停,+8)C.[2,+8)D.[1,+oo)

【變式4-1]2.(2020?江西九江?統考三模)若對任意Xe(0㈤,不等式>asinx

恒成立，則實數a的取值范圍是()

A.[_2,2]B.(_8啟]C.(_8,2]D.(_8,1]

【變式4-1]3.(2020春?河北唐山?期中)若*a-I)%2+1<ex-x對Vx>0恒成立，則

實數a的取值范圍是

A.(—8,2]B.(—oo,2)C.(—8,1]D.(—00,3]

【變式4-1】4.(多選)(2023春訶南許昌?)已知函數/(%)=州sin%,則下列結論正確的

是()

A.f(x)是周期為2兀的奇函數B./㈤在("書上為增函數

C.八久)在(-10兀,10兀)內有21個極值點D.，0)》必在[0,3上恒成立的充要條件是唯1

題型5恒成立問題之兩個函數問題

#占

此類函數,多采用兩函數"取最值法".一般地，已知函數y=f(x),xe[a,b],y=g[x),xG[c,d]

(1)若VXle[a,b],Vx2e[c,d],總有fOD<g(X2)成立,故f(K)max<g(X2)min；

(2)若VX16[a,b],3X2e[c,d],有/Qi)<g(%2)成立,故/'COmax<9(乂2)max；

(3)若mXiC[a,句，Sx2G[c,d],有/(X1)<g(%2)成立,故/(x)min<g(%2)min；

(4)若v*ie[a,6],3x26[c,d],有=9(%2),貝U/Q)的值域是g(久)值域的子集.

?類型1同變量型

【例題5-1](2023秋?廣東陽江?高三統考開學考試)已知函數f(x)=百—Inx,g(x)=ax

+b,xe(0,+8),恒成立,則a+b的最大值為()

A.eB.1C.-1D.-e

【變式5-1J1.(2022秋?江蘇鎮江?高三江蘇省鎮江中學?？茧A段練習)已知函數“久)=-

x2+yx+2(m>0),g(x)=e"-3%2+1,若不等式g(X)>2/(x)—x2—11對一切久GR恒成

立，則正整數小的最大值為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式5-1】2.（2023?江蘇?統考模擬預測）已知f（￡）=mx+凡g（x）=Inx,對于Vxe

（0,+8）,f（x）2g（x）恒成立,則2n的最小值為（）

A.—ln2B.-1C.—ln4D.-2

【變式5-1]3.（2022?全國?高三專題練習）已知函數/（久）=x—In（久+1）,g（x）=ex-x

-1,若9。）＞kf（x）對Wxe[0,+8）恒成立，求實數k的取值范圍.

【變式5-1】4.（2020?全國?高三專題練習）設三次函數/（久）=|ax3+|fox2+ex,（a,b,c

為實數目a#0）的導數為r（x）,記g（x）=r'（x）,若對任意久6R,不等式廣（久）》。（久）恒成

立，則號的最大值為

?類型2不同變量型

【例題5-2]（2022秋河南?高三校聯考階段練習）設函數/（＞）=（K—i）（e，—e），。（久）=

lnx-ax,其中aeR.若對任意的正實數4，%2,不等式（ODN。（冷）叵成立，則a的最小

值為（）

A.0B.1C.|D.e

【例題5-2]1.（多選）（2023秋?廣東?高三校聯考階段練習）已知f（x）=9（%）=%ln

x.若存在當eR,x2e（0,+oo）,使得fOD=gg）=t成立，則下列結論中正確的是（）

A.當t〉0時，=tB.當t＞0時，elnt＜xrx2

C.不存在t,使得f'Oi）=夕（久2）成立D./（X）＞g（x）+mx恒成立,則mW2

【變式5-2】2.（2022秋?四川綿陽?高三四川省綿陽江油中學階段練習）已知函數久支）=

%久久）=-e%2+ax（e是自然對數的底數），對任意的叼eR,存在相e[Q],有人犯）＜

9（冷），貝M的取值范圍為.

【變式5-2]3.(2022秋?四川?高三棠湖中學階段練習)函數f(x)=\nx-ax,g(久)=ax2

+1,當aW0時,對任意%1、久2G[10,都有/(久1)>。(乂2)成立，則a的取值范圍是.

【變式5-2]4.(2021秋?湖北襄陽?高三開學考試)已知函數/'(X)=ln%-i%+￡-l,g(x)

=G)-m,P=1m|任意Xi,X2G(O,2),f(x0>g(x2)1,Q=

{m|任意xie(0,2),存在X2e(O,2),f(xi)>gg)},則PnQ=.

?類型3函數相等型

1%1

J。一g(x)=

{log(x+3),x>1

2

ax2+2x+a-l,若對任意的巧GR,總存在實數到G(0,+oo),使得f(均)=。(冷)成立，

則實數a的取值范圍為()

A.[。閭B.[o,1)C.(一8()D.[1,+o0)

【變式5-3】1.(2022?天津和平?耀華中學?？寄M預測)已知函婁好(%)=2-2,g(x)=

^l+2aZx<0^aeR^'若對任意打6[1,+8),總存在X2CR,使人燈)=9(>2),則實數

a的取值范圍是()

A.(—8,4B.(_oo,l)u[|,2]

C.(-,>[1,2]D,(1,|]叱,2〕

【變式5-3J2.(2023?新疆烏魯木齊?烏市一中校考三模)已知函數f(x)=e2"-2%+1應(久)

=2x-2\nx,若存在%i,%2e(1,+8),使得/■(小)=g(%2),則()

A./(%1)<5(^1)B.<lnx2

C.In(2無0<lnx2<D.xi<ln%2<2句

1

【變式5-3]3.(2021?河南統考一模)定義：[ln(g(x))T=---歐x).設函數/㈤=%2+2

x+a,g(x)=；81n(x+l),若三%,久2e(0,3),打不應，使得/'(巧)=9。。，/(久2)=。(久2)，

則實數a的取值范圍是

A.(161n2-15,0)B.(161n2-15,81n2-3)

C.(0,81n2-3)D.(0,15-161n2)

【變式5-3J4.(2021春?江蘇南通?高三統考階段練習)已知函數-x)=%2-e-"g(x)=-

I%3+2x2-3x+c,若對WKie(0,+8),m久2e[1,3],使/'01)=g(%2)成立，則c的取值范

圍是()

A.^<c<|B.^<C<|C.C<^D.C>^

題型6恒成立問題之構造函數

【例題6】(2023?全國?高三專題練習)已知￡>0,3且1+迂皿丫=eysinx,

則下列關系式恒成立的為()

A.cos%<cosyB.cos%>cosyC.sin%<sinyD.sin%>siny

2x

【變式6-1]1.(2023?全國?模擬預測)已知函數/(x)=(x+l)e,若對任意0<%2<

,叱:避*<"e%_jz)恒成立，則實數4的取值范圍為()

C1'CZ

A.(—8,1]B.[1,+00)

C.(—00,3]D.[|,+°°)

【變式6-1]2.(2022秋?重慶?高三校聯考階段練習)已知函數/(%)=aln(x+1)+必，

在區間(3,4)內任取兩個實數的，功且Xi#久2,若不等式>1恒成立,則實數a

的取值范圍為()

A.[—9,+oo)B.[-7,+oo)C.[9,+8)D.[7,+oo)

【變式6-1]3.(2022秋?河南鄭州?高三鄭州外國語學校?？茧A段練習)已知函數/(%)=a

ex+4%,對任意的實數對/2e(-oo,+00),且巧去%,不等式”"：+?不)>對+久2恒成立,

2X1人2

則實數a的取值范圍是（）

A.g+8)B.[A/+OO)C.(|,+8)D.&+8)

【變式6-1]4.（2022秋湖南長沙?高三長沙市明德中學校考開學考試）已知20211na=a

+m,20211nb=b+m,其中a4b,若ab<4恒成立，則實數力的取值范圍為（）

A.((2021e)2,+oo)B.(202/,+8)C.[20212,+oo)D.[(2021e)2,+oo)

題型7零點問題

、I，5^^

#?5

1確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導

數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖象；

2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處

理，可以通過構造函數的方法、把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；

3.利用導數研究函數零點或方程根,通常有三種思路:①利用最值或極值研究;②利用數形結

合思想研究；③構造輔助函數研究.

【例題7]（2022秋?江西撫州?高三臨川一中校考期中）若函數六久）=/+a（x-1）+6在

區間住,1]上有零點，則口2+。2的最小值為（）

A.募B.e2C.1D.e

【變式7-1】1.（2023?安徽黃山?屯溪一中校考模擬預測）已知函數久支）=

(ex.x<1

IV—x2+4x—3,1<x<3,若函數9（久）=/（嗎-k|x+2|有三個零點，則實數k的取值范

圍是（）

A.（0-Xf-f]B.（。，晉）U?閭

0（。，晉）嗯閭D,（O,f）u（±,|）

【變式7-1]2,（2021秋?廣東深圳?高三紅嶺中學?？计谀┮阎瘮?x）=/-/（a>1）

有且只有一個零點，則a的取值范圍為（）

A.（l,e?）B.（ese?）C.（演,+8）D.（人,+8）

【變式7-1】3.（2023?浙江溫州?樂清市知臨中學?？寄M預測）設a>0,6eR,已知函

數/'（X）=xe'+a（久一3）+b,xe[1,3]有且只有一個零點，則a?+/的最小值為（）

A."B.fC.手D.f

6

【變式7-1]4.（2023?四川廣元?校考模擬預測）若函數久久）=21n久-3a久2在[也啟]上存

在兩個零點，則a的取值范圍是（）

A?底）B.恃④C.自用D.內）

題型8同構問題

!!均f占

同構法的三種基本模式：

ln6x

①乘積型，如ae°wblnb可以同構成ae°W（lnh）e,進而構造函數/（x）=xe;

②比商型，如?<白可以同構成癮<W進而構造函數=￡；

③和差型，如e"±a>b±lnb,同構后可以構造函數/（久）=e方士久或f（久）=久±Inx.

【例題81（2023秋?江蘇鎮江?高三統考開學考試）對于實數％e（0,+8），不等式/—皿皿）

+（1—爪）％20恒成立，則實數m的取值范圍為（）

A.0<m<1B,m<1C.0<m<eD.m<e

【變式8-1]1.（2021秋?江蘇揚州高三揚州中學?？茧A段練習）設k>0,若存在正實數

%,使得不等式log27X-k-3-T>0成立，貝心的最大值為（）

A-J—B—C—D—

Aeln3D-eU-ln3U-2

【變式8-1]2.（2023秋?廣東中山?高三校考階段練習）對任意Xe（0,+00）,代/+1）-

（l+!）ln無>0恒成立，則實數k的可能取值為（）

A.-1B.I1C.112D.-

3ee

【變式8-1]3.（2023秋?江西南昌?高三南昌市外國語學校校考階段練習）已如函數〃x）=

aex+Ina+l（a>0）,若任意實數t>1,不等式f（t）>ln（t—1）恒成立，則實數a的取值范

圍為（）

a-（。塌b-f°,mC-（，+8）D.&,+8）

【變式8-1】4.（2022秋?福建莆田?高三莆田二中?？茧A段練習）對任意%>0,若不等

式a/we，+axinxQa>0）恒成立，則a的取值范圍為（）

A.（0,2e]B.（0,e]C.（0,1]D.[l,e]

【變式8-1】5.（2023春?四川內江?高三威遠中學校?？茧A段練習）定義：設函數y=f（x）

在（a力）上的導函數為廣（久），若廣（X）在（a力）上也存在導函數，則稱函數y=f（%）在（a,6）上存

在二階導函數，簡記為y=若在區間（a力）上廣（久）>0,則稱函數y=/（久）在區間（a力）

上為"凹函數".已知/⑶=|ae2x-|%2（lnx—Ina—|）在區間（0,+8）上為"凹函數",則

實數a的取值范圍為.

題型9整數解問題

10?^1]#6

1.通過函數討論法，參變分離，數形結合等來切入

2.討論出單調性，要注意整數解中相鄰兩個整數點函數的符號問題

?AA/WSAA/\AAA/W\AA^^A/\AA/\A/^A/\AAA/\AA/VSAA/WXA/S/SAAA/\AAA/V\AA/\AAA/X/\AA/V\A/\/^\AA/\AAA/W\A/V\A/V\AA/\A/\AA/\AAA/SAA/VSAAA/\AA/VSAA^

【例題9】（2022?全國?高三專題練習）已知關于久的不等式x（x-me"）>me”有且僅有兩個

正整數解（其中e=2.71828…為自然對數的底數），則實數小的取值范圍是（）

【變式9-1J1.（2023?重慶巴南?統考一模）已知偶函數f。）滿足/（4+x）=f（4-x）,f（0）

=-1,且當乂G（0,4]時，f（x）:手若關于%的不等式f（x）>a在[—48,48]上有且只有60個

整數解，則實數a的取值范圍是（）

A.（-1,0]B.[o,警）A（-L,竽）D.[竽苧）

【變式9-1】2.（2023?全國?高三專題練習）函數/（%）=（%-l）ln%-l（aER）,若不

等式/（%）<。最多只有一個整數解，貝M的取值范圍為（）

A.（-8,號）B,（號，空]

C.（―8,誓]D.（―8,哼1]

【變式9-1】3.（2023春?湖北武漢?高三武漢市黃陂區第一中學校考階段練習）已知函數

/（X）=ax+\na,g（x）=%+e"-Inx,若關于X的不等式/'（x）>g（x）在區間（0,+8）內

有且只有兩個整數解，則實數a的取值范圍為（）

A.（e,e2]B.（e,^]C.（e2,e3]D.得南

【變式9-1]4.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學校?？计谀┮阎?（久）=a

（%+l）e%-2%,若有且只有兩個整數解使f（x）<0成立，則實數a的取值范圍為（）

A.[最,金）B.康、

C'（表白ID-（壺』

【變式9-1]5.（2023?全國?高三專題練習）已知函婁妤（x）=kx（x+l）-lnx,若f（x）<0有

且只有兩個整數解，則k的取值范圍是（）

A.林等DJn5ln2、

B?（而記）

CGSD.（囂）

題型10函數凹凸性問題

【例題10](2023?云南?高三校聯考階段練習)已知函數/(x)=ln(x+a)—1+1,滿足f

(x)<0恒成立的最大整數m的值為—.

【變式10-111.(2021春?湖北鄂州?高二統考期末)已知大于1的正數a,b滿足震<

則正整數n的最大值為()

A.7B.8C.9D.11

【變式10-D2.(2023秋?江蘇南京?高三南京市中華中學?？茧A段練習)已知實數x,y滿

足ln(4久+3y—6)—ex+y~2>3x+2y—6,則久+y的值為

A.2B.1C.0D.-1

【變式10-1]3.(2022秋?安徽?高三校聯考階段練習)已知函數f=e\\\nx\-m)-x

有兩個零點，則小的取值范圍為()

A.(—e,+oo)B.(—1,+oo)C.(—1,+oo)D.(0,+oo)

題型11倍函數問題

【例題11】(2023春?北京海淀?高二?？茧A段練習)若存在X1m6口6]且打力％使

|g(%i)-g(%2)l>L|/Oi)-f(%2)l成立,則在區間[a,切上，稱g(x)為f。)的"倍函數”.設

/(X)=Inx,g(x)=示常，若在區間[似間上，g(x)為f(x)的"倍函數"，則實數L的取值范

圍為()

A.(―8閭B.(―吟)

C.(―co,e]D.(—oo,e)

【變式11-111.(2020秋海南海口?高三海南中學校考階段練習)對于函數y=f(x),若存

在區間[a,b],當xw[a,b]時的值域為[ka,kb](k>0),則稱y=f(x)為k倍值函數.若

f（x）=ex+3x是k倍值函數，則實數k的取值范圍是（）

12

A.（e+-,+oo）B.（e+-,+8）

C.（e+2,+00）D.（e+3,+8）

【變式11-1】2.（2022?全國?高三專題練習）如果存在久1,久26口切且久14久2,使

1。（5）一g（%2）l一f（久2）1成立,則在區間［a用上,稱。（久）為久久）的"倍函數”.設

/（%）=In%,。（久）=汨W，若在區間［血⑶上，9。）為/（久）的"倍函數"，則實數乙的取值范

圍為—.

【變式11-U3.（2023?全國?高三專題練習）函婁好（x）的定義域為D,若存在閉區間［a,切a

D,使得函婁好（乃滿足：①f（x）在［a,b］內是單調函數；②f（x）在［a用上的值域為［2a,20,貝U

稱區間口目為y=f（久）的"倍值區間".下列函數中存在"倍值區間"的有.

①/（X）=/（X20）;②f（久）=3，（久eR）；

③f（x）=正五（久N0）;@/（x）=|%|（%e/?）.

【變式11-1］4.（2023秋?湖北?高三校聯考階段練習）小王準備在單位附近的某小區買房,

若小王看中的高層住宅總共有n層（20WnW30,九eN*）,設第1層的"環境滿意度"

為1,且第k層（2Wk口，k€N*）比第k—1層的"環境滿意度”多出3k2_3k+1;又

已知小王有“恐高癥"，設第1層的"高層恐懼度”為1,且第k層（2wkw凡keN*）

比第k-1層的"高層恐懼度”高出措.在上述條件下，若第k層"環境滿意度"與"高層恐

懼度”分別為以,外,記小王對第k層"購買滿意度”為以,且以=言則小王最想買第（）

層住宅.

（參考公式及數據：12+22+32+…+J=2+y+i）,］n2=0.6931,ln3?1.0986,

1.1006）

【變式11-1】5.（2022?全國?高三專題練習）若存在實數K,對任意％eI,g（x）>/（久）成立,

_12_2x_4]<0

lnx+拉>'o'和g(W=x，

若9(久)是/(久)在R上的K倍函數，則K的取值范圍是

題型12二次型函數問題

【例題12】(2023?江蘇南京?南京市第一中學?？寄M預測)已知函數/(%)=

(—X2+X+2,X<02

在,無之o,若函數9(%)=2e/2(x)-af(x)+m合有6個零點，則實數。的取值范

(e*'一

圍為_____

【變式12-1]1.(2023?全國?校聯考二模)已知函數外幻=(1—x)e、，若關于%的方程2

[/(x)]2-4好(%)+1=。有兩個不同的實數根時，實數a的取值范圍是.

【變式12-1]2.(2023?全國?高三專題練習)函數f(%)=弋尸,若關于久的方程產⑺-

4

2nf(x)+了=0有6個不同的實數解，則實數九的取值范圍為.

%+3%vQ

貯；>%，若關于X的方

{X，

程，(x)]2+a/O)—1=0有3個不同的實數根，貝M的取值范圍為一.

【變式12-1】4.(2023秋廣東東莞?高三校考期末)已知函數f(久)={￡二廣二腳0,

若關于X的方程產⑺=2磯八X)—2]有8個不同的實數解，貝耀數m的值為.

(其中e是自然對數的底數)

2^+1_]%<0

㈣,'，若

{X，

F(x)=/2(x)-好(x)+3的零點個數為3,則實數a的取值范圍是.

題型13嵌套函數問題

2

【例題13】(2023?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=7%3+2%-2?,若曲線y=-%+2

X上存在點Oo，yo)使得f(/(yo))=yo，則a的取值范圍是.

【變式13-1]1.(2020春?浙江?高二校聯考期末)已知函數/⑴=『廣一乎，，

g(x)=f(x)—b,h(x)=/[/■(%)]-b,記函數g(x)和h(x)的零點個數分別是M,N,則

()

A.若M=1,則N42B.若M=2,則N22

C.若M=3,貝UN=4D.若N=3,則M=2

InV%>1

{1一/1，若叫)=7W)+1]+

山有兩個零點尤1/2,則+%2的取值范圍是()

A.[4—21n2,+oo)B.[1+Ve,+oo)C.[4—21n2,l+Ve)D.(—oo,l+Ve)

【變式13-1】3.(2023?浙江?二模)已知函數f(x)=|x—a|e"貝廳(f⑶)=。至多有

個實數解.

【變式13-1]4.(2023?江蘇?校聯考模擬預測)已知函數/(%)=仔工：'；幫，若尸。)=

/(/(久)-t)有六個零點，則實數t的取值范圍是.

【變式13-1]5.(2023四I卜校聯考模擬預測)已知函婁好(久)={in(xVl),J>0-若關于

x的方程/(/(%))=a恰有兩個不相等的實數根的,犯,且犯<犯,則黑的取值范圍是.

題