第07講分式方程［2大考點(diǎn)10大題型】

【題型1分式方程的概念及其解】

1.（2024?上海?中考真題）下列說(shuō)法正確的是（）

A.分式方程一定有解

B.分式方程就是含有分母的方程

C.分式方程中，分母中一定含有未知數(shù)

D.分母中含有字母的方程叫做分式方程

【答案】C

【分析】本題考查分式方程的定義，根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程判斷即可.

【詳解】A、分式方程有無(wú)解的情況，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、分式方程中，分母中一定含有未知數(shù)，故該選項(xiàng)正確；

D、分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

2.（2024?廣東?中考真題）下列各式中，是分式方程的是（）

16%121

A."25"7TB.x2

x+y122%

C.~4~9D-x+T

【答案】B

【分析】本題考查分式方程的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分

式方程，注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母.據(jù)此解答即可

【詳解】解：A.禁=工是一元一次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

257T

B.5=：是分式方程，故此選項(xiàng)符合題意;

C.亨-^=0是一元一次方程，故此選項(xiàng)不符合題意;

D.：+與是代數(shù)式，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

3.（2024?山東德州?中考真題）下列說(shuō)法正確的是（）

A.罷=：是分式方程

B.久=1或x=—1是分式方程券=0的解

C.若分式。的值為o,貝詠的值2或者-2

x+2

D.解分式方程時(shí)一定會(huì)出現(xiàn)增根

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的定義、分式方程根的檢驗(yàn)、分式方程的增根等知識(shí).利用分式方程的定義,

分式方程的解，以及分式方程根的判斷即可解決.

【詳解】解：A.等=:是分式方程，故A正確；

y_l_1

B.x=±l時(shí)，%2-1=0,即分母為0,故x=-1或％=-1不是分式方程三：=0的解，故B錯(cuò)誤；

C,當(dāng)％=-2時(shí)，x+2-O,因此若分式白的值為0,貝詠的值2,故C錯(cuò)誤；

x+2

D.解分式方程時(shí)不一定會(huì)出現(xiàn)增根，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

4.（2024?河南安陽(yáng)?中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)解為4的分式方程：.

【答案】言=1（答案不唯一）

【分析】根據(jù)分式方程的定義及分式方程解的定義寫出一個(gè)即可.

【詳解】解：寫出一個(gè)解為4的分式方程為：言=1（答案不唯一），

故答案為：言=1（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義及分式方程解的定義，掌握分式方程的有關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?河南鄭州?中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)未知數(shù)是X的分式方程，并且當(dāng)久=1時(shí)沒有意義.

【答案】六=6（答案不唯一）

【分析】根據(jù)刀=1時(shí)沒有意義可知，當(dāng)％=1時(shí)，分式的分母為0,根據(jù)條件進(jìn)行構(gòu)造即可.

【詳解】解：一個(gè)未知數(shù)是x且當(dāng)久=1時(shí)沒有意義的分式方程為3=6（答案不唯一）.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最簡(jiǎn)公分母的值為0的方程的根是增

根，是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?湖南衡陽(yáng)?中考真題）一列方程如下排列：

：+?=1的解是x=2；

巳+等=1的解是“3；

?+三=1的解是x=4；

根據(jù)觀察得到的規(guī)律，寫出其中解是x=2024的方程：.

【分析】本題考查了方程的解，觀察方程得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一個(gè)的分子

是X分母是解的二倍，第二個(gè)分子是x減比解小1的數(shù)，分母是2,可得答案.

【詳解】解：由一列方程如下排列：

*+?=1的解是％=2,

卜?=1的解是x=3,

卜三=1的解是刀=4,

得第一個(gè)的分子是%分母是解的二倍，第二個(gè)分子是工減比解小1的數(shù)，分母是2,

解是久=2024的方程：嬴+三萼=1,

%x-2023y

故答案為s>：疝+—2—=L

【題型2解分式方程】

1

7.（2024?山東棗莊?中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b,定義一種新運(yùn)算"便）”為：。便）匕=",這里等式右邊是實(shí)

a—b"

數(shù)運(yùn)算.例如：103=—=—?jiǎng)t方程久③（一2）=三T的解是（）

A.x=7B.x=6C.x=5D.x=4

【答案】c

【分析】已知方程利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出解.

【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：3=三-1,

去分母得：1=2—（久—4）,

去括號(hào)得：1=2—x+4,

移項(xiàng)得：x=2+4—1,

解得：%=5,

經(jīng)檢驗(yàn)久=5是分式方程的解，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

8.（2024?貴州畢節(jié)?中考真題）小明解分式方程三=急-1的過(guò)程下.

解：去分母，得3=2%-（3%+3）.①

去括號(hào)，得3=2x-3x+3.②

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得f=6.③

化系數(shù)為1,得乂=一6.④

以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】寫出分式方程的正確解題過(guò)程即可作出判斷.

去分母,得3=2x-（3x+3）,

去括號(hào)，得3=2x—3x—3,

移項(xiàng)，得—2%+3x——3—3,

合并同類項(xiàng)，得%=-6,

???以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是②.

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵.

9.（2024?四川廣元?中考真題）按照如圖所示的流程，若輸出的M=-6,則輸入的m為（）

A.3B.1C.0D.-1

【答案】C

【分析】根據(jù)題目中的程序，利用分類討論的方法可以分別求得m的值，從而可以解答本題.

【詳解】解：當(dāng)m2-2mW時(shí)，

-77=-6,解得m=0,

經(jīng)檢驗(yàn)，m=0是原方程的解，并且滿足m2-2mN0,

當(dāng)m2-2m<0時(shí)，

m-3=-6,解得m=-3,不滿足m2-2m<0,舍去.

故輸入的m為0.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法.

10.（2024?江蘇徐州?中考真題）分式方程5的解為.

【答案】X=1

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵.利用去分母將原方程化為整式方程,

解得尤的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：原方程去分母得：6x=3（%+1）,即6%=3%+3

解得：%=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)％=1時(shí)，2%（%+1）00,

故原方程的解為％=1,

故答案為：x=l.

11.（2024?浙江杭州?中考真題）一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里只有6個(gè)紅球和幾個(gè)白球（僅有顏色不

同）.若從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為?!，貝舊=.

【答案】9

【分析】根據(jù)概率公式列分式方程，解方程即可.

【詳解】解：???從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為I,

6_2

**~6+n~5f

去分母，得6*5=2（6+九），

解得71=9,

經(jīng)檢驗(yàn)71=9是所列分式方程的根，

???71=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查已知概率求數(shù)量、解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握概率公式.

11

12.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,規(guī)定a十京若（2x-1）十2=1,則x的值為

【答案】|

【分析】根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：由題意得：

2%-12

等式兩邊同時(shí)乘以2（2汽-1）得，

2-2%+1=2（2%-1）,

解得：%=|,

O

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=?1是原方程的根，

6

5

???x=oK

故答案為：

O

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解題的關(guān)鍵.

13.（2024?山東威海?中考真題）按照如圖所示的程序計(jì)算，若輸出y的值是2,則輸入x的值是—

【答案】1

【分析】根據(jù)程序分析即可求解.

【詳解】解：??,輸出了的值是2,

1

上一步計(jì)算為2=-+1或2=2x-l

?2

解得％=1(經(jīng)檢驗(yàn)，%=1是原方程的解),或％=5

當(dāng)x=1>0符合程序判斷條件，%=|>0不符合程序判斷條件

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，理解題意是解題的關(guān)鍵.

14.(2024?四川瀘州?中考真題)若方程三|+1=5三的解使關(guān)于x的不等式(2-a)久-3>0成立，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

【答案】a<—1

【分析】先解分式方程得％=1,再把％=1代入不等式計(jì)算即可.

【詳解】痣+1=白

去分母得：x—3+%—2=—3

解得：x=1

經(jīng)檢驗(yàn)，*=1是分式方程的解

把久=1代入不等式(2—a)x-3>。得：

2—CL-3>0

解得a<—1

故答案為：CL<—1

【點(diǎn)睛】本題綜合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)運(yùn)算法則.

【題型3分式方程的無(wú)解問(wèn)題】

15.（2024?黑龍江牡丹江,中考真題）若關(guān)于x的方程箋"=3無(wú)解，則〃？的值為（）

A.1B.1或3C.1或2D.2或3

【答案】B

【分析】先將分式方程化成整式方程（爪-3）x=-2,再分①整式方程（m-3）久=-2無(wú)解，②關(guān)于x的方程

箋甘=3有增根兩種情況，分別求解即可得.

【詳解】解:將方程箋?=3化成整式方程為mx—l=3x—3,即（爪―3）x=-2,

因?yàn)殛P(guān)于萬(wàn)的方程若1=3無(wú)解，

X一±

所以分以下兩種情況：

①整式方程（m-3）x=-2無(wú)解，

則m—3=0,解得m=3；

②關(guān)于久的方程箋?=3有增根，

貝（J%—1=0,即％=1,

將％=1代入（7H-3）%=-2得：m-3=-2,解得m=l；

綜上，瓶的值為1或3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

16.（2024?廣西賀州?中考真題）若關(guān)于x的分式方程魯=自+2有增根，則根的值為（）

X—3X—D

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程有增根可求出％=3,方程去分母后將x=3代入求解即可.

【詳解】解：?.?分式方程晉=告+2有增根，

.??X=3,

去分母，得m+4=3%+2（%一3）,

將汽=3代入，得m+4=9,

解得血=5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的無(wú)解問(wèn)題，掌握分式方程中增根的定義及增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵.

17.（2024?山東濰坊?中考真題）當(dāng)爪=時(shí)，解分式方程三=已會(huì)出現(xiàn)增根.

【答案】2

【分析】分式方程的增根是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的根，且使分式方程的分母為0的未知數(shù)的值.

【詳解】分式方程可化為：x-5=-m,

由分母可知，分式方程的增根是3,

當(dāng)x=3時(shí)，3-5=-加，解得5=2,

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根.增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：

①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；

②化分式方程為整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

18.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）人教版教科書對(duì)分式方程驗(yàn)根的歸納如下：“解分式方程時(shí)，去分母后所

得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母為0,因此應(yīng)如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如

果最簡(jiǎn)公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解."

請(qǐng)你根據(jù)對(duì)這段話的理解，解決下面問(wèn)題：已知關(guān)于x的方程合一占=0無(wú)解，方程*2+仙+6=0的一

個(gè)根是m.

（1）求m和k的值；

（2）求方程X?+kx+6=0的另一個(gè)根.

【答案】（1）-5

（2）3

【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無(wú)解，故將x=1代入整式方程，即可求出m的

值，將m的值代入已知方程即可求出k的值.

（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出方程的另一根.

【詳解】解：（1）分式方程去分母得：m—l+x=0,

由題意將x=l代入得：m—1—1=0,即m=2,

???當(dāng)m=2時(shí)，關(guān)于x的方程⑤-喜=0無(wú)解，

將m=2代入方程得：4+2k+6=0,即k=—5；

（2）設(shè)方程另一根為a,則有2a=6,即a=3,

.??方程X?+kx+6=0的另一個(gè)根是3.

【題型4由分式方程的解求字母的取值范圍】

19.（2024?四川甘孜?中考真題）已知關(guān)于x的分式方程筌=3的解是x=3,則m的值為（）

A.3B.-3C.-1D.1

【答案】B

【分析】將x=3代入分式方程中進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：把x=3代入關(guān)于x的分式方程答=3得：殍要=3,

解得：m=-3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，一般直接將解代入分式方程進(jìn)行求解.

20.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）若關(guān)于x的分式方程言=?有正整數(shù)解，則整數(shù)加的值是（）

A.3B.5C.3或5D.3或4

【答案】D

【分析】解帶參數(shù)機(jī)的分式方程，得到％=急=1+總，即可求得整數(shù)％的值.

【詳解】解：A=

兩邊同時(shí)乘以-1）得：2x=m（x-l）,

去括號(hào)得：2%=mx-m,

移項(xiàng)得：2x—mx=—m,

合并同類項(xiàng)得：（2-血）％=-血，

系數(shù)化為1得：“六=1+總，

若機(jī)為整數(shù)，且分式方程有正整數(shù)解，則6=3或巾=4,

當(dāng)771=3時(shí)，》=3是原分式方程的解；

當(dāng)m=4時(shí)，％=2是原分式方程的解；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，始終注意分式方程的分母不為。這個(gè)條件.

21.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關(guān)于％的分式方程丁=1的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)小的取值范圍

是（）

A.m<—1B.m>一1且C.m>—1D.m<—1且m大一2

【答案】D

【分析】分式方程兩邊乘以（x+1）,去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根據(jù)分式方

程的解是負(fù)數(shù)，得出不等式，解不等式即可求解.

【詳解】解：弓詈=1

2x—m=x+1

解得：%=m+1且

???關(guān)于x的分式方程與F=1的解是負(fù)數(shù)，

：.m+1<0,且HiH—2

.,.m<—1且zuH—2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

22.（2024?湖北荊門?中考真題）己知關(guān)于x的分式方程筍石+2的解滿足-4<%<-1,且人為

整數(shù)，則符合條件的所有左值的乘積為（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】先解出關(guān)于x的分式方程得到乂=警，代入-4Vx<-1求出k的取值，即可得到k的值，故可求

解.

【詳解】關(guān)于x的分式方程等通+2

得x三，

4<%<—1

...-A4<—k——21<-V1

解得-7<k<14

.?.整數(shù)人為-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

又,分式方程中XH2且xx-3

；.kw35且k#0

??.所有符合條件的k中，含負(fù)整數(shù)6個(gè)，正整數(shù)13個(gè)，.?.!＜值的乘積為正數(shù),

故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查分式方程與不等式綜合，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的求解方法.

23.（2024?重慶?中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組/二三%豈公2）的解集為心6,且關(guān)于y的分

式方程箸+等=2的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是（）

A.5B.8C.12D.15

【答案】B

【分析】先計(jì)算不等式組的解集，根據(jù)"同大取大"原則，得到亨＜6解得a＜7,再解分式方程得到y(tǒng)=等,

根據(jù)分式方程的解是正整數(shù)，得到。＞-5,且a+5是2的倍數(shù)，據(jù)此解得所有符合條件的整數(shù)a的值，最

后求和.

【詳解】解：產(chǎn)展合空崎①

解不等式①得，%＞6,

解不等式②得，》＞號(hào)

???不等式組的解集為：%＞6

???Q<7

解分式方程+^7=2得

y+2a3y—8

y—1y—12

???y+2a—(3y—8)=2(y—1)

整理得y=竽，

??.y—1KO,則等力L

???aW—3,

???分式方程的解是正整數(shù)，

???a>-5,且a+5是2的倍數(shù),

A-5<a<7,且Q+5是2的倍數(shù)，

?,.整數(shù)a的值為1,3,5,

-1+1+3+5=8

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查解含參數(shù)的一元一次不等式、解分式方程等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知

識(shí)是解題關(guān)鍵.

24.（2024?四川眉山?中考真題）已知關(guān)于x的分式方程隨-2=占有一個(gè)正數(shù)解，則左的取值范圍為.

【答案】％<6且上3

【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解是正數(shù)，可得不等式，解不等式,

可得答案，并注意分母不分零.

【詳解】解：2=三，

方程兩邊都乘以（x-3）,得

x=2（x-3）+k,

解得x=6-k^3,

關(guān)于X的方程程2=/有一個(gè)正數(shù)解，

k<6,且七3,

：.k的取值范圍是k<6且b3.

故答案為人<6且上3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知識(shí)，能根據(jù)已知和方程的解得

出人的范圍是解此題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二1分式方程的應(yīng)用

【題型5列方程方程】

25.（2024?甘肅白銀?中考真題）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所

需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同，若設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)機(jī)器x臺(tái)，根據(jù)題意可列分式方程

為（）

450600450600

"-------R-------

xx+50*x+50x

-450600r450600

c---=---D--=----

,%—50xxx-50

【答案】c

【分析】本題主要考查了列分式方程，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)機(jī)器X臺(tái)，則原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)（X-50）臺(tái),

根據(jù)生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同，列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)機(jī)器無(wú)臺(tái)，則原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)（久-50）臺(tái),

?日古上,一z450600

由題意可r得n：^=—

故選：C.

26.（2024?甘肅臨夏?中考真題）端午節(jié)期間，某商家推出"優(yōu)惠酬賓"活動(dòng)，決定每袋粽子降價(jià)2元銷售.細(xì)

心的小夏發(fā)現(xiàn)，降價(jià)后用240元可以比降價(jià)前多購(gòu)買10袋，求：每袋粽子的原價(jià)是多少元？設(shè)每袋粽子的

原價(jià)是萬(wàn)元，所得方程正確的是（）

A.--^=10B.--^=10

xx+2xx—2

C.^-—=10D.^-—=10

x—2xx+2x

【答案】C

【分析】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程.根據(jù)

降價(jià)后用240元可以比降價(jià)前多購(gòu)買10袋，可以列出相應(yīng)的分式方程.

【詳解】解：由題意可得,

2402403八

h「l°，

故選：c.

27.（2024?四川?中考真題）近年來(lái)，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條

路線可選擇，路線。為全程10千米的普通道路，路線6包含快速通道，全程7千米，走路線6比路線。平

均速度提高40%,時(shí)間節(jié)省10分鐘，求走路線。和路線6的平均速度分別是多少？設(shè)走路線。的平均速度

為x千米/小時(shí)，依題意，可列方程為（）

AU——=UB12-—^=10

A，x（l+40%）x60x（l+40%）x

71010710?八

c-------—=—D------—=in

J（1+40%）久x60（l+40%）xx

【答案】A

【分析】若設(shè)路線a時(shí)的平均速度為尤千米/小時(shí)，則走路線b時(shí)的平均速度為（1+40%戶千米/小時(shí)，根據(jù)

路線b的全程比路線a少用10分鐘可列出方程.

【詳解】解：由題意可得走路線6時(shí)的平均速度為(1+40%/千米/小時(shí),

.10710

'―(l+40%)x=而，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

28.(2024?山東淄博?中考真題)為扎實(shí)推進(jìn)“五育”并舉工作，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，某校投入2萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了一批

勞動(dòng)工具.開展課后服務(wù)后，學(xué)生的勞動(dòng)實(shí)踐需求明顯增強(qiáng)，需再次采購(gòu)一批相同的勞動(dòng)工具，已知采購(gòu)

數(shù)量與第一次相同，但采購(gòu)單價(jià)比第一次降低10元，總費(fèi)用降低了15%.設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則下

列方程中正確的是()

20000_20000x(1-15%)

?x%—10

20000_20000x(1-15%)

x-10-%

20000_20000x(1-15%)

J-x——%+10

20000_20000x(1-15%)

x+10-x

【答案】D

【分析】設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則第一次采購(gòu)單價(jià)為(x+10)元，根據(jù)單價(jià)=總價(jià)+數(shù)量，結(jié)合總費(fèi)用降低

了15%,采購(gòu)數(shù)量與第一次相同，即可得出關(guān)于x的分式方程.

【詳解】解：設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則第一次采購(gòu)單價(jià)為(x+10)元，

依題意得：翳=2。。。。《一15%),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

29.(2024?黑龍江綏化?中考真題)甲、乙兩輛汽車同時(shí)從4地出發(fā)，開往相距200km的B地，甲、乙兩車的

速度之比是4:5,結(jié)果乙車比甲車早30分鐘到達(dá)B地，則甲車的速度為km/h.

【答案】80

【分析】設(shè)甲車的速度為四爪/八，則乙車的速度為%左巾/八，根據(jù)乙車比甲車早30分鐘到達(dá)B地列方程求解

即可.

【詳解】設(shè)甲車的速度為磊TH",則乙車的速度為|林山/八，

依題意，得變-等=得

解得：x=80,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是原方程的解，且符合題意，

故答案為80.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.注意分式方程要驗(yàn)

根.

30.(2024?江西?中考真題)斑馬線前"車讓人"，不僅體現(xiàn)著一座城市對(duì)生命的尊重，也直接反映著城市的

文明程度.如圖，某路口的斑馬線路段A-B-C橫穿雙向行駛車道，其中2B=BC=6米，在綠燈亮?xí)r，小明

共用11秒通過(guò)4C,其中通過(guò)的速度是通過(guò)48速度的L2倍，求小明通過(guò)4B時(shí)的速度.設(shè)小明通過(guò)4B時(shí)

的速度是x米/秒，根據(jù)題意列方程得：.

【答案】:+接=11

【分析】設(shè)小明通過(guò)時(shí)的速度是萬(wàn)米/秒，根據(jù)題意列出分式方程解答即可.

【詳解】解：設(shè)小明通過(guò)時(shí)的速度是x米/秒，可得：9+揉=11，

故答案為5+=11,

【點(diǎn)睛】此題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象分式方程，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出分式方程解答.

31.(2024?山東青島?中考真題)為落實(shí)青島市中小學(xué)生"十個(gè)一"行動(dòng)計(jì)劃，學(xué)校舉辦以"強(qiáng)體質(zhì)，煉意志"

為主題的體育節(jié)，小亮報(bào)名參加3000米比賽項(xiàng)目，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間訓(xùn)練后，比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前

提高了25%,少用3分鐘跑完全程.設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分,那么x滿足的分式方程為.

【答案】幽—32^=3

卜口禾,久(l+25%)x0

【分析】根據(jù)比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%,可得比賽時(shí)小亮平均速度為(l+25%)x米/分，根

據(jù)比賽時(shí)所用時(shí)間比訓(xùn)練前少用3分鐘列出方程.

【詳解】解：???比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%,小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，

.??比賽時(shí)小亮平均速度為(l+25%)x米/分，

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

32.（2024?遼寧鞍山?中考真題）習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的"根"和"魂為了大

力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動(dòng).用3600元購(gòu)買"四大名著"若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖

書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購(gòu)買第二批時(shí)正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400元購(gòu)

買的套數(shù)只比第一批少4套.設(shè)第一批購(gòu)買的"四大名著"每套的價(jià)格為x元，則符合題意的方程

是.

【分析】設(shè)第一批購(gòu)買的"四大名著"每套的價(jià)格為x元，則設(shè)第二批購(gòu)買的"四大名著"每套的價(jià)格為0.8x元,

利用數(shù)量=總價(jià)+單價(jià)，結(jié)合第二批購(gòu)買的套數(shù)比第一批少4套，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解.

【詳解】解:設(shè)第一批購(gòu)買的"四大名著"每套的價(jià)格為x元，則設(shè)第二批購(gòu)買的"四大名著"每套的價(jià)格為0.8x

依題意得:36002400

x0.8久

36002400

故答案為:

x0.8%

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列出方程.

【題型6分式方程的行程問(wèn)題】

33.（2024?山東?中考真題）某校組織學(xué)生去郭永懷紀(jì)念館進(jìn)行研學(xué)活動(dòng).紀(jì)念館距學(xué)校72千米，部分學(xué)

生乘坐大型客車先行，出發(fā)12分鐘后，另一部分學(xué)生乘坐小型客車前往，結(jié)果同時(shí)到達(dá).已知小型客車的

速度是大型客車速度的12倍，求大型客車的速度.

【答案】大型客車的速度為60km/h

【分析】設(shè)出慢車的速度，再利用慢車的速度表示出快車的速度，根據(jù)所用時(shí)間差為12分鐘列方程解答.

【詳解】解：設(shè)慢車的速度為冰m/h,則快車的速度為1.2xkm/h,

根據(jù)題意得

7272_12

1.2x60

解得：X=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，X=60是原方程的根.

故大型客車的速度為60km/h.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵，此題的等量關(guān)系是快車與慢車所用時(shí)間差為12分鐘.

34.（2024?四川自貢?中考真題）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)活動(dòng)，騎行愛好者張老

師騎自行車先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求

張老師騎車的速度.

【答案】張老師騎車的速度為15千米/小時(shí)

【分析】實(shí)際應(yīng)用題的解題步驟"設(shè)、歹U、解、答"，根據(jù)問(wèn)題設(shè)未知數(shù)，找到題中等量關(guān)系張老師先走2小

時(shí)，結(jié)果同時(shí)達(dá)到列分式方程，求解即可.

【詳解】解：設(shè)張老師騎車的速度為久千米/小時(shí)，則汽車速度是3尤千米/小時(shí)，

根據(jù)題意得：^=g+2,

解之得％=15,

經(jīng)檢驗(yàn)x=15是分式方程的解，

答：張老師騎車的速度為15千米/小時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解實(shí)際應(yīng)用題，根據(jù)問(wèn)題設(shè)未知數(shù)，讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

35.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）第十四屆四川省運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2022年8月8日在樂(lè)山市舉辦，為保證省運(yùn)

會(huì)期間各場(chǎng)館用電設(shè)施的正常運(yùn)行，市供電局為此進(jìn)行了電力搶修演練.現(xiàn)抽調(diào)區(qū)縣電力維修工人到20千

米遠(yuǎn)的市體育館進(jìn)行電力搶修.維修工人騎摩托車先行出發(fā)，10分鐘后，搶修車裝載完所需材料再出發(fā)，

結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)體育館，已知搶修車是摩托車速度的1.5倍，求摩托車的速度.

【答案】摩托車的速度為40千米/時(shí)

【分析】設(shè)摩托車的速度為x千米/時(shí)，則搶修車的速度為1.5x千米/時(shí)，根據(jù)搶修車比摩托車少用10分鐘,

即可得出關(guān)于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論.

【詳解】解:設(shè)摩托車的速度為x千米/時(shí)，則搶修車的速度為1.5x千米/時(shí)，

2020_10

依題意，得:

x1.5x60’

解得：x=40,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是所列方程的根，且符合題意，

答：摩托車的速度為40千米/時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

36.（2024?重慶?中考真題）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從力地

沿相同路線騎行去距4地30千米的8地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍.

（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從力地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎行的速度；

⑵若乙先騎行20分鐘，甲才開始從力地出發(fā)，貝I甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)B地，求甲騎行的速度.

【答案】⑴24千米/時(shí)

（2）18千米/時(shí)

【分析】（1）設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為1.2x千米/時(shí)，根據(jù)甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙列方程求

解即可；

（2）設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為1.2萬(wàn)千米/時(shí)，根據(jù)甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)B地列方程求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為L(zhǎng)2x千米/時(shí)，

由題意得：0.5X1.2%=0.5x+2,

解得：x=20,

則1.2%=24,

答：甲騎行的速度為24千米/時(shí)；

（2）設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為1.2萬(wàn)千米/時(shí)，

口30130

由題息得：—■一§=1項(xiàng)，

解得尤=15,

經(jīng)檢驗(yàn)x=15是分式方程的解，

貝l|1.2x=18,

答：甲騎行的速度為18千米/時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

【題型7分式方程的工程問(wèn)題】

37.（2024?廣西玉林?中考真題）南寧至玉林高速鐵路已于去年開工建設(shè)，玉林輛隧道是全線控制性隧道，

首期打通共有土石方總量600千立方米，總需要時(shí)間y天，且完成首期工程限定時(shí)間不超過(guò)600天.設(shè)每

天打通土石方x千立方米.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；

（2）由于工程進(jìn)度的需要，實(shí)際平均每天挖掘土石方比原計(jì)劃多0.2千立方米，工期比原計(jì)劃提前了100

天完成，求實(shí)際挖掘了多少天才能完成首期工程？

【答案】（1）y=^（0<x<600）；（2）實(shí)際挖掘了500天才能完成首期工程

【分析】（1）根據(jù)"工作時(shí)間=總工作量+每天工作量”，即可得出V關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)工期比原計(jì)劃提前了100天列方程求解即可.

【詳解】解：（1）?.?共有土石方總量600千立方米，

.,.y=—（0<x<600）；

（2）由題意得

理一端=100,

解得（負(fù)值舍去），

X1=1,x2=-|

經(jīng)檢驗(yàn)X=1是原分式方程的解

1+0.2=12千立方米，

6004-1.2=500天.

答：實(shí)際挖掘了500天才能完成首期工程.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函

數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)工期比原計(jì)劃提前了100天列出方程.

38.（2024?山東泰安?中考真題）一項(xiàng)工程，甲，乙兩公司合做，12天可以完成，共需付施工費(fèi)102000元;

如果甲，乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，乙公司所用時(shí)間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費(fèi)比甲公司每

天的施工費(fèi)少1500元.

（1）甲，乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天？

（2）若讓一個(gè)公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，哪個(gè)公司的施工費(fèi)較少？

【答案】（1）甲，乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需20天，30天；（2）讓一個(gè)公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，

甲公司的施工費(fèi)較少.

【分析】（1）設(shè)甲公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，則乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需1.5x天，根據(jù)"甲、乙兩

公司合做，12天可以完成這項(xiàng)工程"，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)乙公司每天的施工費(fèi)為y元，則甲公司每天的施工費(fèi)為（y+1500）元，根據(jù)"甲、乙兩公司合做，12

天的施工費(fèi)為102000元"，即可得出關(guān)于丁的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用施工費(fèi)=每天需付

的施工費(fèi)x施工天數(shù)，可分別求出甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的施工費(fèi)，比較后即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）設(shè)甲公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，則乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需1.5x天.

根據(jù)題意，得;+

XJ..DXJ.乙

解得x=20.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是方程的解且符合題意.

1.5x=30.

二甲，乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需20天，30天.

（2）設(shè)乙公司每天的施工費(fèi)為y元，則甲公司每天的施工費(fèi)為（y+1500）元，

依題意得：12y+12（y+1500）=102000,

解得：產(chǎn)3500.

...甲公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需施工費(fèi)為（3500+1500）x20=100000（元），

乙公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需施工費(fèi)為3500x30=105000（元）.

???100000<105000,

???若讓一個(gè)公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，甲公司的施工費(fèi)較少.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確

列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程.

39.（2024?貴州黔東南?中考真題）某校為了在九月份迎接高一年級(jí)的新生，決定將學(xué)生公寓樓重新裝修，

現(xiàn)學(xué)校招用了甲、乙兩個(gè)工程隊(duì).若兩隊(duì)合作，8天就可以完成該項(xiàng)工程；若由甲隊(duì)先單獨(dú)做3天后，剩余

部分由乙隊(duì)單獨(dú)做需要18天才能完成.

（1）求甲、乙兩隊(duì)工作效率分別是多少？

（2）甲隊(duì)每天工資3000元，乙隊(duì)每天工資1400元，學(xué)校要求在12天內(nèi)將學(xué)生公寓樓裝修完成，若完成

該工程甲隊(duì)工作加天，乙隊(duì)工作"天，求學(xué)校需支付的總工資w（元）與甲隊(duì)工作天數(shù)加（天）的函數(shù)關(guān)

系式，并求出"2的取值范圍及墳的最小值.

【答案】（1）甲隊(duì)工作效率是5，乙隊(duì)工作效率是（2）W=2OO〃7+336OO（64加412）,加=6時(shí)，w的最

小值為34800元.

【分析】（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需要x天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要y天.列出分式方程組即可解決問(wèn)題；

（2）設(shè)乙先工作x天，再與甲合作正好如期完成.則笠+若=1，解得x=6.由此可得m的范圍，由此

可得m的范圍，再構(gòu)建一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【詳解】（］）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需要x天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要y天.

rlll_

由題意+久名=:，解得［:盤,

-H-=1一乙4

\xy

經(jīng)檢驗(yàn)《：24是分式方程組的解，

二甲、乙兩隊(duì)工作效率分別是「和

（2）設(shè)乙先工作x天，再與甲合作正好如期完成.

則卷+等=1,解得x=6.

Z411Z

???甲工作6天，

???甲12天完成任務(wù)，

■,-6<m<12.

.-?w=3000m+1400（24-2m）=200m+33600,

???200>0,

；.m=6時(shí)，此時(shí)費(fèi)用最小，

.-.W的最小值為200x6+33600=34800元.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程組的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程解

決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

40.（2024?遼寧丹東?中考真題）進(jìn)入防汛期后，某地對(duì)河堤進(jìn)行了加固.該地駐軍在河堤加固的工程中出

色完成了任務(wù).這是記者與駐軍工程指揮官的一段對(duì)話：

、標(biāo)們是用9天完成480。病'我們加固600米后樂(lè)用新的加固橫：，

&的大壩加固任務(wù)的4?式逮擇每天加固長(zhǎng)度是庾來(lái)的2倍.

通過(guò)這段對(duì)話，請(qǐng)你求出該地駐軍原來(lái)每天加固的米數(shù).

【答案】300米

【詳解】解:設(shè)原來(lái)每天加固x米，根據(jù)題意，得第+竺等”=%

去分母，得1200+4200=18x（或18x=5400）,

解得：x=300.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=300時(shí)，2x^0（或分母不等于0）.

??.%=300是原方程的解.

答：該地駐軍原來(lái)每天加固300米.

41.（2024?江蘇淮安,中考真題）玉樹地震后，有一段公路急需搶修.此項(xiàng)工程原計(jì)劃由甲工程隊(duì)獨(dú)立完成,

需要20天.在甲工程隊(duì)施工4天后，為了加快工程進(jìn)度，又調(diào)來(lái)乙工程隊(duì)與甲工程隊(duì)共同施工，結(jié)果比原

計(jì)劃提前10天，為抗震救災(zāi)贏得了寶貴時(shí)間.求乙工程隊(duì)獨(dú)立完成這項(xiàng)工程需要多少天.

【答案】12天

【詳解】解：設(shè)乙工程隊(duì)獨(dú)立完成這項(xiàng)工程需要x天，

所以ax4+G+2）x（20—10—4）=1,

解得x=12,

經(jīng)檢驗(yàn)x=12是分式方程的解，

所以乙工程隊(duì)獨(dú)立完成這項(xiàng)工程需12天.

42.（2024?遼寧阜新?中考真題）為落實(shí)"數(shù)字中國(guó)”的建設(shè)工作，