第03講：三角函數(shù)性質(zhì)圖像和三角恒等式變換高頻考點突破

【考點梳理】

考點一：任意角的三角函數(shù)的定義

設(shè)a是一個任意角，aGR,它的終邊OP與單位圓相交于點/尤，y),

點尸的縱坐標(biāo)2叫做a的正弦函數(shù)，記作sina,即sina=1；點尸的橫坐標(biāo)工叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa,即

cosa=x；把點尸的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值即U做a的正切，記作tana,即tana=*xW0).

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，分別記為:

正弦函數(shù)〉=5指尤，尤GR；

余弦函數(shù)＞=85》，xGR;

正切函數(shù)＞=1211%,

考點二：正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號

1.圖示：

()

tana

2.口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

考點三：公式一

sin(a+2E)=sina,cos(a+2fat)=cosa,tan(a+2lat)—tana,

其中左GZ.終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相笠.

考點四：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1.平方關(guān)系：同一個角a的正弦、余弦的平方和等于』，即si/a+cos2a=1.

2.商數(shù)關(guān)系：同一個角a的正弦、余弦的商等于這個角的正切，即*=tana其中aWkn+%kGZ).

V/Uo(X乙

考點五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.(2)商數(shù)關(guān)系:：?；=tana.

CA

考點六：六組誘導(dǎo)公式

組數(shù)—二三四五六

71

角兀+a

+a-aTi—a2~a2

正弦sina—sina—sinasinaCOS。cosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana—tana—tana

函數(shù)名zE變函數(shù)名改變

口訣

符號看營鄴艮符號看象限

技巧歸納：

1.誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限.

2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形：

(sina±cosa)2=l±2sinacosa；(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2；(sina+cosa)2—(sin?-cosa)2=4sinacosa.

考點七.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=sin%y=cosxy=tanx

P'i

1yy

圖象

W|cKi/xt\l0：「lA-

兀

{小￡R且

定義域RR

Z￡Z}

值域LL11LL11R

在Lg+2E,］+

在［一兀+2依，

2fai］/￡Z)上遞增；2依］(%￡Z)上遞增；在(一叁+左兀，

單調(diào)性

在［2依，n+

在［］+2祈，爹+fai)(Z￡Z)上遞增

2依］(左￡Z)上遞減

2版］(AGZ)上遞減

1T

當(dāng)％=1+2左兀(左￡2)時，

當(dāng)x=2E/ez)時，

>max=1；Jmax=1；

最值

IT當(dāng)工=兀+2左兀(左￡Z)

當(dāng)x=i/+2kMk￡Z)

時，>min=-1

時，Jmin=-1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

TT

對稱中心(析，0)()tez)仿+配,0)(kZ)(y,0)(^GZ)

兀

對稱軸方程%=E(左￡Z)

周期2兀2兀71

考點八.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到j(luò)=Asin(wx+^)(A>0,。>0)的圖象的步驟如下:

步

驟

畫出y=sinx的圖象-T畫出y=sinx的圖象|

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

向左（右）平移里個單位長度步

驟-T得到y(tǒng)=sinjx的圖象|

得到y(tǒng)=sin（x+<p）的圖象

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍向左（右）平移居|個單位長度

得到y(tǒng)=sin(tox+<p)的圖象~卜得到y(tǒng)=sin（sj+（p）的圖象一|

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍步縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

得至lj）,=Asin（sx+（p）的圖象卜—驟-得到y(tǒng)=Asin（3%+（p）的圖象|

考點九兩角和與差的余弦公式

名稱簡記符號公式使用條件

兩角差的余弦公式C(a-￡)cos(a一夕)=cosacos尸+sinotsinpa,￡￡R

兩角和的余弦公式C(a+.)cos(a+S)=cosacos夕一sinasin0a,￡GR

考點十兩角和與差的正弦公式

名稱簡記符號公式使用條件

兩角和的正弦S(a+.)sin(a+A)=sinacos￡+cosasinPa,看R

兩角差的正弦S(a-.)sin(a-￡)=sinacos4一cosasinBa,￡￡R

考點十一;兩角和與差的正切公式

名稱公式簡記符號條件

tana+tanBTT

兩角和的正切a,B，Z)

tan(ap)tanatan/3

tana—tan§兀

兩角差的正切T(a-￡)a,B，a—QWZ兀+](%￡Z)

tan(a夕)1-ptanatanP

考點十二：二倍角的正弦、余弦、正切公式

考點十三半角公式

a/1—cosaa/1+cosaa/1—cosasina1—cosa

sin亍±7「~，cos，tan2=t\T+^=T+^=^T-

考點十四輔助角公式

輔助角公式：asinx+6cosx="\/^PPsin（x+0）.（其中tan

【題型梳理】

題型一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1.（2023秋?云南紅河?高一統(tǒng)考期末）已知tana=2,則任4二主￡4=（）

sma+cosa

51

A.-7B.—C.—D.5

33

2sina-cosa/、

2.（2023秋?安徽馬鞍山?高一統(tǒng)考期末）若tan（a-兀）=2,則=（）

sina+cosa

A.5B.0C.-4D.1

3.（2023秋?海南?高一海南華僑中學(xué)?？计谀┤?e,且￥兩足tan6+=6,貝！Jsine+cos8=（

tan。

A.空B.±-C.立D-1

333

題型二：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

4.（2023秋?山西運城?高一統(tǒng)考期末）已知。為第二象限角，且cos（。-兀）=竿，則

1+cos61-cos。

一?（71A）.,,■（n3兀）的值是（）

11

A.-4B.4C.-D.—

44

sin——acos（-a）tan（兀-a）

5.（2023秋?云南紅河?高一統(tǒng)考期末）已知戊,〃為銳角,且———；----------

COS（兀+2）

⑴化簡〃。）；

（2）若/（a）=2^,sin（a-/）=；,求cos夕的值.

滿足4sin（202271一a）=3cos（2021兀+a）,且cosf=#，

6.（2023秋?河北邯鄲?高一?？计谀┮阎谌笙藿恰?/p>

為第三象限角，求下列各式的值.

sin-a)+3sin+a

⑴求')12J的值;

4sin(兀+a)+cos(-a)

(2)求8s(6-a)的值.

題型三：三角形的圖像和性質(zhì)

7.（2023春,四川成都?高一成都外國語學(xué)校校考期末）函數(shù)y=Asin（s+0）（A＞0）的一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,

下列結(jié)論錯誤的是（）

B.函數(shù)/（x）的最小正周期是n

C.函數(shù)“X）的最大值是2

D.函數(shù)〃x）的一個對稱中心是，,0

8.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)/（x）=Asin（0x+0）（A＞0,。＞0,

-兀＜。＜0）的部分圖象如圖所示，下列說法中錯誤的是（）

A.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于點「至,0J對稱

11JT

B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線彳=-曹對稱

JTJT

C.函數(shù)“X）在上單調(diào)遞增

D.函數(shù)在0,1的取值范圍為卜有，百]

9.(2023秋?江蘇連云港?高一?？计谀?設(shè)函數(shù)/(x)=cos(&x+°)(是常數(shù)，。>0,0<°<|o,若在區(qū)間

上具有單調(diào)性，且/(一曰一圖=一/(野)則函數(shù)是的最小正周期是()

713c

A.—B.乃C.—7iD.2兀

22

題型四：函數(shù)產(chǎn)Asin(<yx+0)圖像的變換和綜合性質(zhì)

10.(2023秋?吉林?高一統(tǒng)考期末)將函數(shù)/(x)=2sin，x-g]的圖象上所有點向左平移三個單位長度，得到函數(shù)

y=g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為()

A.g(x)=-2sin[2x+1]B,g(x)=2sin2x

C.g(x)=2sin12x-：jD.g(x)=-2sin2x

11.(2022?江蘇?高一期末)已知函數(shù)〃x)=2sin[2x+，，現(xiàn)將y=/⑴的圖象向右平移巳個單位，再將所得圖象

15元

上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)在0,—的值域為()

/_24_

A.[-1,2]B.[0,11C.[0,2]D.[-1,右]

12.(2023秋?江蘇連云港?高一江蘇省海頭高級中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)7'(x)=cos(8-：，；(0>O),將的

圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的》縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，已知g(x)在[0,可上恰有5個零點,

則。的取值范圍是()

題型五：兩角和與差的三角函數(shù)

13.(2023春?四川成都?高一成都實外?？计谀?下列化簡不正確的是()

A.cos82°sin520+sin82°cos128°=--B.sinl5°sin30osin75o=-

28

tan480+tan72°n-

C.cos2150-sin215°=—D.----------------------=

21-tan48°tan72°

14.(2023秋?廣東?高一校聯(lián)考期末)已知cosa+cos尸=；,sina-sin〃=：,則cos(a+0的值為(

)

13135959

A.-----B.—C.-----D.—

72727272

15.(2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)已知"，夕都是銳角,sin(tz-胃=g,cos(?+/?)=-|,則cos(p+(

“-4-12A/3d4-12>/30-12+4君n-12-4^

A.-------D.------------C.-------D.-------

35353535

題型六：二倍角公式的應(yīng)用

cos26_A/2

（春?江西贛州?高一校聯(lián)考期末）已知.「八兀、，貝（）

16.2023叫。2Usin29=

33

A.-B.—C.--D.1

4422

婕11sin-+0（l-sin20）

17.（2023秋?安徽蕪湖?高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤魌an7+6=—，則12r）_（）

4'sin(兀-8)+cos(兀+。)

313

A.3B.-C.-D.--

555

4i—2cos2夕-1

18.（2022秋?吉林長春?高一東北師大附中?？计谀┮阎u㈤，且cos"sin6=-且，則一丁三等于（

42cos（—+0）

4

A.一正

B.--C.yD.—

2222

題型七：降然公式的應(yīng)用

（\sinOLCL

19.（2022秋?河南商丘?高一商丘市第一高級中學(xué)?？计谀┤鬭』0,g,方—=tang,貝l］tantz=（）

V2）V3+1-COS6Z2

A.立B.C.立D.逅

432

20.（2021秋?湖北荊州?高一沙市中學(xué)校考期末）已知函數(shù)/（彳）=回113初2+君5皿8）3（8）（。＞。）在［。,同上有

且只有四個零點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

B.(|,2)[|,2)D.(1>2]

A.,2]C.

（春?河南南陽?高一校聯(lián)考期末）化簡

21.20224sm24cos24+tan12°=()

cos12

A.1B.V2C.也

題型八：三角函數(shù)恒等式變換

22.（2023春?河南焦作,高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（尤）=有下述三個結(jié)論:

①“X）的最小正周期是兀；

②“X）在區(qū)間］，3上不單調(diào)；

③將/（無）圖象上的所有點向右平移工個單位長度后，得到函數(shù)g（x）=1cos2x的圖象.

122

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

23.(2022春?湖北?高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末)已知sina-cosa=^,0WaW"』l」sin12a-m=

A46-33-4"3+46

RrD3+4。

101010■10

Videos2sin26)

=Gsin26,則5由26=()

春?陜西榆林?高一?？计谀?若

24.(2022cos(￡+e

211

A.——C.一D.——

3133

題型九：三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

25.(2023春?四川成都?高一成都外國語學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)〃"=2饃$4也上-皆+).

(1)求〃x)的最小正周期和對稱軸方程；

⑵若函數(shù)y=/(x)在xe展，||上的值域.

26.(2023秋?浙江杭州?高一杭十四中?？计谀?已知函數(shù)/(x)=2石sin2[x+：J+2sin2x-G-L

⑴求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若/(%)在(0,”上存在最小值，求實數(shù)r的取值范圍；

3「冗"|

⑶方程/(》)=;在上的兩解分別為王、馬,求以》(石-％)的值.

27.(2023秋?云南德宏?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=^sintcos：+cos2：.

(1)求/(尤)的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期；

⑵將函數(shù)y=〃x)的圖象向右平移g個單位后得到y(tǒng)=g(x)的圖象，討論函數(shù)y=g(x)在o,g上的零點個數(shù).

【專題突破】

一、單選題

28.（2023春?浙江寧波?高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系宜b中，若角a以x軸的非負半軸為始邊，且

終邊過點（4,—3）,則cos］

*—的值為（）

3344

A.--B.—C.—D.

5557

29.（2023春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）已知sin（萬'4兀一。卜1有2'則cos|加+撲（

21171721

A.-----B.——C.D.—

25252525

30.（2023春?江蘇南通?高一校考期末）已知函數(shù)/（%）=5111兀0匹-6（：05718（0>0）在［0,1］內(nèi)恰有3個最值點和4個

零點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

<10231「1023、「1713、（1713「

A.—B.—C.—D.-

<36J\_36J|_63J［63_

31.（2023春?江西贛州?高一校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，a為第四象限角，角。的終邊與以10為半徑

的圓0交于點若cos（a+1）=|,則%=（）

A.473-3B.3g+4C.373-4D.3百±4

32.（2023秋?江蘇鹽城?高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）己知/W=sin生+Q,滿足/知=嗚］，若函數(shù)了⑴

在區(qū)間上有且只有三個零點，則。的范圍為（）

7兀八11兀7兀八11兀11兀八L11兀八L

A.—<0<——B.—<0<——C.——<6<5兀D.——〈。?5兀

333333

33.（2023秋?河南鄭州?高一鄭州市第四十七高級中學(xué)?？计谀┮阎?dāng)x=。時，函數(shù)/（x）=2sinx-cosx取得最小

sin6+cos6

值,則

sincos

111

B.一C.一D.

3355

TT

34.（2023秋?云南德宏?高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)/a）=cos（x+1）,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.Ax）的一個周期為-2TTB.4j的值為乙1心

C./。+兀）的一個零點為x=￡D./（x）在（/兀］上單調(diào)遞減

35.（2023秋?云南楚雄?高一統(tǒng)考期末）已知黃金三角形是一個等腰三角形，其底與腰的長度的比值為黃金比值（即

黃金分割值鋁，該值恰好等于2smi8）,則下列式子的結(jié)果不等于守的是，

)

A.sin10cos8+cos10sin8B.cos40cos32-sin40sin32

C.sin100cos26+cos100sin26D.sin92sin16-cos92cos16

(Tl].I371]

,、1+cosa——sin-----Fcc

36.(2023秋?河北邢臺?高一邢臺一中?？计谀?已知tan兀-?=-2,則-----—M—)=()

12)1一缶osT

A.正B.2A/2C.ID.1

22

37.（2023秋?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學(xué)?？计谀?023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一

種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊含"吉祥團圓"美好愿景的名畫

---《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm,橫約95cm,其掛在墻壁上的最低點5離地面194cm.小南身高160cm

（頭頂距眼睛的距離為10cm）,為使觀賞視角。最大，小南離墻距離S應(yīng)為（）

A.400cmB.76cmC.94cmD.44A^cm

38.（2023秋?北京?高一清華附中?？计谀┮阎瘮?shù)/■（x）=sin"x+cos"x（〃eN*）,則下列說法正確的是（）

①”=1時，/⑺的最大值為加；

②〃=2時，方程=2sinx+1sinx|在［0,2TT］上有且只有三個不等實根；

③“=3時，/⑺為奇函數(shù)；

④九=4時，/⑴的最小正周期為］

A.①②B.①③C.②④D.①④

二、多選題

39.（2023春?江西贛州?高一校聯(lián)考期末）已知某曲線〃力=念畝（8+"）［。＞0,陷＜］］部分圖象如圖所示，則下

A.(P=—

6

B.一條對稱軸方程為

c.y=〃x）在上單調(diào)遞增

D.y=2cos（2x+0圖象可以由y=/（x）圖象向左平移:個單位長度得到

40.（2023秋，云南紅河?高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（）

3

C.己知角a的終邊過點P（T,3）,則sina=1

D.已知扇形弧長為2,圓心角為60,則該扇形的面積為

71

41.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)〃x）=sin（x+：j,則下列說法正確的有（）

A.若|〃孑）-〃9）|=2,則阮-々/=兀

B.將/（X）的圖象向左平移;個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱

C.函數(shù)y=sin2（x+：J的最小正周期為2兀

D.若/（妙）（0＞0）在［0,可上有且僅有3個零點，則。的取值范圍為

42.（2023春,江蘇鎮(zhèn)江,高一揚中市第二高級中學(xué)校考期末）聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)

y=Asin。/,我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音，若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)

f（x）=2cos2%+2V3sinxcosx-1,貝I（）

A.函數(shù)〃尤）圖像的一個對稱中心為

B.函數(shù)圖像的一條對稱軸為直線x=

函數(shù)/（X）在區(qū)間上單調(diào)遞增

D.將函數(shù)/'（X）的圖像向左平移9個單位后的圖像關(guān)于y軸對稱

三、填空題

sin（2K-x）tan（it+x）cot（-71-x）

（2023春,上海浦東新?高一統(tǒng)考期末）化簡」——f~>二\-

cos（九一x）tan（3兀一x）

44.（2023春,四川成都?高一成都外國語學(xué)校校考期末）若將函數(shù)/（x）=gsin（2x+9）+Tcos（2x+e）（0<0<萬）的

圖象向左平移5個單位長度，平移后的圖象關(guān)于點對稱，則。=.

45.（2023秋?山西大同?高一統(tǒng)考期末）如圖，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每4分鐘轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心。

距離水面的高度為