１前言在數學中，矩陣理論是其中的起到重要作用的核心理論之一，也是至關重要的一個基本概念，不僅代數學研究以其為主要對象展開了探究，在實際應用中也充當著重要工具的角色，它貫穿于線性代數的各個部分.在數學中，作為重要分支之一，矩陣理論不單單是基礎學科之一，而且還是使用價值極大、應用極廣的一種數學矩陣理論。并且由于矩陣理論在現代在幾何學、物理學、概率論及最最新的優化矩陣理論等諸多熱門學科中也都具有廣泛的研究應用而且一直都認為是重要的熱門研究課題.正定矩陣作為科學理論研究的一項重要的理論工具，在數學、自然科學、工程技術以及社會經濟管理等領域中都有著很大的貢獻，掌握好矩陣理論一直都是我們學好線性代數必不可少的基礎條件.正定二次型在二次型理論中也一直占有很重要的基礎地位，本文先是從二次型中的提出的有定性理論出發，得出矩陣了具有有定性的結論，而后對正定矩陣進行了定義。而后本文以正定矩陣為中心，對部分重要性質及其相關定理進行了證明。最后則對正定矩陣的證明過程及其各式各樣的判定方法進行了論述。1.第一章預備知識1.1正定矩陣的定義定義1REF_Ref8459\r\h[2]假定全部都是實常數，存在個實變量，那么與之相關的二次齊次多項式函數，就叫做元實二次型．定義2REF_Ref8459\r\h[2]如果二次型中全部都是平方項，那么就叫做標準形，也就是．定義3REF_Ref8459\r\h[2]在二次型的標準形中，如果系數的取值只有，那么這個標準形就被叫做二次型的規范形．定義4任取一組存在非零值的實數，假使滿足,那么實二次型就被叫做正定的；假使滿足，那么就被叫做負定的；假使滿足，那么就被叫做半正定的；假使滿足，那么就被叫做半負定的；假使二次型不是半正定的，同時也不是半負定的，這時就被叫做不定的．定義5在實數域上，如果存在一個元二次型為正定二次型，那么就叫做正定矩陣；如果是負定二次型，那么就叫做負定矩陣；如果是半正定二次型，那么就叫做半正定矩陣；如果是半負定二次型，那么就叫做半負定矩陣。且有，．1.2正定矩陣的性質性質1如果是正定矩陣，那么行列式比0大．證明假定是正定矩陣．因為與單位矩陣合同，因而存在可逆矩陣使．對等式左右兩側求取行列式，這時就會有．性質2如果是一個正定矩陣，那么的全部對角元都是比0大的．證明假定，對任取，都會滿足，且有，．令，代入到上式，這時有，可知，故而，，這時結論就得到了證明．性質3REF_Ref10167\r\h[7]如果是正定矩陣，則，是正定矩陣，其中．證明由是正定矩陣，可以得出的特征值，則的特征值，因此是正定矩陣．這樣就可以推知的特征值，因此同樣為正定矩陣．性質4在是正定矩陣的情況下，和均為正定矩陣，這里的代表的是的逆矩陣，代表的是的伴隨矩陣．2.正定矩陣的判別方法2.1定義法對于階實對稱矩陣，任取一個維數為的實非零向量，均滿足．此時就可以稱之為正定矩陣，用來表示．該定義可以用于對是不是正定矩陣進行證明，利用該定義需對下述兩點進行證明：(1)為實對稱矩陣．(2)對于任取的一個非零向量，均有．定理1假定是正定矩陣，為實矩陣，并且用來表示的轉置矩陣，那么是正定矩陣是以的秩為充要條件的．證明先對必要性進行證明假定是正定矩陣，那么對于任取的一個維非零列向量，有，于是，因此對于元齊次線性方程組來說，除了零解之外就沒有別的解，所以的秩．再對充分性進行證明由于，所以是一個實對稱矩陣.如果，那么對于齊次線性方程組來說，除了零解之外就沒有別的解，所以對于任取實維非零列向量，有．又因為正定，因而就而言，滿足，所以在的情況下，滿足，所以是一個正定矩陣.例1假定是實矩陣，而且是列滿秩的，也就是，試證為一個正定矩陣．證明第一步，由于，可以推知，為一個實對稱矩陣．第二步，考慮到，那么對于齊次線性方程組來說，除了零解之外就沒有別的解．所以，任取一個維列向量，一定會有，這里可以假設，那么為一組不同時等于0的實數，所以，對于任取的一個維列向量，有二次型，也就是說，二次型是正定的，因而結論得證．例2假定是矩陣，，試證：在的情況下，為一個正定矩陣．證明考慮到，所以是階實對稱矩陣，任取一個維實向量，可以使得．考慮到，，那么必定會有，而且由于，所以有，根據定義能夠得出是正定矩陣．2.2標準形法（合同變換法）對于正定二次型而言，其規范形用來表示，但是對于規范形來說，其矩陣是一個單位陣，因而實對稱矩陣只有在和合同的情況下才為正定矩陣。定理2如果一個矩陣為正定矩陣，那么其合同矩陣也為正定矩陣．證明假定為一個階正定矩陣，為一個階實對稱矩陣，而且和合同，根據等價條件可知，和單位陣也是合同的。考慮到和是合同的，這時可得出和單位陣也是合同的結論，也就是為正定矩陣．例3證明：若是正定矩陣，則也是正定矩陣。證明因為是正定矩陣，所以是實對稱矩陣，可逆，且即也是實對稱矩陣。例4通過該法對分塊矩陣為一個正定矩陣進行證明，這里的分別為階正定矩陣．證明考慮到都是正定矩陣，那么就會有可逆矩陣與，使得下式成立，假定，那么有，而且為階可逆矩陣．，故而，與單位矩陣合同，所以為正定矩陣．，2.3順序主子式法存在一個矩陣，如果所有順序主子式都比0大，那么是一個正定矩陣．利用該法對正定矩陣進行判定時，首要條件下極易求出各階順序主子式。而后以所有順序主子式都比0大為條件，得出矩陣是不是正定矩陣的結論。然而，該法只可以在對部分較為簡單的、所有順序主子式都便于計算的矩陣中適用。定理3REF_Ref13080\r\h[1]對于一個實對稱矩陣來說，其為正定矩陣是以其順序主子式都比0大為充要條件的。證先對必要性進行證明即實對稱矩陣正定，那么就可以推知，二次型(,,…,)==為正定的，針對所有大于1小于n的k,使得（,,…，）=，這時需對為k元正定二次型進行證明，對一組不同時取零值的實數，，…，，有（，，…，）=（，，…，，0，…,0）>0,因此，是一個k元正定二次型.由充要條件2得的矩陣行列式>0,（k=1,2,…,n）.再對充分性進行證明此時需要用到數學歸納法在n等于1的情況下，f()=,根據>0可知，f()正定．假設n-1元二次型也滿足上式，這時對n元二次型進行了證明.令=，=，則=.根據的順序主子式都比0大不難推出，的順序主子式都是比零大的，根據假設可知，為一個正定矩陣，這時存在n-1階可逆陣，使得=,令=,則==.令=,則==.令=,=-,則有=.等式兩邊求得行列式，可知=,根據>0可以推出>0.考慮到=.所以，和單矩陣是合同的.是正定矩陣．例5存在一個二次型，試對其矩陣是不是正定矩陣作出判定.解對于題中二次型來說，其矩陣可以表示為，那么各階順序主子式就可以求解得出，也就是：都是比0大的，因而是正定矩陣．例6二次型在等于何值的情況下為正定二次型。解對于二次型而言，其矩陣如下為讓二次型正定，那么的各階順序主子式都是要比0大的，也就是下式成立：可知，時，二次型為正定二次型。2.4特征值法定理4REF_Ref13080\r\h[1]實對稱矩陣是正定是以二次型f(,,…)=中的系數矩陣對應的都是比0大的特征值為充要條件的.證明對于實對稱矩陣來看，對角化處理可以轉換成這里的，即為的特征值，那么對于二次型而言，其標準形可以表示為：++…+,由于是非退化實線性變換，那么正定性不會發生改變，根據(,,…，)=++…+.正定得>0()．例7證明：二次型為正定二次型。證設的矩陣為，則由，可知的特征值，由于特征值全為正數，所以是正定矩陣，從而為正定二次型。例8設A是一個階數為n的實對稱矩陣，而且有.證明：A為正定矩陣.證設是A的任一特征值，對應特征向量為，即，代入已知等式,有，因為，故符合下式可知，由于A是一個實對稱矩陣，其特征值一定為實數，故只有，即A的全部特征值就是，這就結論得證.結論本文圍繞著正定矩陣展開，以其定義、性質及其多種判別方法當作理論判據，基于正定矩陣滿足的定理及其具有的性質，對四種判別法進行了介紹，包括順序主子式法、定義法、特征值法以及標準型法，利用這些判別方法來判定一個矩陣是否屬于正定矩陣，且簡單地舉了一些實例來闡述實矩陣正定性的判定.正定矩陣涉及到了物理、概率論與統計、計量經濟學等各個領域.總之，研究正定矩陣的性質和判別方法對于自然科學的發展，理論學科的進步有著不可替代的重要作用.參考文獻王萼芳，石生明《高等代數》（第三版）[M].北京：高等教育出版社．何亞麗．《線性代數》[M]．科學出版社．陳大新．《矩陣理論》[M]．上海：上海交通大學出版社．劉暢．正定矩陣性質的推廣［J］．沈陽師范大學學報，2009,27(3),268~271．岳貴鑫．正定矩陣及其應用[J］．遼寧省交通高等專科學院學報，2008,10(5),31~33．黃云美．正定矩陣的性質及其應用［J］．煙臺職業學院學報，2011,17(3):85~88．張丹，劉慶平．正定矩陣的性質及相關問題［J］．中南大