第1講：函數的基本性質（單調性、最值和奇偶性）高頻考點突破

【考點梳理】

考點一：函數的有關概念

設A,2是非空的實數集,如果對于集合A中任意一個數x,按照某種確

函數的定義定的對應關系方在集合8中都有唯一確定的數y和它對應,那么就稱了：

AT為從集合A到集合B的一個函數

函數的記法y=Ax),x^A

定義域X叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數的定義域

值域函數值的集合｛y（x）|xeA｝叫做函數的值域

考點二：函數的單調性

增函數減函數

一般地，設函數Hx）的定義域為/,如果對于定義域/內某個區間。上的

任意兩個自變量的值XI，X2

定義

當X1<X2時，都有"1）<"2），那么就當尤1<%2時，都有.他）>他），那么

說函數/U）在區間。上是增函數就說函數/U）在區間D上是減函數

弋￥）

,沏）：/2）

圖象描述o￡x

Opi~~%.~~x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

考點三.函數的最值

前提設函數>=式無）的定義域為/,如果存在實數M滿足

（1）對于任意的尤G/,都有（3）對于任意的xe/,都有?主必；

條件

（2）存在刈6/,使得/fa））=M（4）存在無oG/,使得"o）=M

結論〃為最大值M為最小值

考點四.函數的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

一般地，如果對于函數/（X）的定義域內任意一個X,都有

偶函數關于詡對稱

K—x）=Kx）,那么函數以%）就叫做偶函數

一般地，如果對于函數兀1）的定義域內任意一個工,都有

奇函數關于原點對稱

X）=—母）,那么函數/（X）就叫做奇函數

【題型歸納】

題型一：函數的定義域

1.（2022秋?安徽合肥?高一校考期末）函數/（無）=4二T+lg無的定義域為（）

A.(0,1]B.(0,+oo)C.(l,+oo)D.[l,+oo)

2.（2023秋?遼寧沈陽?高一統考期末）已知函數y=〃x+l）的定義域為[1,2],則函數y=〃2x-l）的定義域為（

-11「31

A.B.C.[—1,1]D.[3,5]

3.（2022秋.山東淄博?高一統考期末）函數〃x）=^/^^+l。go,6（2x-l）的定義域為（）

A.B.（0,1]

題型二：復雜（根式、分式）函數的值域

4.（2023秋?山東德州?高一統考期末）函數丫=3占的值域為（）

J3

A.（0,+8）B.（0,1）（1,-Ko）C.{x[%wl}D.（l,+oo）

5.（2023秋?湖北襄陽?高一統考期末）下列函數中，值域為（0,+。）的是（）

A./（%）=?B./（x）=x+—（x>0）

C./=D./（x）=l-^（x>l）

6.（2023秋?湖北?高一湖北省黃梅縣第一中學校聯考期末）已知函數〃%）=2（"一2）門叫'+3的值域為

(0,+8),g(%)=lg(%2—10%+5Z?)的值域為[L+OO),貝+()

A.7B.8C.9D.10

題型三：求解析式三大方法

7.（2023秋?河北唐山?高一統考期末）已知函數八元）滿足〃x）+2〃r）=%,貝廳⑴=（）

11

A.—1B.1C.—D.一

33

8.（2023秋?遼寧?高一遼河油田第二高級中學校考期末）已知二次函數〃同=加+陵+c（"0）,

/(x+l)-/(^)=2x,且"0)=1.

⑴求函數“X）的解析式；

⑵求函數“X）在區間[T,1]上的值域.

9.（2023秋?吉林松原?高一校考期末）已知函數"x-1=lgL.

2-x

⑴求函數的解析式；

⑵判斷“X）的奇偶性；

題型四：分段函數

,、3\x<0,、

10.（2023秋?甘肅白銀?高一統考期末）已知函數、八，則〃log32）=（）

（一町,X>U

A.1B.2C.1D.0

/、f3x+4,x<1

11.（2023秋?廣西河池?高一統考期末）已知函數〃元）=L°、…若相<〃，且/（〃z）=/（〃），貝U〃礦⑺的取值范

13-2,1

圍是（）

41「41

A.——,7B.[—1,7]C.[-1,7）D.--I

12.（2022秋?江西撫州?高一統考期末）已知函數/⑶=，i7+1'尤<°,則不等式7?（26-1）>f（3a+4）的解集為（）

2-X2,X>0

A.-1<6Z<|B.av—l或a〉：C.（-co,-1）D-

題型五：根據函數的單調性求參數范圍

—/一ax—9,1W1

13.（2022秋?四川廣安?高一統考期末）已知函數”力=Q在R上單調遞增，則實數〃的取值范圍

—,%>1

、%

為（）

A.[-5,0）B.（-8,一2）

C.[-5,-2]D.（-8,0）

14.（2022?全國?高一期末）己知函數/（x）=a?+尤-3,若對任意的e工+⑼，且x產馬，巫上生）<3恒

成立，則實數〃的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-Qo,l]C.(-oo,0)D.(-oo,0]

-cix^+4x-*(x<1)

15.(2022秋?陜西西安?高一長安一中校考期末)已知函數〃x)=2是(-8,+⑹上的增函數，則

logax(x>l)

實數。的取值范圍為()

題型六：函數不等式恒成立問題

16.(2022秋.江西景德鎮?高一景德鎮一中校考期末)已知不等式TraG'+羋MwO對任意上恒成立，則實數相的

取值范圍是()

A.(-oo,l]B.(-00,2]C.(-oo,4]D.(-oo,5]

17.(2023秋?遼寧本溪?高一校考期末)若不等式(x-l)2<log“x">0,且awl)在xe(l,2]內恒成立，則實數

a的取值范圍為()

A.[1,2)B.(1,2)

C.(1,qD.(2,@

18.(2019秋?山西長治?高一山西省長治市第二中學校校考期末)定義在R上的函數〃尤)滿足〃r)=/(x),且當

_犬2I10<無<]

22Xx>l，若對任意的了可列加+1]，不等式/(1一恒成立，則實數加的最大

值是()

A.—1B.—C.—D.—

233

題型七：利用奇偶性求函數的解析式

19.(2022秋?上海閔行.高一校考期末)設函數了⑺是R上的奇函數，當x<0時，/(X)=-X2-7X,則不等式

/(尤)一/。-1)<0的解集為()

A.(-2,4)B.(-3,4)C.(-2,3)D.(-3,3)

20.(2022秋.浙江紹興.高一統考期末)若〃x),g(x)分別為定義在R上的奇函數和偶函數，且〃x)+g(x)=2，,

則〃o)+g(i)=()

A.1B.2°1D-i

2

21.(2023秋?河南許昌?高一校考期末)已知函數是奇函數,g(x)是偶函數，且〃x)+g(x)=3x+―則

X-Z

/(%)=()

,4x,4x3Y,2x

A.6x——------B.6x+-----C.3x—---D.3x+-----

X2-4X2-4X2-4X2-4

題型八：抽象函數的奇偶性問題

22.(2022秋?重慶合川.高一重慶市合川中學校考期末)定義在R上的函數/(%)滿足〃x+y)=〃x)+〃y),當

x<0時，/。)>0,則無)滿足()

A."1)=1

B.>=/(尤)是偶函數

C.f(x)在[加，網上有最大值/(m)

D./(x+l)>0的解集為(Y?,1)

23.(2022秋?浙江紹興?高一統考期末)已知函數/'(彳)，Vx,yeR,W/(x+y)=/(%)?/(a-y)+/(y)-/(fl-x),

其中。力0,/(a)wO,則下列說法一定正確的是()

A.〃。)=1B."X)是奇函數

C.是偶函數D.存在非負實數T,使得f(x)=〃x+T)

24.(2019秋?山西長治?高一山西省長治市第二中學校校考期末)設奇函數五x)在(0,+oo)上為單調遞減函數，且<2)=0,

則不等式"丁,嘰。的解集為()

5x

A.(-oo,-2]U(0,2]B.[-2,0)U[2,+oo)

C.(-oo,-2]U[2,+oo)D.[-2,0)U(0,2]

題型九:利用函數的奇偶性與單調性解不等式

25.(2022秋?江西撫州.高一統考期末)已知〃尤)=加-法+1是定義域為[a,a+l]的偶函數，則，一/=().

3］

A.0B.—C.5/2D.—

4y4

26.(2023秋?遼寧丹東?高一統考期末)若偶函數/(x)在［0,+e)上單調遞增，且/(5)=-/(-5),則不等式

解集是()

A.(^4,0)U(6,-H?)B.(<6)

C.(-03,-4)(6,-HX>)D.(73,Tu(o,6)

27.(2023秋?上海徐匯?高一統考期末)已知函數y=/(^)是R上的奇函數,且是(-%。)上的嚴格減函數,若/⑴=0,

則滿足不等式0-1)/0)>。的x的取值范圍為()

A.ST)B.(-1,0)C.(0,1)D.

題型十：函數性質的綜合性問題

V

28.(2022春?安徽滁州?高一統考期末)已知函數/(%)=裝］.

⑴用定義法證明在R上單調遞增；

⑵不等式/。唱尤+叫>/log4m在xe［4,16］時恒成立，求實數加的取值范圍.

\4)

29.(2023秋?重慶長壽?高一統考期末)已知函數〃-高為奇函數.

(1)求實數。的值，判斷函數“X)的單調性并用定義證明；

(2)求關于*的不等式/(1g區-34+1)、的解集.

30.(2023秋?安徽滁州?高一安徽省定遠縣第三中學校聯考期末)已知函數/(耳=111下(，其中加>0且

f(l)+/(-l)=0.

⑴求刑的值并寫出函數的解析式；

(2)判斷并證明函數/(x)的奇偶性；

(3)已知“X)在定義域上是單調遞減函數，求使/(x)<ln3的X的取值范圍.

【強化精練】

一、單選題

31.（2023秋?云南紅河?高一統考期末）下列函數中，既是奇函數又是在區間（0,+8）上單調遞增的函數為（）

-1

A.y=xB.y=l-x2

C.y=4xD.y=x|x|

32.（2022春?安徽滁州?高一統考期末）已知定義在R上的奇函數"》）滿足"2—x）=/（2+x）,當xe[0,2]時,

〃x)=2'—1,貝葉(2022)=()

A.-3B.-1C.0D.1

33.（2023春.江西贛州.高一校聯考期末）已知定義在R上的函數“X）滿足/（x-l）+〃x+l）=0,且當xe[0,2）時,

/(x)=log2(x+l),則”47)=()

A.2B.0C.1D.-1

34.（2022秋?甘肅蘭州?高一統考期末）設〃力為定義在R上的偶函數，且“力在+8）上為增函數，則

〃-2）、/（-兀）、/⑶的大小順序為（）

A./(-K)</(-2)</(3)B./(-2)</(3)</(-7T)

C./(-7i)</(3)</(-2)D./(3)</(-2)</(-7T)

35.（2023秋?江蘇宿遷?高一統考期末）已知〃x）,g（x）分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且滿足

/（x）+g（x）=21若g（〃x）-。）2。恒成立，則實數。的取值范圍為（）

A.B.(-oo,l]

C.(l,+oo)D.[1,+co)

36.（2022秋?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第四中學校考期末）已知函數/（x+1）是偶函數，當1＜再＜用時,

"（占）-/（%）]（占-巧）＞。恒成立，設。=I，匕="2）,c=/（3）,則b,c的大小關系為（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

二、多選題

y-ix

37.（2023秋?江西南昌?高一統考期末）已知/（x）=若JxeR,使得〃尤）＞加”是假命題，則下列說法正

3、+2尤

確的是（）

A.〃x）是R上的非奇非偶函數，〃x）最大值為1

B.“X）是R上的奇函數，〃尤）無最值

C./（x）是R上的奇函數，機有最小值1

D.“X）是R上的偶函數，機有最小值-1

38.（2023秋?江蘇宿遷?高一統考期末）已知是定義在R上的函數，且對于任意實數[恒有〃x+2）=-〃x）.當

xe[0,2]時，f[x）=-^+2x.貝lj（）

A.為奇函數

B.在xe[2,4]上的解析式為〃尤）=Y-6x+8

C.的值域為[0,1]

D./（1）+/（2）+/（3）+-+/（2022）=1

39.（2023秋?四川瀘州.高一統考期末）已知函數〃x）在（1,+s）上單調遞增，且y=〃l+x）是偶函數，奇函數g（x）

在（。,+e）上的圖象與函數的圖象重合，則下列結論中正確的有（）

A./（2）</^log4^</（3）

B.函數的圖象關于y軸對稱

C.函數g（x）在上是增函數

D.若a>b>l,則〃a）+g（詢>/（Z>）+g（-a）

40.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高一統考期末）已知函數/（x）=*-2X+2,X，3下列敘述正確的是（）

-x+8,x>3

A.43）=5

B.g（x）=〃x）-g的零點有3個

C.〃x）<2的解集為{x[0<x<2或x>6}

D.若a,b,c互不相等，且/0=/e）=/（c）,則.+6+。的取值范圍是（5,9）

三、解答題

41.(2023秋?廣西玉林?高一統考期末)已知〃x)=歹百.

⑴若/(X)>上的解集為{x|x<-3或%>-2},求*的值；

⑵若對任意x<0,