專題02二次根式的乘除（五大題型）

題型歸納________________________________________

【題型1二次根式的乘法運算】

【題型2二次根式的除法運算】

【題型3二次根式的乘除法運算】

【題型4最簡二次根式的判定】

【題型4化簡二次根式】

【題型5已知最簡二次根式求參數(shù)】

流題型專練

【題型1二次根式的乘法運算】

（24-25八年級上?全國?期末）

1.化簡：（百-夜）心+碼的結(jié)果是（

B.-2

（24-25九年級上?山西臨汾?階段練習）

2.計算Gx石的結(jié)果為（

A.V15B.回

（24-25九年級上?重慶?階段練習）

3.估計的值應在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

（24-25九年級上?河南南陽?期中）

4.若計算出X疝的結(jié)果為則這個數(shù)。落在了數(shù)軸上的一段-

①②③④

!/、y、/'-、y/、y、/!、、、

01234

（24-25八年級上?山東青島?階段練習）

5.（V3+V2）2012（V3-V2）2012=.

試卷第1頁，共6頁

（24-25八年級上?上海?期中）

6.計算：y[54xy-(x>0)

(2024八年級上?全國?專題練習)

7.計算：

(1)V2a,VSa;

(2)-1V12x^-^27)xf--1V49j.

【題型2二次根式的除法運算】

（23-24八年級下?河北邯鄲?階段練習）

8.某零件上有一個長方形孔，其面積為3缶n?,長為&cm,則這個孔的寬為

（）

A.v3cmB.V6cmC.2cmD.3cm

（24-25七年級上?四川綿陽?期中）

9.化簡3應+3=.

（22-23八年級上?陜西西安?期末）

10.計算嚏的結(jié)果是.

（24-25八年級上?廣東揭陽?階段練習）

11.歷一.

（22-23八年級上?上海青浦?期中）

（24-25八年級上?上海?階段練習）

13.化簡下列各式：

(1)白>。)

試卷第2頁，共6頁

（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）

14.化簡：

⑴①

【題型3二次根式的乘除法運算】

（24-25八年級上?上海松江?階段練習）

15.計算：2、區(qū)+,癡/扁7

V3m6

（24-25八年級上?上海崇明?期中）

16.計算：+（°>0）.

（24-25八年級上?上海黃浦?期中）

17.計算：；及’1一7

（24-25八年級上?上海寶山?期中）

（24-25八年級上?上海普陀?期中）

19.計算：V6x7-2^^--谷.

（24-25八年級上?上海?階段練習）

20.化簡:

⑵-—歷,77-24

s/xy-14x—41y+y

（24-25八年級上?上海?階段練習）

試卷第3頁，共6頁

2i.計算：卜3r

（23-24八年級下?河南信陽?期中）

22.計算:

⑴修石『；

⑶舟同；

(6)V15xV50-V6.

【題型4最簡二次根式的判定】

（24-25九年級上?湖南衡陽?期中）

23.下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）

A.V9B.V?C.V20

（22-23八年級上?上海松江?期中）

24.下列各式中，是最簡二次根式的是（）

A.V18B.J|C.，片+4/

22

D.^a-b

（24-25九年級上?吉林長春?期末）

25.下列各式中，屬于最簡二次根式的是（）

A.V3B.V4仁上D.他

（24-25八年級上?上海?階段練習）

26.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）

A.Jo.lxB.里C.V27D.4773

（24-25九年級上?河南洛陽?期中）

試卷第4頁，共6頁

27.下列根式是最簡二次根式的是（）

D.V3

【題型4化簡二次根式】

（2024?湖南?二模）

28.下列運算正確的是（）

V6

D.正

（23-24八年級下?山東煙臺?期末）

29.下列各式化成最簡二次根式正確的是（）

（21-22八年級下?安徽宣城?期中）

30.化簡區(qū)的結(jié)果是（）

A.±278B.2aC.±4&D.472

【題型5已知最簡二次根式求參數(shù)】

（23-24八年級下?全國?單元測試）

31.若加與最簡二次根式g能合并，則加的值為（）

A.0B.1C.2D.17

（23-24八年級下?云南大理?期中）

32.若同與最簡二次根式;是同類二次根式，則加的值為

（22-23八年級下?吉林長春?開學考試）

33.如果最簡二次根式6力與而是同類二次根式，那么。的值為一

（23-24八年級下?重慶江津?期末）

34.若最簡二次根式ki和能合并，則工=—.

（23-24八年級下?福建龍巖?階段練習）

試卷第5頁，共6頁

35.最簡二次根式岳二7與將可以合并，則心=.

（2023八年級上?全國?專題練習）

36.寫出一個正整數(shù)〃，使技是最簡二次根式，則"可以是

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】本題考查了二次根式的混合運算.根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可.

【詳解】解：（6-夜）（6+收）=5-2=3.

故選：D.

2.A

【分析】本題考查了二次根式的乘法運算,直接利用二次根式的乘法運算法則進行計算即可.

【詳解】解：73x75=V3^5=V15,

故選：A.

3.D

【分析】本題考查無理數(shù)的估算，二次根式的乘法和二次根式的性質(zhì)，利用二次根式乘法法

則得到3右，再利用二次根式的性質(zhì)可得到用，然后估算出傷的值即可，正確估算出

的值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由3而七=3/5乂：=3布=屈,

???V36<V45<749>

?1?6<V45<7,

?1?6<3715x.<7,

故選：D.

4.?

【分析】本題考查二次根式的計算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法，二次根式的估算,

先計算上X屬=近，根據(jù)3?<12<4?,進行解答，即可.

【詳解】解:毛乂亞=而,

xJ24==a,

???32<12<42,

???3<V12<4>

二這個數(shù)。落在了數(shù)軸上的④段.

故答案為：④.

答案第1頁，共13頁

5.1

【分析】本題考查了積的乘方的逆運算，二次根式的乘法，平方差公式.先得

[(V3+V2)(V3-V2)]2012,再結(jié)合平方差公式進行計算得(3-2)刈2,最后運算乘方，即可作

答.

【詳解】解:(G+亞產(chǎn)(G-血嚴2

=[(V3+V2)(V3-V2)]2012

=(3-2)2012

=1,

故答案為：1.

63y師

.5

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法計算，二次根式有意義的條件，二次根式有意義的

條件是被開方數(shù)大于等于0,據(jù)此可求出>>0,再根據(jù)二次根式乘法計算法則求解即可.

【詳解】解：???庖荷有意義，

：.xy>Q,

x>0,

y>0,

二片

_3y57

--5--

7.(1)4。

(2)63

【分析】本題考查二次根式的乘法運算:

(1)根據(jù)乘法法則進行計算即可；

答案第2頁，共13頁

(2)利用乘法法則進行計算即可.

【詳解】(1)解：原式=，2X8L=4。；

(2)原式=atX012x27x49

32___________________

=—x—xj2x2x3x3x3x3x7x7

43

32

=—x—x2x3x3x7

43

=63.

8.A

【分析】本題考查了二次根式的運算，掌握二次根式的除法法則是解決本題的關(guān)鍵.

利用“長方形的面積：長方形的長=長方形的寬”計算即可.

【詳解】解：3后+直

=718-76

=6(cm)

故選：A

9.72

【分析】此題主要考查了二次根式的除法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

直接利用二次根式的除法運算法則計算得出答案.

【詳解】3啦+3=0.

故答案為：42.

10.V3

【分析】本題考查了二次根式的除法，根據(jù)二次根式的除法運算法則解題即可.

【詳解】解:*=祗=5

故答案為：V3.

11.672

【分析】此題主要考查了二次根式的除法運算.直接利用二次根式的除法運算法則計算得出

答案.

答案第3頁，共13頁

8

【詳解】解：V27--=.27x-=79x4x2=672.

V83

故答案為：6A/2.

12.layf3a

【分析】本題考查二次根式的除法和性質(zhì)，先判斷％b的正負性，再運用二次根式的除法

法則和性質(zhì)運算即可.

9b

【詳解】解：依題意得：-^>0,54仍20,

2a2

：.a>09b>0,

???原式=J54ab?=(4ab?=412a^=2a43a,

故答案為：lay/3a.

13⑴空

(2)-飛5疝+5b

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，根據(jù)77=14進行化簡求解即可.

【詳解】⑴解:

(a+1*56(1+1)

5b②

Q+1

y/5ab+5b.

3

14.(D-

(2)2

答案第4頁，共13頁

【分析】本題考查了二次根式的除法.

（1）先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再約分即可求解;

（2）根據(jù)二次根式的除法法則計算即可求解.

V18372_3

【詳解】（1）解:

2逐一2行一5

（2）解:

15.8A/2〃?

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算順序與運算法則是解題的關(guān)

鍵.利用二次根式的乘除運算法則化簡求出答案.

【詳解】解：原式=（2x6）x疝

3m6m

8m

=12x

V9

2y/2m

12x------

3

8V2m

16.-ay[ab.

【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計算，根據(jù)二次根式的乘除法計算法則求解即可.

【詳解】解：之曬

b

=一二飛a3b③

b

=-也拆

b

=-ay/ab■

【分析】本題考查二次根式乘除混合運算，涉及二次根式性質(zhì)化簡、二次根式被開方式非負、

答案第5頁，共13頁

二次根式乘法運算法則及二次根式除法運算法則等，熟練掌握二次根式性質(zhì)及乘除運算法則

是解決問題的關(guān)鍵.先根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡，再結(jié)合二次根式乘除運算法則求解即可得到

答案.

18.-8A

【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則求解即可.

=-8日?

19.I2xy[x

【分析】本題考查的是二次根式的乘除混合運算，直接利用二次根式的乘法，除法運算法則

計算即可.

【詳解】解：

答案第6頁，共13頁

=2436/

-\2xyjx-

2x2

20.(1)--

5y

⑵y4x-2xy[y

【分析】本題考查了二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是：

(1)根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則計算即可；

(2)把各式子的分子、分母進行因式分解，然后把除法轉(zhuǎn)換為乘法，再進行約分，最后根

據(jù)二次根式的乘法、二次根式的性質(zhì)化簡計算即可.

【詳解】(1)解：4歷X金+101

2

=(4x1-10)-LX4-4

Vyx

=2F

5y

_2x2

(2)解：牛叵

y]xy-14x-4,肛+y

_再(再_1)6-2百

石-i(2五-my

_r—(2爪一份

肛X廠°廠

7y-27x

=歷乂(占一2五)

=y4x-2xy[y.

21.-a24a

【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運算,根號里面和外面分別計算，最后再化簡二次

根式即可求解.

答案第7頁，共13頁

【詳解】解：由題意可得仍2*0,a%?。，力0,

a

???〃〉0,b>0,

=——y/a5b2

b

=--yja-a^b1

b

=-----a^byfa

b

=yj^.

22.(1)20

2

⑵3

(3)10

(4)3拒

加

14

(6)575

【分析】本題考查二次根式的乘法、除法、乘除混合運算，以及二次根式的性質(zhì)化簡，熟練

掌握二次根式相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡計算得出答案；

（2）直接化簡二次根式進而計算得出答案；

（3）直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案；

（4）直接利用二次根式的除法運算法則計算得出答案；

（5）直接利用二次根式的化簡計算得出答案；

（6）直接利用二次根式的乘除混合運算法則計算得出答案.

【詳解】⑴解：僅閆2=20；

答案第8頁，共13頁

（2）解:

(3)解：75x720=7100=10;

(4)解:

3723723V14

(5)解:

國一24一14

(6)解:

23.B

【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可.

【詳解】解：A、也=3,被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題

.五一

忌；

B、不是最簡二次根式，符合題意;

C、而=2石，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；

D、/=*被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡

方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式.

24.D

【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿

足以下兩個條件的二次根式是最簡二次根式，①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②

被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式.根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A.屈=3也，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

B.祗=浮，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

C.J/+4/=同4+4/,不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

D.依-廿是最簡二次根式,故本選項符合題意.

故選：D.

答案第9頁，共13頁

25.A

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可.

本題考查了最簡二次根式，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.行，是最簡二次根式，符合題意；

B.4=2，不符合題意；

C.『也,不符合題意；

V22

D.a=2近,不符合題意；

故選：A.

26.D

【分析】本題考查了最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不

含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、而正=行=誓，不是最簡二次根式，不符合題意；

B、47=\x\,不是最簡二次根式，不符合題意；

C、后=3&,不是最簡二次根式，不符合題意；

D、必大，是最簡二次根式，符合題意，

故選：D.

27.D

【分析】本題考查了最簡二次根式的判斷，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵：最

簡二次根式應滿足兩個條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式；②被開方數(shù)不

含能開得盡方的因數(shù)或因式.按照最簡二次根式的定義逐項分析判斷即可.

【詳解】解：A.樞,被開方數(shù)8含有能開得盡方的因數(shù)4,不是最簡二次根式，故選項A

不符合題意；

B.、戶，被開方數(shù)的因數(shù):不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故選項B不符合題意；

V77

c.Vol,被開方數(shù)的因數(shù)0.5不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故選項C不符合題意；

D.百，被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，且被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)，是最簡二次根式，故

選項D符合題意；

答案第10頁，共13頁

故選：D.

28.C

【分析】本題考查了二次根式化簡為最簡二次根式，二次根式除法；掌握最簡二次根式必須

同時滿足以下條件：“被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的

因數(shù)或因式.“和展=機（a>0,b>0）是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.也=3,選項錯誤,故不符合題意;

B.&=2血，選項錯誤,故不符合題意;

C.,選項正確,故符合題意;

33

D.2=G,選項錯誤,

故不符合題意;

故選：C.

29.C

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，熟知化簡二次根式的方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次

根式的性質(zhì)進行求解即可.

24

【詳解】解：A、原式化簡錯誤，不符合題意;

49

B、'=￥，原式化簡錯誤，不符合題意；

c、總=鼻原式化簡正確，符合題意；

D、屈二叵,原式化簡錯誤，不符合題意;

10

故選：c

30.D

【分析】利用逆用二次根數(shù)的乘法公式解答即可.

【詳解】解：732=716x2=716x72=472.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了化為最簡二次根式，掌握二次根數(shù)的乘法公式是解題的關(guān)鍵.

31.B