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專題12函數的圖象(一)

專項突破一畫具體函數圖象

—x—1,xV—1,

1.已矢口函數/(無)=/(x)=,

X-1,X>1.

3

(1)畫出函數F(X)的圖象;(2)求/(/(于)的值;(3)寫出函數/⑺的單調遞增區間.

【解析】⑴

(3)由⑴得到的圖像可知,危)的單調遞增區間為[-1叫和[1,+與,

2.畫出下列函數的圖象:

(1)/(x)=2x-l;(2)/(x)=2x-l,xw[-l,2);(3)/(x)=-,xe(O,-K?);

X

(4)y(x)=-+l,尤e(0,+co);(5)/(x)=x2,xe[-l,2];(6)/(x)=(x-l)2,尤以0,3].

【解析】(D/3=2x-l的圖象如圖:

(2)f(x)=2x-l,xe|-l,2)的圖象如圖:

(3)/(x)=-,xe(0,+co)的圖象如圖:

X

元e(0,+co)的圖象如圖:

(5)f(x)=x2,xejl,2]的圖象如圖:

尤e[0,3]的圖象如圖:

3.作出下列函數的圖象,并寫出函數的值域:

(l)y=|x+3|;(2)y=|x-2|-|x+2|.

-4,x>2

(2)因為y=|尤-21Tx+2|=?-2x,-2<x<2,所以函數的圖象如下圖:

4,x<-2

由函數的圖象可知:函數的值域為:[-4,4].

4.根據y=log?x的圖像,作出下列函數的圖像:

(l)y=log2|^;(2)y=|log2x|;(3)y=log2|x-1|;(4)y=|log2(x-1)|.

【解析】⑴作出函數y=iog2x關于縱軸對稱的圖像,連同函數y=iogzX的圖像,就是該函數的圖像,如下

圖所示:

⑵把函數y=log?尤的圖像中縱軸下面的部分,做關于橫軸對稱,擦掉縱軸下面的部分,

函數圖像如下圖所示:

(3)作出函數y=iog2X關于縱軸對稱的圖像,連同函數y=iog2X的圖像一起向右平移一個單位即可,如下圖

所示:

(4)把函數y=log?尤的圖像中縱軸下面的部分,做關于橫軸對稱,擦掉縱軸下面的部分,然后再向右平移一

個單位,如下圖所示:

5.分別畫出下列函數的圖象:

尤+2

(l)y=|lg%|;(2)y=2X+2;(3)y=x2~2\x\—l;(4)y=----

x-1

i%2]

【解析】⑴,。二<1的圖象如圖①.

(2)將y=2"的圖象向左平移2個單位即得y=2'+2的圖象.圖象如圖②.

x2—2x—lx>0

(3)y=X2—2\x\—l=‘:0的圖象如圖③?

爐+2x—1

Y+23q

⑷因為尸方=1+二,所以先作出的圖象,

Y+2

將其圖象向右平移I個單位,再向上平移1個單位,即得y=r的圖象,如圖④.

6.用“五點法''畫出下列函數的簡圖,并說明這些函數的圖象與正(余)弦曲線的區別和聯系:

71

(1)y=cosx-l;(2)y=sin(x-y).

【解析】(1)先用“五點法”畫一個周期的圖象,按五個關鍵點列表:

n3兀

X0712兀

~2~2

COSX10-101

COSX-10-1-2-10

描點畫圖,然后由周期性得整個圖象,如圖:

由圖象可知,函數尸C0SX-1的圖象與余弦曲線有上下之分,可由余弦曲線向下平移1個單位長度得到;

(2)先用“五點法”畫一個周期的圖象,按五個關鍵點列表:

715萬4〃1U7〃

X

7~6V~6~工

71713兀

0兀2兀

XS~2~2

(幾、

010-10

sinD

描點畫圖,然后由周期性得整個圖象,如圖:

TTTT

由圖象可知,函數產sin(尤-g)的圖象與正弦曲線有左右之分,可由正弦曲線向右平移]個單位長度得到.

7.作出函數式x)=(x—Ip—1的圖象,并分別畫出以下函數的圖象,

(1)/=加一1);(2)y=J[x)+l;(3)y=—fix);(4)y=\f(x)\.

【解析】函數"x)=(x—1)2—1的圖象如下:

(1)將二次函數<x)=(x—IP—1的圖象向右平移一個長度單位可得y=/(無一1)的圖象如下:

(2)將二次函數y(尤)=(x—1)2—1的圖象向上平移一個長度單位可得y=/U)+l的圖象如下:

-3-2-1O12345x

(3)將二次函數7U)=(X—1)2—1的圖象沿X軸對稱可得y=一大刈的圖象如下:

(4)將二次函數7U)=(x—1>—1的圖象保留x軸上方圖象,將x軸下方圖象沿x軸翻折到x軸上方可得y

=l/(x)|的圖象如下:

專項突破二函數圖象識別

1.函數/("=中的圖像大致為()

【解析】“X)的定義域為{xlxwo},

f(-x)=^=-f(x),所以/(元)是奇函數,圖象關于原點對稱,所以AD選項錯誤.

—X

/(1)=0,/(2)=^>0,所以B選項錯誤.故選:C

【解析】由題可知,xw±2,=-/?,故/⑺為奇函數,排除A、C兩項,A

(一尤)2-4

項為偶函數圖象,C項為非奇非偶函數圖象;又當x>2時,/W>0,排除D項.故選:B.

3.函數,=(f-廣2卜缶天的部分圖象可能是()

【解析】記/■(尤)=(V-/卜達無,則=-(三--卜mx,故/⑴=-/(-%),/?是奇函數,故圖像關于原

點對稱.此時可排除A,C,取了=§句)=聞-圖>0,排除D.故選:B

4.函數y=(尤2-1)/的圖象可能是()

【解析】由題意,函數/(x)=(f

因為〃1)=0,即函數〃尤)的圖象過點(1,0),可排除A、B項;

又因為/(-2)=3"2>0,可排除D項,故選:C.

5.函數廣號的大致圖像為()

A.

or

【解析】由題知,函數/(X)的定義域為R,定義域關于原點對稱,

X3

又./(-%)=

2T+cos(-x)2國+cosx

,/(可為奇函數,圖象關于原點對稱,排除C、D;

TV,兀3

/(萬)=>0,排除B,故選:A.

2"+cos7i2"—1

X

6.已知函數〃%)=,則〃力的大致圖像為(

ln(l+x)-x

A.B.

【解析】由題得了⑴<0

ln2-lln2-lne'所以排除選項?

11

1

121-幺斤>0,所以排除選項C.故選:B

2ln-+--ln2+-

222

7.函數/(*=3%+,與函數g(x)=log/(a>0且awl)的圖象大致是()

【解析】函數人X)單調遞增,且過定點(0,1+。),

當0VaV1時,1V1+a<2,即“X)與y軸交點縱坐標介于1和2之間,

此時g(x)過定點(1,0)且在(0,+oo)單調遞減,沒有符合的選項;

當。>1時,1+。>2,即兀0與y軸交點縱坐標大于2,

此時g(x)過定點(1,0)且在(0,+口)單調遞增,符合的選項為B.

故選:B.

8.在同一直角坐標系中,函數y=優與的圖像可能是()

x-1

【解析】當0<〃<1時,函數>=爐在R上為單調遞減函數,y=Y=i+p在區間(-8,1)和區間(1,+⑹上

單調遞減,且當x=0時,、=獸=">0,故選項A和選項B均錯誤;

U—1

當“>1時,函數y=爐在R上為單調遞增函數,y=Y=l+=在區間(一應1)和區間(1,+口)上單調遞增,故

x-lx-l

選項C錯誤,選項D正確.

故選:D.

=In(Jl+(-x}2-x)+—=Ini1----F—=-In(,1+x,+%)+—,

WI')X凡3+xx\―

所以〃T)=-〃X),故該函數為奇函數,排除A,c

又無->0+,〃x)fy,所以排除B,故選:D

10.函數=的圖象可能是()

【解析】八')=號也定義域為R,且〃T)=4產=/包=〃江所以〃同一尊也為

15sm[兀]1J山人,

偶函數,故排除BD,當工=彳時,f(x\=^_L2_J=le-i>0,故排除C,答案為A.故選:A

2八)12

f(-x)=sin(-x).In/.=-sin尤?In=-/(x),

(一X)X

故函數為奇函數,圖像關于原點中心對稱,排除A、B;

r2+1

因為當工£(。,〃)時,sinx>0,且In———>In1=0,

x

所以當xe(O,%)時,y=cos]/x卜n\^>0,

乃2_|_1

又由/(?)=sin?」n———=0,可知函數第一個正值零點為",

,1、21

凡q+1忘

由嗎)=In----->>0,可知排除C.故選:D

2產、22

12.如圖所示為函數〃無)=以+人的圖象,則函數g⑺=爐+辦+人的圖象可能為()

【解析】由圖可知。<0,b<o,

【解析】由圖像可知,當尤>0時,/(x)<0,則牛>0時,(x+m)2>0,則心0,

又由Ax)圖像不關于原點中心對稱可知相片0,則加>0,

Z72%-1

則尤>0時,ax-a~x<0即-----<0,貝iJOvavl,故選:C

?ax

函數〃尤)=黑言在[-肛句上的圖象大致為(

14.)

/、sin(-x)+2(-x)sinx+2x、,、

【解析】因為“T==一"、./二一A》,所以“x是奇函數,故排除AC,

cos((-x、)+;(-x5)cosx+x-

又=空?=3+巴>1,故排除B,故選:D

717171

costill的大致圖象是(

15.函數==)

In(f+1)

sin(-x)sinx

,()定義域為

xR,ln((-x)2+l)In(尤2+i)

???/(元)為奇函數,圖象關于坐標原點對稱,可排除C;

當xe(0,")時,sinx>0,ln(x2+l)>0,,-./(x)>0,可排除AD.故選:B.

{-1,0,1})的圖象的是()

【解析】A選項中的圖象關于y軸對稱,B選項中的圖象關于原點對稱,兩個選項均可得函數的定義域為

卜上70},可得c=0,又函數/(x)的零點只能由ar+b產生,所以函數/(x)可能沒有零點,也可能零

點是x=_l,0,l,所以AB選項可能符合條件;

而D選項中的圖象知函數了(無)的零點在(0,1)內,但此種情況不可能存在,所以D選項不符合條件;

觀察C選項中的圖象,由定義域猜想c=l,由圖象過原點得。=0,猜想。=1,可能符合條件;

故選:ABC

17.(多選題)函數〃x)=£1(a,6,ceR)的圖象可能為()

【解析】當QWO,匕=。時,f(-X)=-~~一二一一=~f(X);

(-x)+cX+C

當〃>O,c>O時,/(尤)定義域為R且為奇函數,在(0,+8)上/(幻>0,在(0,右)上遞增,在(G,+8)上遞減,

A可能;

當。<o,c<o時,/⑺定義域為{xi%。±Q}且為奇函數,在(0,二)上/(%)>o且遞增,在(Q,+oo)上

/(幻<。且遞增,B可能;

bh

當a=0,6w0,c<0時,/(-x)=廠飛一=--=/。)且定義域為口出#±右},此時了⑺為偶函數,

若6>0時,在(一二,二)上了。)<。(注意/(0)<0),在(一00,-6),(G,+oo)上/(無)>。,則C不可能;

若。<0時,在(-/ZWZ)上/。)>。,在(-00,-4三),(4》,+00)上/0)<0,則D可能;

故選:ABD

18.下列四個圖象中,是函數圖象的是.(填序號)

【解析】由每一個自變量x對應唯一一個y可知②不是函數圖象,①③④是函數圖象.故答案為:①③④

專項突破三根據函數圖象選擇解析式

1.已知函數y=/(x)的部分圖象如圖所示,則函數y=/(x)的解析式可能是()

【解析】A的函數即為y=-xcosx,當0<x<]時,〃x)=-xcosx<0,故排除A

由圖象可知/(尤)關于原點對稱,則/'(X)為奇函數,排除B,C.故選:D.

2.已知圖①中的圖象是函數y=/(x)的圖象,則圖②中的圖象對應的函數可能是()

A.y=f(\x\)B.y=l/(x)lC.y=/(-|x|)D.y=-/(-1A-|)

【解析】圖②中的圖象是在圖①的基礎上,去掉函數y=/(尤)的圖象在>軸右側的部分,

然后將y軸左側圖象翻折到,軸右側,y軸左側圖象不變得來的,

圖②中的圖象對應的函數可能是y=f(-\x\).故選:c.

3.已知函數y=/(x)部分圖象的大致形狀如圖所示,則y=/(x)的解析式最可能是()

smx

D.fM=~―-

e+e

【解析】由圖象可知,/(2)<0,/(-1)<0,

對于B,/(2)=等4>0,故B不正確;

e-e

對于C,故不正確;

對于D,/⑵二—>。,故D不正確.故選:A

4.函數y=/(尤)的圖象如圖所示,則函數>=/(%)的解析式為()

A./(x)=(x-a)2(b-x)B./(x)=(x-a)2(x+b)

C./(x)=-(x-a)2(x+b)D./(x)=(x-a)2(x-b)

【解析】由圖象知,當x=b時,/?=0,故排除B,C;又當工〉匕時,/W<0,故排除D.故選:A.

5.函數圖象如圖,其對應的函數可能是()

D.…達

【解析】由圖可知〃力的定義域為何尤w±l},故BD錯誤;/(O)=l,故C錯誤.故選:A.

6.已知函數y=的部分圖象如圖,則/a)的解析式可能是()

B.f(x)=x+sin2x

C.f(x)=x-^sin2xD.f(x)=x-^cosx

【解析】由圖象可知,函數的定義域為R,而函數f(x)=x+tan元的定義域不是R,所以選項A不符合題意;

由圖象可知函數是一個奇函數,選項D中,存在實數x,

使得/(T)=T-gcOS尤力-/(X),所以函數不是奇函數,所以選項D不符合題意;

由圖象可知函數是增函數,選項B,/,(x)=l+2cos2xe[-l,3],所以函數是一個非單調函數,所以選項C

不符合題意;

由圖象可知函數是增函數,選項C,f(x)=l-cos2x>0,所以函數是增函數,所以選項C符合題意.

故選:C

7.已知函數y=/(x),元日-左㈤的圖象如圖所示,則函數y=/(x)的解析式可能是()

A./*(%)=sinx+—sin2x+—sin3xB.f(x)=cosx+—cos2x+—cos3x

2323

C.f(x)=sin2x+—sinx+—sin3xD.f(x)=cos2x+—cosx+—cos3x

2323

【解析】由圖像可知,函數f(x)的圖象關于原點對稱,即/'(X)為奇函數,可排除B、D項;

(2、4111TT

對于c選項,有/=sin-^+-sin-+-sin2^=--sin—<0,而圖像恒在x軸上方可知C選項錯誤;

kJJJ乙乙D

故選:A.

8.已知函數/(x)=ln|x|,g(x)=e'-e-"則圖象如圖的函數可能是()

A.f(x)+g(x)B.〃尤)-g(尤)C./(x)g(x)D.

g(x)

【解析】由圖可知,該函數為奇函數,/(x)+g(尤)和/(x)-g(尤)為非奇非偶函數,故A、B不符;

當x>0時,〃x)g(x)單調遞增,與圖像不符,故C不符;

坐為奇函數,當x-+oo時,;y=e,的增長速度快于y=lnx的增長速度,故/畀>0且單調遞減,故圖

g(x)g(x)

像應該在無軸上方且無限靠近x軸,與圖像相符.故選:D.

9.已知函數y=/(x)的圖象如圖所示,則此函數可能是()

A-"尤)=可/B.〃同=中日

C.7(力門止2D.人力「2+忖―2

【解析】根據函數/'(X)的圖象可得,函數的定義域為"I尤*±1},

且函數『(X)的圖象關于原點對稱,即函數/(X)為奇函數,

2X-2-X

對于A中,函數〃X)=由爐+W—2w。,解得九w±l,即函數的定義為{x|xw±l},

f+|x|-2

又由〃T)=(一:+肅一2一1市="力所以"X)為奇函數,

當xe(O,l)時,2x-2-x>o,X2+|x|-2<0,所以〃x)<0,

當xe(l,+8)時,2工_2-*>0,x2+|jr|-2>0,所以/(x)>0,

此時與圖象相符,所以選項A符合題意;

對于B中,當xe(O,l)時,2T-2*<0,x2+|%|-2<0,所以,(尤)>0,與圖象不符,

所以選項B不符合題意;

對于C中,函數無)=廠+國-2,令2-2-,/0,解得xwO,

即函數/(力的定義域為{尤Ixw。},與圖象不符,所以選項C不符合題意;

對于D中,函數〃x)二二+國-2,令2--2工片0,解得尤40,

I)2-X-2X

即函數“力的定義域為{犬Ixw。},與圖象不符,所以選項C不符合題意;

故選:A.

10.函數y=/(x)的圖象如圖,則f(x)的解析式可能為()

A./(x)=(x2-x-2)ln|x|B./(x)=(2T-2^)ln|x|

C./(x)=|2%-2-A|ln|x|D./(x)=(x-x-1)ln|x|

【解析】由圖得函數的定義域為(-叫。)「(。,叱),且是偶函數.

由于選項B,D的函數為奇函數,所以排除B,D.

對于選項A,函數的定義域為(-j。)(0,+s),且-xfln國=/(%),所以函數是偶函數,當無>0

時,〃x)=(d-令〃力=0,.』=1,所以函數y軸右邊圖象只有一個零點i.=Q-4^1n1>0,

與圖象不符,所以選項A錯誤;

對于選項C,函數的定義域為(-8,。>(。,+◎,且〃T)=|2T-21lnW=/(x),所以函數是偶函數,當x>0

時,令/⑺=⑵--/舊也,3匕所以函數》軸右邊圖象只有一個零點1./[1]=U2-^-ln1<0,

與圖象相符,所以選項C有可能.

故選:C

11.我國著名數學家華羅庚曾說:“數缺形時少直觀,形缺數時難入微,數形結合百般好,隔裂分家萬事休.”

在數學的學習和研究中,常用函數的圖象來研究函數的性質,也常用函數的解析式來研究函數圖象的特

征.我們從這個商標/隊中抽象出一個如圖所示的圖象,其對應的函數解析式可能是()

、6x6x

sin6xcos6xcos/(尤)=sin

A./W=B./(無)=C./(x)=一D.

2-X-2X2X-2-X忙-2Tl*2、

【解析】由圖象可知,函數圖象關于y軸對稱,所以函數為偶函數,

對于A,f(T)=="S:n6;=sm6;=f(x),所以/(x)是偶函數,當x>。時,令/(x)=0,

z—z—一乙)z—Z

k4土jrjr

貝lJsin6x=0,得x=-^(keN*),則當x>0時,函數的第一個零點為x,當0<兀<:時,sin6x>0,

666

2r-2、<0,所以/(%)<0,所以A不合題意,

對于B,因為/(T)=黑一岸)=^、=一;°s,所以/(X)是奇函數,所以不合題意,

z—z——Z)z—Z

cos(-6x)cos6x

對于c,因為“一元)=尸刁=于(玲,所以/(九)是偶函數,當%>0時,令f(x)=0,貝!Jcos6/=0,

*2-1

得x=3+絲伏eN),所以當x>o時,函數的第一個零點為x'當。<無<=時,cos6x>。,忸—2寸>0,

126121211

所以/(%)>。,所以符合題意,

0/、sin(-6x)-sin6xsin6x”、

對于D,因為/(-x)=||=|尸|=一|二=-/(x),所以了⑺是奇函數,所以不合題意,

z_zz_zz_,ZT

故選:c

12.如下圖,一個"心形''由兩個函數的圖象構成,貝I]“心形”上部分的函數解析式可能為()

y=x\l4-x2C.y=yj-x2+21x|D.y=yj-x1+2x

【解析】由函數圖象知:"心形”上部分的函數圖象關于y軸對稱,而產地春,y=J_L+2X,不滿足;

的圖象過(0,0),(-2,0),(2,0),當0<x<2時,J+;之,當且僅

當x=即工=&時,等號成立,不符合要求;

y=+2|尤|的圖象過(0,0),(-2,0),(2,0),當0<x<2時,y=J-爐+2x=+1VI,當x=l

時,函數取得最大值1,符合要求;故選:C

專項突破四根據實際問題選擇函數圖像

1.某人去上班,先跑步,后步行.如果y表示該人離單位的距離,x表示出發后的時間,那么下列圖象中符

合此人走法的是().

【解析】由題意可知:x=0時所走的路程為0,離單位的距離為最大值,排除A、C,

隨著時間的增加,先跑步,開始時y隨x的變化快,后步行,則,隨x的變化慢,

所以適合的圖象為D;故選:D

2.如圖,在四邊形A2CZ)中,CD,AB±BC,AD=DC=2,CB=a,動點P從點A出發,按照A—D-C—B

路徑沿邊運動,設點P運動的路程為x,AAPB的面積為必則函數y=/(無)的圖象大致是()

B

A.B.

C.D.

【解析】解:P點在A。上時,△APB是底邊A2不變,高在增加,圖象成一次函數形式遞增;排除C,D,

P點在。C上時,△APB是底邊不變,高不變,圖象是水平一條直線;

P在CB上時,4B不變,高在減小,圖象是遞減的一次函數,故選:A.

3.如圖,一動點P從點B出發,在直角梯形ABCD的一腰和上底上,沿Cf。勻速運動,達到點。后

停止運動.設點P運動的時間為入AAB尸的面積為S.則能夠反映S與r之間函數關系的大致圖象是()

【解析】從33C勻速運動,三角形的高勻速上升,面積勻速增長,從Cf。勻速運動,高不變,三角形

面積不變,故選:A

4.某學生離家去學校,由于怕遲到,一開始就跑步,等跑累了再步行走完余下的路程,若以縱軸表示離家

的距離,橫軸表示離家后的時間,則下列四個圖形中,符合該學生走法的是()

【解析】當時間f=0時,5=0,故排除C,D;由于剛開始時速度較快,后面速度較慢,

所以前段時間的直線的傾斜角更大.故選:A.

5.點P從。點出發,按逆時針方向沿周長為/的圖形運動一周,O、P兩點的距離y與點尸所走路程x的函

數關系如圖所示,那么點尸所走的圖形是()

y八

【解析】觀察函數的運動圖象,可以發現兩個顯著特點:

①點p運動到周長的一半時,。尸最大;②點尸的運動圖象是拋物線,

設點加為周長的一半,如下圖所示:

圖1中,因為不符合條件①,因此排除選項A;

圖4中,由尸,不符合條件①,并且0P的距離不是對稱變化的,因此排除選項D;

另外,在圖2中,當點P在線段Q4上運動時,此時y=x,其圖象是一條線段,不符合條件②,因此排除選

項B.

故選:C

6.如圖,是邊長為2的正三角形,記。:位于直線x=(t>0)左側的圖形的面積為/(f),則y=

的函數圖象是().

【解析】根據題意,當0<區1時,/?)=¥/,

當1</42時,f⑴=6_nQ_行=6_g(4_曲+F)=_將2+2?_6,

當f>2時,/?)=括,所以只有A選項符合,故選:A

7.如圖,設有圓。和定點C,當/從4開始在平面上繞。勻速旋轉(旋轉角度不超過90。)時,它掃過圓內

陰影部分面積S是時間f的函數,它的圖像大致是如下哪一種()

【解析】當直線/從初始位置4轉到經過點C的過程中陰影部分面積增加的越來越快,圖像越來越“陡峭”;

/從過點C的位置轉至結束時陰影部分面積增加的越來越慢,圖像越來越“平緩”,故選:C.

8.甲、乙兩人沿同一方向前往300米外的目標8,甲前150米以2m/s的速度前進,剩下150米以3m/s的

速度前進,乙前半段時間以3m/s的速度前進,后半段時間以2m/s的速度前進,則以下關于兩人去往8地

的路程與時間函數圖象關系中正確的是()

【解析】設乙到達目標B所用的時間為然,則;S+解得r=120s,

,乙到達目標3所用的時間為120s,排除選項A和C;

甲前150米以2m/s的速度前進,乙前半段時間以3〃z/s的速度前進,

二甲的速度比乙的速度慢,排除選項。,故選:B.

9.習近平總書記親自謀劃和推動全民健身事業,把全民健身作為全面建成小康社會的重要組成部分,人民

的獲得感、幸福感、安全感都離不開健康某村準備將一塊邊長為2km的正三角形

空地(記為ABC)規劃為公園,并用一條垂直于邊的小路(寬度不計)把空地分為兩部分,一部分以

綠化為主,一部分以休閑健身為主.如圖,3<7〃》軸,小路記為直線X=加(0<根<2),小路右側為健身休閑

區,其面積記為/■(〃<),則函數s=y(根)的圖像大致為()

V

O\1A

x=m

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