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文檔簡介
專題12函數的圖象(一)
專項突破一畫具體函數圖象
—x—1,xV—1,
1.已矢口函數/(無)=/(x)=,
X-1,X>1.
3
(1)畫出函數F(X)的圖象;(2)求/(/(于)的值;(3)寫出函數/⑺的單調遞增區間.
【解析】⑴
(3)由⑴得到的圖像可知,危)的單調遞增區間為[-1叫和[1,+與,
2.畫出下列函數的圖象:
(1)/(x)=2x-l;(2)/(x)=2x-l,xw[-l,2);(3)/(x)=-,xe(O,-K?);
X
(4)y(x)=-+l,尤e(0,+co);(5)/(x)=x2,xe[-l,2];(6)/(x)=(x-l)2,尤以0,3].
尤
【解析】(D/3=2x-l的圖象如圖:
(2)f(x)=2x-l,xe|-l,2)的圖象如圖:
(3)/(x)=-,xe(0,+co)的圖象如圖:
X
元e(0,+co)的圖象如圖:
(5)f(x)=x2,xejl,2]的圖象如圖:
尤e[0,3]的圖象如圖:
3.作出下列函數的圖象,并寫出函數的值域:
(l)y=|x+3|;(2)y=|x-2|-|x+2|.
-4,x>2
(2)因為y=|尤-21Tx+2|=?-2x,-2<x<2,所以函數的圖象如下圖:
4,x<-2
由函數的圖象可知:函數的值域為:[-4,4].
4.根據y=log?x的圖像,作出下列函數的圖像:
(l)y=log2|^;(2)y=|log2x|;(3)y=log2|x-1|;(4)y=|log2(x-1)|.
【解析】⑴作出函數y=iog2x關于縱軸對稱的圖像,連同函數y=iogzX的圖像,就是該函數的圖像,如下
圖所示:
⑵把函數y=log?尤的圖像中縱軸下面的部分,做關于橫軸對稱,擦掉縱軸下面的部分,
函數圖像如下圖所示:
(3)作出函數y=iog2X關于縱軸對稱的圖像,連同函數y=iog2X的圖像一起向右平移一個單位即可,如下圖
所示:
(4)把函數y=log?尤的圖像中縱軸下面的部分,做關于橫軸對稱,擦掉縱軸下面的部分,然后再向右平移一
個單位,如下圖所示:
5.分別畫出下列函數的圖象:
尤+2
(l)y=|lg%|;(2)y=2X+2;(3)y=x2~2\x\—l;(4)y=----
x-1
i%2]
【解析】⑴,。二<1的圖象如圖①.
(2)將y=2"的圖象向左平移2個單位即得y=2'+2的圖象.圖象如圖②.
x2—2x—lx>0
(3)y=X2—2\x\—l=‘:0的圖象如圖③?
爐+2x—1
Y+23q
⑷因為尸方=1+二,所以先作出的圖象,
Y+2
將其圖象向右平移I個單位,再向上平移1個單位,即得y=r的圖象,如圖④.
6.用“五點法''畫出下列函數的簡圖,并說明這些函數的圖象與正(余)弦曲線的區別和聯系:
71
(1)y=cosx-l;(2)y=sin(x-y).
【解析】(1)先用“五點法”畫一個周期的圖象,按五個關鍵點列表:
n3兀
X0712兀
~2~2
COSX10-101
COSX-10-1-2-10
描點畫圖,然后由周期性得整個圖象,如圖:
由圖象可知,函數尸C0SX-1的圖象與余弦曲線有上下之分,可由余弦曲線向下平移1個單位長度得到;
(2)先用“五點法”畫一個周期的圖象,按五個關鍵點列表:
715萬4〃1U7〃
X
7~6V~6~工
71713兀
0兀2兀
XS~2~2
(幾、
010-10
sinD
描點畫圖,然后由周期性得整個圖象,如圖:
TTTT
由圖象可知,函數產sin(尤-g)的圖象與正弦曲線有左右之分,可由正弦曲線向右平移]個單位長度得到.
7.作出函數式x)=(x—Ip—1的圖象,并分別畫出以下函數的圖象,
(1)/=加一1);(2)y=J[x)+l;(3)y=—fix);(4)y=\f(x)\.
【解析】函數"x)=(x—1)2—1的圖象如下:
(1)將二次函數<x)=(x—IP—1的圖象向右平移一個長度單位可得y=/(無一1)的圖象如下:
(2)將二次函數y(尤)=(x—1)2—1的圖象向上平移一個長度單位可得y=/U)+l的圖象如下:
-3-2-1O12345x
(3)將二次函數7U)=(X—1)2—1的圖象沿X軸對稱可得y=一大刈的圖象如下:
(4)將二次函數7U)=(x—1>—1的圖象保留x軸上方圖象,將x軸下方圖象沿x軸翻折到x軸上方可得y
=l/(x)|的圖象如下:
專項突破二函數圖象識別
1.函數/("=中的圖像大致為()
【解析】“X)的定義域為{xlxwo},
f(-x)=^=-f(x),所以/(元)是奇函數,圖象關于原點對稱,所以AD選項錯誤.
—X
/(1)=0,/(2)=^>0,所以B選項錯誤.故選:C
【解析】由題可知,xw±2,=-/?,故/⑺為奇函數,排除A、C兩項,A
(一尤)2-4
項為偶函數圖象,C項為非奇非偶函數圖象;又當x>2時,/W>0,排除D項.故選:B.
3.函數,=(f-廣2卜缶天的部分圖象可能是()
【解析】記/■(尤)=(V-/卜達無,則=-(三--卜mx,故/⑴=-/(-%),/?是奇函數,故圖像關于原
點對稱.此時可排除A,C,取了=§句)=聞-圖>0,排除D.故選:B
4.函數y=(尤2-1)/的圖象可能是()
【解析】由題意,函數/(x)=(f
因為〃1)=0,即函數〃尤)的圖象過點(1,0),可排除A、B項;
又因為/(-2)=3"2>0,可排除D項,故選:C.
5.函數廣號的大致圖像為()
A.
or
【解析】由題知,函數/(X)的定義域為R,定義域關于原點對稱,
X3
又./(-%)=
2T+cos(-x)2國+cosx
,/(可為奇函數,圖象關于原點對稱,排除C、D;
TV,兀3
/(萬)=>0,排除B,故選:A.
2"+cos7i2"—1
X
6.已知函數〃%)=,則〃力的大致圖像為(
ln(l+x)-x
A.B.
【解析】由題得了⑴<0
ln2-lln2-lne'所以排除選項?
11
1
121-幺斤>0,所以排除選項C.故選:B
2ln-+--ln2+-
222
7.函數/(*=3%+,與函數g(x)=log/(a>0且awl)的圖象大致是()
【解析】函數人X)單調遞增,且過定點(0,1+。),
當0VaV1時,1V1+a<2,即“X)與y軸交點縱坐標介于1和2之間,
此時g(x)過定點(1,0)且在(0,+oo)單調遞減,沒有符合的選項;
當。>1時,1+。>2,即兀0與y軸交點縱坐標大于2,
此時g(x)過定點(1,0)且在(0,+口)單調遞增,符合的選項為B.
故選:B.
8.在同一直角坐標系中,函數y=優與的圖像可能是()
x-1
【解析】當0<〃<1時,函數>=爐在R上為單調遞減函數,y=Y=i+p在區間(-8,1)和區間(1,+⑹上
單調遞減,且當x=0時,、=獸=">0,故選項A和選項B均錯誤;
U—1
當“>1時,函數y=爐在R上為單調遞增函數,y=Y=l+=在區間(一應1)和區間(1,+口)上單調遞增,故
x-lx-l
選項C錯誤,選項D正確.
故選:D.
=In(Jl+(-x}2-x)+—=Ini1----F—=-In(,1+x,+%)+—,
WI')X凡3+xx\―
所以〃T)=-〃X),故該函數為奇函數,排除A,c
又無->0+,〃x)fy,所以排除B,故選:D
10.函數=的圖象可能是()
【解析】八')=號也定義域為R,且〃T)=4產=/包=〃江所以〃同一尊也為
15sm[兀]1J山人,
偶函數,故排除BD,當工=彳時,f(x\=^_L2_J=le-i>0,故排除C,答案為A.故選:A
2八)12
f(-x)=sin(-x).In/.=-sin尤?In=-/(x),
(一X)X
故函數為奇函數,圖像關于原點中心對稱,排除A、B;
r2+1
因為當工£(。,〃)時,sinx>0,且In———>In1=0,
x
所以當xe(O,%)時,y=cos]/x卜n\^>0,
乃2_|_1
又由/(?)=sin?」n———=0,可知函數第一個正值零點為",
,1、21
凡q+1忘
由嗎)=In----->>0,可知排除C.故選:D
2產、22
12.如圖所示為函數〃無)=以+人的圖象,則函數g⑺=爐+辦+人的圖象可能為()
【解析】由圖可知。<0,b<o,
【解析】由圖像可知,當尤>0時,/(x)<0,則牛>0時,(x+m)2>0,則心0,
又由Ax)圖像不關于原點中心對稱可知相片0,則加>0,
Z72%-1
則尤>0時,ax-a~x<0即-----<0,貝iJOvavl,故選:C
?ax
函數〃尤)=黑言在[-肛句上的圖象大致為(
14.)
/、sin(-x)+2(-x)sinx+2x、,、
【解析】因為“T==一"、./二一A》,所以“x是奇函數,故排除AC,
cos((-x、)+;(-x5)cosx+x-
又=空?=3+巴>1,故排除B,故選:D
717171
costill的大致圖象是(
15.函數==)
In(f+1)
sin(-x)sinx
,()定義域為
xR,ln((-x)2+l)In(尤2+i)
???/(元)為奇函數,圖象關于坐標原點對稱,可排除C;
當xe(0,")時,sinx>0,ln(x2+l)>0,,-./(x)>0,可排除AD.故選:B.
{-1,0,1})的圖象的是()
【解析】A選項中的圖象關于y軸對稱,B選項中的圖象關于原點對稱,兩個選項均可得函數的定義域為
卜上70},可得c=0,又函數/(x)的零點只能由ar+b產生,所以函數/(x)可能沒有零點,也可能零
點是x=_l,0,l,所以AB選項可能符合條件;
而D選項中的圖象知函數了(無)的零點在(0,1)內,但此種情況不可能存在,所以D選項不符合條件;
觀察C選項中的圖象,由定義域猜想c=l,由圖象過原點得。=0,猜想。=1,可能符合條件;
故選:ABC
17.(多選題)函數〃x)=£1(a,6,ceR)的圖象可能為()
【解析】當QWO,匕=。時,f(-X)=-~~一二一一=~f(X);
(-x)+cX+C
當〃>O,c>O時,/(尤)定義域為R且為奇函數,在(0,+8)上/(幻>0,在(0,右)上遞增,在(G,+8)上遞減,
A可能;
當。<o,c<o時,/⑺定義域為{xi%。±Q}且為奇函數,在(0,二)上/(%)>o且遞增,在(Q,+oo)上
/(幻<。且遞增,B可能;
bh
當a=0,6w0,c<0時,/(-x)=廠飛一=--=/。)且定義域為口出#±右},此時了⑺為偶函數,
若6>0時,在(一二,二)上了。)<。(注意/(0)<0),在(一00,-6),(G,+oo)上/(無)>。,則C不可能;
若。<0時,在(-/ZWZ)上/。)>。,在(-00,-4三),(4》,+00)上/0)<0,則D可能;
故選:ABD
18.下列四個圖象中,是函數圖象的是.(填序號)
【解析】由每一個自變量x對應唯一一個y可知②不是函數圖象,①③④是函數圖象.故答案為:①③④
專項突破三根據函數圖象選擇解析式
1.已知函數y=/(x)的部分圖象如圖所示,則函數y=/(x)的解析式可能是()
【解析】A的函數即為y=-xcosx,當0<x<]時,〃x)=-xcosx<0,故排除A
由圖象可知/(尤)關于原點對稱,則/'(X)為奇函數,排除B,C.故選:D.
2.已知圖①中的圖象是函數y=/(x)的圖象,則圖②中的圖象對應的函數可能是()
A.y=f(\x\)B.y=l/(x)lC.y=/(-|x|)D.y=-/(-1A-|)
【解析】圖②中的圖象是在圖①的基礎上,去掉函數y=/(尤)的圖象在>軸右側的部分,
然后將y軸左側圖象翻折到,軸右側,y軸左側圖象不變得來的,
圖②中的圖象對應的函數可能是y=f(-\x\).故選:c.
3.已知函數y=/(x)部分圖象的大致形狀如圖所示,則y=/(x)的解析式最可能是()
smx
D.fM=~―-
e+e
【解析】由圖象可知,/(2)<0,/(-1)<0,
對于B,/(2)=等4>0,故B不正確;
e-e
對于C,故不正確;
對于D,/⑵二—>。,故D不正確.故選:A
4.函數y=/(尤)的圖象如圖所示,則函數>=/(%)的解析式為()
A./(x)=(x-a)2(b-x)B./(x)=(x-a)2(x+b)
C./(x)=-(x-a)2(x+b)D./(x)=(x-a)2(x-b)
【解析】由圖象知,當x=b時,/?=0,故排除B,C;又當工〉匕時,/W<0,故排除D.故選:A.
5.函數圖象如圖,其對應的函數可能是()
D.…達
【解析】由圖可知〃力的定義域為何尤w±l},故BD錯誤;/(O)=l,故C錯誤.故選:A.
6.已知函數y=的部分圖象如圖,則/a)的解析式可能是()
B.f(x)=x+sin2x
C.f(x)=x-^sin2xD.f(x)=x-^cosx
【解析】由圖象可知,函數的定義域為R,而函數f(x)=x+tan元的定義域不是R,所以選項A不符合題意;
由圖象可知函數是一個奇函數,選項D中,存在實數x,
使得/(T)=T-gcOS尤力-/(X),所以函數不是奇函數,所以選項D不符合題意;
由圖象可知函數是增函數,選項B,/,(x)=l+2cos2xe[-l,3],所以函數是一個非單調函數,所以選項C
不符合題意;
由圖象可知函數是增函數,選項C,f(x)=l-cos2x>0,所以函數是增函數,所以選項C符合題意.
故選:C
7.已知函數y=/(x),元日-左㈤的圖象如圖所示,則函數y=/(x)的解析式可能是()
A./*(%)=sinx+—sin2x+—sin3xB.f(x)=cosx+—cos2x+—cos3x
2323
C.f(x)=sin2x+—sinx+—sin3xD.f(x)=cos2x+—cosx+—cos3x
2323
【解析】由圖像可知,函數f(x)的圖象關于原點對稱,即/'(X)為奇函數,可排除B、D項;
(2、4111TT
對于c選項,有/=sin-^+-sin-+-sin2^=--sin—<0,而圖像恒在x軸上方可知C選項錯誤;
kJJJ乙乙D
故選:A.
8.已知函數/(x)=ln|x|,g(x)=e'-e-"則圖象如圖的函數可能是()
A.f(x)+g(x)B.〃尤)-g(尤)C./(x)g(x)D.
g(x)
【解析】由圖可知,該函數為奇函數,/(x)+g(尤)和/(x)-g(尤)為非奇非偶函數,故A、B不符;
當x>0時,〃x)g(x)單調遞增,與圖像不符,故C不符;
坐為奇函數,當x-+oo時,;y=e,的增長速度快于y=lnx的增長速度,故/畀>0且單調遞減,故圖
g(x)g(x)
像應該在無軸上方且無限靠近x軸,與圖像相符.故選:D.
9.已知函數y=/(x)的圖象如圖所示,則此函數可能是()
A-"尤)=可/B.〃同=中日
C.7(力門止2D.人力「2+忖―2
【解析】根據函數/'(X)的圖象可得,函數的定義域為"I尤*±1},
且函數『(X)的圖象關于原點對稱,即函數/(X)為奇函數,
2X-2-X
對于A中,函數〃X)=由爐+W—2w。,解得九w±l,即函數的定義為{x|xw±l},
f+|x|-2
又由〃T)=(一:+肅一2一1市="力所以"X)為奇函數,
當xe(O,l)時,2x-2-x>o,X2+|x|-2<0,所以〃x)<0,
當xe(l,+8)時,2工_2-*>0,x2+|jr|-2>0,所以/(x)>0,
此時與圖象相符,所以選項A符合題意;
對于B中,當xe(O,l)時,2T-2*<0,x2+|%|-2<0,所以,(尤)>0,與圖象不符,
所以選項B不符合題意;
對于C中,函數無)=廠+國-2,令2-2-,/0,解得xwO,
即函數/(力的定義域為{尤Ixw。},與圖象不符,所以選項C不符合題意;
對于D中,函數〃x)二二+國-2,令2--2工片0,解得尤40,
I)2-X-2X
即函數“力的定義域為{犬Ixw。},與圖象不符,所以選項C不符合題意;
故選:A.
10.函數y=/(x)的圖象如圖,則f(x)的解析式可能為()
A./(x)=(x2-x-2)ln|x|B./(x)=(2T-2^)ln|x|
C./(x)=|2%-2-A|ln|x|D./(x)=(x-x-1)ln|x|
【解析】由圖得函數的定義域為(-叫。)「(。,叱),且是偶函數.
由于選項B,D的函數為奇函數,所以排除B,D.
對于選項A,函數的定義域為(-j。)(0,+s),且-xfln國=/(%),所以函數是偶函數,當無>0
時,〃x)=(d-令〃力=0,.』=1,所以函數y軸右邊圖象只有一個零點i.=Q-4^1n1>0,
與圖象不符,所以選項A錯誤;
對于選項C,函數的定義域為(-8,。>(。,+◎,且〃T)=|2T-21lnW=/(x),所以函數是偶函數,當x>0
時,令/⑺=⑵--/舊也,3匕所以函數》軸右邊圖象只有一個零點1./[1]=U2-^-ln1<0,
與圖象相符,所以選項C有可能.
故選:C
11.我國著名數學家華羅庚曾說:“數缺形時少直觀,形缺數時難入微,數形結合百般好,隔裂分家萬事休.”
在數學的學習和研究中,常用函數的圖象來研究函數的性質,也常用函數的解析式來研究函數圖象的特
征.我們從這個商標/隊中抽象出一個如圖所示的圖象,其對應的函數解析式可能是()
、6x6x
sin6xcos6xcos/(尤)=sin
A./W=B./(無)=C./(x)=一D.
2-X-2X2X-2-X忙-2Tl*2、
【解析】由圖象可知,函數圖象關于y軸對稱,所以函數為偶函數,
對于A,f(T)=="S:n6;=sm6;=f(x),所以/(x)是偶函數,當x>。時,令/(x)=0,
z—z—一乙)z—Z
k4土jrjr
貝lJsin6x=0,得x=-^(keN*),則當x>0時,函數的第一個零點為x,當0<兀<:時,sin6x>0,
666
2r-2、<0,所以/(%)<0,所以A不合題意,
對于B,因為/(T)=黑一岸)=^、=一;°s,所以/(X)是奇函數,所以不合題意,
z—z——Z)z—Z
cos(-6x)cos6x
對于c,因為“一元)=尸刁=于(玲,所以/(九)是偶函數,當%>0時,令f(x)=0,貝!Jcos6/=0,
*2-1
得x=3+絲伏eN),所以當x>o時,函數的第一個零點為x'當。<無<=時,cos6x>。,忸—2寸>0,
126121211
所以/(%)>。,所以符合題意,
0/、sin(-6x)-sin6xsin6x”、
對于D,因為/(-x)=||=|尸|=一|二=-/(x),所以了⑺是奇函數,所以不合題意,
z_zz_zz_,ZT
故選:c
12.如下圖,一個"心形''由兩個函數的圖象構成,貝I]“心形”上部分的函數解析式可能為()
y=x\l4-x2C.y=yj-x2+21x|D.y=yj-x1+2x
【解析】由函數圖象知:"心形”上部分的函數圖象關于y軸對稱,而產地春,y=J_L+2X,不滿足;
的圖象過(0,0),(-2,0),(2,0),當0<x<2時,J+;之,當且僅
當x=即工=&時,等號成立,不符合要求;
y=+2|尤|的圖象過(0,0),(-2,0),(2,0),當0<x<2時,y=J-爐+2x=+1VI,當x=l
時,函數取得最大值1,符合要求;故選:C
專項突破四根據實際問題選擇函數圖像
1.某人去上班,先跑步,后步行.如果y表示該人離單位的距離,x表示出發后的時間,那么下列圖象中符
合此人走法的是().
【解析】由題意可知:x=0時所走的路程為0,離單位的距離為最大值,排除A、C,
隨著時間的增加,先跑步,開始時y隨x的變化快,后步行,則,隨x的變化慢,
所以適合的圖象為D;故選:D
2.如圖,在四邊形A2CZ)中,CD,AB±BC,AD=DC=2,CB=a,動點P從點A出發,按照A—D-C—B
路徑沿邊運動,設點P運動的路程為x,AAPB的面積為必則函數y=/(無)的圖象大致是()
B
A.B.
C.D.
【解析】解:P點在A。上時,△APB是底邊A2不變,高在增加,圖象成一次函數形式遞增;排除C,D,
P點在。C上時,△APB是底邊不變,高不變,圖象是水平一條直線;
P在CB上時,4B不變,高在減小,圖象是遞減的一次函數,故選:A.
3.如圖,一動點P從點B出發,在直角梯形ABCD的一腰和上底上,沿Cf。勻速運動,達到點。后
停止運動.設點P運動的時間為入AAB尸的面積為S.則能夠反映S與r之間函數關系的大致圖象是()
【解析】從33C勻速運動,三角形的高勻速上升,面積勻速增長,從Cf。勻速運動,高不變,三角形
面積不變,故選:A
4.某學生離家去學校,由于怕遲到,一開始就跑步,等跑累了再步行走完余下的路程,若以縱軸表示離家
的距離,橫軸表示離家后的時間,則下列四個圖形中,符合該學生走法的是()
【解析】當時間f=0時,5=0,故排除C,D;由于剛開始時速度較快,后面速度較慢,
所以前段時間的直線的傾斜角更大.故選:A.
5.點P從。點出發,按逆時針方向沿周長為/的圖形運動一周,O、P兩點的距離y與點尸所走路程x的函
數關系如圖所示,那么點尸所走的圖形是()
y八
【解析】觀察函數的運動圖象,可以發現兩個顯著特點:
①點p運動到周長的一半時,。尸最大;②點尸的運動圖象是拋物線,
設點加為周長的一半,如下圖所示:
圖1中,因為不符合條件①,因此排除選項A;
圖4中,由尸,不符合條件①,并且0P的距離不是對稱變化的,因此排除選項D;
另外,在圖2中,當點P在線段Q4上運動時,此時y=x,其圖象是一條線段,不符合條件②,因此排除選
項B.
故選:C
6.如圖,是邊長為2的正三角形,記。:位于直線x=(t>0)左側的圖形的面積為/(f),則y=
的函數圖象是().
【解析】根據題意,當0<區1時,/?)=¥/,
當1</42時,f⑴=6_nQ_行=6_g(4_曲+F)=_將2+2?_6,
當f>2時,/?)=括,所以只有A選項符合,故選:A
7.如圖,設有圓。和定點C,當/從4開始在平面上繞。勻速旋轉(旋轉角度不超過90。)時,它掃過圓內
陰影部分面積S是時間f的函數,它的圖像大致是如下哪一種()
【解析】當直線/從初始位置4轉到經過點C的過程中陰影部分面積增加的越來越快,圖像越來越“陡峭”;
/從過點C的位置轉至結束時陰影部分面積增加的越來越慢,圖像越來越“平緩”,故選:C.
8.甲、乙兩人沿同一方向前往300米外的目標8,甲前150米以2m/s的速度前進,剩下150米以3m/s的
速度前進,乙前半段時間以3m/s的速度前進,后半段時間以2m/s的速度前進,則以下關于兩人去往8地
的路程與時間函數圖象關系中正確的是()
【解析】設乙到達目標B所用的時間為然,則;S+解得r=120s,
,乙到達目標3所用的時間為120s,排除選項A和C;
甲前150米以2m/s的速度前進,乙前半段時間以3〃z/s的速度前進,
二甲的速度比乙的速度慢,排除選項。,故選:B.
9.習近平總書記親自謀劃和推動全民健身事業,把全民健身作為全面建成小康社會的重要組成部分,人民
的獲得感、幸福感、安全感都離不開健康某村準備將一塊邊長為2km的正三角形
空地(記為ABC)規劃為公園,并用一條垂直于邊的小路(寬度不計)把空地分為兩部分,一部分以
綠化為主,一部分以休閑健身為主.如圖,3<7〃》軸,小路記為直線X=加(0<根<2),小路右側為健身休閑
區,其面積記為/■(〃<),則函數s=y(根)的圖像大致為()
V
O\1A
x=m
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