專題05分段函數(shù)

專項(xiàng)突破一分段函數(shù)函數(shù)值(解析式)

2x,x>0,/、

1.若〃x)=-[g(x)+Vx<。為奇函數(shù)’則g(一2)=()

A.-8B.-4C.-2D.0

【解析】因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以/(-2)=-/(2)=T,

又/(-2)=8(-2)+4,可得8(-2)=-8.故選：A.

2Txe[0,1]5

2.已知函數(shù)”元)=則/)

/(x_l),xe(l,+8)

C.正—1

A.0B.72-1D.1

2

2X-1,XG[0,1]

【解析】由題意xe[0,—),函數(shù)/。)=

/(X-1),XG(1,+(Z))'

可得嗚，|-13|-1

，因?yàn)獒躻[0,1],所以/2，-1=^/^-1,故選：B

I2I

___3TT一一“一

3.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽,最小正周期為半的函數(shù)，若〃幻=，cosx,---2-<x<0，則./(-號(hào)15T)I的值等于()

4

sinx,0<x<

D.一受

A.1D.--------C.0

22

cosx,-—<x<0

【解析】因?yàn)?(x)是定義域?yàn)镽,最小正周期為葭的函數(shù)，/(無)=<

sinx,0<x<^

15兀15%_3幾3TT=S吟等故選:B

所以/——+3x——

42

唐)::2)且9=2,則，

4.已知函數(shù)“尤)=-/(log43)=(

A.-1-73B.-1+73C.1-73D.1+73

【解析】???/(1)=10°=2,??.a=lg2,

lg(-x),-l<x<0lg(-x),-l<x<0

由f(x)=(4ZGR),知/(%)=

10^,0<x<l2x,0<x<l

1O3

于是7[一5)一/(log43)=lg^-2^=-1-2；皿3=_1_2臉W=T_G,故選:A

5.已知函數(shù)=]；+：；：；,則/■(〃-!))=.

【解析】由解析式，/(-1)=(-1)2-(-1)=2,所以/(/(-I))="2)=22+1=5.

’2Xr<2

6.已知函數(shù)/(%)=乙'八.，則/(Iog26)=.

【解析】2<log26<3,l<log26-l<2,gp1<log23<2,

.■■/(log26)=/(log26-1)=/(log23)=2喀3=3.

-

log3(4-x),0<x<—

7.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)〃尤），當(dāng)x>0時(shí)，有〃無）=<則

/(x-3),x>|

/（2）+/（4）+/（6）+-+/（2022）=

-log3(4-x),0<x<|

【解析】R上的奇函數(shù)/（x）,則有/（一x）=—/（x）,而當(dāng)x>0時(shí)，有“到=<

f(x-3),x>|

于是有/(2)=/(-L)=-y(l)=l,/(4)=/(1)=-1,/(6)=/(3)=/(0)=0,

因v",/⑺…-3),則有小"(61)7(2)"(6〃-2"(—(6〃)寸(3)=。,

所以〃2)+〃4)+/⑹+…+〃2022)=337"(2)+〃4)+/(6)]=0.

8.函數(shù)〃x)={(,,g(x)=f(x-2)+l,若g(a)=3,則g(4-a)=________

''[-x(x+l),x<0

【解析】因?yàn)間(無)=/(尤一2)+1,g⑷=3,所以/(。-2)=2.

當(dāng)時(shí)，f(a-2)=(a-2)(a-3)=2,解得：。=4；

當(dāng)。<2時(shí)，/①一2)=-(“-2)(。-1)=2,無解.

所以“=4.所以g(4—a)=g(O)=/(—2)+l=2x(—l)+l=-l

a—aba<b

9.對(duì)于實(shí)數(shù)。和6,定義運(yùn)算“*”：。*6="/一「設(shè)f(x)=(2x-l)*(x-l).

y-ab,a>b

⑴求F（x）的解析式；

⑵關(guān)于X的方程于3=m（me&恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

【解析】(1)由2x-L,;v-l可得％,0,由2x-l>x-l可得x>0,

(2尤_1)2_(2*_1)(尤_1),%,02x2-x,x?0

所以根據(jù)題意得/(x)=即/(x)=

(%-1)2-(2X-1)(%-1),X>0無一無L尤>0

(2)作出函數(shù)f(x)的圖象如圖,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x-x2開口向下，對(duì)稱軸為X=；,

所以當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)的最大值為=

因?yàn)榉匠蘤(x)=m(meR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)y=的圖象和直線y=m(m^R)有三個(gè)

不同的交點(diǎn)，可得小的取值范圍是

專項(xiàng)突破二分段函數(shù)定義域和值域

丫2_2Y?2Y<2

1.已知函數(shù)〃尤)=<，i，若打。GR,使得/(不)45〃?-4*成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

log2%,尤>2

A.,B.C.-吊D.r1

【解析】x<2時(shí)，j(x)=x2-2x+2=(%-1)2+1>1,

尤>2時(shí)，y(x)=log2x>l,

故仆"，?*-5m-4m2>1?解得機(jī)w11.故選：B.

4x-2x+2+m,x<0

2.已知〃x)=<1的最小值為2,則優(yōu)的取值范圍為()

%+—,%>0

x

A.(-oo,3]B.(-<?,5]C.[3,+oo)D.[5,+co)

【解析】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+—>2x~=2,

4,-2*+2+m,尤<0

又因?yàn)椤盁o)=1的最小值為2,,所以需要當(dāng)xWO時(shí),f(x)>2恒成立,

%+—,%>0

x

所以4-2-+加22在工?華⑼恒成立，所以機(jī)2-4、+2>2+2在工<ro⑼恒成立,

即根+4x2*+2在xe(-oo,C)H亙成立，令2,=t，則0<rWl,

原式轉(zhuǎn)化為，心-產(chǎn)+4xt+2在海(0』恒成立，

g⑺=一/+4*?+2是二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸為直線f=2,

所以在上g(r)最大值為g⑴=5,所以m25,故選：D.

Inx,x>0,

3.(多選)設(shè)函數(shù)"x)=，71X/c則()

cos——,-3<x<0,

2

A.的定義域?yàn)椋?3,+8)B.的值域?yàn)?/p>

〃)；的解集為

C.〃尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-2,內(nèi))D.X=

Inx,x>0

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=m

cos——,—3?%W0

I2

所以“X)的定義域?yàn)閇-3,0]50,+8)=[-3,+8),故A正確;

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)e(^o,+oo),當(dāng)一34尤40時(shí)，/(x)e［-l,l］,

所以/(x)的值域?yàn)椋跿，l］0(-<?，+(?)=(-<?，+<?),故B錯(cuò)誤；

如圖所示：

當(dāng)x>0時(shí)，/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(。，+8),

當(dāng)-3VxV0時(shí)，Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-2,0］,但在［-2,+動(dòng)上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤;

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lnx=：,解得尤=也,

JTY12

當(dāng)一3WxW0時(shí)，/(x)=cos—=-,解得x=D正確.

故選：AD.

4.(多選)已知函數(shù)/(工)="’-2W,關(guān)于函數(shù)Ax)的結(jié)論正確的是()

l-x+2,x>l

A./(x)的定義域?yàn)镽B./(x)的值域?yàn)?-℃,4]

C.若/(x)=2,則x的值是-0D./(X)<1的解集為(-1,1)

【解析】函數(shù)/(x)=定義分-2?x1和兩段，定義域是［-2,+8),故A錯(cuò)誤；

-2?x1時(shí)/(尤)=/，值域?yàn)椋?,4］,xNl時(shí)，/(%)=-%+2,值域?yàn)楣?(x)的值域?yàn)?-8,4］,

故B正確；

由值的分布情況可知，/。)=2在xNl上無解，故-2?x1,即/。)=/=2,得到無一血,故C正確;

-2?x1時(shí)令/(x)=x2<1,解得xe(-l,l),時(shí)，令/(x)=-x+2<l,解得xe(L+x)),故/(x)<l的解

集為(-M)U(l,—),故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

5.函數(shù)/(x)=j-［"，的值域?yàn)開____________

|^-log2x,x>l

【解析】當(dāng)x<l時(shí),y(x)=2\其值域?yàn)椋?0,2)

當(dāng)xNl時(shí)，/(x)=-log2%,其值域?yàn)椋?/p>

Vx<\

所以函數(shù)/(尤)={,"，的值域?yàn)椋?YO,0]U(0,2)=(YO,2)

-log2x,x>1

—%—3,%<0

6.函數(shù),3的值域?yàn)?/p>

z—,X>U

2

【解析】依題意，、=-》-3在(-8,0］上單調(diào)遞減，則當(dāng)x40時(shí)，y>-3,

—x—3,%<0

丫=2，1-］在(0,+6)上單調(diào)遞增，則當(dāng)x>0時(shí)，y>-l,所以函數(shù)/(x)hE3八的值域?yàn)閇一3,內(nèi)).

2——,x>0

I2

\a,a<b/、

7.定義運(yùn)算”知函數(shù)4)=(37回，，則心)的最大值為一

\a,a<b

【解析】由=<，可得a(8)6表示。與b的最小值,

\b,a>b

又函數(shù)y=3-x在R單調(diào)遞減，y=2*在R上單調(diào)遞增，故函數(shù)y=3-x與函數(shù)y=2工至多有一個(gè)交點(diǎn),

3—x,x>1

且當(dāng)x=l時(shí)，兩函數(shù)相交，故/(%)=

2x,x<l

故函數(shù)在(—,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減，當(dāng)％=1時(shí)函數(shù)/(力取最大值為2

xx<a

8.已知。、b、c都是實(shí)數(shù)，若函數(shù)〃x)=1的反函數(shù)的定義域是(a,y),則c的所有取值

—+ba<x<c

Lx

構(gòu)成的集合是

x2x<a

【解析】由/(%)=717其定義域?yàn)?-8，C),因?yàn)閄WO,所以a<c4O,

—+ba<x<c

(1)當(dāng)cvO,由解析式可得,

當(dāng)了Ka時(shí)，

當(dāng)〃<x<c時(shí)，-+Z?</(x)<—+/?,

ca

即f(x)的值域?yàn)椋?友：+“。(力,+8)；

X2x<a

又函數(shù)〃無)=1的反函數(shù)的定義域是

—+ba<x<c

.x

所以函數(shù)/(元)的值域?yàn)?f,母)，因?yàn)椤！、c都是實(shí)數(shù)，可以大于瓜；

因此值域可以為不滿足題意；

(2)當(dāng)c=O時(shí)，由解析式可得：

當(dāng)時(shí)，/(x)>tz2；

當(dāng)Q<XVC=O時(shí)，

即“X)的值域?yàn)?+8)；

同(1)可知：函數(shù)“X)的值域必須為因?yàn)閍、b、c都是實(shí)數(shù)，可以大于2,因此c=0符

合題意；

綜上：。的所有取值構(gòu)成的集合是{()}.

log1X,X<1

2

9.若函數(shù)〃x)=<

2X的值域?yàn)閯t。的取值范圍是.

a+I,X>1

【解析】對(duì)于y=l°g廣X<1,值域是(0,+8),對(duì)于>=。+(力,X>1,值域是

a<Q

欲使得U(o，+°°)=(,必有<--<a<0；

a+—>04

4

10.已知函數(shù)〃”=尤+1,g(x)=(x-l)2,對(duì)VxeR,用Af(x)表示y(x),g(x)中的較大者，記為

M(x)=max{〃x),g(x)},則的最小值為

【解析】如圖，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)〃x)=x+l和g(x)=(x-l)2的圖象,

因?yàn)閷?duì)VxeR,M(x)=max{/(x),g(x)},故函數(shù)M(尤)的圖象如圖所示:

由圖可知，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)"(X)取得最小值1.

專項(xiàng)突破三分段函數(shù)單調(diào)性

1.函數(shù)〃力=|玳2-力的單調(diào)遞增區(qū)間是(

A.[0,1]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,2]

【解析】當(dāng)x?0時(shí)，f^x)=x(2-x)=-x1+2x,開口向下，對(duì)稱軸為x=l,故其遞增區(qū)間是［。1］；

2

當(dāng)犬<0時(shí)，/(x)=-x(2-x)=x-2x9開口向上，對(duì)稱軸為x=l,在％<0時(shí)，單調(diào)遞減,

綜上：/(卜=忖(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［0,1］是選:A.

log(x+2)-l,x>0則函數(shù)〃x)是()

2.已知函數(shù)〃幻=2

l-log2(2-x),x<0

A.偶函數(shù)，在R上單調(diào)遞增B.偶函數(shù)，在R上單調(diào)遞減

C.奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增D.奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞減

【解析】/(0)=log2(0+2)-l=0,

當(dāng)x>0時(shí)，—x<0,則/(-x)=：l—k>g2(2+x)=—[k>g2(2+x)—l]=—/(x),

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,則/(-x)=log2(2-x)-l=-[l-log2(2-x)]=-〃x),

所以有=則為奇函數(shù).

當(dāng)xNO時(shí)，〃x）=log2（2+x）T單調(diào)遞增，由〃x）為奇函數(shù)，則在（F,O］上單調(diào)遞增，且"0）=0

所以/'（x）在R上單調(diào)遞增,

故選：C

1-2,不，m,

3.若函數(shù)/（x）=是定義在R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（)

x2+4x,x>m

A.(-oo,-2]B.[-l,+oo)

C.D.{-2}u[-l,+co)

【解析】如圖，作出函數(shù)y=x-2和y=Y+4x的大致圖象

v—+4無

c,得了2+3%+2=0,解得4=-2,%B=T,

y=x—2

注意到點(diǎn)A是二次函數(shù)y=/+4%圖象的最低點(diǎn)，

所以若根＜-2,則當(dāng)-2＞%.根時(shí)，/J）單調(diào)遞減，不符合題意；

當(dāng)機(jī)=-2時(shí)符合題意；

當(dāng)-2〈機(jī)＜-1時(shí)，則加-2＞病+4加，在%=加時(shí)函數(shù)圖象“向下跳躍”，不符合題意;

當(dāng)機(jī)..-1時(shí)，符合題意.

所以加的取值范圍為：m=-2或根..T.故選：D

IY24-1Y<0

4.設(shè)函數(shù)〃x)=…~,若〃f(T))=4a,則實(shí)數(shù)。=______,『⑺的單調(diào)增區(qū)間為______

[2+ox,x〉0

11<0

[解析]因?yàn)椤╔)二';，則=則/("-l))=〃2)=4+2a=4q,解得q=2.

/~?CUC,JCU

x2+1,x<0

所以,〃尤）=

2X+2x,x>0

當(dāng)x40時(shí)，/(x)=x2+l,此時(shí)函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，由于函數(shù)y=2，y=2x均為增函數(shù)，故函數(shù)〃x)=2'+2x也為增函數(shù),

由于02+1=2。+2義0,則函數(shù)在x=0連續(xù)，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+功.故答案為：2；(0,+功.

——2x+4,XW1

5.已知函數(shù)〃x)=廄//>1'，則/(〃2))=，函數(shù)〃尤)的單調(diào)遞減區(qū)間是

、2

—%?—2x+4,x<1

【解析】因函數(shù)〃X)=Iog/,X>1,貝M⑵=l°gj=-l,所以f"(2))=/(-l)=5；

、2

當(dāng)xWl時(shí)，/(無)=-/-2尤+4在(-0),-1)上單調(diào)遞增，在(一1再上單調(diào)遞減，/(1)=1,

當(dāng)x>l時(shí)，/⑴=咋產(chǎn)在(1,”)上單調(diào)遞減，且l°gp=°<l,

22

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(T,y).故答案為：5；(-l,y)

6.函數(shù)〃尤)=%2-6國(guó)+8的單調(diào)減區(qū)間是.

九2—6入+8y>Q

2乙。一八

)x+6x+8x<0

當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)7。)=爐-6》+8的單調(diào)遞減區(qū)間為［。同

當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)/(幻=尤2+6X+8的單調(diào)遞減區(qū)間為(—,-3］

丫2__￡YoY>0

2一<o一門的單調(diào)遞減區(qū)間為［0,3］，(-*-3］

)x+6x+8x<0

7.函數(shù)=一"e的單調(diào)遞減區(qū)間為___________.

［一%—2,%<0

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-x-2,則其在(一8,0)上遞減，

當(dāng)x20時(shí)，/(x)=(x-2)e%,如J/'(x)=e*+(x-2)e*=(x-l)e*,

當(dāng)OVxcl時(shí)，/'(無)<0,所以/㈤在2』)上遞減,

綜上，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

8.已知函數(shù)/。)=產(chǎn)—初：?1，”<1,滿足對(duì)任意玉w%都有"卬-/⑷](玉-％)>0成立，那么

(CLfX-L

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【解析】由已知可得函數(shù)/(尤)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，

5-a>0

則需滿足，心1，解得24a<5,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為[2,5),

(5-a)xl-a+l<a

專項(xiàng)突破四分段函數(shù)求參

3"T+1x<l

1.設(shè)〃X)=''、「若〃x)=2,貝人的值為()

log3(x+l),x>l

A.1B.2C.8D.1或8

【解析】若x<l時(shí)+1=2,可得x=l,不滿足x<l；

若xNl時(shí)Iog3(x+D=2,可得尤=8,滿足前提.

綜上，x的值為8.故選：C

'2、川_1,(尤43)

2.設(shè)〃尤)=,…，、/若〃x)=3,貝氏的值為()

log2^xM1],(X>3)

A.3B.1C.-3D.1或3

【解析】尤43時(shí)，令*-1=3,解得x=l,

尤>3時(shí)，令log?(x2-1)=3,解得x=±3,這與x>3矛盾，

x=l.故選：B

X2+|-771-1|.X+8,X<2

3.已知函數(shù)/(x)=12)是R上的減函數(shù)，則機(jī)的取值范圍為()

m+1.

-,x>2

、%

A.m<—lB.m>—2C.—3<m<—2D.—2<m<—1

x2+|—m-l|x+8,x<2

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=‘2>是R上的減函數(shù)，

X

1-^>2

24

所以<m+l<0解得一3<m<—2,選：C

,石入cm+1

4+3m-2+8>--------

2

lg(2x+1),x>0

4.已知函數(shù)/(%)=，若不等式/(?%-1)</(*-2)在［2,3］上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

lg(l—2x),x<0

)

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=lg(l-2x),

-x>0,f(-x)=lg(-2x+l)=/(x).

當(dāng)x>0時(shí)，/W=lg(2x+1),

-x<0,/(-x)=lg(l+2x)=/(x).所以/(x)為偶函數(shù).

又因?yàn)?⑶在(7=,0)為減函數(shù)，在(0,+8)為增函數(shù).

所以/(◎—l)</(x-2)o版一1|<|尤一2］.因?yàn)椴坏仁?◎一1)<〃％-2)在［2,3］上有解,

a1

所以2—%vox—\<x—2,即—1<%<1—在［2,3］上有解，

XX

31

又因?yàn)閥=3-1在［2,3］為減函數(shù)，丁=1—上在［2,3］為增函數(shù)，

xx

3

所以0<〃<—.故選：C

2

5,若函數(shù)=1<：一1的值域?yàn)镽,則〃的取值范圍是()

［x-2ax,x>l

A.［-2,2］B.(-oo,2］

C.［0,1］D,［0,+s)

【解析】由一1<%41時(shí)，/(%)=log2(x+1)e,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的值域?yàn)镽,所以當(dāng)x>l時(shí)，=尤)=/一2就，

分兩種情況討論：

①當(dāng)aWl時(shí)，x2-2ax>l-2a,所以只需1—2aVl,解得所以O(shè)WaWl；

②當(dāng)。>1時(shí)，(Y-2方)血"=一片，所以只需一/a,顯然成立，所以a>l.

綜上，”的取值范圍是[。,+s).故選：D.

6.已知函數(shù)/⑺+；：；與函數(shù)g(*=lnx的值域相同，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(一8,1)B.(-00,-1]C.[-1,1)D.(-00,-1]U[2,+℃)

【解析】因?yàn)間(x)=lnx的值域?yàn)镽,所以〃尤)=簿[：+"，::;的值域?yàn)镽.

當(dāng)xN1時(shí),3工231=3.

當(dāng)x<l時(shí)，①若1一。=0,即a=l,/(x)=l,此時(shí)不滿足條件.

②若1-。<0,即a>l,f(x)>l-a+a2,此時(shí)I(x)的值域不可能為R.

③若l—a>0,即。<1,/(%)<l-a+?2,要使〃x)的值域?yàn)镽,則l_a+/N3,即

/-°-220解得：a>2^a<-l,又因?yàn)閍<l,所以aW-1.故選：B.

7.已知函數(shù)〃x)=:一若,⑺存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

[log2x,%>4,

A.(-<?,4]B.[-2,+oo)

C.(-oo,-2)D.(-oo,-2]

【解析】???函數(shù)小)=[；一區(qū)尤(:

[log2x,x>4,

...當(dāng)x<4時(shí)，/(彳)=2*-。的范圍是(-4,16-<7)；當(dāng)X"時(shí)，/(%)=log2x,7(x)1nll,=2,

由題意/(無)存在最小值，則—。22,解得。<一2.故選：D.

x+4x<0

8.已知函數(shù)小)九小二5八：0若/⑷=5,則實(shí)數(shù)"一■

【解析】若。<0,貝=(。)="+4=5,解得。=1不合題意；

若aNO,則/(a)=log2(3"+5)=5.解得a=3,

綜上：a=3.

「-I、]sin「2萬V”//、\

9.已知函數(shù)〃zx)=JJ/」若/〃a)=i,則。=_______.

lx-2^a+i)x+a,x>a

【解析】/(/(a))=/(O)=l,

i3

當(dāng)時(shí)，/(0)=sin(―=1,得Q=-1—故〃=1；

當(dāng)一1?〃<0時(shí)，/(0)=(22=1,故〃=一1.

—一，3

故答案為：。=;或。=一1.

4

,、f—x+3—3a,x<0

10.若函數(shù)〃x)=優(yōu)X0是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—.

[0<?<12

【解析】由題知。。0

\3—3a..a3

11.已知函數(shù)/(%)=)'「，若/⑺是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則/(。)的取值范圍是__________

\ogax+a,x>l

(4—a>0

【解析】因函數(shù)〃尤)=4-是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此有°>1,解得34“<4,

[logx+a,x>l

ia6-a<a

所以/(a)=logaa+a=l+aw［4,5).

|x—2tz|,x<2

12.已知函數(shù)小)=x+'+,,x>2'且"2)是小)的最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是--------

、x-2

2a—x,x<2a

【解析】當(dāng)xK2時(shí)，若2av2,即有/(%)=ccc，/(x)在(一00,2a］上遞減，在(2〃,2］上

x-2a,2a<x<2

遞增，則/(2a)</(2)與/(2)是/(x)的最小值矛盾，

若2心2,即有_/(x)=2a-x在(-8,2]上遞減,VXG(-OO,2],f(x)>f(2),則aZl,

當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)/(X)=X-2H——-——ba+2>2.(x-2)—-——na+2=a+4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=--—,

x—2jx—2x—2

/、/x[a>\

即x=3時(shí)取“="，因”2是〃尤的最小值，則有人心，”,解得lWaV6,

—ZS+4

所以a的取值范圍為[1,6].

專項(xiàng)突破五解分段函數(shù)不等式

1.己知函數(shù)：4x+?Q0,則不等式/")>3的解集是()

[x+6,x<0

A.(—3,l)U(3,y)B.y,-l)U(2,3)

C.(-l,l)U(3,+w)D.(f,—3)U(L3)

【解析】函數(shù)f(x)=」廣+了"°,則不等式〃x)>3等價(jià)于Q或者,

x+6,x<0[尤+6>3[x--4.r+6>3

fx<0fx>0、、

角星｛乙。得：-3<x<0,角星，2/乙”得：0<%<1或%>3,于是得一3〈尤<1或x>3,

x+6>3x-4x+6>3

所以不等式“X)>3的解集是(-3,1)U(3，H.故選：A

2.已知函數(shù)〃x)='1、則不等式〃力+“彳+5)>4的解集為()

log,(X+JJ,X>1

A.(0,5)B.(O,+8)C.(5,+oo)D.(-5,5)

【解析】因?yàn)閄41時(shí)，/(%)=2\故在(-8』上為增函數(shù)，

X>1時(shí)，/(x)=log2(X+3),故f(X)在(1,+8)上為增函數(shù),

又了(X)的圖象在X=1處不間斷，故"X)為R上的增函數(shù),

令g(x)=〃x)+〃x+5),則g(x)為R上的增函數(shù)，

而g(0)="0)+/(5)=l+log28=4,故g(x)<4的解集為(0,+8).故選:B.

—兀？+4尤一4%<1

3.已知函數(shù)〃尤)=j_]+bg*；>]'若〃3形)>〃9—2〃z),則加的取值范圍為()

A.m>9B.m<9

八9一9

C.m>—D.m<—

55

【解析】作出函數(shù)〃%)的圖象，由圖象可知，/(%)在R上為增函數(shù)，

由/(3根)>/(9一2m)可得3m>9—2根，即m>\,選：C.

ex-1+x,x<l

4.設(shè)函數(shù)〃%)=1,則滿足“1-力>/(2%)的工的取值范圍是()

x+—,x>l

、X

A.B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-8,0)

11

【解析】〃X)=尸+兀單調(diào)遞增，^/(x)max=e-+l=2,當(dāng)%>1時(shí)，

e'T+x,x<1

由對(duì)勾函數(shù)得：/(力=1+,在。,小)單調(diào)遞增，且/⑺>"1)=2,綜上：〃x)=1單調(diào)遞增,

Xx+—,X>1

L%

因?yàn)閒(l-x)>/(2")，所以1_彳>2工，即2，+x-l<0,設(shè)/?(力=2￡+%—1,可知”(x)單調(diào)遞增，且//(0)=0,

故x<0,故選：D

2x2x>0

5.已知函數(shù)/(%)=｛。；一八，貝!J不等式f(log22x—3)<4f(log2%)的解集為()

-2x,x<0

A.(0,3)B.(-,8)

2

C.(0,8)D.(1,2)

22o

【解析】當(dāng)無之0時(shí),/(x)=2x2>0,4f(x)=8x2=f(2x),且/O)在[0,+8)上遞增，

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=—2%2<0,4/(x)=—8/=/(2X),且/⑺在(一雙0)上遞增，

所以/⑶在R上有4/(x)=/(2x),且函數(shù)/⑶是R上的增函數(shù)，

于是原不等式可化為log；x-3<210g2%,

log；x-21og2x-3<0,(log2x+l)(log2x-3)<0,

得一l<log2X<3,得;<x<8,故選：B

6.設(shè)函數(shù)無：+尤則關(guān)于X的不等式的解集為_____.

1—X+x,x<0,