第五章數(shù)列章末測試

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考

證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.___

1.（24-25高二上?甘肅慶陽?階段練習）已知數(shù)列0,行,2行,后,…，則而是它的（）

A.第9項B.第10項C.第13項D.第12項

【答案】C

【分析】首先得出數(shù)列的通項公式，然后解方程即可求解.

【詳解】數(shù)列收，石,2虛,JTT,…，即數(shù)列通,…的通項公式是%=亞二

令-1=二〃=13,所以J羽是它的第13項.

故選：C.

2.（24-25高二上?江蘇南京?階段練習）已知等差數(shù)列｛。”｝的首項為1,若4,%，%+1成等比數(shù)列，則為=

（）

A.-2B.4C.8D.-2或4

【答案】B

【分析】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由%，出,%+1成等比數(shù)列求出"可得答案.

【詳解】等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

若%,%,%+1成等比數(shù)列，則a2=a\（。3+1），

即（1+=1+2d+1,解得d~=\1d=±1,

當"=1時，/=1+3=4,

當d=-l時，“2=1-1=°，此時+1不能構成等比數(shù)列，故舍去，

所以。4=4,

故選：B.

4

3.（24-25高二上?福建?期中）一個彈力球從1m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的］處，那么

在第"次著地后，它經(jīng)過的總路程超過5m,則〃的最小值是（）

【答案】A

【分析】求出通項公式，再利用等比數(shù)列求和公式得解.

【詳解】設小球第一次落地時經(jīng)過的路程為卬，第"1次落地到第"次落地經(jīng)過的路程為。“（”22）,

由題意，％=1,數(shù)列｛。“｝從第二項起構成以首項為出=lx1x2=g,公比為2的等比數(shù)列，

則第〃次著地后經(jīng)過的路程為％+%+…+°“=1+三

即［g］wg,結合選項，檢驗〃=4時，［g］>g,〃=5時，成立，

故選：A

4.（24-25高二上?河北滄州?階段練習）已知數(shù)列｛%｝的通項公式為則｛4｝中的項最大為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的單調性求解.

—0,Q3=—1,“4=2?

3

當〃24時，函數(shù)歹二^—u單調遞減，

則當〃24時，數(shù)列｛%｝單調遞減，

所以｛4｝中的項最大為為=2.

故選：D.

5.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）己知等比數(shù)列｛%｝的前“項和為S.，若［=J，則（）

\十

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列｛。“｝的前〃項和S”的性質，將$6,S”席分別用$3表示，代入即可求解.

d3+d6

邑

【詳解】因為U=示1所以§6=4邑，則S6—尾=353，

d64

由等比數(shù)列｛%｝的前〃項和Sn的性質可知，

數(shù)歹（JS3，S6—83,89—S6，S12-5是以§3為首項，3為公比的等比數(shù)歹U，

所以屬-$6=32邑=9S3,即工=9s3+$6="S3，

3

Sn-S9=3S3=27s3,即S12=27s3+S9=40s3,

S40s3

所以—n—=-----=8o

s3+s6S3+4S3-

故選：B.

6.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,，且S,,=2a“-1,bn=log2an+1,則

111

----1-----F,?,.-1----二（）

b2b3b3b4她0

29109

A.-B.—C.—D.—

5101122

【答案】A

【分析】先根據(jù)前"項和公式得到通項公式，再根據(jù)裂項相消法求得最終結果.

【詳解】當"=1時，則％=1,

當〃22時，S,T=2a?_1-1,

則a-”-=2an-2an_x,所以%=2al,

又％=1*0,所以數(shù)列｛%｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得知=。「小=2"一,即％=2",

因為"=log2a用，所以“

11_1__1

根據(jù)裂項相消法77一

+nn+1

b2b3b3b4b9bi0（231（34）1^910J2105

故選：A.

7.（湖南省九校聯(lián)盟2024-2025學年高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題）已知正項數(shù)列｛%｝的前"項和為

S“，%=4,且%=JT+6：（〃22）,則電024=（）

A.4049B.4047C.2025D.2024

【答案】A

【分析】根據(jù)g=S,-S"T計算化簡得出數(shù)列｛瘋｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，進而得出通項公式即

可求解.

【詳解】當“22時，％=S“-S（I-=7^+反，即（病一師）（向+師）=向+反，

由數(shù)列為正項數(shù)列可知，直-卮=1，又同=6=2,即數(shù)歹U｛卮｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)歹!J,

即7^7="+1，則7^="，〃22，

當時，/=6"+67=2"+1；

所以4024=4049.

故選：A.

8.（24-25高三上,上海?階段練習）設數(shù)列{%}的前"項和為S,，若見+0用="+1,且存在正整數(shù)左，使得

邑=$1=90,則q的取值集合為（）

A.{-9,9}B.{-9,10}C.{-10,9}D.{-10,10）

【答案】B

【分析】利用分組求和求得$2"="（"+1）,不妨令邑,,=90,解得"=9,所以與=%，因為$=&包=90,

所以上=18或17,分情況討論可得答案.

【詳解】因為%+。用=〃+1,所以

/\\/\n（2+2n],、

S2n=（°1+。2）+（。3+Q4）~I-----（。2〃-1+）=2+4+6+??,+2〃=--------=〃（1+〃）

不妨令$2,=90,可得"+"_90=0,解得〃=9或〃=-10（舍去），所以幾=90.

又因為&=SE=90,所以上=18或17,

因為%+%+1=〃+1，所以％+1+4+2=〃+2,所以％+2-。“=ln%=。“+2-1

當左二]8時，由百8=S19=90=%9=§19_$18=0,

所以。1=。3-1=。5-2=…=49—9=—9,

當后=17時，由岳7=耳8=90n48=岳8_岳7=0,

又由％7+&18=18=>%7=18,

所以。1=。3—1=。5-2=3=《7—8=18—8=10.

所以q的取值集合為{-9,10}.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（24-25高二上,河北滄州?階段練習）已知數(shù)列{《}的前"項和S"="2-6",則下列結論正確的是（）

A.{對}的通項公式為。,,=2〃-7

B.若品一。“=6,貝！|加一〃=3

C.當?shù)?6時，S”取得最小值

D.數(shù)列M|}的前10項和為58

【答案】ABD

\S,n=I

【分析】利用可]求得數(shù)列的通項公式，進而逐項計算可判斷正誤.

【詳解】由S“="2-6〃，令"=1,可得￡=%=-5.

當“22時，5?_,=(?-1)2-6(?-1),兩式相減得見=S"-九=2〃-7,

當”=1時，也滿足。“=2〃-7,所以｛%｝的通項公式為卬=2"-7,故A正確.

因為｛4,｝的公差為2,所以冊-%=2(w-〃)=6,貝I]加-〃=3,故B正確.

7

由%=2"-740,得*,所以〃=3時，5“取得最小值，故C錯誤.

當〃W3時，。〃<0；當〃之4時，。〃>0.

+|tz|H--------b|tz|=_(〃]++。3)+(44+〃5--------^〃io)=_&+(§10-83)=故正確.

210a258,D

故選：ABD.

10.(24-25高二上?福建龍巖?階段練習)設數(shù)列｛%｝的前"項和為s"，已知S”=2a“-1,則下列結論正確的

是()

A.S2=2

B.數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列

C.。“=2"

D.若b“1-------------------，則數(shù)列也｝的前10項和為整

log2a?+1log2a?+211

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，可得4=2,所以數(shù)列｛見｝為以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，依次可判斷A、B、

an-l

C,再由裂項相消法判斷D.

【詳解】當"=1時，由S“=2a0-1,得H=%=2%-1,解得%=1,

當〃22時，an=Sn-Sn_x=2a?-l-(2a?_1-l)=2an-2an_x,

即an=2%,

即數(shù)列｛%｝為以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

則a“=2"T,。2=2,邑=3,所以A、C錯誤，B正確;

,1111

3^.=-----------=—/--r-------,

、"log2an+llog2an+2M(n+1)nn+\,

數(shù)列低｝的前10項和為：

故選：BD.

11.（24-25高二上?江蘇南京?階段練習）唐代詩人羅隱有詠"蜂"詩云："不論平地與山尖，無限風光盡被

占.采得百花成蜜后，為誰辛苦為誰甜？"蜜蜂是最令人敬佩的建筑專家，蜂巢的結構十分的精密，其中的

蜂房均為正六棱柱狀.如圖是蜂房的一部分，若一只蜜蜂從蜂房/出發(fā)，想爬到第1,2,3,一、〃（"€>1*）號蜂

房，只允許自左向右（不允許往回走），記該蜜蜂爬到第”號蜂房的路線數(shù)為數(shù)列｛%｝,則（）

【答案】ACD

【分析】根據(jù)遞推關系可得。，=%.2+%（心3,力€可），即可代入求解ACD,結合

??_1=an_3+a,4（〃24,〃eN*）,相減即可判斷B.

【詳解】依題意可知，該蜜蜂爬到第1號蜂房的路線數(shù)為1,第2號蜂房的路線數(shù)為2,第3號峰房的路線

數(shù)為3,第4號峰房的路線數(shù)為5,第5號峰房的路線數(shù)為8,…，第”號蜂房的路線數(shù)為

即4=a"_2+4T（〃23,〃eN*）,

所以%=為=13,a7=a5+a6=21,a8=a6+a7=34,a9=a7+as=55,al0=as+ag=89,故A正確；

由于%=。“-2+an-\，則an-l=an-3+。“一24,72€N"）,

兩式相減可得2。"一產(chǎn)a“-3+a”,所以2a2023=。2024+%021，故B錯誤；

20241012

由于Z。，=%+&+/+4+…+02024=%+%+%+…+/025=￡/加1，故C正確;

1=1k=l

￡4=4+2+。3+%+...+%=（。3一%）+（。4_。3）+（。5_&）+…+（%+2-%+1）

z=l

=an+2-a2=an+2-2,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于得到a“=a“_2+ai（〃N3,〃eN*）,進而變形計算可解決問題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（24-25高二上?山西太原■階段練習）在等差數(shù)列｛%｝中，若。3+。5+。7+。9+%1=1。。,則為+。13的值

為.

【答案】40

【分析】由等差數(shù)列下標和的性質求得%=20,進而可得目標式的值.

【詳解】由題設%+%+%+%+%=5%=100n%=20,

所以％+%=2%=40.

故答案為：40

13.（24-25高二上?江蘇南通?階段練習）已知｛。“｝是公差不為零的等差數(shù)列，％=14,且%,成等比數(shù)

列，設數(shù)列也｝的前1項的和為列,則$2025=.

【答案】3038

【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義以及等比中項性質列方程組計算可得求出數(shù)列｛%｝的通項公式，再利

用分組求和計算可得.

【詳解】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

%+4d=14ax+4d=14

由〃5=14,3Mli成等比數(shù)列可得

ax?(4+10d)=(%+2d)2

整理可得

所以4=2+3（〃-1）=3〃-1,因此“=（一1嚴（3〃一1）；

易知易+b2M=（-產(chǎn)（61）+（一1嚴2（6左+2）=3,

=11-+

因此可得,^2025bx+b2+b3-\--1-&2024+62025=4+（8+&）_----（^2024^2025）=2+1012x3=3038.

故答案為：3038

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于求出數(shù)列｛““｝的通項公式之后結合（-1）用的性質利用分組求和即可得出

結果.

14.（24-25高三上?重慶?階段練習）若數(shù)列｛%｝滿足對任意〃eN*都有氏&a坦，則稱數(shù)列｛%｝為N*

2

上的"凹數(shù)歹U".已知，=4"'一加；：",若數(shù)列也｝為｛〃€N|”22｝上的"凹數(shù)列”，則實數(shù)加的取值范圍

是.

【答案】（-9一:

【分析】根據(jù)題意整理可得加[（3〃-2）2-8]+3（3"-2）（0,換元:3"-2,分析可知原題意等價于一5“11

t

對任意出4恒成立，根據(jù)函數(shù)單調性求最值結合恒成立問題分析求解即可.

【詳解】若數(shù)列也｝為｛"€曰|〃22｝上的“凹數(shù)列"，則%G鋁也，即22+146"+2+2，

可行2L--一（"+1『+（"+1）]<4〃，一加+4?,_/〃（〃+2『+（〃+2）

J[q4"+i-4"4”+2

整理可得加（9〃2_12〃-4）+3（3〃一2）W0,即加[（3〃-2）2-8]+3（3H-2）<0,

因為〃之2,令￡=3〃-224,可得機,2_8）+3/V0,

m、t------1--------

當/“時，Z2-8>8>0,可得3-產(chǎn)-8.8,

t

m1

原題意等價于一5一1后對任意t>4恒成立，

t----

t

Q

因為y=t-:在［4,+⑹上單調遞增，

貝|>一，8在［4,+8)上單調遞減，且當f=4時，j=-,

t—2

t

1

可知了一,8的最大值為:，

t

ni13

可得-《2］，解得機W-］，

所以實數(shù)機的取值范圍是，8,■

故答案為：.

【點睛】易錯點點睛：解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點

(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個區(qū)間上的連續(xù)實數(shù)，所以它的圖象是一群

孤立的點.

(2)轉化以函數(shù)為背景的條件時，應注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視的問

題.

(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關問題時，應準確構造函數(shù)，注意數(shù)列中相關限制條件的轉化.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)(24-25高二上?浙江杭州?階段練習)記邑為數(shù)列｛〃/的前〃項和，％為數(shù)列｛5｝的前〃項積，

210

已知不+了=2.

J”Dn

⑴證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

(2)求｛%｝的通項公式.

【答案】⑴證明見解析

(2)%=11

n\n+X)

721j

【分析】（l）先求出4,然后當“22時，由題意可得廣=毛，代入丁+丁=2中化簡可得從

而可得｛〃｝是以為首項，以:為公差的等差數(shù)列，

（2）由題意可得％=：,由（1）可得或=胃，從而可求出s“="|,再由%=S「S.T可求出耳，檢驗

22〃+1

3

q=力是否滿足，從而可求出數(shù)列｛%｝的通項公式

3

【詳解】（1）當〃=1時，蘆,易得4=5,

b「21c

當〃22時，廣/代入不+丁=2消去%

*3〃Dn

2dlic1

得才十廠2,化簡得%二弓，

unun乙

所以，數(shù)列｛，｝是以為首項，以3為公差的等差數(shù)列；

（2）易得q=E=4=g,由（1）可得b“=t，

當“22時，5"=?可得$“=叱1,

b“_\n+1

n+2n+\1

an=SnfT^-7-----=一-（,

n+\nn^n+l）

顯然為不滿足該式，

■|,（"=1）

所以=vi

一TF叱2）

n[n+\）

16.（15分）（24-25高二上?重慶?期中）已知｛%｝為等差數(shù)列，其公差為d,前〃項和為S〃，｛"｝為等比數(shù)

列，其公比為9,前〃項和為（，若d=qwl,a5=T3,品=十，1=6.

⑴求公差d和可；

b

⑵記證明：。1+。2■）卜。〃<1.

【答案］⑴4=d=2

（2）證明見解析

【分析】（1）分析可得§9=9%，由此可得94=q,利用等比數(shù)列的求和公式可求出9的值，即可得出d的

值，計算出名的值，根據(jù)%=4可得出關于偽的方程，即可解出4的值;

（2）利用裂項相消法求出數(shù)列上,｝的前”項和，即可證得結論成立.

【詳解】（1）因為｛%｝為等差數(shù)列，其公差為d,前〃項和為S“，則I"%）=%,

又因為%=4，S9=T6,貝1]9北=7；,

因為公”1,即現(xiàn)匕工也-q6

，可得1+-=9,解得9=2,故d=2,

i—q1一9

喝上7八14,可得….

所以，牝=+4d=6+4x2=14,則（=

綜上所述，b\=d=2.

（2）由（1）可得”=2X2〃T=2”,

b.2n11

所以，c“=

（4+「1）（4_1廠（2角一1）（2"-1）一（2"-1）（2"+1-1）2"-12"+i-l'

J_____11______111

因止匕，G+。2---------卜-++-??+

2^1-22-122-1-23-12n-i~2n+1-l

1

=1-<1.

2角一1

17.（15分）（24-25高二上?福建廈門?階段練習）若數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且2s,=3a,-1〃eN*）,等

差數(shù)列也“｝滿足4=3%也=&+4.

⑴求數(shù)列｛%｝,｛4｝的通項公式;

⑵設c”=今，求數(shù)列卜｝的前〃項和人

【答案】⑴%=3"T,6“=2〃+1

（2）7；=2-^

【分析】（1）由條件根據(jù)S”4關系可得2a.=3a“-3a1（心2）,證明數(shù)列｛咽是等比數(shù)列，由此可求見,

由條件求數(shù)列低｝的公差，再求數(shù)列上｝的通項公式;

（2）利用錯位相減法求數(shù)列｛。,｝的前"項和北.

【詳解】⑴因為2s①,

所以25"乩=3。"_]②,2%=3%-1,

①-②得2%=3%-3%,又％=1

所以2=3,故數(shù)列｛%｝是以3為公比，首項為1的等比數(shù)歹U，

an-l

4=3%=3,b3=〃2+4=3+4=7,

,.等差數(shù)列低｝的公差為與w=4

一二2,b=2n+1.

3—12〃

（2）由（工）可得4=個口，

T3572〃-12〃+1

13572n-l2n+l

'?/=鏟+三+下+…+下一+-^7T

1

1口、濟-曰2T32222n+l1c2〃+1_42〃+4

兩式相減何=]+手■+予■+…+三一手]=—+2xI

33n+1~3―_3〃+i

,?…宇

18.（17分）（24-25高三上?天津?階段練習）｝是公比大于0的等比數(shù)列,且％=2,a3-a2=4.

⑴求｛%｝的通項公式;

n+3

⑵求<,的前n項和S“.

(n+l)(n+2)an

⑶若，=log"，在外與加之間插入2i（%eN*）個2,得到一個新數(shù)列｛q,｝.是否存在正整數(shù)加，使得數(shù)

列｛%｝的前％項之和￡=2025?若存在，求出加的值；若不存在，說明理由.

【答案】⑴%=2"

WJ1

⑵w-2-（H+2）-2n

⑶m=999

【分析】（1）設等比數(shù)列｛%｝的公比為4,則4>0,根據(jù)題意可得出關于4的方程，解出4的值，即可求得

數(shù)列｛。“｝的通項公式；

n+311

（2）求得（〃+l）（〃+2）2=EF^gF利用裂項相消法可求得加

（3）對人在新數(shù)列中的位置分析，求得4在新數(shù)列中為第2"+左-2項，然后對｛c“｝分組求和，得

圖=2（22）+1+2+…+左=2川+戈，一4,利用單調性解出不等式-4>2025,當人=9時的

情況即可求得機的值.

【詳解】⑴設等比數(shù)列｛叫的公比為4,貝/>0,所以，2-出=%年—0）=2①一4）=4,

整理可得p2_p_2=0,因為q>0,解得4=2,故%=4q"T=2a.

〃+3_2(〃+2)-(〃+1)_11

(2)

因為("+l)(”+2>2"一(“+1)(〃+2>2"一(“+]>2"T-("+2>2"'

__□____]__J______]__J_____1_]__________]

所以，"-2"一萬+同一4"+4"-+…+(〃+])2T“+2)2

11

-2-(?+2)-2,''

(3)由題意可知，設4在數(shù)列｛6｝中的項為q,

貝I]由題意可知，t=2+22+---+2k^+k=2k+k-2,

所以當m=2上+上一