第05講等比數列

01學習目標

課程標準學習目標

1.能敘述等比數列和等比中項定義，能夠應用定義判斷

1.通過生活中的實例，理解等比數列的概

一個數列是否為等比數列；

念.

2.探索并記憶等比數列的通項公式，能夠應用它解決等

2.掌握等比數列通項公式的意義.

比數列的問題；

3.掌握等比數列的有關性質，并能解決一些

3.在學習和運用等比數列的定義和通項公式的過程中，

簡單問題.

提升數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養.

02思維導圖

等比數列的概念

f等比數列的通項公式及應用

等比數列的判定或證明

題型V等比中項及應用

―—等比數列性質及其應用

［等比數列的單調性

等比數列中的最值問題

等比數列的簡單應用

03知識清單

知識點01等比數列的概念

6Z篦+1

一般地，如果數列｛斯｝從第2項起，每一項與它的前一項之比都等于同一常數%_即——=］恒成立，則

Cln

稱數列｛四｝為等比數列，其中4稱為等比數列的公比.

【解讀】

(1)“從第2項起”，是因為首項沒有“前一項”，同時注意公比是每一項與前一項的比，前后次序不能點至L

另外等比數列中至少含有三項；

(2)定義中的“同一常數”是定義的核心之一，一定不能把“同''字省略，這是因為如果一個數列從第2項起,

每一項與它的前一項的比都是一個與〃無關的常數，但是如果這些常數不相同，那么此數列也不是等比數

列，當且僅當這些常數相同時，數列才是等比數列；

（3）若一個數列不是從第2項其，而是從第3項起或第〃（〃〉3,〃eN*）項起，每一項與它的前一項的比

等于同一常數，則此數列不是等比數列；

（4）由定義可知，等比數列的任一項都不為0,且公比qwO；

（5）不為0的常數列是特殊的等比數列，其公比為1。

【即學即練。下列數列為等比數列的是（）

111

A.2,22-3X22,???B.-,――,…

a4

C.5-1,（S—1）2，（5—1）3，???D.0,0,0，???

知識點02等比數列的通項公式

一般地，如果等比數列｛四｝的首項是幻，公比是q,那么等比數列的通項公式為a”=aq"T.

【解讀】

（1）等比數列的通項公式即=。刈"-1共涉及m，q,n,詼四個量，已知其中三個量可求得第四個量.

（2）等比數列與指數函數的關系

ax6Zi

等比數列的通項公式可整理為an=—q\而y=一歹（#1）是一個不為0的常數一與指數函數G的乘積,

q<1q

從圖象上看，表示數列|史/\中的各項的點是函數夕=之歹的圖象上的孤立點.

［QJq

【即學即練2］（24-25高二上?上海松江?期中）己知數列｛%｝滿足。用=2g,且％=1,則，=.

知識點03等比數列的單調性

等比數列｛%｝的首項為％,公比為9

6Z16Zi>06Zi<0

q的范圍0<^<1q=iq>\0<^<1q=iq>\

數列｛%｝的增減

遞減數列常數列遞增數列遞增數列常數列遞減數列

性

【即學即練3］（24-25高二上?上海?期中）數列｛%｝是等比數列，公比為4,"0>i是"數列｛%｝是嚴格增

數列”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

知識點04等比中項

如果x,G,y是等比數列，那么稱G為x與y的等比中項.

【解讀】（1）在一個等比數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的

等比中項.

（2）當a,b同號時，a,6的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項.所以“a,G,b成等比數列”與“G

=5%”是不等價的.

（3）任意兩數都存在等差中項，但并不是任意兩數都存在等比中項，當且僅當兩數同號且均不為0時

才存在等比中項.

【即學即練4］（23-24高二下?陜西榆林?階段練習）若。是1與9的等比中項，則實數”的值為（）

A.3B.-3C.±3D.9

知識點05等比數列的性質

（1）一般地，如果｛a“｝是等比數列，而且正整數s,3p,q滿足s+t=p+q,則強巨馬旦.特別地，

如果2s=p+q,則成=%包.

（2）若｛““｝是公比為q的等比數列，則：

為任一常數）是公比為q的等比數列；

②｛同｝是公比為團的等比數列;

③｛曲｝（加為常數，〃6N+）是公比為qm的等比數列.

（3）若｛%｝,｛6,｝分別是公比為3,丁的等比數列,則數列｛。“也｝是公比為公⑦的等比數列.

【即學即練5】（23-24高二下?北京大興?期中）已知數列｛%｝是等比數列，若q=2,%%=32,則Q的值為

（）

A.-4B.-2

C.4D.16

題型精講

04L=

題型01等比數列的通項公式及應用

【典例1】（24-25高二上?江蘇鎮江?期中）在等比數列｛%｝中，若。5=4,%=8,則（）

A.-32B.-16C.16D.32

【變式1】（23-24高二下?安徽蕪湖?期末）已知數列｛%｝是等比數列，滿足q=1,公比q=2,則。3=

（）

A.2B.4C.8D.16

【變式2］（24-25高二上,江蘇淮安?期中）若在1和81之間插入3個數，使這5個數成等比數列，則該等比

數列的公比為（）

A.3B.-3C.±3D.±9

【變式3】（24-25高二上?江蘇?期中）己知等比數列｛%｝的公比4>1,且滿足%+*=5,%=2,則1的值

為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式4】（23-24高二下?遼寧遼陽?期末）若等比數列｛%｝滿足%%+［=6（左＞1）,則其公比為（）

A.kB.—\［kC.yfkD.+-\/^

題型02等比數列的判定或證明

2

【典例2】（2024高二?全國?專題練習）已知數列｛%｝和也｝滿足%=2,a?+i=-a?+n-4,

+其中幾為常數，"為正整數.

⑴證明：對任意實數4,數列｛%｝不是等比數列；

（2）試判斷數列｛"｝是否為等比數列.

【變式1】（24-25高二上?福建,期中）已知數列｛%｝各項都是正數的數列，下列說法正確的是（）

A.若｛%｝是等差數列，貝是等差數列

B.若｛%｝是等比數列，則｛2%｝是等比數列

C.若｛%｝是等差數列，貝42冊｝是等比數列

D.若｛%｝是等比數列，貝|｛2%｝是等差數列

【變式2】（24-25高二上?廣東東莞?期中）（多選）已知數列｛%｝是首項為1,公比為3的等比數列，則

（）

A.［乎］是等差數列B.｛a向-%｝是等差數列

C.｛1鳴%｝是等比數列D.｛a“%+J是等比數列

【變式3］（24-25高二上■全國■課后作業）已知數列｛%｝中，ax=1,a2=2,2an=an+2-an+i.

（1）求生，4，生，并猜想｛%｝的通項公式（不需證明）；

（2）證明：數列｛。向+見｝是等比數列.

題型03等比中項及應用

【典例3】（2024?安徽馬鞍山?三模）已知數列｛%｝是公差為2的等差數列，若%+2,%+2嗎4成等比數歹！J，

則q4二（）

A.9B.12C.18D.27

【變式1】.（23-24高二下?江西?階段練習）設公差不為零的等差數列｛〃/的前〃項和為S〃，S2=〃3+l，且

%為，八成等比數列，則。2024=（）

A.2024B.2025C.4049D.4050

【變式2】（23-24高二上?山東青島?期末）等差數列｛%｝的首項為1,公差為d,若外，%，。6成等比數列，則

d=（）

A.0或一2B.2或一2C.2D.0或2

【變式3】（23-24高二上?云南玉溪?期末）"b=G是"a,6,c成等比數列”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【變式4】（23-24高二下?上海浦東新?期末）在數列1、X、乃15中，若1、x、y成等比數列，且X、八15

成等差數列，則x、y的值分別是.

題型04等比數列性質及其應用

【典例4*24-25高二上?山東?期中）已知數列｛叫為各項均為正數的等比數列，出和&是方程/-9x+10=0

的兩個根，則眩生+旭出+…+炮。7=（）

57

A.—B.3C.—D.4

22

【變式1】（24-25高二上?福建龍巖?階段練習）等比數列｛%｝的各項均為正數，且％&+“4%=18,則

log3^+log3a2+…+log3?10=（）

A.12B.10C.5D.21og35

【變式2】（24-25高二上?甘肅張掖?階段練習）在等比數列｛%｝中，出，&是方程/-8x+7〃=O兩根，若

=3%,則m的值為（）

A.-9B.-3C.3D.9

【變式3］（2024?山東淄博?二模）已知等比數列｛%｝,出=4,須=16,則％=（）

A.8B.±8C.10D.±10

【變式4］（23-24高二下?安徽滁州?期末）已知正項等比數列｛%｝單調遞增，%=8,%+%=9,則。5=

)

A.12B.16C.24D.32

題型05等比數列的單調性

【典例5］（23-24高三下?山東?開學考試）已知數列｛七｝是以q為首項，4為公比的等比數列，則

"%。-4）>0"是"｛%｝是單調遞減數列”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1］（23-24高二下?北京順義?期中）數列｛%｝是等比數歹U,則對于"對于任意的加eN-,an+2>an"^"｛a,,｝

是遞增數列”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分也不必要

【變式2】（22-23高二下,北京海淀?期中）在等比數列｛%｝中，"%>0,且公比9>1",是"｛%｝為遞增數歹U”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3］（23-24高二上?河北保定?期末）（多選）已知等比數列｛%｝的首項為q，公比為4,則下列能判斷

｛%｝為遞增數列的有（）

A.%=3國=；B.q=2,q=3

1111

C.〃1=§，夕=5D.axQ=~

題型06等比數列中的最值問題

【典例6】（2024高二,全國?專題練習）等比數列｛6｝（〃eN*）滿足的=；,公比為2,數列也｝（〃eN*）滿足

勿=限4,下列說法錯誤的是（）

A.｛%｝為遞增數列B.也｝為遞增數列

C.低｝中最小項的值為1D.（?-3）（/）?-??）>0

【變式1】（23-24高二下?山西晉城?期末）已知等比數列｛%｝滿足為>0,公比1>1,且

n=

log2ax+log2tz2+???+log2tz2024<0,log2ax+log2tz2+--+log2tz2025>0,則當為%…。〃最小時，（）

A.1012B.1013C.2022D.2023

【變式2］（23-24高二上?福建漳州?期末）已知正項等比數列｛4｝的前"項積為北，且%>1,則下列結論正

確的是（）

A.若［=（，則兒>1B.若16=1,則［

C.若則D.若［</；,則刀>（

【變式3】（24-25高二上?江蘇?階段練習）（多選）已知等比數列｛%｝的各項均為正數，公比為4,為>1,

4+%>&%+1>2,記｛%｝的前“項積為則下列選項正確的是（）

A.0<^<1B.以>1C.T-\2>1D.T-\3>1

【變式4］（22-23高二上?江蘇鹽城?階段練習）（多選）設等比數列｛0“｝的前〃項積為北并滿足%>1,

心=心。，則下列結論正確的有（）

A.。2022<。2023B.a20a30T>。C.當〃=25時，北取最大值D.當〃251時，Tn<1

題型07等比數列的簡單應用

【典例7］（23-24高二上?重慶?期末）古代“微塵數"的計法："凡七微塵，成一窗塵；合七窗塵，成一兔塵;

合七兔塵，成一羊塵；合七羊塵，成一牛塵；合七牛塵，成于一帆；合于七蝸，成于一虱；合于七虱，成

一芥子；合七芥子，成一大麥；合七大麥，成一指節；累七指節，成于半尺......”這里，微塵、窗塵、兔塵、

羊塵、牛塵、蝸、虱、芥子、大麥、指節、半尺的長度構成了公比為7的等比數列.那么1指節是（）

A.7’兔塵B.7’羊塵C.｝兔塵D.十羊塵

【變式1】（22-23高三上?福建寧德?期末）《莊子?天下》中講到：“三尺之趣，日取其半，萬世不竭.”這其

實是一個以1?為公比的等比數列問題.有一個類似的問題如下：有一根一米長的木頭，第2天截去它的

第3天截去第2天剩下的：，…，第〃天截去第天剩下的工，則到第2022天截完以后，這段木頭還剩

下原來的（）

1111

A.----B.----C.----D.----

2021202240424044

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業）“綠水青山就是金山銀山."我國某西部地區進行沙漠治理，已知

該地區有土地1萬平方千米，其中70%是沙漠，從今年起，該地區進行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改

造為綠洲，同時原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設從今年起第”年綠洲面積為％萬平方千米.

⑴求。”與%（"22）的關系；

（2）判斷“，-g｝是不是等比數列，并說明理由；

⑶至少經過幾年，綠洲面積可超過60%?（Ig2?0.301）

05強化訓練

一、單選題

1.（23-24高二下?北京房山?期中）已知等比數列｛%｝的通項公式%=-2x3",則數列｛%｝的公比為（）

A.3B.2C.-3D.-6

2.（23-24高二上?全國?期末）已知數列｛%｝是等比數列，且％+。5=7,%+%=21,貝（）

A.28B.63C.189D.289

3.（2024?海南?模擬預測）已知等比數列｛%｝的公比不為1,若q=2,且3%,2,-生成等差數列，則4=

（）

A.2X3”TB.3〃C.2x（-3）〃TD.（—3）"

4.（24-25高二上?福建漳州?期中）等比數列｛%｝中，％9,〃3=8,%+。4=10，則&=（）

A.4B.8C.16D.32

5.（23-24高二上?甘肅定西?階段練習）已知數列｛〃〃｝為等比數列，若電?。3=2々，且%與2%的等差中項為

則數列｛%｝的公比《=（）

A.yB.2C.；D.4

6.（24-25高二上?甘肅武威?階段練習）己知遞增的等比數列｛4｝中，前3項的和為13,前3項的積為27,

則6的值為（）

A.1B.3C.5D.7

7.（23-24高二上?江蘇南通?期中）折紙與剪紙是一種用紙張折成或剪成各種不同形狀的藝術活動，是我們

中華民族的傳統文化，歷史悠久，內涵博大精深，世代傳承.現將一張腰長為1的等腰直角三角形紙，每

次對折后仍成等腰直角三角形，對折5次，然后用剪刀剪下其內切圓，則可得到若干個相同的圓片紙，這

些圓片紙的半徑為（）

AV2-1R2-V2夜n1

8888

8.（24-25高二上?江蘇鎮江?期中）高斯（Gai/ss）被認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子"

之稱.小學進行1+2+3+…+100的求和運算時,他這樣算的：1+100=101,2+99=101,

50+51=101,共有50組，所以50x101=5050,這就是著名的高斯算法，課本上推導等差數列前"項和的

方法正是借助了高斯算法.已知正數數列｛%｝是公比不等于1的等比數列，且％電。24=1，試根據提示探求:

若/（x）=Sp則/（q）+/（。2）+…+/（。2024）=（）

A.1010B.2024C.1012D.2020

二、多選題

9.（2024高三?全國?專題練習）已知b,c為非零實數，則下列說法一定正確的有（）

A.若。，b,C成等差數列，則.2,〃，成等差數列

B.若。，b,c成等比數列，則工，7，1成等比數列

abC

C.若b,C成等差數列，則2。，2J2,成等比數列

D.若苫,0?成等比數列，則。，b,。成等比數列

10.（23-24高二上?山西呂梁?階段練習）已知北為每項均為正數等比數列｛%｝的前〃項積，若

4）23>1，與024<1,貝！14）

A.｛%｝為遞減數列B.aI012<1

C.當"=1012時，T“最大D.冬4成等比數列

11.（2024?山東棗莊?一模）將數列｛氏｝中的所有項排成如下數陣:

從第2行開始每一行比上一行多兩項，且從左到右均構成以2為公比的等比數列；第1列數a”外,%,…成等

差數列.若g=2,%。=8,貝U（）

9

A.ax=-1B.