導數及其應用大題

V??i

1.導函數與原函數的關系

/㈤>O,fc>0JQ)單調遞增，廣(6)<O,fc<OJ(re)單調遞減

2.極值

(1)極值的定義

f⑸在力=g處先7后\ff(x)在力=g處取得極大值

f(x)在力=g處先\后7,f(x)在/=g處取得極小值

3.兩招破解不等式的恒成立問題

(1)Q>/(力)恒成立0a>/(劣)max;

(2)a</(力)恒成立<=>a(6)min.

(1)分離參數法

第一步：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題；

第二步：利用導數求該函數的最值；

第三步：根據要求得所求范圍.

(2)函數思想法

第一步將不等式轉化為含待求參數的函數的最值問題；

第二步：利用導數求該函數的極值；

第三步：構建不等式求解.

4.常用函數不等式：

①e*>/+1,其加強不等式宙>5/2+力+1；

②力，其加強不等式(x—1)2.

③e*T>x,Inx<c—1,ln(劣+1)W力

放縮1——<Vx----Vln,V—/J)<--l-x2+2x—<x—1(0<rr<1)

x2'x7Vrcx+122

1——<--^-x2+2x—~<Inx<iVx---!(x--—)<x—1(1<￡c<2)

x22x+1y/x2'x7

--+2x—^~V1——<~VIn力VVx----——<Zx—l(rr>2)

22xx+1y/x2'x7

rc+1<e?<—(x<1),—<x+l<ex(x>1)

1—x1—x

5.利用導數證明不等式問題：

(1)直接構造函數法:證明不等式/(力)>g(%)(或/(劣)VgQ))轉化為證明/(2)一gQ)>0(或/(力)—

???

g(x)VO),進而構造輔助函數九(為)=/(%)—;

(2)轉化為證不等式九(%)>0(或九(力)V0),進而轉化為證明/zQ)min>O(M%)max>。)，因此只需在所給

區間內判斷"(⑼的符號，從而得到函數從力)的單調性，并求出函數從為)的最小值即可.

6.證明極值點偏移的相關問題，一瓶有以下幾種方法：

(1)證明61+62〈2。(或力1+力2>2。)：

①首先構造函數g(力)=于(t)—/(2a—①)，求導，確定函數g=/Q)和函數g=g(N)的單調性；

②確定兩個零點為iVaVN2,且/(/)=/(◎),由函數值g(g)與g(a)的大小關系，得g(g)=/(力i)—

/(2a—%)=/(力2)—/(2a—%)與零進行大小比較；

③再由函數0=/(2)在區間(Q,+8)上的單調性得到/2與2Q—g的大小，從而證明相應問題；

(2)證明力通2V02(或名通2>稼)(g、22都為正數)：

①首先構造函數gQ)=f(x)—/(%),求導，確定函數4=/(2)和函數g=g(%)的單調性；

②確定兩個零點為1VaVg,且/(力1)=/(①2),由函數值g(g)與g(a)的大小關系，得g(g)=/(g)—

與零進行大小比較；

③再由函數n=f(X)在區間(Q,+00)上的單調性得到劣2與的大小，從而證明相應問題；

X1

(3)應用對數平均不等式后石<,二一4<B針證明極值點偏移：

①由題中等式中產生對數；

②將所得含對數的等式進行變形得到Iy社;

③利用對數平均不等式來證明相應的問題.

■MttMHiMB

1.(河北省衡水中學2024屆高三下學期模擬押題(一))已知函數/O)=跣立一1，9(/)=lnx-mx,mE

R.

(1)求/(6)的最小值；

(2)設函數九(劣)=/(x)—g(c),討論人(c)零點的個數.

3

2.（廣東省廣州市華南師范大學附屬中學2025屆高三上學期10月階段檢測）已知函數/Q）=ax3-x2

—2cos/.

（1）若f（劣）在（兀,/（兀））處的切線過原點，求a的取值；

（2）若f（X）在R上單調遞增，求Q的取值范圍.

3.(遼寧省沈陽市東北育才學校2024屆高三考前最后一模)已知曲線/3)=rn+lmc在必=1處的切線

方程為"=%(＞),且/(5■)=0.

(1)求h(c)的解析式；

(2)求函數。0)=以?■的極值；

ex

(3)若立＞0時,不等式e，—a/—%(為＞0恒成立，求實數a的取值范圍.

4.（山東省濟南市山東省實驗中學2024屆高三高考定心卷）已知函數/㈤=ln（m：）-?（m>0）.

（1）若f（a）W0恒成立，求771的取值范圍；

（2）若/（土）有兩個不同的零點11,電,證明Xi+x2>2.

5.(江蘇省南京大學附屬中學2024—2025學年高三下學期2月模擬)已知函數/3)=e。+alnx(aeR)

⑴當a=1時，求曲線1=/3)在(1,/(1))處的切線方程；

(2)設g是/(⑼的導函數/'(⑼的零點，若一eVaV0,求證:/(g)＞物.

???

6.（遼寧省沈陽市東北育才學校2025屆高三上學期第三次模擬考試）已知函數/（乃=建土工二ae

ex

R.

⑴當a=0時，求曲線y=/Q）在點（OJ（O））處的切線方程;

（2）求/（c）的單調區間；

⑶當a>0時，若對于任意x&[1,3],不等式白</（rr）W1+士恒成立，求a的取值范圍.

2e

7.（重慶市第八中學2024屆高三下學期強化考試（四））設函數/⑸=（1+c）-（l+c￡）,c>—1且c#0,

設771,726TV*.

（1）證明：函數/（乃在區間（0,1）上存在唯一的極小值點；

⑵證明:（l+c）m>l+cm；

（3）已知%>6且（1——二）”<《，證明:34+即+5"+…+5+2）”<5+3）”.

\n+372

1

8.(吉林省東北師范大學附屬中學2024—2025學年高三上學期第三次摸底考試)已知函數/(乃

⑴證明：0</(t)V；；

⑵證明E舟<,+])</,—

10

9.(安徽省合肥市第一中學2025屆高三上學期階段性診斷檢測)已知函數/Q)=asinQ—1)—，+

+l(?>0),1是f(sc)的一個極值點.

(1)求實數a的值.

(2)判斷函數y=f(x)在(0,+8)上的零點個數，并加以證明.

[n1

⑶證明：1——^-<ySin4<2.其中nCN*

九十，i=ii

11

10.（山東省濟南市山東師范大學附屬中學2025屆高三上學期高考模擬考試）設函數/Q）=x2-ax-

c^lnx（aER）.

⑴當a=2時，討論函數g=/Q）的單調性；

⑵當QWO時，曲線g=/（N）與直線g=交于,B（x^rn）兩點，求證：/（包>0；

（3）證明：《+《H---匕1[<-^-lnn（n^2,nEN*）.

o52n—12

?■■MsaaKB

IL(湖北武漢華師一2024屆高三五月適應性考試)已知函數/(乃=V^ea\x>0).

(1)求函數/(為的單調區間；

(2)若函數/(4)有最大值得，求實數a的值.

12.(湖北武漢華師一2024屆高三考前測試)已知函數/(t)=e"+a"-e,aCR.(注：e=2.71828…是自

然對數的底數)

(1)若f(c)無極值點,求實數a的取值范圍；

(2)當0時，f(x)＞］爐+；1；—e+1恒成立，求實數a的取值范圍.

14

13.（河北省衡水中學2024屆高三下學期押題）已知函數/（0=理邏3>0且a￥1）.

xa

⑴當a=2時，判斷了（re）的單調性；

（2）若/（①）>—1恒成立，求a的值.

15

14.(湖南省長沙市長郡中學2024屆考前模擬)已知函數/(為=aW-一配

(1)當Q=1時，討論函數/(0的單調性；

(2)若不等式/(2)<x2lnx—砂+■力2—2在+8)上恒成立,求實數a的取值范圍.

16

15.(湖南長沙長郡中學2024屆高考適應)設/(2)=aa?2+cosa;—l,aCR.

⑴當a=工時,求函數/Q)的最小值;

7U

(2)當時，證明：/3)>0;

(3)證明：cos-^-+cos]H---l-cos—>n--^(nE7V*,n>l).

2JJ

???

16.(湖南長沙長郡中學2024屆高三下學期二模)已知函數/Q)=-a，其中&e足

ex

⑴當a=0時,求曲線夕=/(⑼在(1已⑴)處的切線方程;

⑵當a>0時，若/(c)在區間［O,a］上的最小值為工，求a的值.

e

18

17.(湖南長沙長郡中學2024屆高三下學期考前模擬)已知函數/(乃=且，其中e=2.71828…為自然對

數的底數.

(1)求函數/(1)的單調區間；

(2)證明：/(c)We。一1；

2a:

(3)設g(cc)=/(2)—e+2ae"—4a2+1(aeH),若存在實數x0使得g(g)>0,求a的最大值.

18.(湖南省長沙市長郡中學2024屆高三一模)黎曼猜想是解析數論里的一個重要猜想，它被很多數學家

視為是最重要的數學猜想之一.它與函數/(為=±：'3>0,5>1,5為常數)密切相關,請解決下

ex—l

列問題.

(1)當l<s&2時，討論/(2)的單調性；

(2)當s>2時；

①證明/3)有唯一極值點；

②記/(乃的唯一極值點為g(s),討論g(s)的單調性，并證明你的結論.

???

19.（湖南長沙雅禮中學2024屆高三下學期3月測試）已知函數/（力）=In%+ax2+就（其中為常數且

QW0）在N=1處取得極值.

（1）當Q=1時，求/（力）的極大值點和極小值點；

（2）若/（*）在（0,e］上的最大值為1,求Q的值.

???

20.(湖南長沙雅禮中學2024屆高三一模)已知函數/Q)=x3-ax+a.

(1)若,=1是函數/(為的極值點，求/(⑼在(-1,/(-1))處的切線方程.

(2)若a>0,求f(rr)在區間［0,2］上最大值.

4

21.(湖南長沙雅禮中學2024屆高三4月測試)已知函數/(7)=x+ax\nx(<aGR),于'(x)為/(工)的導函

數,gQ)=73).

(1)若a=—12,求0=/(力)在上的最大值；

(2)設PQi，g(g)),Q(g,g(g))，其中1&電〈如若直線PQ的斜率為k，且kV9出)；9儂),求實

數a的取值范圍.

22.(河北石家莊第二中學2024屆高三一模)已知定義在(0,+8)上的函數/(c)=1R(T+1)和g(x)=

Vx.

(1)求證：/O)VgQ)；

⑵設0(0=[+tl/(x)在(0,+8)存在極值點,求實數t的取值范圍.

LgO)-I

23.（浙江寧波鎮海中學2024適應性測試）已知函數/3）=e“—加―1.

（1）討論/3）的單調性；

（2）若對任意的；）0恒成立，求a的范圍.

?A

24.(吉林長春東北師大附中2024屆五模)已知a>1,函數/(①)=ax\nx-xa+l.

⑴當a=l時，求/㈤的最小值；

⑵若c>1時，J(T)<0恒成立，求a的取值范圍?

25.(2024吉林長春東北師大附中高三六模)已知函數/3)=lnx-(a—1)工，其中aeR.

(1)若曲線夕=/3)在2=1處的切線在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；

(2)是否存在實數a,使得/(t)在cC(0,e](e為自然對數的底數)上的最大值是—2?若存在，求出a

的值;若不存在，說明理由.

26.（2024吉林長春東北師大附中高三七模）函數/Q）=In，-。）二）.

X-\-L

（1）討論/（不的單調性；

⑵若函數/Q）有兩個極值點皿以2,曲線4=/0）上兩點（◎,/（◎）），（啊/儂））連線斜率記為R,求

（3）盒子中有編號為1-L00的100個小球（除編號外無區別），有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的

20個小球編號各不相同的概率為p,求證：p<4.

27.（湖南師大附中2023-2024學年高三下一模）已知函數/（乃=sine-ax-cosx,aGR.

（1）當a=l時,求函數/（￡）在c處的切線方程；

⑵問0號）時;

（i）若/（力）+sin2%>0,求a的取值范圍；

（ii）證明：sin2x?tan/>x3.

29

28.(湖南師大附中2024二模)已知函數〃力)=sin{a)x+(p)(co>0,0<^<7t)，滿足/(0)=f

⑴求/(力)的單調遞減區間；

⑵當如電e[t,t+￡](teA)時，設1/(x0-/(T2)|的最大值為F⑴,求尸⑴的值域；

(3)把曲線夕=/(0向左平移萼個單位，再把曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變.

O

得到曲線g=g(/).設函數3(/)=(x—k)g(x)(kER)，將p(/)在區間(―+8)上的極值點按從小

到大的順序排列成數列{g}.若8(0)+?(力2)=。，求實數k的值.

29.(河南鄭州外國語2024高三適應性考試)已知函數/(①)=x3+ax2+bx+c在re=-1和c=3處取得

極值.

(1)求a,b的值及/(⑼的單調區間；

(2)若對任意xG[1,5],不等式/(工)＜恒成立，求。的取值范圍.

30.(湖北武漢二中2024高三最后一卷)設函數/(①)=巾(2+l)e”,?n>0.

(1)求/(⑼的極值；

(2)若對任意?e(-1,+oo),有In/㈤W2e，恒成立，求m的最大值?

31.（2024廣東華南師大附中綜合測試）已知函數/（宓）=ae“+sinx—x.

（1）若f（x）在（0,2兀）單調遞減,求實數a的取值范圍；

（2）證明:對任意整數a,/（⑼至多1個零點.

M

32.(浙江杭州二中2024高三下開學考試)設函數/Q)=7(。-1)Q—2)的圖像為曲線C,過原點。且斜

率為t的直線為Z.設。與Z除點。外，還有另外兩個交點P，Q(可以重合)，記g(±)=\OP\-\OQ\.

⑴求。⑴的解析式；

(2)求g(f)的單調區間.

33.（河南鄭州一中2024屆考前全真模擬）已知函數/（⑼=a（e工+a）一2.

（1）討論/Q）的單調性；

3

⑵證明：當Q>0時，/Q）>21na+^?

35

34.（安徽合肥一中2024屆最后一卷）/3）=eL"（aCR）.

⑴若/（⑼的圖象在點A（%/（g））處的切線經過原點，求g；

（2）對任意的xE[0,+8），有/（土）＞sinx,求a的取值范圍.

35.(山東省實驗2024屆高三一模)已知函數/(力)=1nx+^-a^x—l)2.

(1)當。=—十時,求函數/3)的單調區間；

(2)若函數gQ)=/(%)—2x+i有兩個極值點力1,力2,且g3i)+g(g)>—1—系，求。的取值范圍.

36.（山東省實驗2024屆高三二模）已知函數/（力）=（劣一a）'/一b）（Q,bER,a<b）.

⑴當a=l,b=2時,求曲線g=于（工）在點（2,/（2））處的切線方程；

（2）設如/2是/（名）的兩個極值點，/3是/（①）的一個零點，且力3是否存在實數應，使得如

g,g,窗按某種順序排列后構成等差數列？若存在，求弱;若不存在，說明理由.

2IE

37.(江蘇南京外國語20242月開學考試)已知函數/(7)=^--aex+x.

(1)討論/(①)的極值點個數；

(2)若/(a;)有兩個極值點g,x2，直線y=kc+b過點(%/⑶)),(x2,/(rr2)).

⑴證明：

(M)證明：b(弓—a.

???

38.(廣東東莞高級中學三模)已知常數mCR,設/Q)=lmc+如，

x

⑴若m=1,求函數夕=/(2)在(1,1)處的切線方程；

(2)是否存在0<gvgvg，且g,g,g依次成等比數列，使得/(g)、/(g)、/(G)依次成等差數歹U?

請說明理由.

(3)求證：當巾40時,對任意X1,X2€(0,+oo),g〈電，都有"電)孑⑸>>⑹一人電).

39.(遼寧省實驗2024屆高三考前模擬)設/(⑼=爐++五+1的導數:㈤滿足/'⑴=2a,f'⑵=

—b,其中常數a,bCR

(I)求曲線0=/3)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)設g(z)=/'(rc)e-rc,求函數g(c)的極值.

40.（貴州貴陽一中2024屆高三一模）已知函數/⑸=（X—l）ln（x—2）—a（x—3）,aER.

（1）若Q=1,討論函數/（力+1）的單調性；

（2）當/>3時，/（⑼>0恒成立,求a的取值范圍.

41.（重慶南開中學2024屆高三5月模擬）已知/⑸=（力一l）e”kCR,其中e=2.71828……為自然對數

的底數.

（1）當k=1時，證明：/（a;）>elnx；

⑵當［0,1］時,/Q）的最小值為一1,求實數k的取值范圍.

42.（江西撫州臨川一中2024屆5月訓練）已知函數/（工）=+bt+1在①=0處有極值.（江西撫州臨

川一中2024屆5月訓練）

（I）求Q,b的值；

（11）證明：/3）＞也一力.

43.(重慶西南大學附中2024屆高考全真模擬)已知/Q)=e"+aln(l—1)

(1)若/(1)在①=0處的切線平行于宓軸，求a的值；

(2)若/(/)存在極值點，求a的取值范圍.

44.（2024屆湖南長沙一中最后一卷）已知函數/（力）=力田—LgQ）=瓜力-mx9mGR.

（1）求/（力）的最小值；

（2）設函數無（為）=/（劣）一gQ），討論八（劣）零點的個數?

46

45.（浙江溫州中學2024屆高三一模）已知/（①）=31na;—%（力—1）?

（1）若過點（2,2）作曲線夕=/3）的切線，切線的斜率為2,求k的值;

（2）當力C[1,3]時，討論函數g（⑼=/3）--|-cosyx的零點個數?

46.（江西師大附學2024屆高考三模）已知函數/（Muaerr+G—lna;.

（1）討論/3）的單調性；

（2）證明：當a>0時，/（c）>91na.（參考數據：ln2比0.693）

48

47.(福建廈門雙十中學2024屆高三熱身考試)已知函數/㈤=21ns-x+—(m€7?).

X

(1)當巾=—3時,求函數/(⑼的單調區間；

(2)若不等式/Q)W0對任意的①e[1,+8)恒成立,求實數m的取值范圍.

48.（江蘇南京師大附中2024高三模擬）已知函數/3）=lnx—皿三上.

x-\-L

（1）若當/G（1,+8）時,/（力）>0,求實數a的取值范圍；

（2）求證：ln2+ln￡+ln||_+-+ln>1-1--.

7172n2-12n+1

?fl

49.（福建福州一中2024屆高三5月模擬）已知函數福力）=e*g（x）=sin/+cos/，其中e為自