專題09尺規(guī)作圖+補全證明過程

(5類基本尺規(guī)作圖50道)

目錄

【題型1作已知線段相等線段1.....................................................................................................1

【題型2角平分線】.............................................................................7

【題型3垂直平分線】..........................................................................14

【題型4過點作已知直線的垂線】...............................................................22

【題型5作已知角相等角】.....................................................................28

【題型1作已知線段相等線段】

1.如圖，AD||BC,47平分NB4D,請完成下面的作圖和填空.

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在線段BC上截取BE=4。，連接DE,交4c于點F；

(2)已知：AB+NBED=180。，求證：=ZC.請將下面的證明過程補充完整:

證明：?.明IBC,

???z.2=z■①,

???AC平分NBA。，

???②.

???zl=zC.

???NB+NBED=180°,

???③.

???Z1=4④.

Z.CFE=Z.C.

2.如圖，DE、分另IJ平分N/WC、乙BAD,NEDC=36°,AB\\CD.

AB

（1）尺規(guī)作圖：在射線力B上作AF=4D,并連接HF；（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，已知乙4HF=36。，

求證：ADWHF.

證明：「DE平分NADC,乙EDC=36。,（已知）

■■^ADC=_Q_=72。（角平分線的定義），

■.■ABWCD,（已知）

.-.AADC=/.BAD（②）,

又?.///平分NBA。,（已知）

③（角平分線的定義）

又?.?N4"F=36。，（已知）

.??⑷（等量代換）

.-.ADWHF（⑤）.

3.如圖，在△4BC中，4D是△ABC的角平分線，E為邊上一點，連接DE.

⑴尺規(guī)作圖：作線段CF使CF=C4交4D延長線于點尸.（保留作圖痕跡，不寫作法及結(jié)論）

⑵在（1）間的條件下，若N2C8+NCDE=180。，Z.FCB=Z.B=40°,^CFA=30°,求N8DE的度數(shù).請補

全下面解答過程.

解：???ZFCB=Z.B（己知）

■.CFW—①—（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

：.^FAB=^CFA(_②_)

vzCFX=30°(已知)

."45=30。（等量代換）

?./D是△ABC的角平分線（已知）

■■^CAB=—③—=60。（角平分線的定義）

■.■^ACB+^CDE=180°（已知）

.-.ACWDE（_?_）

.?.NDEB=NSB=60。（兩直線平行，同位角相等）

在aBDE中，vzB=40°（已知），乙DEB=60。（已證）

ZB+LBDE+乙DEB=180°（_⑤_）.

;/BDE=1800-AB-ADEB=80°（等式的性質(zhì)）

4.如圖，點D、E、F分別是線段BC、AC.AB上的點，連接DE、EF.

⑴尺規(guī)作圖：在射線2F上作4G=ED,并連接DG.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，^AB||ED,4AEF=KBDG,乙DEF=LB,求證：CA||DG.

證明：SB||ED（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

"DEF=①（兩直線平行,內(nèi)錯角相等）

又“DEF=LB（已知）

：.^AFE=Z.B（等量代換）

：.EF||CB（（2））

:.^AEF=ZC（⑶）

又?：乙AEF=ABDG（已知）

??2。=皿_（等量代換）

.■.CA||DG（同位角相等，兩直線平行）.

5.如圖，在四邊形4BCD中，AD||BC,BE14C于點E.

⑴尺規(guī)作圖：在邊4。上截取4F=BC,過點F作對角線4C的垂線，交4C于點G.(要求：保留作圖痕跡，不

寫做法)

(2)連接CF,證明△力BE三4OFG.將下面的過程補充完整.

證明：???(1),AF=BC

四邊形48CF是平行四邊形

AB||CF,(2)_______________

(3)

???BE1AC,FG1AC

：./.AEB=ZCGF=90°

在△ABE和△CFG中

(4)

4BAE=乙FCG

.AB=CF

ABE三△CFG(AAS)

6.如圖，ABWCD,射線4E與CD交于點F,射線CG與4E交于點H.若AD是NBHE的角平分線，且

N￡ME+NAHG=180°.

⑴尺規(guī)作圖：在射線AB上作AM=AD,并連接DM(不寫作法，保留作圖痕跡);

(2)試說明NZME=NC,請補全證明過程，即在橫線處填上結(jié)論或理由.

證明：?；ABWCD(已知)

NBAD=(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

???4D是NB4E的角平分線(已知)

ZS4D=乙DAE（）

1=（等量代換）

???乙DAE+Z.AHG=180°（已知）

（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

Z.C—/-D（）

^.DAE=ZC（等量代換）

7.在學習旋形的判定時，小明思考怎么在平行四邊形4BCDQ4D>AB）里面剪出一個菱形，小明的思路是:

先作NBCD的角平分線CE交力。于E,在CB上截取CF=CD,然后連接EF.通過鄰邊相等的平行四邊形得菱

形EFCD,請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：作NBCD的角平分線CE交于點E,在CB上截取CF=CD.（保留作圖痕跡,

不寫作法、結(jié)論）

（2）證明：?.?四邊形2BCD為平行四邊形，

■■.Z-FCE=/.DEC,

?.￡E平分NBCD,

.■./.DEC=Z.DCE,

■.■CF=CD,

二四邊形EFCD是平行四邊形；

又.；_，

四邊形EFCD是菱形.

8.如圖，N1=N2,點F在射線CB上.

D.

1E

FBC

⑴尺規(guī)作圖：在射線C8上作=并連接D4；（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，已知=

求證：4ADB=LE.

證明：Zl=Z2（已知），

■.BD||CE（①）

N3=②（③）

又,：乙DAB=LEBC（已知）

BE||AD（④）

z3=⑤（⑥）

AADB=Z.E（等量代換）

9.如圖，在平行四邊形4BCD中，AB<BC.

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：作NBA。的平分線交BC于點E,在上截取。尸，使DF=CE（保留作圖痕跡,

不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖形中，連接EF,求證：四邊形ABEF是菱形.請補全下面的證明過程.

證明：???四邊形A8CD為平行四邊形，.以加8。且AD=BC,

■.■DF=CE,.-.AD-DF=BC-CE,

二四邊形2BEF是平行四邊形，

'.'AD||BC,.

???AE平分??.,

：./-BEA=Z.BAE.

.-?一??四邊形2BEF是菱形.

10.在平行四邊形4BCD中，AD>AB,

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：在4D上截取使得4E=AB,連接BE；過C作BE的垂線C”,垂足為

〃；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)經(jīng)過學習小組討論發(fā)現(xiàn)平分乙BCD,并給出以下證明，請你補充完整：

證明：?■?4E=aB

.-./-ABE=_________

???四邊形ABCD為平行四邊形

：.AD\\BC,ABWCD

：.Z-AEB=/.CBE

■■■/.ABE=_________

■,■CH1BE

：./.CHB=90°

：ZCBE+乙BCH=90°

■：ABWCD

即：/.ABE+乙CBE+乙BCH+ZDCH=180°

:./-ABE+乙DCH=90°

又?:乙CBE+乙BCH=90°且"BE=乙CBE

：.CH平分4BCD

【題型2角平分線】

11.已知：如圖，△力8c中，ZBXC=90°,AB=AC,。為AC中點，F(xiàn)為BC上一點，AFIBD^E.

E

ft

⑴尺規(guī)作圖：作ABAC的角平分線交BD于G.（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）中所作的圖形中，求證：AG=CF.補全下列證明過程：

證明：-■?ABAC=90°,AB^AC,

■：4G平分NBAC,

1

￡.BAG=-Z-BAC=^°,

AF1BD,

A.AEB=90°=^BAC,

???^FAD+^.BAE=90°,/.DBA+ABAE=90°,

??.AACF=ABAG(),

??.AG=CF.

12.如圖，在△ABC中，ZC=9O°,點。在邊AB上，BD=BC.

（1）作NB的平分線，交AC于點E（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）;

⑵在（1）的條件下，連接CD,DE.求證：BE垂直平分CD.

證明：ME為乙4BC的平分線，

???Z-CBE=,

?；BD=BC,BE=BE,

在aBDE和△BCE中

（BD=BC

\BE=BE

.*.△BDE=△BCE（）,

兩點都在CD的垂直平分線上,

???BE垂直平分CD.

13.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD1BC,垂足為點D,點E在AD的延長線上.

⑴尺規(guī)作圖：作N4CB的平分線交4。于點F(按要求完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡);

⑵填空：在(1)的條件下，若2乙EBD=KABC,試說明DE=。凡

證明：?./B=AC,ADLBC,

：.BD=乙ABC=

?：2乙EBD=Z.ABC,

.?.2乙EBD=

又??￡F平分乙4CB,

.?.2_=Z-ACB,

：.Z.EBD=

(Z-EBD=Z.FCD

在△BED和△CFD中，［BD=CD

JBDE=4CDF

△BED=△CRD(ASA)，

：.DE=DF.

14.尺規(guī)作圖并完成證明.如圖，點。、點廠在△ABC外，連接4尸、AD.BD,且4FIIBC,

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖:

作乙48c的平分線BE交融于點E,連接CE（保留作圖痕跡，不寫作法）;

⑵根據(jù)（1）中作圖，求證：AD=CE；請完善下面的證明過程.

證明：???BE平分乙4BC,

:/CBE=

-AFWBC.

"CBE=

"ABE=Z-AEB.

在△ACE和△8。/中，

(AE=AB

\z-ABD=/-CAF

t()

△ACE三△BD4.

15.我們知道，如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.證明

這種文字性命題一般思路為：畫草圖，寫出已知求證并證明.按以上思路完成下面的作圖與填空.

--------------1c

已知：如圖，“4E是△力BC的外角，4。平分NG4E,AD||BC.

求證：AB=AC.

證明：用直尺和圓規(guī)作NC4E的平分線4D.（只保留作圖痕跡）

■:AD||BC,

?MD平分NCAE,

.-.AB=AC().

16.如圖，AABC^p,^BAC=90°,AB=AC,。為AC中點，F(xiàn)為BC上一點，力F1BD于E.

⑴使用尺規(guī)完成作圖：作N84C的角平分線交BD于G.（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）

（2）填空：求證：AG=CF.

證明：ABAC=90°,AB=AC

.-.AABC==_@Q

?./G平分NBAC

1

4c=45。

：.Z-BAG=Z-C

,：AF1BD

:?乙AEB=90°=4—②

...41+/BAE=90。,Z2+ABAE=90°

③

△ACF^_@

：.AG=CF

17.學習了平行四邊形后，小慶進行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一組對邊與同一條對角線

所組成的角的平分線，那么這兩條角平分線截另一對角線所得的線段被對角線的交點平分.其解決思路是

通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論.請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作NCB。的平分線，交4C于點E（只保留作圖痕跡）

己知：如圖，在口ABCD中，AC,BD交于點。，DE平分N&DB交AC于點￡,BF平分NC8D交4C于點尸.

求證：OE=OF.

證明：???四邊形4BCD是平行四邊形,

.-.ADWBC,。￡>=①，

：.Z-ADB=Z-CBD.

又???DE平分BF平分乙CBD,

."EDO=^ADB,⑵=/CBD.

：.Z-EDO=Z-FBO.

又?"。￡>=⑶,OD=OB,

AEOD=AFOB（ASA）.

：.0E=OF.

小慶再進一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形一條對角線的兩端點作兩條平行線，這兩條平行線截另一對角線所

得的線段均有此特征.請你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形一條對角線的兩端點作兩條平行線，這兩條平行線截另一對角線所得的線段⑷.

18.在學習了平行四邊形的性質(zhì)，小西和小北進行了拓展探究.如圖，在口ABC。中，點E是BC上的一點,

B.AB=BE.

⑴作乙48c的平分線BF交4。于點R連接EF（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）；

⑵根據(jù)（1）中作圖，小西猜測四邊形力BEF是菱形，小北寫出了如下不完整的證明思路，請你幫助她們把

證明過程補充完整.

證明：汨平分乙48C,

???①.

?.?在口4BCD中，ADWBC,

：.Z.ABF=Z.AFB,

,：AB—BE,

???⑷.

-BEWAF,

??.四邊形ZBEF是平行四邊形，

又MB=BE,

四邊形4BEF是菱形.

小西和小北經(jīng)過進一步探究發(fā)現(xiàn)，4E與BF互相垂直，并且與口480）的內(nèi)角無關(guān).

請你依照題意完成下面的命題：

平行四邊形的任意一組內(nèi)角的平分線⑤.

19.學習了平行四邊形后，小慶進行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一組對邊與同一條對角線

所組成的角的平分線，那么這兩條角平分線截另一對角線所得的線段被對角線的交點平分.其解決思路是

通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論.請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作NCBD的平分線，交4C于點足（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，在中，力交于點。，DE平分乙4DB交4C于點E,BF平分NC8D交4C于點尸

求證：OE=OF

證明：???四邊形ABC。是平行四邊形

.-.ADWBC,。。=①一

.,.Z.ADB=Z.CBD

又???DE平分乙BF平分乙CBD

:/EDO=^ADB,②一=jzCBD

"EDO=Z.FBO

又?"。。=③OD=OB,

△EOD=△FOB(ASA)，

：.OE=OF.

20.如圖，在四邊形4BCD中，ADWBC,ABAC=90°,點E為BC的中點.

（1）尺規(guī)作圖：作“EC的平分線EF,與4。交于點F,連接CF.

(2)求證：四邊形AECF是菱形，請根據(jù)以下思路完成填空.

???EF平分NAEC,

???①_，

■.■ADWBC,

：.Z-AFE=Z-CEF,

???②一，

：.AE=AF.

?.2847=90°,點E是8c中點，

.-.AE=^BC,CE=^BC,

.,.AE=CE,

：.AF=CE,

-AF||CE,

又?.?ZE=CE,

QAECF是菱形(④_).

【題型3垂直平分線】

21.如圖，在△4BC中，CD為△ABC的角平分線.

（1）（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作線段CD的垂直平分線EF,分別交AC、BC于點E、F,垂足為0.連接

DE、DF.（保留作圖痕跡）

⑵小明利用（1）所作的圖形，證明四邊形DECF是菱形.請根據(jù)他的思路完成下面的填空.

證明：?.￡￡）平分N4C8,

???①___________

..NF垂直平分CD,

???②___________

：.Z-ACD=Z-EDC,

③,

.-.DE||BC,

?.?同理,DFWAC,

???④，

■.■EC=ED

二平行四邊形。ECF是菱形

小明通過探究，發(fā)現(xiàn)任意三角形的一條角平分線到對邊的交點，同該角平分線的垂直平分線與該角兩邊的

交點，和這個角頂點都能圍成一個四邊形，那么⑤.

22.如圖，在△4BC中，AB=AC,。為BC的中點，連接2D.

(1)請用直尺和圓規(guī)完成基本作圖：作2。的垂直平分線EF交力。于點。，交AB于點E,交AC于點F,連接DE、

DF；(保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論)

(2)求證：AE=DF.(請補全下面的證明過程).

證明：-：AB=AC,。為BC中點，

???Z.1=.

???EF為的垂直平分線，

???44。￡*=44。尸=90。，AF=DF

又???zl+/LAOE+AAEF=180°,Z2+^AOF+AAFE=180°,

Z.AEF=.

???AE=,

???AE=DF.()

23.如圖，在△ABC中，AB=AC>BC.

（1）求作力B邊的垂直平分線DE,交力B于點E,交AC于點D,連接BD.（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作

痕跡）

⑵若4D=BC,求乙4的度數(shù)，請根據(jù)以下的思路完成下列填空.

解：?.?AB=ac,

??.①一（等邊對等角）

又???DE是4B的垂直平分線

.??②一（中垂線的性質(zhì)）

：./-A=乙DBA

■：AD=BC

③一（等量代換）

/.zC=Z-BDC

-Z-BDC=Z-A+Z.DBA=

=（ABC=2乙4

.?24+NC+④_=5乙4=180°（三角形的內(nèi)角和為180。）

??2=36°

由上述證明可得：在等腰三角形（腰長大于底邊長）中，作一條腰的中垂線交另一腰于一點，當此點與此

等腰三角形頂點的距離與底邊長度相等時，則這個等腰三角形的頂角為⑤一度，人們稱具有此特征的等腰三

角形為“黃金三角形

24.已知：如圖，在矩形4BCD中，連接AC.

（1）尺規(guī)作圖：作4C的垂直平分線，交CD于點E,交力B于點R交力C于點。，連接4E,CF（只保留作圖痕

跡）；

（2）在（1）的條件下，為了證明四邊形AECF為菱形，小南同學的想法為：先證明△AOF三△COE,再利用

菱形的判定，得到結(jié)論.請根據(jù)小南同學的想法完成下面填空.

證明：???四邊形4BCD是矩形，

?'./.OAF=Z.OCE.

???EF垂直平分/C,

1AC,OA=OC.

在△AOF與△C0E中,

Z.OAF=Z.OCE

/.AOF=乙COE

△AOF=ACOE(ASA).

又MFIICE,

.?.四邊形4ECF是平行四邊形.

■:EF1AC,

??.平行四邊形力ECF是菱形（）.

25.如圖，在△2BC中，AB=AC,。為BC延長線上一點.

（1）用直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：作線段8。的垂直平分線，與邊4C,BC分別交于點E,F,在線段4B上

截取4H,使得=連接EH；（保留作圖痕跡，不寫作法和結(jié)論）

⑵在（1）所作圖形中，連接BE,DE,求證：HE=CD.（請補全下面的證明過程）

證明：-.-AB=AC,AH=AE,

■,AB-AH=AC-AE,

???①?

???EF是BD的垂直平分線，

二②_____

：.Z.EBD=Z-EDC.

-AB=AC,

???③.

在△ECD中，乙CED=LACB—乙EDC,乙HBE=LABC-乙EBD,

：.7.CED=乙HBE.

(BH=EC(已證)

在△EBH和△￡>￡1(?中，\④

(BE=ED(已證)

△EBH=△DFC(SAS).

.-.HE=CD.

26.如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，AC是對角線.

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作4C的垂直平分線/,分別交AD、BC、AC于點E、F、。.(保留作圖痕跡，不

寫作法)

(2)在(1)所作的圖形中，連接CE,AF,猜想四邊形力ECF的形狀，并證明你的結(jié)論.

解：猜想四邊形4ECF的形狀為菱形，證明如下：

??,EF是4C的垂直平分線，

■.AO=CO,AE=CE,①,

又四邊形4BCD是平行四邊形，

②，

???Z-EAC=Z.FCA.

(^EAC=Z.FCA

在△AOE和△COF中，［AO=CO

V^LAOE=乙COF

???△AOEwZ\COR(ASA)，

③，

：.AE=EC=CF=FA,

?.四邊形AECF是菱形.

結(jié)論：平行四邊形一條對角線的端點和這條對角線的垂直平分線與④.

27.在△A8C中，4。是NB2C的角平分線，作線段AD的垂直平分線，分別交4B、AD,4C于點￡、。、F,

連接DE、DF,證明四邊形4EDF是菱形.

⑴尺規(guī)作圖：作線段4。的垂直平分線，分別交48、AD,4c于點￡、0、F,連接。E、DF（用基本作圖,

保留作圖痕跡，不寫作法、結(jié)論）

（2）證明：四邊形2EDF是菱形.

證明：?"￡）平分MAC,

EF是線段力。的垂直平分線,

??ZOE=N4OF=90°,

AE=DE,AF=DF,

在△ZOE與△ZOF中，

(Z.EAO=Z.FAO

]AO=AO

?..△EAO=AFAOf

??.AE=AF,

???四邊形ZEDF是菱形.（）

28.如圖，在口ZBCO中，是對角線.

⑴尺規(guī)作圖：作線段8。的垂直平分線EF,分別交B。、AD,BC于點0、E、F,連接BE和DF（用尺規(guī)作圖,

并在圖中標明相應(yīng)的字母，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，求證四邊形EBFD是菱形（請補全下面的證明過程，將答案寫在答題卡對應(yīng)的番號

后）.

證明：???EF垂直平分BD,

??.BO=D0.

又???四邊形/BCD是平行四邊形，

???①________

：.Z.0BF=乙ODE.

在△B0F和△DOE中，

（Z.OBF=Z.ODE

IOB=0D

②________

△BOF=△DOE（ASA），

???③________

???￡尸垂直平分8D,

■.BE=DE,④

：.BE=ED=DF=FB,

四邊形EBFD是菱形.

29.已知，如圖，RtA?15CzXBC=90o.

A

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖，作線段BC的垂直平分線，交BC于D,交4C于E,連接BE（不說明理由，不下

結(jié)論，只保留作圖痕跡）.

(2)在(1)所作的圖形中，求證：AE=EC.

涵涵的思路是這樣：由垂直平分線的性質(zhì)得到EB=EC,從而得至ljNEBC=NECB,再證明=

從而得到R4=EB,最后由等量代換可得瓦4=EC.請根據(jù)這個思路補全下面的證明過程.

證明：???直線DE是線段BC的垂直平分線

BE=①,

/-EBC—②,

vzXBC=90°,

乙4+“=90°,

③+ZX=90°,

:乙EBC+AABE=90°,

???/.ABE=④,

BE—AE,

???BE=⑤,

???EA=EC.

30.如圖，在△4BC中，/LABC=90°.

⑴尺規(guī)作圖：作4c的垂直平分線交AC于點E,交BC于點。，連接力，(保留作圖痕跡，不寫作法，不用下

結(jié)論)；

(2)在(1)的條件下，若4D平分NC4B,求證：AB=^AC.

證明：???DE為47的垂直平分線，AC,

又?"BC=90。，.??4B1BC,

又，.弘。平分,

在RtZkABD與RtZkZED中：

AABD=RtAAED()

又???DE為4C的垂直平分線，

：.AE=.

■■.AB=^AC.

【題型4過點作已知直線的垂線】

31.如圖，在平行四邊形4BCD中，CELBD交BD于點、E.

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點/作BD的垂線交BD于點足連結(jié)相交8。于點O.(保留作圖痕跡，不寫

作法，不下結(jié)論)

⑵在(1)所作的圖中，求證：。F=。瓦請將下列證明過程補充完整：

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

■■.AB=CD,①,

：.Z.ABF=Z.CDE.

-CEVBD,②,

：.Z.AFB=MED=90°.

在和△CEO中，

(/.ABF=乙CDE

{/.AFB=Z.CED

(AB=CD

△AFB=△CED(AAS)

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

，④.

.-.OB-BF=OD-DE,

：.0F=OE.

32.如圖，四邊形ABCD是菱形，AE1BC,垂足為點E.

⑴用尺規(guī)完成基本作圖：過點a作CD的垂線力F,垂足為點尸（只保留作圖痕跡）.

（2）在（1）所作的圖形中，求證：CF=CE.

證明：???四邊形4BCD是菱形，

???AE1BC,AF1CD,

在△4BE和△4DF中，

由①②③得A4BE三△2DF,

■：BC=CD,

：.CE=CF.

33.在學習平行四邊形時，小剛同學遇到這樣一個問題：如圖，在口4BCD中，連接對角線AGDEIAC于點

E,過點3作4C的垂線BF,垂足為尸，試證明線段BF與DE相等.小剛的思路是證三角形全等解決問題.請

根據(jù)小剛的思路完成下面作圖和解答：

用直尺和圓規(guī)，完成基本作圖：過點3作4C的垂線，垂足為點尸（保留作圖痕跡，不寫作法）.

證明：???四邊形48C。是平行四邊形，

①，AD||BC.

ADAE=Z.BCF.(②)

???DE1AC,BF1AC,

???③.

:AADEmACBF.

：.DE=BF.

于是小剛同學得到結(jié)論：平行四邊形中，一組對角頂點到④相等.

34.如圖，在四邊形48CD中，AB=^CD,DC\\AB,連接。B,乙DBC=9。。.

（1）尺規(guī)作圖：作線段BC的垂直平分線交CD于點E,交BC于F,連接BE（不寫作法，保留作圖痕跡）;

⑵在（1）所作圖中，證明四邊形ABED為菱形，完成下列填空.

證明：rEF垂直平分BC,

________①?

???Z-EBC=Z.C,

vzD5C=90°,

Z.EBC+Z.EBD=90°,4C+乙EDB=90。,

???乙EBD=Z.EDB,

DE=BE,

DE=②，即

■：AB=^CD,

DE—AB,

???AB||DE,

四邊形ABED是③，

...DE=④,

四邊形ABED為菱形.

35.如圖，四邊形48CD是平行四邊形，E為AD邊上一點,連接BE.

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點/作BE的垂線，垂足為點。，交BC于點尸.（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）所作的圖形中，連接EF,若=求證：四邊形ABFE為菱形.

證明：如圖???四邊形/BCD是平行四邊形

.,.Z.EAO=Z.BFO

又???△ABE中，AE=AB,AF18E于點。

在△AOE和aFOB中

（Z.EAO=Z-BFO

\z-AOE=^FOB

IOE=OB

.??△AOEzAFOB,

X-ADWBC,

.?.四邊形力BFE為平行四邊形

又J

??.平行四邊形4BFE為菱形.

36.如圖，四邊形4BCD為平行四邊形，對角線力C,BD相交于點。，過點/作4E1BD,垂足為E.

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點C作CFLBO,垂足為尸；（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）

（2）在（1）問所作的圖形中，連接AKCE,求證：四邊形4FCE為平行四邊形.（完成下面的證明過程）.

證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，

???__①一.

_②_,CFA.BO,

.-.^AEO=ZCFO=90°,

：.AE\\CF.

在△AE。和△FC。中,

Z.AEO=乙CFO,

—③一

OA=OC,

??.△AEO=△CFO(AAS)，

???—④—.

又??一⑤—，

四邊形MCE為平行四邊形.

37.如圖，點C在線段4B上，AD||BE,AC=BE,AD=BC,DE交4B于點G.

⑴尺規(guī)作圖：過點/做線段DE的垂線交DE于點?(基本作圖，保留作圖痕跡，不寫做法，不下結(jié)論)

(2)求證DF=FG.

證明："DIIBE

???①

在△ACD和△BEC中，

(AC=BE

^DAC=乙CBE

IAD=BC

△ACD=△BEC

N2DC=②，CD=CE

?,-@=/.CED

_Z.ADC+Z,CDE=乙BCE+乙CED

_Z.ADG=匕AGD

???④

vAF1DG

??.DF=FG.

38.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE1CD,垂足為點E.

⑴尺規(guī)作圖：過點4作AF1BC,垂足為點F；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，若4F=4E,求證：平行四邊形4BCD是菱形.

證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

Z.B=①.

X-：AELCD,AFLBC,

AAFB=②=90。.

在△ABF和△4DE中，

（Z.B=zD

4AFB=乙AED

I③

三△ADE（AAS）.

???④.

平行四邊形ZBCD是菱形（⑤—）.

39.學習了四邊形后，小麥同學想繼續(xù)探索鄰邊相等的四邊形特征，請根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空:

⑴用直尺和圓規(guī)，過點C作CN14B交4B于點N,過點C作CM14D交AD于點跖（只保留作圖痕跡）

⑵在（1）所作圖形中，四邊形4BCD,DC=BC,ABAD+/.BCD=180°,連接2C,求證：AC平分ABAD,

■:CMLAD,CNLAB,

:.4CMD=ACNB=9Q°,

■,■ABAD+乙BCD=180°,

在四邊形力BCD中，乙8+N4DC=180。，

又"DC+乙CDM=180°,

?-.Cl),

■.■CD=CB,

△CDM^△CBN（②）,

.-.CM=CN,

：.^BAC=ADAC（依據(jù)：③）

小麥同學進一步研究發(fā)現(xiàn)，四邊形中滿足鄰邊相等，且對角互補，均有以上特征，請你依照題意完成下面

命題：若四邊形鄰邊相等，對角互補，則⑷.

40.如圖，在平行四邊形力BCD中，連接對角線BD,4E1BC交BC于點E,交BD于點G.

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點C作2D的垂線，交4。于點￡交BD于點、H；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖形中，求證：BG=DH.（請補全下面的證明過程）

證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，

■.ADWBC,AD=BC,

■■.Z.ADB=①,

■,-CFLAD,

."FC=90°,

*：AE1BC,

.?zZEC=90。，

,?,②,

:.^GAD=^AEC=90°,/.HCB=^AFC=90°,

即③，

△BCH=△IMG（ASA），

.?，

=DG-GH,

：.BG=DH.

【題型5作已知角相等角】

41.如圖，已知正方形4BCD,點E在邊BC上，連接4E.

(1)尺規(guī)作圖：在正方形內(nèi)部作乙使乙4DF=NE4E,邊。尸交線段4E于點G,交4B邊于點F(不寫作法,

保留作圖痕跡)；

(2)要探究4E,DF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，請將下列過程補充完整.

解：AB=DE,AE1DF,理由如下.

???四邊形4BCD是正方形，

?-?①，/.DAF=ZB=90°,

在△IMF和△4BE中

(ADAF=4B

DA^AB

???△D4F三△ABE,

???—③

N8AE+N￡MG=90°,ABAE=AADF,

???—④

AAGD=90°

???—⑤，

：.AE=DF,AE1DF.

42.如圖，四邊形4BCD為矩形，2C為矩形的一條對角線.

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在的左側(cè)作NE4B=N4CD,射線4E與CB的延長線交于點E.連接OE與4B

交于點F；(保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論)；

(2)小亮判斷點F為線段DE的中點.他的證明思路是：利用矩形的性質(zhì)，先證明△4EC為等腰三角形，從而

得到點B為EC的中點，再利用三角形全等，得到點F為DE的中點.請根據(jù)小亮的思路完成下面的填空：

證明：???四邊形4BCD為矩形，

???AD=BC,/.ABC=A.BAD=90°,AB||DC,

-：AB||DC,.?.①,

■■/.EAB=Z.ACD,

Z-EAB=Z-BAC,

???zXBC=90°,

???乙48E=90。，

/.ABAC+^ACB=90°fZ,EAB+AAEB=90°,

②—，

AE=AC,

???ZT4BC=90°,

???AB1BC,

???③—，

???AD=BC,

AD=BE,

vABAD=/-ABE=90°,乙AFD=^BFE,

??.④，(AAS)

：.EF=FD,

???點F為E。的中點.

(1)尺規(guī)作圖：在2D右側(cè)，作乙4DE等于NZMF,N/1DE的邊DE交力C于點E(保留作圖痕跡，不寫作法);

(2)在(1)所作圖形中，若4E=ED,S.ABFD=2^ADE,求證；四邊形4FDE是菱形.

證明：vAE=ED

；?①一

???Z-ADE=Z-DAF

Z.ADE—Z.DAE=Z-DAF

/.Z.BAC=Z.DAF+^DAE=2(ADE

Z-BFD=2/.ADE

???②—

??.DF\\AC

???Z-ADE=Z-DAF

???③—

AE—ED

二平行四邊形4FDE是菱形

44.學習了圖形的旋轉(zhuǎn)等相關(guān)知識后，小李同學進行了一次拓展性研究.他發(fā)現(xiàn)，若一個四邊形有一組對

角均為90。且這組對角中有一個直角的兩邊相等，則連接這組對角的頂點，此對角線平分另一個直角.他的

解決思路是通過作一個角等于已知角等知識證明兩個三角形全等得出的結(jié)論.請根據(jù)他的思路完成以下作

圖與填空：

⑴用直尺和圓規(guī)作圖：如圖，以4。為邊在四邊形4BCD外部作=AC=AE,連接DE.(保留作

圖痕跡)

(2)已知：如圖，AC是四邊形力BCD的對角線，AB=AD,NB4D=NBCD=90。，AC=AE,^BAC=^DAE.

求證：Z-ACB=Z-ACD.

證明：-ABAD=ABCD=90°

?ZBC+_=180°,

-AB=AD,ABAC=^DAE,AC=AE,

△ABC=△ADE(SAS)

：.Z-ACB—Z-AED,Z.ABC—_

：._Z.ADC=180°

.?.點C,D,￡三點共線.

又AC=AE,

■■.Z.ACD=Z.AED=Z.ACB.

即N4CB=N4CD.

小李再進一步研究發(fā)現(xiàn)，線段CD,DE,2E存在一定的數(shù)量關(guān)系，請你根據(jù)以上信息，直接寫出CD,DE,

4E三者之間的數(shù)量關(guān)系

45.小明想利用三角形全等的知識，再探三角形中位線定理，他的探究思路如下：如圖，在△ABC中，點

D、E分別為45、4C的中點，連接OE,過點C在AC的右邊作乙4CF,使得“CF=NB4C,延長OE交CF于點

F,然后通過證明△4DE三△CFE和平行四邊形BCFD來證明三角形中位線定理，請完成下面的作圖和填空.

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：以點C為頂點，在力C的右側(cè)作N4CF=NB4C,延長OE,交CF于點尸；（保留作

圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）

⑵求證：BC=2DE,BC\\DE.

證明：???點E為ac的中點，

.■.AE=CE,

^■：/.ACF=4BAC,

在△4DE和中，

ZDAE=乙FCE

AE=CE

：.AADE=ACFEf

.,.③DE=FE,

???點。為AB的中點，

.,.AD=BD,

??.④一，

四邊形DBCF是平行四邊形,

：