第十一章

立體幾何初步11.1.3多面體與棱柱

人教B版（2019）

必修第四冊學習要點核心素養1.了解多面體的概念數學抽象2.掌握棱柱的結構特征數學抽象生活中的很多物體都可以抽象成多面體，如圖所示．觀察多面體的結構，總結出一個幾何體是多面體的充要條件．嘗試與發現由圖可以看出，多面體的每個面都是平面多邊形．一般地，由若干個平面多邊形所圍成的封閉幾何體稱為多面體．1.多面體例如，初中學習過的長方體，棱錐等都是多面體．同長方體類似，圍成多面體的各個多邊形稱為多面體的面，相鄰兩個面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點稱為多面體的頂點．把多面體的任意一個面延展為平面，如果其余的各面都在這個平面的同一側，則稱這樣的多面體為凸多面體．學習中說到的多面體，如不特別聲明，均指凸多面體．凸多面體多面體至少有4個面．多面體可以按照圍成它的面的個數來命名．例如，圖中的4個多面體可分別稱為五面體，八面體，十面體，十二面體．如圖所示的一個六面體中，有8個頂點，12條棱．一個多面體中，連接同一面上兩個頂點的線段，如果不是多面體的棱，就稱其為多面體的面對角線；連接不在同一面上兩個頂點的線段稱為多面體的體對角線．一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形（包含它的內部），稱為這個幾何體的一個截面．圖中畫出了多面體的一個截面BCEF．多面體所有面的面積之和稱為多面體的表面積（或全面積）．例題鞏固如不特意聲明，以后將不再區分一個多面體的棱和這條棱所在的直線，也不再區分多面體的一個面和這個面所在的平面．在此前提下，例1的（1）可簡單地說成“AB與平面EBC的位置關系”．探索與研究5種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.嘗試與發現如圖是一些棱柱．觀察棱柱的結構，總結出一個幾何體是棱柱的充要條件．上圖所示的多面體，都有兩個面互相平行，且該多面體的頂點都在這兩個面上，其余各面都是平行四邊形，這樣的多面體稱為棱柱，棱柱的兩個互相平行的面稱為棱柱的底面（底面水平放置時，分別稱為上底面，下底面），其他各面稱為棱柱的側面，兩個側面的公共邊稱為棱柱的側棱．2.棱柱過棱柱一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）稱為棱柱的高．棱柱所有側面的面積之和稱為棱柱的側面積．如果棱柱的側棱垂直于底面，則可知棱柱所有的側面都是長方形，這樣的棱柱稱為直棱柱（不是直棱柱的棱柱稱為斜棱柱）．特別地，底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱．下圖中，（1）是斜棱柱，（2）（3）都是直棱柱，且（3）是正棱柱．一個棱柱是否可以看成一個底面的所有點沿同一個方向移動相同的距離所形成的幾何體？由此給出棱柱的一種分類方法．嘗試與發現棱柱可以按底面的形狀分類，例如底面是三角形，四邊形，五邊形的棱柱，可分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱．底面是平行四邊形的棱柱也稱為平行六面體．側棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體．不難看出，底面是矩形的直平行六面體就是以前我們學過的長方體，而棱長都相等的長方體就是正方體．例如，圖中，除（1）外，其他的都是平行六面體，且（3）（4）（5）都是直平行六面體，（4）為長方體，（5）為正方體．不難看出，在平行六面體中，相