第1講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想1/36高考定位函數(shù)與方程思想普通經(jīng)過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識進行考查；數(shù)形結(jié)合思想普通在選擇題、填空題中考查.2/36真題感悟1.函數(shù)與方程思想含義(1)函數(shù)思想，是用運動和改變觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中數(shù)量關(guān)系，是對函數(shù)概念本質(zhì)認識，建立函數(shù)關(guān)系或結(jié)構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題取得處理思想方法.(2)方程思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者結(jié)構(gòu)方程，經(jīng)過解方程或方程組，或者利用方程性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題取得處理思想方法.3/362.函數(shù)與方程思想在解題中應(yīng)用(1)函數(shù)與不等式相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＞0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)＞0，借助于函數(shù)圖象和性質(zhì)可處理相關(guān)問題，而研究函數(shù)性質(zhì)也離不開不等式.(2)數(shù)列通項與前n項和是自變量為正整數(shù)函數(shù)，用函數(shù)觀點去處理數(shù)列問題十分主要.(3)解析幾何中許多問題，需要經(jīng)過解二元方程組才能處理，這都包括二次方程與二次函數(shù)相關(guān)理論.4/363.數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致能夠分為兩種情形：①借助形生動和直觀性來說明數(shù)之間聯(lián)絡(luò)，即以形作為伎倆，數(shù)為目標(biāo)，比如應(yīng)用函數(shù)圖象來直觀地說明函數(shù)性質(zhì)；②借助于數(shù)準(zhǔn)確性和規(guī)范嚴(yán)密性來說明形一些屬性，即以數(shù)作為伎倆，形作為目標(biāo)，如應(yīng)用曲線方程來準(zhǔn)確地說明曲線幾何性質(zhì).5/364.在利用數(shù)形結(jié)合思想分析和處理問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算幾何意義以及曲線代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)取值范圍.數(shù)學(xué)中知識，有本身就能夠看作是數(shù)形結(jié)合.6/36熱點一函數(shù)與方程思想應(yīng)用[微題型1]不等式問題中函數(shù)(方程)法【例1－1】(1)f(x)＝ax3－3x＋1對于x∈[－1，1]，總有f(x)≥0成立，則a＝________.(2)設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)＜0解集是________.7/368/36且g(x)在區(qū)間[－1，0)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上a＝4.(2)設(shè)F(x)＝f(x)g(x)，因為f(x)，g(x)分別是定義在R上奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上為奇函數(shù).又當(dāng)x＜0時，F(xiàn)′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0，9/36所以x＜0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù).因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，所以x＞0時，F(xiàn)(x)也是增函數(shù).因為F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).所以，由圖可知F(x)＜0解集是(－∞，－3)∪(0，3).答案(1)4

(2)(－∞，－3)∪(0，3)10/36探究提升

(1)在處理不等式問題時，一個最主要思想方法就是結(jié)構(gòu)適當(dāng)函數(shù)，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)處理問題；(2)函數(shù)f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，普通可轉(zhuǎn)化為f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求參數(shù)范圍可先分離參數(shù)，然后利用函數(shù)值域求解.11/36[微題型2]數(shù)列問題函數(shù)(方程)法(1)解由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.因為a1，a2＋6，a3成等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，12/3613/3614/3615/36[微題型3]解析幾何問題方程(函數(shù))法【例1－3】

設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，A(2，0)，B(0，1)是它兩個頂點，直線y＝kx(k＞0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.16/3617/3618/3619/36探究提升

解析幾何中最值是高考熱點，在圓錐曲線綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解這類問題普通思緒為在深刻認識運動改變過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(或者多個)變量函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值探求來使問題得以處理.20/36熱點二數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用[微題型1]利用數(shù)形結(jié)合思想討論方程根或函數(shù)零點【例2－1】(1)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b取值范圍是________.A.5 B.6C.7 D.821/36解析(1)由f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，可得|2x－2|＝b有兩個不等實根，從而可得函數(shù)y＝|2x－2|圖象與函數(shù)y＝b圖象有兩個交點，如圖所表示.結(jié)合函數(shù)圖象，可得0＜b＜2，故填(0，2).22/3623/36答案(1)(0，2)

(2)B24/36探究提升

用圖象法討論方程(尤其是含參數(shù)指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)解(或函數(shù)零點)個數(shù)是一個主要思想方法，其基本思想是先把方程兩邊代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)表示式(不熟悉時，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)圖象，圖象交點個數(shù)即為方程解(或函數(shù)零點)個數(shù).25/36[微題型2]利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式或求參數(shù)范圍26/3627/36探究提升

求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)絡(luò)函數(shù)圖象，依據(jù)不等式中量特點，選擇適當(dāng)兩個(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來處理問題，往往能夠防止繁瑣運算，取得簡捷解答.28/36[微題型3]利用數(shù)形結(jié)合思想求最值【例2－3】(1)已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上動點，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0兩條切線，A、B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積最小值為________.29/3630/36(2)設(shè)雙曲線左焦點為F1，連接PF1，依據(jù)雙曲線定義可知|PF|＝2＋|PF1|，則△APF周長為|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2，因為|AF|＋2是定值，31/3632/36探究提升

破解圓錐曲線問題關(guān)鍵是畫出對應(yīng)圖形，注意數(shù)形結(jié)合相互滲透，并從相關(guān)圖形中挖掘?qū)?yīng)信息加以分析與研究.直線與圓錐曲線位置關(guān)系轉(zhuǎn)化有兩種，一個是經(jīng)過數(shù)形結(jié)合建立對應(yīng)關(guān)系式，另一個是經(jīng)過代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組解問題進行討論.33/361.當(dāng)問題中包括一些改變量時，就需要建立這些改變量之間關(guān)系，經(jīng)過變量之間關(guān)系探究問題答案，這就需要使用函數(shù)思想.2.借助相關(guān)函數(shù)性質(zhì)，一是用來處理相關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)取值范圍等問題，二是在問題研究中，能夠經(jīng)過建立函數(shù)關(guān)系式或結(jié)構(gòu)中間函數(shù)來求解.34/363.許多數(shù)學(xué)問題中，普通都含有常量、變量或參數(shù)，這些參變量中必有一個處于突出主導(dǎo)地位，把這個參變量稱為主元，結(jié)構(gòu)出關(guān)于主元方程，主元思想有利于回避多元困擾，解方程實質(zhì)就是分離參變量.