第七章圖形的變化第29講圖形的對稱、平移和旋轉(zhuǎn)（3~9分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一軸對稱考點二圖形的平移考點三圖形的旋轉(zhuǎn)04題型精研·考向洞悉命題點一：軸對稱?題型01軸對稱圖形的識別?題型02根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷?題型03根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解?題型04軸對稱中的光線反射問題?題型05對稱軸問題?題型06求某點關于坐標軸對稱點的坐標?題型07軸對稱的綜合問題命題點二：圖形的平移?題型01生活中的平移現(xiàn)象?題型02利用平移的性質(zhì)求解?題型03作平移圖形?題型04平移中的坐標問題?題型05平移的幾何變問題命題點三：圖形的旋轉(zhuǎn)?題型01找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應點?題型02根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解?題型03旋轉(zhuǎn)的坐標問題?題型04旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題?題型05旋轉(zhuǎn)的線段問題?題型06旋轉(zhuǎn)的角度問題?題型07旋轉(zhuǎn)的面積問題05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測軸對稱通過具體實例理解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì):成軸對稱的兩個圖形中對應點的連線被對稱軸垂直平分.能畫出簡單平面圖形(點、線段、直線、三角形等)關于給定對稱軸的對稱圖形.理解軸對稱圖形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì).認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形.10年7考該板塊知識以考查平面幾何的三大變換的基本運用為主，年年都有考查，分值在8-12分左右．預計2025年廣東中考還將繼續(xù)考查這些知識點，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結(jié)合出現(xiàn)．在三種變換中，平移相對較為簡單，多以選擇題形式考察，偶爾也會考察作圖題:對稱和旋轉(zhuǎn)則難度較大，通常作為選擇、填空題的壓軸題出現(xiàn)，在解答題中，也會考察對稱和旋轉(zhuǎn)的作圖，以及與特殊幾何圖形結(jié)合的綜合壓軸題，此時常需要結(jié)合幾何圖形或問題類型去分類討論.平移通過具體實例認識平移，探索它的基本性質(zhì):一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行(或在同一條直線上)且相等.認識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應用.運用圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移進行圖案設計.10年6考旋轉(zhuǎn)通過具體實例認識平面圖形關于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn).探索它的基本性質(zhì):一個圖形和旋轉(zhuǎn)得到的圖形中，對應點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì):成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì).認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形.10年8考考點一軸對稱軸對稱與軸對稱圖形軸對稱軸對稱圖形圖形定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.區(qū)別1）軸對稱是指兩個圖形折疊重合.2）軸對稱對稱點在兩個圖形上.3）軸對稱只有一條對稱軸.1）軸對稱圖形是指本身折疊重合.2）軸對稱圖形對稱點在一個圖形上.3）軸對稱圖形至少有一條對稱軸.聯(lián)系1)定義中都有一條直線,都要沿著這條直線折疊重合.2)如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形；反過來,如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分(即看成兩個圖形),那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱.性質(zhì)1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形.2）兩個圖形關于某直線對稱那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線.判定1）兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱.2）兩個圖形關于某條直線成軸對稱,那么對稱軸是對折重合的折痕線.常見的軸對稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形等.做軸對稱圖形的一般步驟：1）作某點關于某直線的對稱點的一般步驟：①過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標出垂足，并延長；②在延長線上從垂足出發(fā)截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關于該直線的對稱點.2）作已知圖形關于某直線的對稱圖形的一般步驟：①找.在原圖形上找特殊點（如線段的端點、線與線的交點）②作.作各個特殊點關于已知直線的對稱點③連.按原圖對應連接各對稱點折疊的性質(zhì)：折疊的實質(zhì)是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．【解題思路】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量．解決折疊問題時，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關系，借助勾股定理建立關系式求出答案，所求問題具有不確定性時，常常采用分類討論的數(shù)學思想方法．11.對稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段.2.軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的存在多條對稱軸（例：正方形有四條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸等）.3.成軸對稱的兩個圖形中的任何一個都可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換得到的，一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎,經(jīng)軸對稱變換得到的.4.軸對稱的性質(zhì)是證明線段相等、線段垂直及角相等的依據(jù)之一,例如:若已知兩個圖形關于某直線成軸對稱,則它們的對應邊相等,對應角相等.考點二圖形的平移平移的概念：在平面內(nèi)，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大小．平移的三大要素：1）平移的起點，2）平移的方向，3）平移的距離．平移的性質(zhì)：1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個圖形全等.2）平移前后對應線段平行且相等、對應角相等.3）任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應點之間的距離就是平移的距離.作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關鍵點；3）按平移方向和平移距離平移各個關鍵點，得到各關鍵點的對應點；4）按原圖形依次連接對應點，得到平移后的圖形．考點三圖形的旋轉(zhuǎn)定義：在平面內(nèi)，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉(zhuǎn)過一個角度，這樣的圖形運動叫旋轉(zhuǎn)．這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個角叫做旋轉(zhuǎn)角．三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．性質(zhì)：1）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關鍵點；3）連接關鍵點與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關鍵點的對應點；4）按原圖形依次連接對應點，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．11.圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)的角度所決定.2.旋轉(zhuǎn)中心可以是圖形外的一點，也可以是圖形上的一點，還可以是圖形內(nèi)的一點.3.對應點之間的運動軌跡是一段圓弧，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的線段就是這段圓弧所在圓的半徑.4.旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關系不發(fā)生改變，所以在解答有關旋轉(zhuǎn)的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關系起著關鍵的作用．中心對稱與中心對稱圖形：中心對稱中心對稱圖形圖形定義如果一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱.如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心.區(qū)別中心對稱是指兩個圖形的關系中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形聯(lián)系兩者可以相互轉(zhuǎn)化，如果把中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩個圖形，那么這“兩個圖形”中心對稱.中心對稱的性質(zhì)：1）中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；中心對稱的兩個圖形是全等圖形.作與已知圖形成中心對稱的圖形的一般步驟：1）作已知圖形各頂點（或決定圖形形狀的關鍵點）關于對稱中心的對稱點——連接關鍵點和對稱中心，并延長一倍確定關鍵點的對稱點.2）把各對稱點按已知圖形的連接方式依次連接起來，則所得到的圖形就是已知圖形關于對稱中心對稱的圖形.找對稱中心的方法和步驟：方法1：連接兩個對應點，取對應點連線的中點，則中點為對稱中心.方法2：連接兩個對應點，在連接兩個對應點，兩組對應點連線的交點為對稱中心.命題點一：軸對稱?題型01軸對稱圖形的識別1．（2025·廣東廣州·一模）下列交通標志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的識別，掌握它們的定義是解題的關鍵．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，進行逐一判斷即可．【詳解】解：A．該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B．該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C．該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D．該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：C．2．（2025·廣東深圳·一模）全民閱讀有助于提升一個國家、一個民族的精神力量，圖書館是開展全民閱讀的重要場所．以下圖書館標志中，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形進行分析即可．此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是找出圖形中的對稱軸．【詳解】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．3．（2025·廣東·模擬預測）下列圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線(成軸）對稱，根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念是解題的關鍵．【詳解】、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：．4．（2024·廣東·模擬預測）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據(jù)：如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩邊的部分互相重合，那么這個圖形是軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心，即可判斷，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解題的關鍵．【詳解】解：．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，該選項不合題意；．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，該選項不合題意；．是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，該選項符合題意；．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，該選項不合題意；故選：C．?題型02根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷5．（2023·廣東深圳·二模）如圖，這條活靈活現(xiàn)的“小魚”是由若干條線段組成的，它是一個軸對稱圖形，對稱軸為直線，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A．點和點到直線的距離相等 B．C． D．四邊形是菱形【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱軸圖形的性質(zhì)對各選項進行分析即可，【詳解】解：圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸為直線，點和點是對稱點，所以，點和點到直線的距離相等，所以，，，無法判斷與是否相等，故四邊形是菱形不一定正確，故選D.【點睛】本題主要考查了軸對稱軸圖形的性質(zhì)，軸對稱圖形具有以下的性質(zhì)：（1）軸對稱的兩個圖形是全等圖形；軸對稱圖形的兩個部分也是全等圖形.（2）如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（3）兩個圖形關于某條直線對稱，那么如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點一定在在對稱軸上.6．（2024·廣西·中考真題）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關的文創(chuàng)圖案中，成軸對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查成軸對稱的定義，掌握成軸對稱的定義是解題的關鍵．把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫作對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫作對稱點．根據(jù)兩個圖形成軸對稱的定義，逐一判斷選項即可．【詳解】A．圖案不成軸對稱，故不符合題意；B．圖案成軸對稱，故符合題意；C．圖案不成軸對稱，故不符合題意；D．圖案不成軸對稱，故不符合題意；故你：B．7．（2023·河北秦皇島·三模）如圖是嘉嘉把紙折疊后剪出的圖案，將剪紙展開后得到的圖案是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖是嘉嘉把紙折疊后剪出的圖案，將剪紙展開后得到的圖案是選項．故選：A．【點睛】本題考查利用軸對稱設計圖案，剪紙問題，解題的關鍵是理解軸對稱圖形的性質(zhì)，屬于中考常考題型．8．（2023·吉林長春·三模）以如圖（1）（以O為圓心，半徑為1的半圓）作為“基本圖形”，分別經(jīng)歷如下變換：①只要向右平移1個單位；②先以直線為對稱軸進行翻折，再向右平移1個單位；③先繞著點O旋轉(zhuǎn)，再向右平移一個單位；④繞著的中點旋轉(zhuǎn)即可．其中能得到圖（2）的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱變換，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的特征結(jié)合圖形解答即可．【詳解】解：由圖可知，圖（1）先以直線為對稱軸進行翻折，再向右平移1個單位，即可得到圖（2），故②符合題意；圖（1）先繞著點旋轉(zhuǎn)，再向右平移一個單位，即可得到圖（2），故③符合題意；圖（1）繞著的中點旋轉(zhuǎn)即可得到圖（2），故④符合題意；圖（1）只要向右平移1個單位不能得到圖（2），故①不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了幾何變換的類型，熟練掌握常見的幾種幾何變換－平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的特征是解題的關鍵．?題型03根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解9．（2023·廣東東莞·模擬預測）如圖，中，，，點D在上，點A與點關于直線對稱且點落在的延長線上，則的度數(shù)是（

）．A．5° B．10° C．20° D．40°【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，則；再根據(jù)直角三角形的性可得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵點A與點關于直線對稱且點落在的延長線上∴∴∵，∴∵∴．故選B．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關知識是解答本題的關鍵．10．（2022·廣東梅州·一模）如圖，直線MN是矩形ABCD的一條對稱軸，點E在AD邊E上，將沿BE折疊，使點A的對應點F落在直線MN上，若，則BE的長是（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】先由軸對稱的性質(zhì)得到，，再由折疊的性質(zhì)得到，從而求出∠BFM=30°，推出∠AEB=60°，然后解直角三角形ABE即可．【詳解】解：∵MN是矩形ABCD的一條對稱軸，∴，，∴∠AEF+∠MFE=180°，，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∴∠BFM=30°，∴∠MFE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEB=60°，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，折疊的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定等等，熟知軸對稱和折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．11．（2024·陜西·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線與拋物線關于點中心對稱，則m，n的值分別為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)題意得拋物線與拋物線的開口方向相反，故，與的對稱軸關于直線對稱，分別求出與的對稱軸列出關于n的方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)拋物線的對稱性可知，拋物線與拋物線的開口方向相反，故，∵與關于點中心對稱，∴與的對稱軸關于直線對稱，∵的對稱軸，的對稱軸，解得，∴，故選：A．12．（2024·河北·中考真題）如圖，與交于點O，和關于直線對稱，點A，B的對稱點分別是點C，D．下列不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可判斷B、C選項，再根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線平行即可判斷選項D．【詳解】解：由軸對稱圖形的性質(zhì)得到，，∴，∴B、C、D選項不符合題意，故選：A．?題型04軸對稱中的光線反射問題13．（2024·四川達州·模擬預測）如圖，兩條平行直線a，b，從點光源M射出的光線射到直線a上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線b上的B點，當這束光線繼續(xù)從B點反射出去后，反射光線與直線b所夾銳角的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，根據(jù)“入射光線與直線的夾角始終與反射光線與該直線的夾角相等”得到，由平行線的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵從點光源射出的光線射到直線上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線上的點，∴，∵，∴，∴當這束光線繼續(xù)從點反射出去后，反射光線與直線的夾角度數(shù)為．故選：D14．（2024·河南商丘·二模）如圖，在空心圓柱口放置一面平面鏡，與水平線的夾角，入射光線經(jīng)平面鏡反射后反射光線為（點，，，，，，在同一豎直平面內(nèi)），已知．若要使反射光線恰好垂直于圓柱底面射出，則需要把入射光線與水平線的夾角的度數(shù)調(diào)整為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了垂線和角的計算，軸對稱的性質(zhì)；根據(jù)已知可得，進而求得，根據(jù)對稱可得，進而即可求解．【詳解】解：由題意，知，∴．∴．∴，故選：C．15．（2024·江西·二模）我們知道光的反射是一種常見的物理現(xiàn)象.如圖，某V型路口放置如圖所示的兩個平面鏡，，兩個平面鏡所成的夾角為，位于點D處的甲同學在平面鏡中看到位于點A處的乙同學的像，其中光的路徑為入射光線經(jīng)過平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點C處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．由光的反射定律以及平行線的性質(zhì)，推出，再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出的度數(shù)．【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道，，，故選：C．16．（2023·江西·中考真題）如圖，平面鏡放置在水平地面上，墻面于點，一束光線照射到鏡面上，反射光線為，點在上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形中兩個銳角互余，入射角等于反射角，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．?題型05對稱軸問題17．（2024·江西南昌·模擬預測）如圖，每個小方格均為邊長為1的正方形，四個涂色的小正方形組成的圖形的對稱軸有m條，再將剩余的五個小正方形中的一個涂色，若由這五個涂色的小正方形組成的新圖形的對稱軸的條數(shù)也為m，則涂色的正方形是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】本題考查了對稱軸的數(shù)量，根據(jù)對稱軸的定義逐一判斷即可．【詳解】解：由題意可知，四個涂色的小正方形組成的圖形的對稱軸有條，即，A、涂色的正方形是①，組成的圖形的對稱軸有條，不符合題意；B、涂色的正方形是②，組成的圖形的對稱軸有條，不符合題意；C、涂色的正方形是③，組成的圖形的對稱軸有條，符合題意；D、涂色的正方形是④，組成的圖形的對稱軸有條，不符合題意；故選：C．18．（2024·山東聊城·三模）如圖是采用我國非遺紡織印染工藝——蠟染制作的精美圖案，該圖案的對稱軸的條數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查圖形的對稱軸，根據(jù)該圖形的特點結(jié)合軸對稱圖形的定義得出即可．【詳解】解：由圖知，該圖案的對稱軸的條數(shù)為4條，故選：B．19．（2024·福建三明·二模）瓷器上的紋飾是中國古代傳統(tǒng)文化的重要載體之一，如圖所示的圖形是某瓷器上的紋飾，該圖形是軸對稱圖形，其對稱軸的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】本題考查軸對稱圖形的相關概念，根據(jù)圖形的兩部分折疊后能夠完全重合確定對稱軸是解題的關鍵．根據(jù)軸對稱圖形的概念確定對稱軸，畫圖求解即可．【詳解】如圖所示：由4條對稱軸，故選：C．20．（2024·江蘇鹽城·一模）瓷器上的紋飾是中國古代傳統(tǒng)文化的重要載體之一，如圖所示的圖形即為瓷器上的紋飾，該圖形既為中心對稱圖形，又為軸對稱圖形，該圖形對稱軸有（

）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】A【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心【詳解】如圖所示，該圖形的對稱軸有條．故選：A．?題型06求某點關于坐標軸對稱點的坐標21．（2024·廣東·模擬預測）在平面直角坐標系中，若點的坐標為，則點關于軸對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標規(guī)律，比較容易，關鍵是熟記規(guī)律：（1）關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．（2）關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變．根據(jù)關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變；即點關于y軸的對稱點的坐標是，即點P的坐標為關于y軸對稱的點的坐標．【詳解】點關于y軸的對稱點的坐標是，故選C．22．（2024·廣東汕頭·一模）在平面直角坐標系中，點關于y軸對稱的點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平面直角坐標系中對稱點的規(guī)律，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．【詳解】解：點關于y軸對稱的點的坐標是，故選：D．23．（2024·廣東佛山·一模）在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平面直角坐標系中對稱點的規(guī)律，根據(jù)對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，進行求解即可．【詳解】解：點關于軸對稱的點的坐標為，故選：A．24．（2024·湖北武漢·模擬預測）對于平面直角坐標系中的任意線段，給出如下定義：線段上各點到軸距離的最大值，叫做線段的“軸距”，記作．例如，如圖，點，，則線段的“軸距”為，記作．已知點，，線段關于直線的對稱線段為．若，則的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了軸坐標與圖形變化——對稱，線段“軸距”的定義等知識，分兩種情況討論：當，當，分別求出的值即可，理解新定義，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：∵點，，∴，關于直線的對稱點，，∵當，，∴，∴或（舍去）；當，，∴，∴或（舍去），綜上可知的值為：或，故選：．?題型07軸對稱的綜合問題25．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線解析式；(2)點P是拋物線對稱軸上一點，當?shù)闹荛L最小時，求點P的坐標．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識點，依據(jù)軸對稱路徑最短問題確定出點P的位置是解題的關鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）連接交拋物線的對稱軸于點P，連接，依據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可得到，則的周長，故當點在一條直線上時，的周長最小值，然后求得直線的解析式，從而可得到點P的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）∵當時，，∴，∵點P是拋物線對稱軸上一點，∴，∴．∴當點在一條直線上時，有最小值，即的長度．如圖，連接交拋物線的對稱軸于點P，又∵為定值，∴此時，的周長最小．設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，將代入得：，∴點P的坐標為，即當?shù)闹荛L最小時，點P的坐標為．26．（2024·廣東珠海·三模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的點和點，過點A作x軸的垂線，垂足為C，且的面積為2．(1)分別求出a和b的值；(2)結(jié)合圖象直接寫出的解集；(3)在x軸上取一點P，當取得最大值時，求點P的坐標．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)的面積為2和反比例函數(shù)圖象的位置，可以確定m的值，代入點坐標即可求出；（2）根據(jù)圖象可直接寫出；（3）作B關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，連接，即最大值為，求出直線解析式，再確定與x軸交點坐標即可．【詳解】（1）解：由得，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，，反比例函數(shù)為．將點，分別代入，解得，．（2）由（1）知，，結(jié)合圖象可知的解集為或．（3）如圖，作B關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，連接，此時取得最大值，最大值為設直線解析式為，將點，代入，得，解得，，令，得，，故當取得最大值時，點的坐標為．【點睛】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)和應用，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，作對稱點是求線段和或差最小值的常用方法，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．27．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在等腰直角三角形中，，點在邊的延長線上，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，為的中點．

(1)求的長；(2)連接，請猜想與的數(shù)量和位置關系，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，若點為中點，連接，，求的最小值．【答案】(1)(2)，，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理，即可求解；（2）連接，，先證明三點共線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，進而證明四點共圓，根據(jù)圓周角定理，即可得出；（3）過點作于點，先證明四點共圓，進而得出點的軌跡，得出，作點關于的對稱點，連接，當點在上時，，此時取的最小值，進而勾股定理，即可求解．【詳解】（1）解：∵在等腰直角三角形中，，∴，（2）結(jié)論：，證明：如圖所示，連接，，

∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴是等腰直角三角形，∴又∵∴三點共線，∵為的中點．∴，∴∵∴四點共圓，∵，∴，（3）如圖所示，過點作于點

∴∴四點共圓，∴∴，∴點在射線上運動，∵∴作點關于的對稱點，連接，當點在上時，，此時取的最小值，∵是等腰直角三角形，是的中點，∴，，∴在中，即的最小值為．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，直角所對的弦是直徑，軸對稱的性質(zhì)求線段和的最值問題，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．28．（2024·山東濟南·一模）【問題情境】：（1）如圖1，四邊形是正方形，點是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，則與的數(shù)量關系是______．【類比探究】：（2）如圖2，四邊形是矩形，，點是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接．判斷線段與有怎樣的數(shù)量關系：______，并說明理由：【拓展提升】：（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，求的最小值．

【答案】（1）；（2）判斷：，理由見解析；（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，，，，則有，即可證明，有成立；（2）由矩形的性質(zhì)得，，結(jié)合題意可證得，則有，故；（3）過點E作，垂足為點K，過點G作交的延長線于點L，則，結(jié)合矩形的性質(zhì)證得，有，即可證得，得到，得，則點G的運動軌跡是直線，作點D關于直線的對稱點，則，得到的值最小為，將，利用勾股定理即可求得．【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，則，那么，，故答案為：；（2）判斷：，理由如下：∵四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，∴，∵，，∴∴，∴，∴；故答案為：；（3）如圖，過點E作，垂足為點K，過點G作交的延長線于點L，則，

∵四邊形是矩形，∴，，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴點G的運動軌跡是直線，作點D關于直線的對稱點，則，∴當點B，G，三點同一直線時，的值最小，即為，由（2）得，∴，∴，∴的最小值為的最小值，即，∵，，∴，∴∴，∴的最小值為．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關鍵是熟悉相似三角形的性質(zhì)和線段之間的轉(zhuǎn)化及最短距離的求解．命題點：圖形的平移?題型01生活中的平移現(xiàn)象29．（2022·廣西·中考真題）2022北京冬殘奧會的會徽是以漢字“飛”為靈感來設計的，展現(xiàn)了運動員不斷飛躍，超越自我，奮力拼搏，激勵世界的冬殘奧精神下列的四個圖中，能由如圖所示的會徽經(jīng)過平移得到的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平移的特點分析判斷即可．【詳解】根據(jù)題意，得不能由平移得到，故A不符合題意；不能由平移得到，故B不符合題意；不能由平移得到，故C不符合題意；能由平移得到，故D符合題意；故選D．【點睛】本題考查了平移的特點，熟練掌握平移的特點是解題的關鍵．30．（2023·廣東廣州·二模）圖是“杭州2022年亞運會”吉祥物“宸宸”．下面圖形中，可由“宸宸”平移得到的是（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．【詳解】解：A、屬于旋轉(zhuǎn)所得到，故不符合題意；B、屬于對稱所得到，故不符合題意；C、形狀和大小沒有改變，符合平移的性質(zhì)，故符合題意；D、屬于旋轉(zhuǎn)所得到，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了圖形的平移，掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵．31．（2023·江蘇宿遷·三模）數(shù)學來源于生活，下列圖案是由平移形成的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對選項進行一一分析，選出正確答案．【詳解】根據(jù)平移的性質(zhì)，平移后不改變圖形的形狀和大小，也不改變圖形的方向（角度），符合條件的只有A．故選：A．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵．32．（2024·上海黃浦·二模）如圖，一個3×5的網(wǎng)格，其中的12個單位正方形已經(jīng)被2張“L”型和1張“田字”型紙片互不重疊地占據(jù)了．下列有4個均由4個單位正方形所組成的紙片，依次記為型號1、型號2、型號3和型號4．將這4個型號的紙片做平移、旋轉(zhuǎn)，恰能將圖1中3個未被占據(jù)的單位正方形占據(jù)，并且與已有的3張紙片不重疊的是（

）A．型號1 B．型號2 C．型號3 D．型號4【答案】D【分析】本題考查的是平移，旋轉(zhuǎn)，理解平移與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象在生活中的應用是解本題的關鍵．【詳解】解：把型號4逆時針旋轉(zhuǎn)，再通過平移可把圖1中3個未被占據(jù)的單位正方形占據(jù)，并且與已有的3張紙片不重疊；故選D?題型02利用平移的性質(zhì)求解33．（2024·山東青島·一模）如圖，將沿邊上的中線平移到的位置，已知的面積為，陰影部分三角形的面積為．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要平移的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)可知，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方、相似三角形的中線比等于相似比可得：，從而可得：，從而可求的長度．【詳解】解：如下圖所示，根據(jù)平移的性質(zhì)可知，、，，，，，解得：．故選：A．34．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，沿所在直線向右平移得到，已知，，則平移的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平移的性質(zhì)．熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)平移的距離，計算求解即可．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，，∵，∴，∴，∴平移的距離為，故選：A．35．（2024·山西大同·二模）如圖，將扇形紙片沿方向平移一定距離得到扇形紙片，點O的對應點恰好在的中點處，與交于點C．若，，則圖中陰影部分的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)已知條件可得出，由平移的性質(zhì)可得出，由線段中點可得出，由勾股定理可得出，再根據(jù)正弦的定義得出，根據(jù)弧長公式求出，最后由可得出結(jié)果．【詳解】解：連接，∵，∴，由平移的性質(zhì)可知，∵恰好在的中點處，∴，∴，∵，∴，∴，∴陰影部分的周長為：，故選：B．【點睛】本題主要考查了根據(jù)正弦值求角的度數(shù)，弧長公式，平移的性質(zhì)，以及勾股定理，根據(jù)正弦值求出是解題關鍵．36．（2024·廣東清遠·模擬預測）如圖，中，，，，將沿著直線向右平移到的位置，與相交于點G，連接．下列結(jié)論：①；②是直角三角形；③四邊形的面積是；④四邊形是菱形；⑤．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由平移的性質(zhì)得，，，，則四邊形是平行四邊形，，，故①不正確；再由勾股定理的逆定理求出，即可推出是直角三角形，故②正確；然后設的邊上的高為，由面積法求出，再求出，故③正確；由，即可推出平行四邊形是菱形，故④正確；最后由，證與不全等，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由平移的性質(zhì)得：，，，，四邊形是平行四邊形，則，，故①不正確；，即，，，是直角三角形，故②正確；設的邊上的高為，則，，，故③正確；，平行四邊形是菱形，故④正確；，，，，與不全等，故⑤不正確；綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)為3，故選：C．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算、全等三角形的判定等知識，熟練掌握平移的性質(zhì)和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．?題型03作平移圖形37．（2024·山東青島·一模）如圖，將先向下平移3個單位，再繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則點C的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查坐標與圖形的旋轉(zhuǎn)變化、平移變換等知識點，正確作出圖形成為解題的關鍵．根據(jù)題意畫出圖形，然后再確定點的坐標即可．【詳解】解：如圖，．故選：C．38．（2023·山東德州·模擬預測）如圖，將先向右平移個單位，再繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則點的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圖形與坐標，涉及平移作圖、旋轉(zhuǎn)作圖，根據(jù)題意，按要求作出圖形，在平面直角坐標系中數(shù)形結(jié)合即可得到答案，熟練掌握平移作圖、旋轉(zhuǎn)作圖是解決問題的關鍵．【詳解】解：將先向右平移個單位，再繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，如圖所示：，故選：C．39．（2023·山東青島·一模）如圖，線段放在邊長為1個單位的小正方形網(wǎng)格中，點A、B均落在格點上，先將線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，再將線段向下平移3個單位得到線段，線段，，的中點構成三角形面積為（

）A． B．15 C．3 D．【答案】A【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)作圖和平移作圖，三角形的面積．首先作出線段，，確定線段，，的中點，作出三角形，利用三角形的面積公式求解．【詳解】如圖，點E，D，F(xiàn)分別是線段，，的中點，A∴的面積是：．故選：A．40．（2022·山東棗莊·中考真題）如圖，將△ABC先向右平移1個單位，再繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C′，則點B的對應點B′的坐標是（）A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）【答案】C【分析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將△ABC先向右平移1個單位，再繞P點順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C′，即可得點B的對應點的坐標．【詳解】作出旋轉(zhuǎn)后的圖形如下：∴B'點的坐標為（4，﹣1），故選：C．【點睛】本題考查了坐標與圖形變換?旋轉(zhuǎn)、平移，解決本題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．?題型04平移中的坐標問題41．（2024·廣東·模擬預測）在平面直角坐標系中，點A的坐標為，把點A先向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到點B，則直線的表達式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一次函數(shù)解析式的求解，根據(jù)題干信息得出，再利用待定系數(shù)法求解．【詳解】解：點A的坐標為，把點A先向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到點，設直線的表達式為，則，解得：，，故選：B．42．（2024·廣東汕頭·一模）在平面直角坐標系中，將點先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，最后所得點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查坐標與圖形變化．根據(jù)點的坐標平移規(guī)則“左減右加，上加下減”求解即可．【詳解】解：將點向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的點的坐標是，故選：A．43．（2024·河南開封·一模）如圖，，，都是的頂點，若將沿軸向右平移，使邊的中點的對應點恰好落在軸上，則點的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，首先根據(jù)平移及平行四邊形的性質(zhì)確定，利用中點坐標公式得出，根據(jù)三角形中位線的判定確定點是線段邊的中點，繼而得到，從而確定向右平移個單位，據(jù)此得解．【詳解】解：，，都是的頂點，∴，，，即線段沿軸向右平移個單位得到線段，點是點的對應點，點是點的對應點，∴，∵點是線段邊的中點，∴點的坐標為，即，過點作軸，∴，∵，∴，∴，∴點是線段邊的中點，∴，∵將沿軸向右平移，使邊的中點的對應點恰好落在軸上，又∵，，∴沿軸向右平移個單位，∴．故選：C．44．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，菱形的頂點A的坐標為，．將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形，其中點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作軸于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性質(zhì)可得．【詳解】解：如圖，過作軸于，

∵菱形的頂點A的坐標為，．∴，，∴，∴，，∴，∵將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，∴；故選A【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，勾股定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，圖形的平移，熟練的求解B的坐標是解本題的關鍵．?題型05平移的幾何變問題45．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面內(nèi)，線段，為線段上的動點，三角板的邊所在的直線與線段垂直相交于點，且滿足．若點沿方向從點運動到點，則點運動的路徑長為（

）A．9 B．6 C． D．【答案】D【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，根據(jù)三角板的邊所在的直線與線段垂直相交于點，且滿足，判斷出三角板平移的角度，要求的路徑長，只需要轉(zhuǎn)化為求的路徑長，而，主動點的運動路徑即是線段，由此可求出從動點的路徑長．【詳解】解：三角板的邊所在的直線與線段垂直相交于點，且滿足，，，當點沿方向從點運動到點，點的運動軌跡必須保證，因此三角板的運動軌跡如圖所示，要求點運動的路徑，根據(jù)平移的性質(zhì)，，，在中，，又，．點運動的路徑長為．故選：D．46．（2023·天津南開·三模）如圖，將直角沿斜邊的方向平移到的位置，交于點G，，，的面積為4，下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．平移的距離是4C． D．四邊形的面積為16【答案】B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)分別對各個小題進行判斷：①利用平移前后對應線段是平行的即可得出結(jié)果；②平移距離指的是對應點之間的線段的長度；③根據(jù)平移前后對應線段相等即可得出結(jié)果；④利用梯形的面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：A．∵直角三角形沿斜邊的方向平移到三角形的位置，∴，，∴，∴，故A正確，不符合題意；B．平移距離應該是的長度，由，可知，故B錯誤，符合題意；C．由平移前后的對應點的連線平行且相等可知，，故C正確，不符合題意；D．∵的面積是4，，∴，∵由平移知：，∴，四邊形的面積：，故D正確，不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查的是平移的性質(zhì)，正確的掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵．47．（2020·陜西·中考真題）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y軸向下平移3個單位．則平移后得到的拋物線的頂點一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)平移規(guī)律得到平移后拋物線的頂點坐標，然后結(jié)合的取值范圍判斷新拋物線的頂點所在的象限即可．【詳解】解：，該拋物線頂點坐標是，，將其沿軸向下平移3個單位后得到的拋物線的頂點坐標是，，，，，，點，在第四象限；故選：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、拋物線的頂點坐標等知識；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出拋物線的頂點坐標是解題的關鍵．48．（2020·湖南衡陽·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，在第一象限，且軸．直線從原點出發(fā)沿軸正方向平移．在平移過程中，直線被截得的線段長度與直線在軸上平移的距離的函數(shù)圖象如圖2所示．那么的面積為（

）

A．3 B． C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象可以得到當移動的距離是4時，直線經(jīng)過點A；當移動距離是6時，直線經(jīng)過B，在移動距離是7時經(jīng)過D，則AD=7-4=3，當直線經(jīng)過D點，設交BC與N.則DN=2，作DM⊥AB于點M.利用三角函數(shù)即可求得DM即平行四邊形的高，然后利用平行四邊形的面積公式即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖象可以得到當移動的距離是4時，直線經(jīng)過點A當移動距離是6時，直線經(jīng)過B當移動距離是7時經(jīng)過D，則AD=7-4=3如圖：設交BC與N，則DN=2，作DM⊥AB于點M，∵移動直線為y=x∴∠NDM=45°∴DM=cos∠NDM·ND=∴的面積為AD×DM=3×=3．故答案為B．

【點睛】本題考查了平移變換、解直角三角形等知識，其中根據(jù)平移變換確定AD的長是解答本題的關鍵．命題點三：圖形的旋轉(zhuǎn)?題型01找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應點49．（2022·廣東揭陽·模擬預測）如圖，把按逆時針轉(zhuǎn)動一定的角度至，其中屬于旋轉(zhuǎn)角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義可得出圖中的旋轉(zhuǎn)角為和，可得出答案．【詳解】解：旋轉(zhuǎn)角是對應邊之間的夾角，所以該圖形中的旋轉(zhuǎn)角為和，故選：C．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)角的定義，掌握旋轉(zhuǎn)角是旋轉(zhuǎn)前后對應邊的夾角是解題的關鍵．50．（23-24九年級上·北京朝陽·期末）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，四邊形繞某一點旋轉(zhuǎn)某一角度得到四邊形（所有頂點都是網(wǎng)格線交點），在網(wǎng)格線交點中，可能是旋轉(zhuǎn)中心的是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】A【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應頂點到旋轉(zhuǎn)中心的距離應相等且旋轉(zhuǎn)角也相等，對稱中心在連接對應點線段的垂直平分線上，連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，交于點M，則M為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，交到在M處，所以可知旋轉(zhuǎn)中心的是點M．如下圖：故選∶A．51．（2024·福建廈門·模擬預測）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至．下列角中，是旋轉(zhuǎn)角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角定義，對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所夾的角是旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)角為，即可．【詳解】解：∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，∴旋轉(zhuǎn)角為，．故選：A．52．（2024·山西運城·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點都在格點（每個小正方形的邊長均為1個單位長度，每個小正方形的頂點稱為格點）上，點A，B，C的坐標分別為，，，將繞坐標平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到，點A，B，C的對應點分別為，，，若點的坐標為，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了確定旋轉(zhuǎn)中心的位置，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，連接、，分別作和的垂直平分線、，則，交于點D，則點D即為旋轉(zhuǎn)中心，根據(jù)圖形得出旋轉(zhuǎn)中心的坐標即可．【詳解】解：連接、，分別作和的垂直平分線、，則，交于點D，如圖所示：則點D為旋轉(zhuǎn)中心，觀察圖形可知，點D的坐標為，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，同理可得：為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，∴繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)正好得到，∴旋轉(zhuǎn)中心的坐標為．故選：B．?題型02根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解53．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，在中，已知，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的位置，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴旋轉(zhuǎn)角，故選：B．54．（2023·廣東陽江·一模）如圖，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，則線段的長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得的長，即可求解．【詳解】解：∵將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∴，故選：B．55．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在矩形中，，，是矩形的對角線，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點E在線段上，交于點G，交于點H，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、正切的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關性質(zhì)和定理成為解題的關鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得、，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，易證，運用相似三角形的性質(zhì)列比例式可得，最后根據(jù)正切的定義即可解答．【詳解】解：∵在矩形中，，，∴，，∴，，∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點E在線段上，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴故選B．56．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在等邊中，D是邊上一點，連接，將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，，則四邊形的周長是（

）A．19 B．20 C．28 D．29【答案】C【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形判定和性質(zhì)等知識，先由是等邊三角形得出，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，即可求出結(jié)果【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∴，∵，∴四邊形的周長為．故選：C?題型03旋轉(zhuǎn)的坐標問題57．（2024·廣東佛山·一模）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為2的等邊三角形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉(zhuǎn)4次得到，那么的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)．先求出點的坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)4次所得三角形中的點與點關于坐標原點成中心對稱即可解決問題．【詳解】解：令與軸的交點為，

由旋轉(zhuǎn)可知，，，又因為，所以，則在中，，所以點的坐標為．按此方式再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，則點在的延長線上，且，即點與點關于坐標原點對稱，所以點的坐標為．故選：D．58．（2023·廣東深圳·一模）如圖，菱形的對角線交于原點O，．將菱形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，可得第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點在第三象限，過點作軸于點，延長到點，使，過點作軸于點，再根據(jù)菱形的性質(zhì)及全等三角形的判定，即可求得點的坐標，據(jù)此即可求解．【詳解】解：將菱形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)4次后回到原來的位置，，第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點在第三象限，如圖：過點作軸于點，延長到點，使，過點作軸于點，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，故第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為，故選：C．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及坐標與圖形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，找出旋轉(zhuǎn)規(guī)律是解題關鍵．59．（2023·廣西柳州·三模）如圖，正方形的頂點均在坐標軸上，且點的坐標為，以為邊構造菱形，將菱形與正方形組成的圖形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的對應點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得每4次旋轉(zhuǎn)為一個循環(huán)，點的坐標與第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時點的坐標相同，求出點的坐標，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴每旋轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)，∵，∴第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標與第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時點的坐標相同，的位置如圖所示，過點作軸于點，連接，，

∵點，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，即，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，，，∵點在第二象限，∴點的坐標為，則點的坐標為．故選：D．【點睛】本題考查了坐標與圖形、菱形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是本題的關鍵．60．（2023·廣東中山·二模）如圖，點為?的對稱中心，軸，與軸交于點，與軸交于點，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，可得點為對角線的交點，，再根據(jù)，可得，再由點，可得，然后根據(jù)，可得，從而得到點，進而得到次為一個周期，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵原點為的對稱中心，∴點為對角線的交點，∴，∵軸，∴，∴，即，∵點，∴，∴，∵，∴，∵點∴點，∵每次旋轉(zhuǎn)，∴次為一個周期，∵，∴第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的對應點在第三象限，∴此時點的坐標為．故選：B．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，旋轉(zhuǎn)變換，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，找到規(guī)律是解題的關鍵．?題型04旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題61．（2023·河南許昌·二模）如圖，等腰的頂點在軸上，頂點在軸上，已知，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后點的對應點的坐標為，則旋轉(zhuǎn)的次數(shù)可能是（

）

A．71 B．72 C．73 D．74【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，規(guī)律探索，循環(huán)節(jié)的計算，根據(jù)題意，第一次旋轉(zhuǎn)落在第一象限，第二次旋轉(zhuǎn)落在第四象限，第三次旋轉(zhuǎn)落在第三象限，第四次回到啟動點，由此得到旋轉(zhuǎn)的圖形按照循環(huán)節(jié)為4進行規(guī)律旋轉(zhuǎn)，除以4看余數(shù)即可．【詳解】根據(jù)題意，第一次旋轉(zhuǎn)落在第一象限，第二次旋轉(zhuǎn)落在第四象限，第三次旋轉(zhuǎn)落在第三象限，第四次回到啟動點，由此得到旋轉(zhuǎn)的圖形按照循環(huán)節(jié)為4進行規(guī)律旋轉(zhuǎn)，除以4看余數(shù)即可，∵在第四象限，∴除以4后的余數(shù)為2，∵，故選D．

．62．（2023·河南開封·一模）如圖，在矩形中，已知，，矩形在直線上繞其右下角的頂點向右旋轉(zhuǎn)至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)至圖②位置，...，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次后，頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動的路線的長，發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán)，找到規(guī)律然后計算即可．【詳解】解：轉(zhuǎn)動一次的路線長是：，轉(zhuǎn)動第二次的路線長是：，轉(zhuǎn)動第三次的路線長是：，轉(zhuǎn)動第四次的路線長是：0，轉(zhuǎn)動五次的路線長是：，以此類推，每四次循環(huán)，故頂點轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：，頂點轉(zhuǎn)動2024次經(jīng)過的路線長為：．故選：C．【點睛】本題主要考查了探索規(guī)律問題和弧長公式的運用，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關鍵．63．（2023·遼寧阜新·二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：與兩坐標軸交于、兩點，以為邊作等邊，將等邊沿射線方向作連續(xù)無滑動地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在直線上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在直線l上……當?shù)冗吶切畏瓭L次后點的對應點坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先令，求得點與點的坐標，從而求出、、的長度，然后結(jié)合圖形的翻轉(zhuǎn)知道點經(jīng)過次旋轉(zhuǎn)后重新落在直線：上，第次旋轉(zhuǎn)點的位置不變，再結(jié)合次一循環(huán)得到翻滾次后點的坐標．【詳解】解：∵直線l：與兩坐標軸交于、兩點，∴，，∴，，，∴，∴，如圖，等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)后，，過點作軸于點，則，

∵，∴，，等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)后，，等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)后，點仍在點處，∴每經(jīng)過次翻轉(zhuǎn)，點向右平移個單位，向上平移個單位，∵，第次與第次翻轉(zhuǎn)后點處在同一個點，∴點經(jīng)過次翻轉(zhuǎn)后，向右平移了個單位，向上平移了個單位，∴等邊三角形翻滾次后點的對應點坐標是，故選：D．【點睛】本題考查了圖形的翻轉(zhuǎn)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解直角三角形，解題的關鍵是通過實際操作理解等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)與第次翻轉(zhuǎn)后點處在同一個點．64．（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知菱形的頂點，若菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第20秒時，菱形的對角線交點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查坐標的變化規(guī)律、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，找到每旋轉(zhuǎn)8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置由得到第20秒時是把菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)了2周回到原來位置后，又旋轉(zhuǎn)了4秒，即又旋轉(zhuǎn)了，即可可求出答案.【詳解】解：菱形的頂點，與軸的夾角為∵菱形的對角線互相垂直平分，點是線段的中點，點的坐標是∵菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)∴每旋轉(zhuǎn)8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置∵∴第20秒時是把菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)了2周回到原來位置后，又旋轉(zhuǎn)了4秒，即又旋轉(zhuǎn)了，∴點的對應點落在第三象限，且對應點與點關于原點成中心對稱，第20秒時，菱形的對角線交點的坐標為．故選：B?題型05旋轉(zhuǎn)的線段問題65．（2023·廣東惠州·一模）如圖1，正方形的邊長為，點為正方形邊上一動點，過點作于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接．(1)證明：．(2)延長交于點．判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)若，求線段的長度．【答案】(1)證明見解析(2)四邊形是正方形，理由見解析(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，即可得出答案；（2）先證明四邊形是矩形，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明；（3）設正方形邊長為，在中用勾股定理建立關于的方程，求解即可【詳解】（1）證明：由題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，即：，在和中，，∴，∴；（2）解：四邊形是正方形，理由如下：由（1）得：，且，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形；（3）解：∵正方形的邊長為，∴，設正方形的邊長為，∴，∵，∴，在中，，，∴，解得：，（不符合題意，舍去），∴，∴線段的長度為．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識點，運用了方程的思想．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．66．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當時，求的長；(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．【答案】(1)見詳解(2)或(3)【分析】（1）證明即可得證．（2）分情況討論，當點E在BC上時，借助，在中求解；當點E在CD上時，過點E作EG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥AC于點H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分別討論當點E在BC和CD上時，點F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．【詳解】（1）如圖所示，由題意可知，，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF，在和中，，，．（2）當點E在BC上時，在中，，，則，在中，，，則，由（1）可得，，在中，，，則，當點E在CD上時，如圖，過點E作EG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥AC于點H，同（1）可得，，由勾股定理得；故CF的長為或．（3）如圖1所示，當點E在BC邊上時，過點D作于點H，由（1）知，，故點F在射線MF上運動，且點F與點H重合時，DH的值最小．在與中，，，，即，，，，在與中，，，，即，，故的最小值；如圖2所示，當點E在線段CD上時，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，得到線段AR，連接FR，過點D作，，由題意可知，，在與中，，，，故點F在RF上運動，當點F與點K重合時，DF的值最小；由于，，，故四邊形DQRK是矩形；，，，，故此時DF的最小值為；由于，故DF的最小值為．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、解直角三角形，解決本題的關鍵是各性質(zhì)定理的綜合應用．67．（2022·廣東東莞·二模）如圖，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以點O為圓心、2為半徑畫圓，過點A作⊙O的切線，切點為P，連接OP，將OP繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OH時，連接AH，BH，設旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）．(1)當α＝90°時，求證：BH是⊙O的切線；(2)當△AHB面積最小時，請直接寫出此時點H到AB的距離．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意易證△AOP≌△BOH，所以∠OPA=∠OHB，又∠OPA=90°，進而證明結(jié)論；（2）當H與AB的距離最小時，△AHB面積最小，進而可以求得答案．【詳解】（1）證明：∵α＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠BOH，在△AOP和△BOH中，∴△AOP≌△BOH（SAS），∴∠OPA＝∠OHB，∵AP是⊙O的切線，∴∠OPA＝90°，∠OHB＝90°，即OH⊥BH于點H，∴BH是⊙O的切線；（2）解：設h表示點H到直線AB的距離，作ON⊥AB于點N，H在圓O上，在Rt△ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，∴ON＝4cos45°＝，∴h的最小值為＝ON﹣r＝，∴當△AHB面積最小時，點H到AB的距離為．【點睛】此題主要考查了圓的綜合以及等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．68．（2024·山東濟寧·二模）某校數(shù)學興趣小組將兩個邊長不相等的正方形和正方形按照圖方式擺放，點，，在同一條直線上，點在上．(1)操作與發(fā)現(xiàn)如圖2，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．①當時，求，，的度數(shù)；②正方形旋轉(zhuǎn)過程中，你發(fā)現(xiàn)與的有何數(shù)量關系？與的有何數(shù)量關系？請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不需要證明．(2)類比探究如圖3，將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)．上面②中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【答案】(1)①；；②(2)，理由見解析【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角度的計算；（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角度的計算即可求解；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角度的計算，即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：①∵，四邊形是正方形，∴，；②∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．?題型06旋轉(zhuǎn)的角度問題69．（2022·貴州貴陽·二模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當△DCE旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE，易證．則___________°；（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且，點A，D，E在同一直線上，若，，求AB的長度；（3）探究發(fā)現(xiàn)：如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點，且，且，，，，求BD的長．【答案】（1）120；（2）AB的長度17；（3）BD的長為13．【分析】（1）證明△ACD≌△BCE（SAS）．得到∠ADC＝∠BEC．利用△DCE為等邊三角形，得到∠CDE＝∠CED＝60°，再利用點A，D，E在同一直線上，可得∠ADC＝120°，即可得∠BEC＝120°；（2）證明△ACD≌△BCE（SAS），可得，，再證明，利用勾股定理求解即可；（3）把△APC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEC，連接PE，可得△BEC≌△APC，證明△PCE是等邊三角形，證明∠BED＝90°，再證明D、P、E在同一條直線上，求出DE，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°．故答案為：120；（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴，，∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°，∴，∴AB＝＝＝17；（3）把△APC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEC，連接PE，如圖所示：則△BEC≌△APC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，∴△PCE是等邊三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，∴∠BED＝∠BEC-∠PEC＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一條直線上，∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，在Rt△BDE中，，即BD的長為13．【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點并靈活運用．70．（2023·廣東東莞·模擬預測）如圖（1），在中，．點D是邊上任意一點（不與B，C重合），連接，過點D作于點E，連接，點F為中點，連接．(1)當時，判斷四邊形的形狀，并證明．(2)點D在線段上的什么位置時，的面積最大？請說明理由．(3)如圖（1）中的繞點B旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示位置，得到，使得點A在直線上，連接，點為中點，與交于點G，其他條件不變．求證：．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)當時，的面積最大，理由見解析(3)見解析【分析】（1）求得，則，證明是的平分線，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及斜邊中線的性質(zhì)推出，即可證明結(jié)論；（2）設，，推出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）作點A關于的對稱點，點關于的對稱點Ｈ，證明都是等邊三角形，推出，再根據(jù)三角形中位線定理即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：∵在中，，∴，則，∵，∴，∴是的平分線，則，∴，∵點F為中點，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：當時，的面積最大，理由如下：設，，則，，，，，，∵點F為中點，∴，∵，∴當時，有最大值，此時，即，∴當時，的面積最大；（3）解：作點A關于的對稱點，點關于的對稱點Ｈ，連接，則，，∴，由題意得，∴都是等邊三角形，∵，∴，∴，∵點為中點，∴是的中位線，

∴，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．71．（2022·廣東揭陽·一模）閱讀下面活動內(nèi)容，完成探究1-3的問題：將一個矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α，得到矩形，連結(jié)．

[探究1]如圖1，當時，點恰好在延長線上．若，求的長．[探究2]如圖2，連結(jié)，過點作交于點M，線段與相等嗎？請說明理由．[探究3]在探究2的條件下，射線分別交，于點P，N（如圖3），發(fā)現(xiàn)線段存在一定的數(shù)量關系，請寫出這個關系式，并加以證明．【答案】[探究1]：；[探究2]：相等，理由見解析；[探究3]：，證明見解析．【分析】[探究1]證，設，列出比例式并解出即可；[探究2]先證，得，由得；由前兩個結(jié)論得，然后即可得出；[探究3]連接，證，然后得，證，列出比例式即可；【詳解】解：（探究1）如圖1，設，

∵矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，∴點A，B，D在同一直線上，∴，，∴，∵，∴，又∵點在的延長線上，∴，∴，∴，解得，（不合題意，舍去），∴．（2）．證明：如圖2，連接，

∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（3）關系式為．證明：如圖3，連接，

∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的旋轉(zhuǎn)，相關知識點有：全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)等知識點，輔助線的添加是解題關鍵．72．（2024·安徽合肥·一模）在學習“旋轉(zhuǎn)”這一重要的平面圖形變換時，李老師設計如下的一個問題，讓同學們進行探究．如圖，，過點作交于點，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)將旋轉(zhuǎn)至如圖的位置時，連接，求證：．(