第1頁（共1頁）2024年湖北省武漢市高考數(shù)學一調(diào)試卷一、單選題1．（5分）已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{y|y＝2x}，則（）A．A∩B＝? B．A∩B＝A C．A∪B＝R D．A∪B＝A2．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x﹣2φ），則“，k∈Z”是“f（x）為偶函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）已知cos（θ），則2sin（θ）+cos（θ）等于（）A． B． C．2 D．﹣24．（5分）已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為64，則展開式中x2的系數(shù)為（）A．﹣1215 B．1215 C．135 D．﹣1355．（5分）人的心臟跳動時，血壓在增加或減少．若某人的血壓滿足函數(shù)式p（t）＝110+20sin（140πt），其中p（t）為血壓（單位：mmHg），t為時間（單位：min），則此人每分鐘心跳的次數(shù)為（）A．50 B．70 C．90 D．1306．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別為線段A1B1，CC1的中點，，平面ABN⊥平面BB1C1C，則四面體ABMN的外接球的體積為（）A． B．10π C． D．30π7．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則f（x）的對稱中心為（）A． B． C． D．8．（5分）設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，M是C上一點，N是l與x軸的交點，若|MN|＝4，|MF|＝4，則p＝（）A． B．2 C． D．4二、多選題（多選）9．（5分）已知函數(shù)的所有零點從小到大依次記為x1，x2，…，xn，則（）A．n＝20 B．n＝18 C．x1+x2+…+xn＝10 D．x1+x2+…+xn＝9（多選）10．（5分）下列說法中，正確的是（）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率是0.1 B．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14 C．若樣本數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，……，2x10+1的方差為8，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2 D．將總體劃分為2層，通過分層抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，和，若，則總體方差（多選）11．（5分）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)h（x）＝f（x）+f′（x），則（）A．h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．為h（x）的極小值點 C．是曲線y＝h（x）的一個對稱中心 D．y＝h（x）的兩個不同零點分別為x1，x2，則x1﹣x2＝kπ（k∈Z）（多選）12．（5分）已知圓O：x2+y2＝1，直線l：x﹣y﹣4＝0，點P在直線l上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當∠APB最大時，則（）A．直線AB的斜率為1 B．四邊形PAOB的面積為 C． D．三、填空題13．（5分）函數(shù)f（x）＝|x﹣1|與函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和為．14．（5分）與直線和直線都相切且圓心在第一象限，圓心到原點的距離為的圓的方程為．15．（5分）在正三棱臺ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AB＞A1B1，側棱AA1與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內(nèi)切球，則此正三棱臺的體積為．16．（5分）在矩形ABCD中，，AB＝1，BC＝3，則向量在向量方向上的投影為．四、解答題17．（10分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求A的值；（2）若△ABC的面積為為邊BC的中點，求AD的長．18．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AB＝AE＝2DF，AE∥DF．（1）證明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE與平面CEF夾角的余弦值．19．（12分）已知橢圓的離心率為分別為橢圓C的左、右和上頂點，直線A1B交直線l：y＝x于點P，且點P的橫坐標為2．（1）求橢圓C的方程；（2）過點P的直線與橢圓C交于第二象限內(nèi)D，E兩點，且E在P，D之間，A1E與直線l交于點M，試判斷直線A1D與A2M是否平行，并說明理由．20．（12分）某電商專門生產(chǎn)某種電子元件，生產(chǎn)的電子元件除編號外，其余外觀完全相同，為了檢測元件是否合格，質(zhì)檢員設計了圖甲、乙兩種電路．（Ⅰ）在設備調(diào)試初期，已知該電商試生產(chǎn)了一批電子元件共5個，只有2個合格，質(zhì)檢員從這批元件中隨機抽取2個安裝在甲圖電路中的A，B處，請用集合的形式寫出試驗的樣本空間，并求小燈泡發(fā)亮的概率；（Ⅱ）通過設備調(diào)試和技術升級后，已知該電商生產(chǎn)的電子元件合格率為0.9，且在生產(chǎn)過程中每個電子元件是否合格互不影響，質(zhì)檢員從該電商生產(chǎn)的一批電子元件中隨機抽取3個安裝在乙圖電路中的A，B，C處，求小燈泡發(fā)亮的概率．21．（12分）已知拋物線：y2＝2x，直線l：y＝x﹣4，且點B，D在拋物線上．（1）若點A，C在直線l上，且A，B，C，D四點構成菱形ABCD，求直線BD的方程；（2）若點A為拋物線和直線l的交點（位于x軸下方），點C在直線l上，且A，B，C，D四點構成矩形ABCD，求直線BD的斜率．22．（12分）記T為函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期，其中ω＞0，0＜φ＜π，且f（0），直線xT為曲線y＝f（x）的對稱軸．（1）求φ；（2）若f（x）在區(qū)間[π，2π]上的值域為，求f（x）的解析式．

2024年湖北省武漢市高考數(shù)學一調(diào)試卷參考答案與試題解析一、單選題1．（5分）已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{y|y＝2x}，則（）A．A∩B＝? B．A∩B＝A C．A∪B＝R D．A∪B＝A【解答】解：由題意可得：A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，可知A?B，所以A∩B＝A，A∪B＝B．故選：B．2．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x﹣2φ），則“，k∈Z”是“f（x）為偶函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos（2x﹣2φ），當時，，f（x）為偶函數(shù)，所以充分性成立；f（x）為偶函數(shù)時，2φ＝kπ（k∈Z），解得，不能得到，所以必要性不成立．故“，k∈Z”是“f（x）為偶函數(shù)”的充分不必要條件．故選：A．3．（5分）已知cos（θ），則2sin（θ）+cos（θ）等于（）A． B． C．2 D．﹣2【解答】解：∵cos（θ），∴2sin（θ）+cos（θ）＝2sin[（θ）]+cos[3π+（θ）]＝﹣2cos（θ）﹣cos（θ）＝﹣3cos（θ）＝﹣2，故選：D．4．（5分）已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為64，則展開式中x2的系數(shù)為（）A．﹣1215 B．1215 C．135 D．﹣135【解答】解：令x＝1，得（a+1）6＝64，（注意所有項的系數(shù)之和與所有項的二項式系數(shù)之和的區(qū)別）解得a＝1（舍去）或a＝﹣3，則的展開式的通項，令6﹣2k＝2，解得k＝2，則展開式中x2的系數(shù)為．故選：B．5．（5分）人的心臟跳動時，血壓在增加或減少．若某人的血壓滿足函數(shù)式p（t）＝110+20sin（140πt），其中p（t）為血壓（單位：mmHg），t為時間（單位：min），則此人每分鐘心跳的次數(shù)為（）A．50 B．70 C．90 D．130【解答】解：因為函數(shù)p（t）＝110+20sin（140πt）的周期為T（min），所以此人每分鐘心跳的次數(shù)f70．故選：B．6．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別為線段A1B1，CC1的中點，，平面ABN⊥平面BB1C1C，則四面體ABMN的外接球的體積為（）A． B．10π C． D．30π【解答】解：如圖，取BN的中點D，連接CD，因為CN＝BC＝1，所以CD⊥BN．又平面ABN⊥平面BB1C1C，平面ABN∩平面BB1C1C＝BN，CD?平面BB1C1C，所以CD⊥平面ABN，又AB?平面ABN，所以CD⊥AB，依題意CC1⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以CC1⊥AB，又CC1∩CD＝C，CC1，CD?平面BB1C1C，所以AB⊥平面BB1C1C．又BN，BC?平面BB1C1C，所以AB⊥BN，AB⊥BC，所以，所以，連接C1M，則，所以，又，所以AM2+MN2＝AN2，所以AM⊥MN，因為Rt△AMN與Rt△ABN共斜邊AN，所以四面體ABMN的外接球的球心為AN的中點，且外接球半徑，所以該球的體積．故選：A．7．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則f（x）的對稱中心為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意得，A+B＝1，﹣A+B＝﹣3，則B＝﹣1，A＝2，又，所以T＝π，ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）﹣1，又f（）＝2sin（）﹣1＝1，|φ|，所以φ，f（x）＝2sin（2x）﹣1，令2xkπ，k∈Z，則x，∈Z，故函數(shù)f（x）的對稱中心為（，﹣1）．故選：A．8．（5分）設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，M是C上一點，N是l與x軸的交點，若|MN|＝4，|MF|＝4，則p＝（）A． B．2 C． D．4【解答】解：設M（x0，y0），作MD垂直與準線于D，∵|MN|＝4，|MF|＝4＝|MD|，可得|DN|4，可得y0＝4，①又2px0，②|MF|＝x04，③聯(lián)立①②③，解得p＝4．故選：D．二、多選題（多選）9．（5分）已知函數(shù)的所有零點從小到大依次記為x1，x2，…，xn，則（）A．n＝20 B．n＝18 C．x1+x2+…+xn＝10 D．x1+x2+…+xn＝9【解答】解：由f（x）＝0，可得sinπx＝lg|x|，函數(shù)的零點個數(shù)，即為y＝sinπx與函數(shù)y＝lg|x|的圖象交點個數(shù)．由圖象可得y＝sinπx與函數(shù)y＝lg|x|的圖象有20個交點，即n＝20，故A正確，B錯誤；由f（x）＝sinπ（x）﹣lg|x|＝cosπx﹣lg|x|，f（x）＝sinπ（x）﹣lg|x|＝cosπx﹣lg|x|，可得f（x）＝f（x），即f（x）的圖象關于直線x對稱，即有x1+x20＝x2+x19＝...＝x10+x11＝1，則x1+x2+...+xn＝x1+x2+...+x20＝10，故C正確，D錯誤．故選：AC．（多選）10．（5分）下列說法中，正確的是（）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率是0.1 B．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14 C．若樣本數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，……，2x10+1的方差為8，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2 D．將總體劃分為2層，通過分層抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，和，若，則總體方差【解答】解：選項A：由簡單隨機抽樣的定義可知：個體m被抽到的概率為，故A正確；選項B：由于10×60%＝6，第六個數(shù)為14，第七個數(shù)為16，則第60百分位數(shù)為，故B錯誤；選項C：設數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為，方差為S2[（x1）2+（x2）2+...+（x10）2]，則數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，……，2x10+1的平均數(shù)為'21，方差為S'2[（2x1+1'）2+（2x2+1'）2+...（2x10+1'）2][（2x1﹣2）2+（2x2﹣2）2+...+（2x10﹣2）2]＝4?S2＝4×2＝8，所以S2＝2，故C正確；選項D：設第一層數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，第二層數(shù)據(jù)為y1，y2，…，ym，則，，所以x1+x2+...+xn＝n，y1+y2+...+ym＝m，，，，，總統(tǒng)平均數(shù)，總體方差，因為，則，所以，，故D錯誤．故選：AC．（多選）11．（5分）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)h（x）＝f（x）+f′（x），則（）A．h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．為h（x）的極小值點 C．是曲線y＝h（x）的一個對稱中心 D．y＝h（x）的兩個不同零點分別為x1，x2，則x1﹣x2＝kπ（k∈Z）【解答】解：由圖象可知函數(shù)的最大值為2，即A＝2，又，即T＝2π，所以ω＝1，當時，，k∈Z，因為|φ|，所以，所以，則，當時，，又y＝sinx在上遞減，故A正確；，當時，h′（x）＜0，當時，h′（x）＞0，所以為h（x）的極大值點，故B錯誤；，故C錯誤；令，得，則，故D正確．故選：AD．（多選）12．（5分）已知圓O：x2+y2＝1，直線l：x﹣y﹣4＝0，點P在直線l上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當∠APB最大時，則（）A．直線AB的斜率為1 B．四邊形PAOB的面積為 C． D．【解答】解：若要∠APB最大，則只需銳角∠APO最大，只需最大，即|OP|最小，所以若|OP|最小，則OP⊥l，由垂徑定理有OP⊥AB，所以AB∥l，所以kAB＝kl＝1，故A正確；由題意，，此時，，所以此時，故D錯誤；而當時，，所以四邊形PAOB的面積為，故B錯誤；由等面積法有四邊形PAOB的面積為，又由題意，所以，故C正確．故選：AC．三、填空題13．（5分）函數(shù)f（x）＝|x﹣1|與函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和為10．【解答】解：因為f（2﹣x）＝|2﹣x﹣1|＝|1﹣x|＝f（x），所以函數(shù)f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，且f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值為f（1）＝0．，所以函數(shù)g（x）的圖象關于直線x＝1對稱，且g（x）的最大值為2．由于f（x）的圖象和g（x）的圖象都關于直線x＝1對稱，所以先考慮兩個圖象在（1，+∞）上的情形，易知g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．易知，f（3）＝|3﹣1|＝2，所以可作出函數(shù)f（x）與g（x）的大致圖象如圖所示，所以f（x）的圖象和g（x）的圖象在（1，+∞）上有5個交點．根據(jù)對稱性可知兩函數(shù)圖象共有10個交點，且兩兩關于直線x＝1對稱，因此所有交點的橫坐標之和為2×5＝10．故答案為：10．14．（5分）與直線和直線都相切且圓心在第一象限，圓心到原點的距離為的圓的方程為．【解答】解：設圓心坐標為（a，b），（a＞0，b＞0），由于所求圓與直線和直線都相切，故，化簡為a2＝b2，而a＞0，b＞0，則a＝b，又圓心到原點的距離為，即a2+b2＝2，解得a＝b＝1，即圓心坐標為（1，1），則半徑為，故圓的方程為．故答案為：．15．（5分）在正三棱臺ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AB＞A1B1，側棱AA1與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內(nèi)切球，則此正三棱臺的體積為．【解答】解：如圖，取BC和B1C1的中點分別為P，Q，上、下底面的中心分別為O1，O2，設A1B1＝x，內(nèi)切球半徑為r，因為，棱臺的高為2r，所以，，同理．因為內(nèi)切球與平面BCC1B1相切，切點在PQ上，所以①，在等腰梯形BB1C1C中，②，由①②得．在梯形AA1QP中，③，由②③得，代入得x＝1，則棱臺的高，所以棱臺的體積為．故答案為：．16．（5分）在矩形ABCD中，，AB＝1，BC＝3，則向量在向量方向上的投影為．【解答】解：以B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A（0，1），C（3，0），E（1，1），B（0，0），則，，∴，∴向量在向量方向上的投影為．故答案為：．四、解答題17．（10分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求A的值；（2）若△ABC的面積為為邊BC的中點，求AD的長．【解答】解：（1）因為，所以，所以cos（2π﹣2A）＝cosA，所以2cos2A﹣1＝cosA，所以或cosA＝1（舍去），因為A∈（0，π），所以；（2）因為△ABC的面積為，所以，所以bc＝12，因為，所以，即b2+c2+bc＝52，所以b2+c2＝40，因為D是BC的中點，所以，所以，所以，故AD的長為．18．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AB＝AE＝2DF，AE∥DF．（1）證明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE與平面CEF夾角的余弦值．【解答】解：（1）證明：如圖，取EC的中點H，連結BD交AC于點O，連結HO、HF，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AE⊥BD，∵AE?平面AEC，AC?平面AEC，且AE∩AC＝A，∴BD⊥平面AEC，∵H、O分別為EC、AC的中點，∴HO∥EA，且，∵AE∥DF，且．∴HO∥DF，且HO＝DF，∴四邊形HODF為平行四邊形，∴HF∥OD，即HF∥BD，∴HF⊥平面AEC．∵HF?平面CEF，∴平面AEC⊥平面CEF．（2）取CD中點M，連接AM，∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ACD為正三角形，又M為CD中點，∴AM⊥CD，∵AB∥CD，∴AM⊥AB，∵AE⊥平面ABCD，AB，AM?平面ABCD，∴AE⊥AB，AE⊥AM，以A為原點，AB，AM，AE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz，如圖，設AB＝AD＝AE＝2DF＝2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），，E（0，0，2），，∵AM⊥平面ABE，∴為平面ABE的一個法向量，設平面CEF的法向量為，∵，∴，取x＝1，得．設平面ABE與平面CEF夾角為θ，則，∴平面ABE與平面CEF夾角的余弦值為．19．（12分）已知橢圓的離心率為分別為橢圓C的左、右和上頂點，直線A1B交直線l：y＝x于點P，且點P的橫坐標為2．（1）求橢圓C的方程；（2）過點P的直線與橢圓C交于第二象限內(nèi)D，E兩點，且E在P，D之間，A1E與直線l交于點M，試判斷直線A1D與A2M是否平行，并說明理由．【解答】解：（1）因為橢圓C的離心率為，所以，即a＝2b①，因為點P（2，2）在直線上，所以②，由①②，解得a＝2，b＝1，所以橢圓C的方程為．（2）直線A1D與直線A2M平行，理由如下：由題意知，直線DE與坐標軸不垂直，設其方程為x＝ty+m，因為直線DE經(jīng)過點P（2，2），所以m＝2﹣2t③，聯(lián)立，消去x得（t2+4）y2+2mty+m2﹣4＝0，設D（x1，y1），E（x2，y2），M（x0，x0），則，④，且Δ＝4m2t2﹣4（t2+4）（m2﹣4）＞0，因為A1，E，M共線，所以，即，整理得，所以，由③④，得2（t﹣1）y1y2+（m+2）（y1+y2）＝2（t﹣1）?（m+2）（）0，所以，即，故直線A1D與A2M平行．20．（12分）某電商專門生產(chǎn)某種電子元件，生產(chǎn)的電子元件除編號外，其余外觀完全相同，為了檢測元件是否合格，質(zhì)檢員設計了圖甲、乙兩種電路．（Ⅰ）在設備調(diào)試初期，已知該電商試生產(chǎn)了一批電子元件共5個，只有2個合格，質(zhì)檢員從這批元件中隨機抽取2個安裝在甲圖電路中的A，B處，請用集合的形式寫出試驗的樣本空間，并求小燈泡發(fā)亮的概率；（Ⅱ）通過設備調(diào)試和技術升級后，已知該電商生產(chǎn)的電子元件合格率為0.9，且在生產(chǎn)過程中每個電子元件是否合格互不影響，質(zhì)檢員從該電商生產(chǎn)的一批電子元件中隨機抽取3個安裝在乙圖電路中的A，B，C處，求小燈泡發(fā)亮的概率．【解答】解：（Ⅰ）電子元件共5個，只有2個合格，所以有3個不合格的，設3個不合格的電子元件分別為a，b，c，合格的1，2，則該試驗的樣本空間Ω＝{ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2，12}，共有10個樣本點；設事件M為小燈泡發(fā)亮，則M＝{12}，只有1個樣本點，所以P（M）0.1；（Ⅱ）設事件N為小燈泡亮，因為元件合格的概率為0.9，所以B，C都不合格的概率為（1﹣0.9）（1﹣0.9）＝0.01，要使小燈泡亮，則A合格，且B，C中至少有一個合格，所以P（N）＝0.9×（1﹣0.01）＝0.891．21．（12分）已知拋物線：y2＝2x，直線l：y＝x﹣4，且點B，D在拋物線上．（1）若點A，C在直線l上，且A，B，C，D四點構成菱形ABCD，求直線BD的方程；（2）若點A為拋物線和直線l的交點（位于