第二章方程（組）與不等式（組）第06講分式方程及其應(yīng)用（3~8分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一解分式方程考點二分式方程的應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點一解分式方程?題型01判斷分式方程?題型02分式方程的解法命題點二分式方程的解?題型01根據(jù)分式方程解的情況求值?題型02分式方程無解問題命題點三分式方程的應(yīng)用?題型01列分?jǐn)?shù)方程?題型02行程問題?題型03工程問題?題型04經(jīng)濟(jì)問題05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測解分式方程能解可化為一元一次方程的分式方程10年9考中考中本考點考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計2025年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實掌握．分式方程的應(yīng)用能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性10年連續(xù)考查考點一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根.1.1.分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷分式方程的依據(jù).2.去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項.3.分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根．5.解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無意義的根，檢驗是解分式方程的必要步驟.6.分式方程有增根與無解并非是同一個概念．分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解.考點二分式方程的應(yīng)用用分式方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;+1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗所求的解是否符合實際意義.答：實際問題的答案.與分式方程有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：命題點一解分式方程?題型01判斷分式方程1．（2024·廣西賀州·三模）下列式子是分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了分式方程，分母中含有未知數(shù)的有理方程是分式方程，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．是一元一次方程，故選項不符合題意；B．不是方程，故選項不符合題意；C．是分式方程，故選項符合題意；D．是一元一次方程，故選項符合題意．故選：C．2．（2021·河南信陽·模擬預(yù)測）下列方程：①；②；③；④（為已知數(shù)），其中分式方程有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】等號兩邊至少有一個分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．故選：B．【點睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵．3．（2023·四川南充·二模）關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．，且 D．，且【答案】D【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“解是負(fù)數(shù)”建立不等式求a的取值范圍即可．【詳解】解：去分母，得，解得，∵方程的解是負(fù)數(shù)，∴，且，∴，且．故選：D．【點睛】本題考查分式方程的解，解題關(guān)鍵是要掌握分式方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解．4．（2024全國）下列關(guān)于x的方程中，屬于分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案．【詳解】解：A、是一元一次方程，故不符合題意；B、是一元一次方程，故不符合題意；C、是分式方程，故符合題意；D、是二元一次方程，故不符合題意；故選C．【點睛】本題考查分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．?題型02分式方程的解法5．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）解方程：【答案】【分析】本題考查了解分式方程，先去分母，將分式方程化為整式方程，再進(jìn)行計算，最后進(jìn)行檢驗即可．【詳解】解：，，，，，．經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，∴原分式方程的解為．6．（2024·廣東廣州·中考真題）解方程：．【答案】【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵，注意檢驗．依次去分母、去括號、移項、合并同類項求解，檢驗后即可得到答案．【詳解】解：，去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，該分式方程的解為．7．（2023·廣東江門·一模）解分式方程：．【答案】.【分析】先找到最簡公分母，方程的左右兩邊同時乘以最簡公分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，再解一元一次方程即可，最后檢驗．【詳解】解：∴，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解．【點睛】本題考查了分式方程的求解，去分母是解題的關(guān)鍵，注意分式方程要檢驗．8．（2022·廣東揭陽·模擬預(yù)測）（1）++=1；（2）．【答案】（1）x=1；（2），【分析】（1）先去分母，把分式方程化為整式方程，然后解出整式方程，再檢驗，即可求解；（2）先去分母再利用因式分解法解答，即可求解．【詳解】解：（1）方程兩邊同乘以（x+2）（x-2），得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2），解得x=1或2．經(jīng)檢驗，x=1是原方程的解，x=2不是原方程的解，所以原方程的解為：x=1．（2）去分母得，，移項得，，∴（3x-2）[4（3x-2）+3]=0，∴3x-2=0，4（3x-2）+3=0，解得，，．【點睛】本題主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟練掌握分式方程和一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．命題點二分式方程的解?題型01根據(jù)分式方程解的情況求值9．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知是分式方程的解，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式方程解的定義，分式方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把代入原方程求出的值即可．【詳解】解：是分式方程的解，，解得：，故選：C．10．（2024·廣東揭陽·一模）已知關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【答案】B【分析】本題考查了解分式方程、根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，先解分式方程得出，根據(jù)解是負(fù)數(shù)得出，且，求解即可得出答案．【詳解】解：去分母得：，解得：，關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，，且，解得：且，故選：B．11．（2020·重慶·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式結(jié)的解集為；且關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是（

）A．7 B．－14 C．28 D．－56【答案】A【分析】不等式組整理后，根據(jù)已知解集確定出a的范圍，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為正整數(shù)方程，由分式方程有非負(fù)整數(shù)解，確定出a的值，求出之和即可．【詳解】解：解不等式，解得x≤7，∴不等式組整理的，由解集為x≤a，得到a≤7，分式方程去分母得：y?a＋3y?4＝y(tǒng)?2，即3y?2＝a，解得：y＝，由y為正整數(shù)解且y≠2，得到a＝1，7，1×7＝7，故選：A．【點睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．12．（2024·四川德陽·三模）已知關(guān)于的分式方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本題考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，解得，∵x為正數(shù)，∴，解得．∵，∴，即．∴m的取值范圍是且．故選：D．?題型02分式方程無解問題13．（2023·黑龍江牡丹江·二模）若分式方程無解，則a的值為（

）A．1 B． C．2或1 D．2或【答案】C【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解恰好使原分式方程的分母等于0．【詳解】解：去分母得：，整理得：，由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)，即時，整式方程無解，分式方程無解；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，分母為0，分式方程無解，即，解得，綜上，a的值為1或2．故選：C．【點睛】本題考查了分式方程無解問題，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．14．（2021·廣東廣州·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判斷該分式方程只有一個解．對于他的判斷，你認(rèn)為下列看法正確的是（

）A．小明的說法完全正確 B．整式方程正確，但分式方程有2個解C．整式方程不正確，分式方程無解 D．整式方程不正確，分式方程只有1個解【答案】C【分析】解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程無實數(shù)根，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵分式方程去分母后得到整式方程，，∴方程無實數(shù)根，∴方程無解，故整式方程不正確，分式方程無解，故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判別式,熟練將分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15．（2020·廣東深圳·一模）若關(guān)于的方程無解，則的值為（

）A．1 B．3 C．1或 D．【答案】C【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解的意義，計算即可求出m的值.【詳解】解：去分母得：，整理得，，當(dāng)時，即時，方程無解，當(dāng)時，，即x=3時，方程無解，此時，解得，所以，或，故選：C.【點睛】本題考查了分式方程的解，把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，理解分式方程無解的意義，是解題的關(guān)鍵．16．（2020·廣東東莞·模擬預(yù)測）關(guān)于x的分式方程＋3＝有增根，則m的值為（）A．7 B．3 C．1 D．－3【答案】A【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母x-1=0，得到x=1，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．【詳解】方程兩邊都乘（x-），得7+3（x-1）=m∵原方程有增根，∴最簡公分母x-1=0，解得x=1，當(dāng)x=1時，7+3（1-1）=m．解得m=7．故選：A．【點睛】本題考查了分式方程的增根，讓最簡公分母為0確定增根；化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．命題點三分式方程的應(yīng)用?題型01列分?jǐn)?shù)方程17．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）2023年3月底，國道深圳寶安段(下稱“107國道”)正式啟動先行段的市政化改造，它縱貫寶安區(qū)，沿線是廣深科技創(chuàng)新走廊的核心地段，千余家國家高新技術(shù)企業(yè)密布其間，被視為“鵬城一翼”“灣區(qū)動軸”．它全長為31.4千米，這條94歲的國道路面需整改，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時，每天的工效比原計劃增加，結(jié)果提前5天完成這一任務(wù)，設(shè)原計劃每天整改千米，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查由實際問題列分式方程，設(shè)原計劃每天整改千米，得到實際施工時每天整改千米，由等量關(guān)系結(jié)果提前5天完成這一任務(wù)，即可列出分式方程，讀懂題意，準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)原計劃每天整改千米，實際施工時每天整改千米，則，故選：B．18．（2024·廣東深圳·三模）一次夏令營活動中，班長購買了甲、乙兩種礦泉水，其中甲種礦泉水共花費80元，乙種礦泉水共花費60元，甲種礦泉水比乙種礦泉水多20瓶，乙種礦泉水價格是甲種礦泉水價格的1.5倍．若設(shè)甲種礦泉水的價格為x元，根據(jù)題意可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程．設(shè)甲種礦泉水的價格為元，則乙種礦泉水價格為，根據(jù)甲種礦泉水比乙種礦泉水多20瓶，列分式方程．【詳解】解：設(shè)甲種礦泉水的價格為元，則乙種礦泉水價格為，由題意得，．故選：B．19．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）一艘輪船在靜水中的速度為，它沿江順流航行與逆流航行所用時間相等，江水的流速為多少？設(shè)江水流速為，則符合題意的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了列分式方程，先分別根據(jù)“順流速度靜水速度江水速度”、“逆流速度靜水速度江水速度”求出順流速度和逆流速度，再根據(jù)“沿江順流航行與逆流航行所用時間相等”建立方程即可得．【詳解】解：由題意得：輪船的順流速度為，逆流速度為，則可列方程為，故選：A．20．（2023·廣東陽江·一模）由于市場急需A產(chǎn)品，某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)A產(chǎn)品50萬件，現(xiàn)在生產(chǎn)A產(chǎn)品400萬件所需時間比原計劃生產(chǎn)A產(chǎn)品450萬件所需時間少5天，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x萬件，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了列分式方程應(yīng)用，利用本題中“現(xiàn)在生產(chǎn)A產(chǎn)品400萬件所需時間比原計劃生產(chǎn)A產(chǎn)品450萬件所需時間少5天”這一個條件，列出分式方程是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x萬件，則原來可生產(chǎn)萬件．由題意得：，故選：B．?題型02行程問題21．（24-25九年級·重慶）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體，若兩人同時從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的倍，那么小明比小紅早分鐘到達(dá)地.(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從地到達(dá)地后，小明跑步繼續(xù)前進(jìn)到地整個過程不休息，據(jù)了解，在整個運(yùn)動過程中，小明跑步的前分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量卡路里，超過分鐘后，每多跑步分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加卡路里，在整個過程中，小明共消耗卡路里熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)小明跑步速度是，小紅跑步速度是(2)小明從地到地鍛煉共用分鐘【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用；（1）設(shè)小紅跑步速度是，則小明跑步速度是，利用時間路程速度，結(jié)合小明比小紅早分鐘到達(dá)地，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出小紅跑步的速度，再將其代入中，即可求出小明跑步的速度；（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，根據(jù)“在整個鍛煉過程中，小明共消耗卡路里的熱量”，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)小紅跑步速度是，則小明跑步速度是，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，答：小明跑步速度是，小紅跑步速度是；（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：不符合題意，舍去，．答：小明從地到地鍛煉共用分鐘．22．（24-25九年級·重慶）在周末自駕游中，李明和張華相約從A城前往B城進(jìn)行戶外探險.已知A、B兩城相距120公里，兩人均勻速行駛，李明與張華的速度之比為．(1)若張華先行15公里后，李明才開始從A城出發(fā)，李明出發(fā)30分鐘恰好追上張華，求李明駕駛的速度為每小時多少公里；(2)若張華比李明早出發(fā)30分鐘，結(jié)果反而比李明晚30分鐘到達(dá)B城，求李明駕駛的速度為每小時多少公里．【答案】(1)每小時90公里(2)每小時60公里【分析】本題考查了分式方程和一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)李明駕駛的速度為每小時公里，則張華的速度為每小時公里，根據(jù)路程＝速度時間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)李明駕駛的速度為每小時y公里，則張華的速度為每小時公里，根據(jù)時間＝路程＋速度結(jié)合張華比李明多用1小時，即可得出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得，設(shè)李明駕駛的速度為每小時公里，則張華的速度每小時公里，依題意得：解得：，則．答：李明駕駛的速度為每小時90公里；（2）解：設(shè)李明駕駛的速度為每小時y公里，則張華的速度為每小時公里，則由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，答：李明駕駛的速度為每小時60公里．?題型03工程問題23．（24-25九年級上·山東威海·期中）某市政府計劃對該市博物館進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊完成，已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的1.5倍，甲隊單獨完成該改造計劃比乙隊單獨完成該計劃少用4天．(1)甲、乙兩隊單獨完成該計劃分別需要多少天？(2)若甲隊工作一天需付費用8萬元，乙隊工作一天需付費用6萬元，由于項目原因，甲隊先做了幾天后，由乙隊接著將改造計劃完成，最后改造費用不超過67萬元，甲隊至少做了多少天？【答案】(1)甲隊單獨完成該計劃需要8天，乙隊單獨完成該計劃需要12天(2)甲隊至少做了5天【分析】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出等式或不等式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)乙隊單獨完成該計劃需要天，則甲隊單獨完成該計劃需要天，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的分式方程，解出x的值，再驗算即可；（2）設(shè)甲隊做了天，則乙隊做了天，根據(jù)題意可列出關(guān)于m的不等式，解之即可．【詳解】（1）解：設(shè)乙隊單獨完成該計劃需要天，則甲隊單獨完成該計劃需要天，根據(jù)題意得：解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，此時，答：甲隊單獨完成該計劃需要8天，乙隊單獨完成該計劃需要12天；（2）解：設(shè)甲隊做了天，則乙隊做了天，根據(jù)題意得：解得：，答：甲隊至少做了5天．24．（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）我校綜紛藝術(shù)節(jié)即將拉開帷幕，學(xué)校準(zhǔn)備在一文創(chuàng)廠家定制個布藝文化袋發(fā)放給師生，該廠家甲車間每天可生產(chǎn)個布藝文化袋，乙車間每天可生產(chǎn)個布藝文化袋，甲車間先單獨工作4天后，乙車間加入一起趕工．(1)該廠家完成這批布藝文化袋一共需要多少天？(2)甲車間按原生產(chǎn)效率單獨生產(chǎn)4天后，由于時間緊迫，兩個車間改進(jìn)了生產(chǎn)工藝，并且平分了剩下的生產(chǎn)任務(wù)，改進(jìn)后甲、乙兩車間每天生產(chǎn)布藝文化袋的數(shù)量之比為．兩個車間各自完成剩下生產(chǎn)任務(wù)的天數(shù)之和為天，問改進(jìn)工藝后甲車間每天生產(chǎn)多少個布藝文化袋？【答案】(1)該廠家完成這批布藝文化袋一共需要天(2)改進(jìn)工藝后甲車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋．【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵（1）設(shè)從開始加工到完成這批布藝紅包袋一共需要x天，根據(jù)“甲、乙的工作量之和為”列方程求解（2）設(shè)改進(jìn)工藝后甲車間每天生產(chǎn)個，乙車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋，根據(jù)“改進(jìn)后甲、乙兩車間每天生產(chǎn)的布藝文化袋數(shù)量之比為、兩個車間各自完成剩下生產(chǎn)任務(wù)的天數(shù)之和為天”列方程求解．【詳解】（1）解∶設(shè)該廠家完成這批布藝文化袋一共需要x天，則．解得∶．答∶該廠家完成這批布藝文化袋一共需要天．（2）解∶設(shè)改進(jìn)工藝后甲車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋，乙車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋．甲車間按原生產(chǎn)效率單獨生產(chǎn)4天后還剩∶(個)，每個車間完成(個)由題意得∶，解得∶，經(jīng)檢驗∶是原分式方程的解，且符合題意．甲車間每天生產(chǎn)(個)．答∶改進(jìn)工藝后甲車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋．?題型04經(jīng)濟(jì)問題25．（24-25九年級重慶）每年的12月12日各大網(wǎng)絡(luò)平臺都會推出大型網(wǎng)購促銷活動，吸引消費者購物．某一網(wǎng)絡(luò)銷售公司準(zhǔn)備在這一天銷售2000件“元旦禮盒”，找到甲工廠承接這項生產(chǎn)任務(wù)，甲工廠工作15天后還未加工完，于是提高了生產(chǎn)速度，提速后每天生產(chǎn)的數(shù)量比原來每天生產(chǎn)的數(shù)量多40件，又生產(chǎn)了5天才完成了任務(wù)．(1)求甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”多少件？(2)“雙12”當(dāng)天，“元旦禮盒”快速被搶空，該網(wǎng)絡(luò)銷售公司決定增加生產(chǎn)．安排甲、乙兩家工廠共同加工生產(chǎn)該“元旦禮盒”2800件，甲工廠按提速前的速度和乙工廠一起加工完成一半后，更換了新的生產(chǎn)設(shè)備，兩家工廠每天均比之前多生產(chǎn)一倍，結(jié)果比原計劃提前4天完成任務(wù)，求更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”多少件？【答案】(1)甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”90件(2)更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”85件【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程．（1）設(shè)甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”x件，根據(jù)生產(chǎn)的總數(shù)量為2000件，列方程求解即可；（2）設(shè)更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”y件，根據(jù)結(jié)果比原計劃提前4天完成任務(wù)，列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”x件，依題意，得：，解得：．答：甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”90件．（2）解：設(shè)更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”y件，依題意，得：，解得：．經(jīng)檢驗，是原方程的解．答：更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”85件．26．（24-25九年級上·廣東河源·期中）已知某平臺在售的故宮文創(chuàng)產(chǎn)品書燈有A，B兩個系列，A系列產(chǎn)品比B系列產(chǎn)品的售價低50元，1000元購買A系列產(chǎn)品的數(shù)量與1500元購買B系列產(chǎn)品的數(shù)量相等．按定價銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：B系列產(chǎn)品按定價銷售，每天可以賣500件，若B系列產(chǎn)品每降1元，則每天可以多賣10件．(1)A系列產(chǎn)品和B系列產(chǎn)品的售價各是多少？(2)為了使B系列產(chǎn)品每天的銷售額為96000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，求B系列產(chǎn)品的實際售價應(yīng)定為多少元/件？【答案】(1)A系列單價為100元，B系列單價為150元；(2)80元【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A系列單價為x元；B系列單價為元，根據(jù)題意得，解方程即可．（2）設(shè)B系列單價為y元，則單件降價為元，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)A系列單價為x元，B系列單價為元，根據(jù)題意，得，解方程，得，經(jīng)檢驗，是原方程的根，此時元，答：A系列單價為100元，B系列單價為150元；（2）設(shè)B系列定價為y元，則單件降價為元，每天的銷售量為件，根據(jù)題意，得，整理得，解得，∵盡可能讓顧客得到實惠，∴定價為80元．答：B系列產(chǎn)品的實際售價應(yīng)定為80元．基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．（2024·廣東廣州·二模）方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解分式方程．先去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解，檢驗即可．【詳解】解：，去括號得，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，故選：A．2．（2023·海南海口·模擬預(yù)測）若代數(shù)式和的值互為相反數(shù)，則x等于（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】本題考查了相反數(shù)，分式方程的求解，根據(jù)相反數(shù)定義列式，根據(jù)去分母，去括號，移項合并同類項，系數(shù)化為1的過程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：代數(shù)式和的值互為相反數(shù)，，去分母得：，去括號得：，合并同類項得：，解得：，經(jīng)檢驗是方程的解，故選：B．3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）深圳寶安國際機(jī)場是深圳對外交往的重要平臺，旅客從市民中心前往寶安機(jī)場有兩條線路，路線一：走深南大道經(jīng)寶安大道，全程是千米，但交通比較擁堵；路線二：走深南大道轉(zhuǎn)京港澳高速，全程是千米，平均速度是路線一的倍，因此到寶安機(jī)場的時間比走路線一少用分鐘，設(shè)走路線一到達(dá)寶安機(jī)場需要分鐘，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)走路線一到達(dá)寶安機(jī)場需要分鐘，根據(jù)題意，列出分式方程即可求解，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)走路線一到達(dá)寶安機(jī)場需要分鐘，由題意可得，故選：．4．（2024·廣東佛山·二模）在題目“甲、乙兩地相距，一輛汽車從甲地勻速開往乙地，…，求汽車實際行駛的時間？”中，若設(shè)汽車原計劃需行駛，可得方程，則題目中“…”表示的條件是（

）A．速度比原計劃增加，結(jié)果提前到達(dá) B．速度比原計劃增加，結(jié)果晚到達(dá)C．速度比原計劃減少，結(jié)果提前到達(dá) D．速度比原計劃減少，結(jié)果晚到達(dá)【答案】A【分析】本題主要考查分式的實際運(yùn)用，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，分式方程表示的含義，掌握分式方程解實際問題的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)設(shè)汽車原計劃需行駛，可得表示的含義，由此可得，表示的含義，由此即可求解．【詳解】解：設(shè)汽車原計劃需行駛，則表示原計劃的速度，∴表示的是在原計劃的速度上提高，∴表示實際的速度，∴A符合題意，故選：．5．（2023·海南海口·一模）若代數(shù)式和的值相等，則x等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列分式方程并求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是方程的解；故選：C．【點睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列分式方程，解分式方程并檢驗．6．（2024·廣東汕頭·一模）為降低成本，某出租車公司推出了“油改氣”措施，如圖，，分別表示燃油汽車和燃?xì)馄囆旭偮烦蘏（單位：千米）與所需費用y（單位：元）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃?xì)馄嚸壳姿栀M用2倍多元，設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿栀M用為x元，則可列方程為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿栀M用為x元，則燃油汽車每千米所需的費用為元，由圖像可得，燃油汽車花費30元所行駛的路程等于燃?xì)馄?0元行駛的路程，依次列方程即可．【詳解】解：設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿栀M用為x元，則燃油汽車每千米所需的費用為元，由圖像可得，燃油汽車花費30元所行駛的路程等于燃?xì)馄?0元行駛的路程，即故選：C．二、填空題7．（2024·廣東·模擬預(yù)測）代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，則．【答案】4【分析】本題主要考查了代數(shù)式值相等問題，熟練掌握相等關(guān)系，列出方程，解方程，分式方程檢驗，是解決本題的關(guān)鍵．通過題目中的等量關(guān)系列方程，解方程，檢驗，即可．【詳解】由題可得：，去分母得，，解得，，檢驗：當(dāng)時，，∴是所列方程的根，故答案為：4．8．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程無解，則a的值為．【答案】1或【分析】此題考查了分式方程的無解問題，先整理方程得到，分和兩種情況，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】解：去分母得：，整理得：，當(dāng)時，方程無解，故；當(dāng)時，時，分式方程無解，則，∴關(guān)于x的方程無解，則a的值為：1或．故答案為：1或．9．（2024·廣東廣州·二模）為了落實“雙減”政策，進(jìn)一步豐富文體活動，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批籃球和足球，已知每個籃球的價格比每個足球的價格多元，用元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用元購進(jìn)足球的數(shù)量多個，如果設(shè)每個足球的價格為元，可列方程為：．【答案】【分析】此題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)每個足球的價格為元，則每個籃球的價格為元，用元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用元購進(jìn)足球的數(shù)量多個列出方程即可，由解題的關(guān)鍵讀懂題意列出分式方程．【詳解】解：設(shè)每個足球的價格為元，則每個籃球的價格為元，由題意得：，故答案為：．三、解答題10．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）近年來，新能源汽車特別是純電動汽車受到越來越多消費者的關(guān)注，下面是價格相同的燃油車與純電動汽車的部分相關(guān)信息對比：燃油車油箱容積：40升油價：7.5元/升續(xù)航里程：m千米每千米行駛費用：元純電動汽車電池容量：80千瓦時電價：0.55元/千瓦時續(xù)航里程：m千米每千米行駛費用：________元(1)用含m的代數(shù)式表示純電動汽車的每千米行駛費用；(2)若純電動汽車每千米行駛費用比燃油車少0.64元．①分別求出這兩款車的每千米行駛費用；②若燃油車和純電動汽車每年的其它費用分別為3600元和6800元．小明家要購置新車，他們家每年行駛里程大于6000千米，則他們購買哪一款汽車的年費用更低？（年費用=年行駛費用+年其它費用）【答案】(1)（或）；(2)①燃油車每千米行駛費用為0.75元，純電動汽車每千米行駛費用為0.11元；②他們購買純電動汽車的年費用更低．【分析】（1）根據(jù)表中的信息，可以表示新能源車的每千米行駛費用；（2）①根據(jù)燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.64元和表中的信息，可以列出相應(yīng)的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要檢驗；②先分別算出購買燃油車的年費和購買純電動汽車的年費，再進(jìn)行比較，即可作答．本題考查列代數(shù)式的問題，分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和不等式．【詳解】（1）解：新能源車的每千米行駛費用為：（元）；故答案為：（或）．（2）解：①，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，∴（元），（元），答：燃油車的每千米行駛費用為0.75元，新能源車的每千米行駛費用為0.11元；②購買燃油車的年費：（元）購買純電動汽車的年費：（元）∵∴他們購買純電動汽車的年費用更低．11．（2024·廣東·模擬預(yù)測）“綠水青山就是金山銀山”，為了綠色發(fā)展，某林場計劃購買甲、乙兩種樹苗，已知購買一株甲種樹苗的進(jìn)價比一株乙種樹苗的進(jìn)價少3元，用3000元購進(jìn)甲種樹苗的數(shù)量是用3200元購進(jìn)乙種樹苗的數(shù)量的1.5倍．(1)求每株甲種樹苗，每株乙種樹苗的進(jìn)價分別為多少元？(2)相關(guān)資料表明：甲、乙兩種樹苗的成活率分別為和．為保證綠化效果，林場決定再購買甲、乙兩種樹苗共100株．若要使這批樹苗的成活率不低于，且購買樹苗的總費用最低，應(yīng)如何選購樹苗？【答案】(1)每株甲種樹苗的進(jìn)價為5元，則乙種樹苗的進(jìn)價為8元．(2)應(yīng)選擇購買乙種樹苗60棵．購買甲種樹苗40棵．【分析】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用．（1）設(shè)每株甲種樹苗的進(jìn)價為x元，則乙種樹苗的進(jìn)價為元，根據(jù)用3000元購進(jìn)甲種樹苗的數(shù)量是用3200元購進(jìn)乙種樹苗的數(shù)量的1.5倍列出分式方程求解即可．（2）設(shè)應(yīng)購買乙種樹苗m棵，則甲種數(shù)樹苗為棵，根據(jù)題意列出關(guān)于m的一元一次不等式，求解，再根據(jù)甲乙種數(shù)苗的單價即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)每株甲種樹苗的進(jìn)價為x元，則乙種樹苗的進(jìn)價為元，根據(jù)題意有：，解得：經(jīng)檢驗，是分式方程的解，∴，∴每株甲種樹苗的進(jìn)價為5元，則乙種樹苗的進(jìn)價為8元．（2）解：設(shè)應(yīng)購買乙種樹苗m棵，則甲種數(shù)樹苗為棵，根據(jù)題意有：，解得：，∵甲種樹苗的進(jìn)價為5元，則乙種樹苗的進(jìn)價為8元，∴乙種樹苗購買的數(shù)量越小，總費用越低，故應(yīng)選擇購買乙種樹苗60棵．購買甲種樹苗40棵．能力提升一、單選題1．（2023·廣東云浮·二模）已知完成某項工程甲組需要12天，乙組需要若干天，甲組單獨工作半天后，乙組加入，兩組合作2天后，甲組又單獨工作了3天半，工程完工，則乙組單獨完成此項工程需要的天數(shù)比甲組（）A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天【答案】B【分析】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)乙組單獨完成此頂工程需要x天，根據(jù)題意列出方程求解即可，注意進(jìn)行檢驗．【詳解】解：設(shè)乙組單獨完成此頂工程需要x天，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，∴．故選：B．2．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）把分式方程化為整式方程正確的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】方程兩邊都乘，即可求解．【詳解】解：原方程可變形為：，方程兩邊都乘得：，故選：C．【點睛】本題考查了解分式方程，正確的去分母是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東廣州·模擬預(yù)測）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出的值．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，原方程有增根，最簡公分母，解得：，當(dāng)時，，故選：C．【點睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值．注意計算的準(zhǔn)確性．4．（2023·廣東廣州·二模）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件送到900里外的城市，用慢馬送所需的時間比用快馬送所需的時間多4天．已知快馬速度是慢馬速度的2倍，求慢馬的速度．設(shè)慢馬的速度為里/天，則可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)慢馬的速度為里/天，則快馬的速度為里/天，根據(jù)“用慢馬送所需的時間比用快馬送所需的時間多4天”【詳解】解：設(shè)慢馬的速度為里/天，則快馬的速度為里/天，根據(jù)題意得，故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2024·廣東廣州·二模）清明緬懷英烈，某校計劃組織540名學(xué)生外出祭奠．現(xiàn)有A，B兩種不同型號的客車可供選擇，在每輛車剛好滿座的前提下，每輛B型客車比每輛A型客車多坐15人，單獨選擇B型客車比單獨選擇A型客車少租6輛(每輛車剛好滿座)，設(shè)A型客車每輛坐x人，則根據(jù)題意可列方程為【答案】【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，首先根據(jù)A型客車每輛坐x人，得每輛B型客車每輛坐人，根據(jù)根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：A型客車每輛坐x人，∵B型客車比每輛A型客車多坐15人∴B型客車每輛坐人∴根據(jù)題意的：，故答案為．6．（2024·廣東揭陽·一模）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了增根的概念，利用增根的意義即可求解，正確理解增根的含義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，∵關(guān)于的分式方程有增根，∴，∴，故答案為：．7．（2023·廣東深圳·二模）對于實數(shù)，，定義一種新運(yùn)算“θ”為：，例如：，則的解是．【答案】/【分析】利用題中的新定義化簡，計算即可求出解．【詳解】解：∵，∴，即，去分母得：，解得：，檢驗：當(dāng)時，，∴分式方程的解是，故答案為：【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測）勞動教育是全面發(fā)展教育體系的重要組成部分，是大中小學(xué)必須開展的教育活動．某校積極響應(yīng)，開設(shè)校園農(nóng)場．七年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，八年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，已知八年級學(xué)生比七年級學(xué)生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，七年級學(xué)生人數(shù)是八年級學(xué)生人數(shù)的1.5倍．求七、八年級各有多少名學(xué)生．若設(shè)八年級有x名學(xué)生，則可列分式方程為．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)，得出七年級有1.5x名學(xué)生，再表示出每個年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量，根據(jù)八年級比七年級人均多建立方程．【詳解】解：若設(shè)八年級有x名學(xué)生，則七年級有1.5x名學(xué)生，八年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，七年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，已知八年級學(xué)生比七年級學(xué)生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，則有．故答案為：．【點睛】此題考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是理清題目中的數(shù)量關(guān)系．三、解答題9．（2024·廣東中山·三模）據(jù)有關(guān)部門預(yù)測，今年夏天某景區(qū)游客將會大幅度增長．為方便更多的游客在景區(qū)內(nèi)休息，景區(qū)管理委員會決定向某公司采購一批戶外休閑椅．經(jīng)了解，該公司出售弧形和條形兩種類型的休閑椅，已知條形椅的單價是弧形椅單價的倍，用元購買弧形椅的數(shù)量比用元購買條形椅的數(shù)量多張，弧形椅和條形椅的單價分別是多少元【答案】弧形椅的單價為元，條形椅的單價為元【分析】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用．設(shè)弧形椅的單價為元，則條形椅的單價為元，根據(jù)“用6000元購買弧形椅的數(shù)量比用3600元購買條形椅的數(shù)量多6張”列分式方程解答即可．【詳解】解：設(shè)弧形椅的單價為元，則條形椅的單價為元，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：弧形椅的單價為200元，條形椅的單價為150元．10．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）今年年初一美麗的白鵝潭江而進(jìn)行了以“活力灣區(qū)，新彩廣州”為主題的煙花匯演，甲、乙兩人從各自家前往最佳觀賞點之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當(dāng)晚該公園附近路段實施了交通管制，甲先將車開到距離自己家20千米的停車場后，再步行2千米到達(dá)目的地，共花了1小時．此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？(2)乙是騎車前往與他家相距8千米的目的地，若乙騎車的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小時（），乙騎車時間比甲開車時間多a小時，求a的值．【答案】(1)甲開車的平均速度是40千米/小時，步行的平均速度是4千米/小時(2)的值為【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用．（1）設(shè)甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，利用時間路程速度，結(jié)合甲到達(dá)目的地共花了1小時，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出甲步行的平均速度，再將其代入中，即可求出甲開車的平均速度；（2）利用路程速度時間，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，（千米小時）．答：甲開車的平均速度是40千米小時，甲步行的平均速度是4千米小時；（2）根據(jù)題意得：，即，解得：，（不符合題意，舍去）．答：的值為．11．（2024·廣東深圳·三模）深圳某校為了提升學(xué)生體質(zhì)，豐富體育活動，計劃購買若干個排球、足球，已知每個足球比排球貴元．花費元購買的排球數(shù)量比花費元購買的足球數(shù)量少個，其中，排球單價不低于元．(1)求排球、足球的單價各為多少？(2)若排球、足球共買個，購買足球的個數(shù)不低于排球個數(shù)的不高于排球個數(shù)的，張老師帶了元，請你判斷張老師帶的錢夠不夠，如果不夠，最少還差多少元．【答案】(1)排球的單價為元，足球的單價為元；(2)張老師帶的錢不夠，最少還差元．【分析】（）設(shè)排球的單價為元，則足球的單價為元，根據(jù)題意列出方程即可求解；（）設(shè)學(xué)校購買個足球，則購買個排球，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍，設(shè)費用為元，再求出與的一次函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出分式方程和一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)排球的單價為元，則足球的單價為元，依題意得，，解得（不符合題意，舍去），，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意