第一章數與式第04講二次根式（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一二次根式的相關概念考點二二次根式的性質與化簡考點三二次根式的運算04題型精研·考向洞悉命題點一二次根式的相關概念?題型01二次根式有意義的條件?題型02判斷最簡二次根式?題型03判斷同類二次根式命題點二二次根式的性質與化簡?題型01利用二次根式的性質化簡?題型02已知字母的值，化簡求值1?題型03已知條件等式，化簡求值命題點三二次根式的運算?題型01二次根式的乘除運算?題型02二次根式的加減運算?題型03二次根式的混合計算?題型04二次根式的有理化?題型05比較二次根式?題型06二次根式的應用05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測二次根式的相關概念了解二次根式、最簡二次根式的概念10年7考中考中，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現，而化簡計算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.二次根式的性質與化簡掌握二次根式的性質，再根據二次根式的性質化簡近10年連續考查二次根式的運算了解二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算10年8考考點一二次根式的相關概念（高頻考點）二次根式的概念：一般地，我們把形如（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，二次根號下的數叫做被開方數．最簡二次根式：開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式.1.1.二次根式定義中規定，任何非負數的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，如：-都是二次根式.2.二次根式有意義的條件：當a≧0時，即被開方數大于或等于0，二次根式有意義.3.在關于代數式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意義的綜合運用．4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：①開方數所含因數是整數，因式是整式（分母中不應含有根號）；②不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，即被開方數的因數或因式的指數都為1.[補充]含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.5.幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數可以完全互不相同，如：、、是同類二次根式.04題型精研·考向洞悉考點二二次根式的性質與化簡二次根式的化簡方法：1）利用二次根式的基本性質進行化簡；2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡．=?，=化簡二次根式的步驟：1）把被開方數分解因式；2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；1.根據二次根式的性質化簡時，前無“1.根據二次根式的性質化簡時，前無“-”,化簡出來就不可能是一個負數.2.利用二次根式性質時，如果題目中對根號內的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現出來，在允許的取值范圍內進行化簡．3.化簡后的最后結果應為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．考點三二次根式的運算乘法法則:兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即：=?.除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即：（a≥0，b＞0）.加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數相同的二次根式合并.【口訣】一化、二找、三合并.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.【分母有理化方法】1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分.即：；混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去掉括號)．1.在使用=1.在使用=?時一定要注意2.在使用（a≥0，b＞0）時一定要注意3.合并被開方數相同的二次根式與合并同類項類似，將被開方數相同的二次根式的“系數”相加減，被開方數和根指數不變．4.二次根式加減混合運算的實質就是合并被開方數相同的二次根式，被開方數不同的二次根式不能合并．5二次根式進行加減運算時，根號外的系數因式必須為假分數形式．6.在二次根式的混合運算中，乘方公式和實數的運算律仍然適用。而且運算結果應寫成最簡二次根式的形式.命題點一二次根式的相關概念?題型01二次根式有意義的條件1．（2024·廣東惠州·模擬預測）在函數中，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查當函數是二次根式時自變量的取值范圍是使被開方數不小于零的實數，再列不等式求解即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：，故選A．2．（2024·廣東廣州·二模）代數式有意義的條件是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件．根據二次根式及分式有意義的條件，可得不等式，即可求解．【詳解】解：∵代數式有意義，∴，解得，，故選：C．3．（2024·廣東陽江·二模）若要使式子有意義，則的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【答案】B【分析】本題考查的知識點為二次根式有意義的條件和分式有意義的條件．根據二次根式被開方數大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范圍．【詳解】解：根據題意得：，解得：且．故選：B．4．（2023·廣東廣州·一模）代數式有意義時，x應滿足的條件為（

）A．且 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式有意義以及二次根式有意義，即分母不為0以及被開方數為非負數，據此列式計算，即可作答．【詳解】∵代數式有意義∴解得且故選：A?題型02判斷最簡二次根式5．（2024·廣東江門·模擬預測）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義進行解題即可．【詳解】解：A.，不是最簡二次根式；B.，不是最簡二次根式；C.，不是最簡二次根式；D.是最簡二次根式；故選D．6．（2024·廣東東莞·一模）下列是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查最簡二次根式的識別，最簡二次根式需滿足被開方數不含有分母，被開方數不含有開得盡方的因數或因式，根據定義逐一判斷即可．【詳解】解：是最簡二次根式，故A選項正確；中被開方數含有分母，不是最簡二次根式，故B選項錯誤；中二次根式位于分母位置，不是最簡二次根式，故C選項錯誤；中被開方數含有開得盡方的因數，不是最簡二次根式，故D選項錯誤；故選A．7．（2023·廣東湛江·三模）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C．（，） D．（）【答案】A【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可，熟記最簡二次根式的定義是解題的關鍵．【詳解】解：、是最簡二次根式，故本選項符合題意；、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；、（，）中被開方數是分數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；、（），不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：．8．（2022·廣東揭陽·一模）下列二次根式中，最簡二次根式是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據最簡二次根式的定義進行判斷即可．【詳解】解：A．不能再進行化簡，是最簡二次根式，符合題意；B．可以化為，不是最簡二次根式，不符合題意；C．可化為，不是最簡二次根式，不符合題意；D．可化為，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：A．?題型03判斷同類二次根式9．（2023·上海松江·二模）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.【詳解】解：A、，與不是同類二次根式；B、，與是同類二次根式；C、，與不是同類二次根式；D、.，與不是同類二次根式；故選：B.【點睛】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的概念是解題的關鍵.10．（2021·廣東云浮·一模）下列各式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．25【答案】B【分析】先把各選項化成最簡二次根式，然后根據同類二次根式判斷即可.【詳解】∵，，∴與是同類二次根式的是.故選：B.【點睛】本題考查了最簡二次根式和同類二次根式的定義，把各個選項化簡是解題的關鍵．11．（2019·廣東廣州·一模）下列根式中與是同類二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡后，各選項根據同類二次根式的定義判斷．【詳解】∵=，∴下列選項中的被開方數是6的才符合題意．故選D.【點睛】本題考查的是同類二次根式，熟練掌握同類二次根式是解題的關鍵.12．（2024·貴州·模擬預測）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查同類二次根式的概念，根據同類二次根式的概念，需要把各個選項化成最簡二次根式，被開方數是3的即和是同類二次根式．【詳解】A．與不是同類二次根式，故該選項錯誤；B．與不是同類二次根式，故該選項錯誤；C．與是同類二次根式，故該選項正確；D．與不是同類二次根式，故該選項錯誤；故選：C．命題點二二次根式的性質與化簡?題型01利用二次根式的性質化簡13．（2024·廣東廣州·一模）（

）A． B．2024 C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質，根據二次根式的性質：化簡即可．【詳解】解：，故選A．14．（2023·廣東廣州·二模）已知反比例函數的圖象在一、三象限，則化簡代數式得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據反比例函數的性質得出，可知，再根據即可得出結果．【詳解】解：∵反比例函數的圖象在一、三象限，∴，即：，則，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質：當時，圖象分別位于第一、三象限；當時，圖象分別位于第二、四象限，還考考查了利用二次根式的性質化簡．15．（2022·廣東江門·模擬預測）的化簡結果是（

）A．4 B． C．16 D．【答案】A【分析】根據二次根式的性質進行化簡即可得到答案．【詳解】解：，故選A．【點睛】本題考查了二次根式的性質，熟練掌握是解題關鍵．16．（2022·河北·中考真題）下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式的性質判斷即可．【詳解】解：A.，故錯誤；B.，故正確；C.，故錯誤；D.，故錯誤；故選：B．【點睛】本題主要考查二次根式的性質，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．?題型02已知字母的值，化簡求值17．（2024·河北秦皇島·一模）已知，，則代數式的值為（）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的化簡求值．先根據已知條件，求出和的值，再把所求代數式分解因式，最后整體代入求值即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：B．18．（2024·河北滄州·一模）若，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應用，二次根式混合運算，熟練掌握完全平方公式及化簡求值是解題的關鍵．根據完全平方公式將變形為，再代入，的值求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：D．19．（2019·遼寧沈陽·一模）若，則代數式的值為

(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】先將已知代數式變形，然后將字母的值代入進行計算即可求解．【詳解】解：當時，原式故選：B．【點睛】本題考查了分母有理化，分式的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．20．（23-24八年級下·山西大同·期中）已知，，則代數式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查二次根式的化簡求值，本題關鍵在于利用完全平方公式以及平方差公式簡化運算．將變形為已知的值，分別計算出的值，整體代入求值即可．【詳解】解：，，，，故選：A．?題型03已知條件等式，化簡求值21．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知，則化簡的結果為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次根式的性質與化簡，根據絕對值的性質得，即，所以，，再根據二次根式的性質化簡即可．掌握二次根式的性質及絕對值的意義是解題的關鍵．也考查了完全平方公式的應用．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，∴．故選：A．22．（2023·廣西防城港·一模）實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡：．

【答案】0【分析】根據數a、b在數軸上的位置確定，，的符號，再根據二次根式的性質進行化簡，再合并同類項．【詳解】解：由數軸可知，，，∴，，，∴原式＝故答案為：0【點睛】本題考查的是利用數軸比較實數的大小，二次根式的化簡，掌握二次根式的性質是解題的關鍵.23．（2020·廣東中山·一模）已知實數，滿足那么代數式的值為．【答案】1．【分析】根據和及，可知，和，算出x和y的值，代入代數式計算即可．【詳解】由題意可知，，，∴∴，故答案為：1．【點睛】本題考查絕對值和二次根式的性質，掌握這一點這是解題的關鍵．24．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）如果，那么的值是．【答案】【分析】根據二次根式有意義的條件，求出的值，進而求出的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，代數式求值．熟練掌握二次根式的被開方數是非負數，是解題的關鍵．命題點三二次根式的運算?題型01二次根式的乘除運算25．（2024·廣東茂名·一模）計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除法運算，根據法則計算即可．【詳解】解：故答案為：．26．（2024·廣東清遠·三模）若一個數與相乘等于一個整數，則這個數可以為．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查二次根數的乘法，根據二次根式的乘法法則，進行計算求解即可．【詳解】解：，滿足題意，∴這個數可以為；故答案為：（答案不唯一）．27．（2024·廣東肇慶·一模）計算．【答案】【分析】本題考查了二次根式的除法，根據二次根式的除法法則計算即可得出答案．【詳解】解：，故答案為：．28．（2022·吉林長春·模擬預測），，．【答案】【分析】根據二次根式的性質，二次根式的乘除法運算，即可求出答案．【詳解】解：，，，故答案為：，，【點睛】本題考查二次根式的性質以及二次根式的乘除法運算，解題的關鍵是正確理解二次根式的性質．?題型02二次根式的加減運算29．（2023·廣東廣州·三模）計算的結果是．【答案】【分析】先把二次根式化簡，即可進行減法．【詳解】解：原式故答案為：【點睛】本題考查了二次根式的減法運算，先化簡再進行合并二次根式是解決此類問題的關鍵．30．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）計算的結果是．【答案】【分析】本題考查二次根式的加減法，先化簡，再加減，據此求解即可．【詳解】故答案為：．31．（2024·江蘇南京·模擬預測）計算．【答案】【分析】本題考查了二次根式的加減運算，先利用二次根式的性質化簡，再合并即可求解，掌握二次根式的性質和運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．32．（2024·江蘇南京·三模）計算的結果是．【答案】/【分析】本題考查了二次根式的加法運算，利用二次根式的性質先化簡，再合并同類二次根式即可，掌握二次根式的性質和運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．?題型03二次根式的混合計算33．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，二次根式的性質，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．先利用二次根式性質，化簡二次根式，再進行乘除運算，最后在進行加減運算即可求解；【詳解】解：原式＝．34．（2024·甘肅隴南·模擬預測）計算：【答案】【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，先計算二次根式的乘法運算，再合并即可；【詳解】解：35．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）根據二次根式的加減混合運算解答即可．（2）根據二次根式的四則混合運算計算即可．【詳解】（1）解：．（2）．36．（2024·上海·模擬預測）計算：【答案】2019【分析】本題主要考查了分母有理化、平方差公式的應用等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．將原式整理為，化簡后利用平方差公式求解即可．【詳解】解：原式．?題型04二次根式的有理化37．（2023·四川成都·模擬預測）設的整數部分，小數部分為，則，．【答案】【分析】本題考查了無理數的整數部分和小數部分，以及估算無理數大小，先把式子分母有理化，再估算出所在范圍，再根據化簡后的式子進行變形，即可解題．【詳解】解：，，，，，的整數部分，小數部分為，，．故答案為：2，．38．（2024·遼寧盤錦·一模）閱讀理解材料：把分母中的根號化掉叫做分母有理化，例如：①；②等運算都是分母有理化，根據上述材料，計算：．【答案】/【分析】此題主要考查了分母有理化以及二次根式的混合運算，直接利用二次根式的性質化簡得出答案，正確化簡二次根式是解題關鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．39．（2023·江蘇蘇州·一模）若表示不超過的最大整數，，則______．【答案】【分析】先根據零指數冪和分母有理化得到，然后根據表示不超過x的最大整數得到．【詳解】解：，那么，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查了取整計算：表示不超過x的最大整數．也考查了分母有理化和零指數冪．40．（2023·湖北黃岡·模擬預測）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；…根據以上等式給出的規律，計算：．【答案】/【分析】直接仿照前面三個等式，即可寫出第n個等式，根據前面已知，，的值和所求出的的值，進行計算即可解答．【詳解】解：第n個等式：，∴【點睛】本題考查了二次根式的分母有理化，發現規律，根據已知等式，找出數字變換規律是解題的關鍵．?題型05比較二次根式41．（2024·陜西咸陽·模擬預測）比較大小：（填“”“”或“”）．【答案】【分析】本題考查二次根式比較大小，先取、的絕對值，再平方，比較大小即可得到答案，熟練掌握無理數比較大小的方法是解決問題的關鍵．【詳解】解：，且，，則，1故答案為：．42．（2024·河北唐山·模擬預測）比較大小：．（填“＞”、“＜”或“＝”）【答案】【分析】此題主要考查了二次根式的大小比較，正確掌握二次根式的性質是解題關鍵．直接利用二次根式的性質比較得出答案．【詳解】解：，又，，，故答案為：43．（2024·陜西西安·三模）比較大小：（填“”、“”、“”）．【答案】【分析】本題考查比較二次根式的大小，根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小求解即可．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．44．（2024·河南南陽·模擬預測）比較大小：．（填“”“”或“”）【答案】【分析】本題考查二次根式的大小比較，先將根號外的因數移到根號內，再根據所得結果比較大小即可．【詳解】解：，，，故答案為：．?題型06二次根式的應用45．（2024·江蘇南京·二模）（n為正整數）的近似值可以這樣估算：，其中m是最接近n的完全平方數．例如：，這與科學計算器計算的結果4.8989…很接近．(1)按照以上方法，估計的近似值（精確到0.1）；(2)結合圖中思路，解釋該方法的合理性．【答案】(1)6.6(2)見解析【分析】本題考查的是無理數的估算，新定義的含義，完全平方公式的應用，理解新定義的含義是解本題的關鍵；（1）根據新定義的法則進行估算即可．（2）設，其中，再變形，結合完全平方公式可得結論．【詳解】（1）解：由新定義可得：；（2）解：設，其中．則．將兩邊平方，得．∵，∴

的值會更接近于0，不妨近似為0．∴

．∴，即．46．（2023·江蘇·二模）問題：已知實數a、b、c滿足，且，求證：．小明在思考時，感覺無從下手，就去請教學霸小剛,小剛審題后思考了片刻，對小明說：我們可以構造一個一元二次方程，利用一元二次方程根與系數的關系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參考：令，則，原等式可變形為關于x的一元二次方程：．可以發現：．從而可知構造的方程兩個根分別是1和利用根與系數的關系得：_____；_____；…請你根據小剛的思路完整地解答本題．【答案】；；見解析【分析】令，則，原等式就可變為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出代數式的值．【詳解】解：令，則，原等式可變形為關于x的一元二次方程：．可以發現：．從而可知構造的方程兩個根分別是1和.利用根與系數的關系得：；；∴．【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，根據題意確定一元二次方程，得到方程的兩個根，再由根與系數的關系用兩根之和與兩根之積表示代數式中的分式，代入代數式求出代數式的值．47．（2024·廣東肇慶·一模）【發現問題】由得，；如果兩個正數，，即，，則有下面的不等式：，當且僅當時取到等號．【提出問題】若，，利用配方能否求出的最小值呢？【分析問題】例如：已知，求式子的最小值．解：令，則由，得，當且僅當時，即時，式子有最小值，最小值為4．【解決問題】請根據上面材料回答下列問題：（1）__________（用“”“”“”填空）；當，式子的最小值為__________；【能力提升】（2）用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（3）如圖，四邊形的對角線、相交于點，、的面積分別是8和14，求四邊形面積的最小值．【答案】（1），2；（2）當長、寬分別為8米，4米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米；（3）四邊形面積的最小值為【分析】本題考查了配方法在最值問題中的應用，同時本題還考查了等高三角形的在面積計算中的應用．（1）當時，按照公式（當且僅當時取等號）來計算即可；當時，，，則也可以按公式（當且僅當時取等號）來計算；（2）設這個長方形花園靠墻的一邊的長為米，另一邊為米，則，可得，推出籬笆長，利用題中結論解決問題即可（3）設，已知，，則由等高三角形可知：，用含的式子表示出來，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數即可．【詳解】解：（1）∵，且，∴；當時，，故答案為：，2；（2）設這個長方形花園靠墻的一邊的長為米，另一邊為米，則，，這個籬笆長米，根據材料可得，，當時，的值最小，或（舍棄），，∴當長、寬分別為8米，4米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米．（3）設，已知，，則由等高三角形可知：，，，四邊形面積當且僅當，即時，取等號，四邊形面積的最小值為．48．（2023·山東濟寧·二模）探究問題：探究與的大小關系．(1)觀察猜想：與的大小關系是______．(2)計算驗證：當時，與的大小關系是______；當時，與的大小關系是______．(3)推理證明：如圖，以為直徑作半圓O，點C半圓上一動點，過C作于點D，設，．先用含a，b的式子表示出線段，再寫出他們（含a，b的式子）之間存在的大小關系．

(4)實踐應用：要制作一個面積為1平方米的矩形，請直接利用探究得出的結論，求矩形周長的最小值．【答案】(1)(2)；(3)；(4)矩形周長的最小值為4．【分析】（1）根據題意作出猜想即可；（2）代入數據，計算即可得出答案；（3）易得，再通過證明，利用相似比得，根據直角邊與斜邊的關系得（當C點為半圓的中點時取等號），所以；（4）設矩形的兩邊分別為a、b，則，利用得，即，所以，于是可得矩形周長的最小值．【詳解】（1）解：猜想：與的大小關系是．故答案為：；（2）解：當時，，，∴；當時，，，∴．故答案為：；；（3）解：∵為直徑，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵（當C點為半圓的中點時取等號），∴；（4）解：設矩形的兩邊分別為a、b，則，∵，∴，即，∴，∴矩形周長的最小值為4．【點睛】本題考查了二次根式的應用，熟練掌握圓周角定理、相似三角形的判定與性質；體會由于幾何的方法比較代數式的大小．基礎鞏固一、單選題1．（2024·廣東肇慶·二模）計算的結果為（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了二次根式的乘法，根據二次根式的乘法運算法則進行計算即可求解．【詳解】，故選：B．2．（2024·廣東清遠·二模）要使代數式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵．根據二次根式的被開方數是非負數即可得出答案．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：B．3．（2024·廣東廣州·二模）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的除法，減法，化簡二次根式，熟練掌握知識點是解題的關鍵．分別利用二次根式的除法，減法，化簡二次根式的方法進行計算即可．【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、，故本選項符合題意；D、，故本選項不符合題意．故選：C．4．（2024·廣東廣州·一模）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的運算，根據二次根式的加減，乘法計算，然后逐項判斷即可．【詳解】解：A．與不是同類二次根式，不可以合并，故運算錯誤；B．，故原運算錯誤；C．5與不是同類二次根式，不可以合并，故運算錯誤；D．，故原運算正確，故選：D．5．（2024·廣東江門·一模）若x、y為實數，且滿足，則的值為（

）A．1或 B．1 C． D．無法確定【答案】B【分析】此題主要考查了二次根式以及偶次方的性質，根據非負數的性質列式求出x，y的值，然后代入代數式進行計算即可得解．【詳解】解：，，即，，，故選：B．6．（2024·廣東深圳·一模）估算的結果（

）A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間【答案】D【分析】本題考查二次根式的運算，無理數的估算，先進行乘法計算，再進行無理數的估算即可得出結果．【詳解】解：，∵，∴；故選D．7．（23-24九年級上·河南駐馬店·階段練習）使等式成立的x的取值范圍在數軸上可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式組求解即可．【詳解】解：由題意可知：,解得：,故選：．【點睛】題目主要考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是熟練運用二次根式有意義的條件．二、填空題8．（2024·廣東·模擬預測）若恒有式子，則實數的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查二次根式的性質，根據，列出不等式求解即可．【詳解】解：，，解得：，故答案為：．9．（2024·廣東揭陽·三模）已知函數，則自變量x的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了求函數自變量的取值范圍、二次根式有意義以及分式有意義的條件，根據二次根式有意義的條件得出，求解即可得出答案．【詳解】解：由題意得，解得：，故答案為：．10．（2024·廣東廣州·一模）如圖，數軸上點、表示的數分別為、，化簡：．

【答案】【分析】本題考查了實數與數軸，二次根式的性質，化簡絕對值；根據數軸可得，進而根據絕對值的意義，二次根式的性質化簡，即可求解．【詳解】解：根據數軸可得，∴，故答案為：．11．（2024·廣東茂名·一模）計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除法運算，根據法則計算即可．【詳解】解：故答案為：．12．（2023·廣東清遠·二模）設，為實數，且，則的值是．【答案】【分析】根據二次根式的定義得到的值，再利用乘方的運算法則即可解答．【詳解】解：∵，為實數，且，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的定義，乘方的運算法則，掌握二次根式的定義是解題的關鍵．三、解答題13．（2024·廣東中山·三模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查分式的化簡求值，分母有理化，通分計算括號內，除法變乘法，約分化簡后，代值計算即可．【詳解】解：原式，當時，原式．14．（2024·廣東江門·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】本題主要考查分式的混合運算以及二次根式的化簡求值，先將原式除法轉換為乘法，約分后再通分計算得到最簡結果后代入求值即可【詳解】解：；當時，原式．15．（2024·廣東梅州·模擬預測）先化簡，再求值，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值、分母有理化，括號內先通分，再將除法轉化為乘法，約分即可化簡，代入計算即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．【詳解】解：，當時，原式．16．（2024·廣東佛山·一模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解答本題的關鍵．先把括號里通分，再把除法轉化為乘法，并把分子分母分解因式約分化簡，最后把所給字母的值代入計算．【詳解】解：，當時，原式．能力提升一、單選題1．（2022·廣東深圳·一模）設的整數部分為，小數部分為，則的值是（

）A．6 B． C．1 D．-1【答案】D【分析】先估算出的值，求出a，b的值，然后代入式子中進行計算即可．【詳解】解：∵3＜＜4，∴7-的小數部分為b，整數部分為3，∴a=3，b=4-；∴==-1．故選：D．【點睛】本題考查了估算無理數的大小，實數的運算，準確熟練地求出a，b的值是解題的關鍵．2．（2024·廣東廣州·一模）若，則關于的方程根的情況是（

）A．無實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個實數根 D．有兩個不相等的實數根【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的性質、一元二次方程根的判別式．根據二次根式有意義的條件得到，再根據二次根式的性質化簡得到，則利用絕對值的意義得到，即可得到k的取值范圍為，由，即可判斷方程有兩個實數根．【詳解】解：由題意知，,解得，，∵；∴，∴，∴，∴，綜上可知，k的取值范圍為，∵，∴，∴方程有兩個實數根，故選：C．3．（2022·廣東佛山·三模）如圖，把一張矩形紙片按如圖所示方法進行兩次折疊后，恰好是等腰直角三角形，若，則的長度為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據翻折過程補全圖形，然后根據矩形的性質和勾股定理即可解決問題．【詳解】解：由折疊補全圖形如圖所示，四邊形是矩形，，，，由第一次折疊得：，，，，在中，根據勾股定理得，，由第二次折疊知，，，，．故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質，等腰直角三角形，解決本題的關鍵是掌握翻折的性質．4．（2021·廣東·中考真題）設的整數部分為a，小數部分為b，則的值是（

）A．6 B． C．12 D．【答案】A【分析】首先根據的整數部分可確定的值，進而確定的值，然后將與的值代入計算即可得到所求代數式的值．【詳解】∵，∴，∴的整數部分，∴小數部分，∴．故選：．【點睛】本題考查了二次根式的運算，正確確定的整數部分與小數部分的值是解題關鍵．5．（2021·廣東江門·一模）已知，則的值為（

）A．6 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據二次根式的性質求出a=13，得到b=-10，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴a-13=0，∴a=13，∴b=-10，∴=，故選：A．【點睛】此題考查二次根式的性質，化簡二次根式，正確掌握二次根式的性質是解題的關鍵．二、填空題6．（2024·廣東湛江·二模）計算：．【答案】/【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式混合運算的運算順序以及二次根式化簡的方法．先算除法，再化簡二次根式即可．【詳解】解：，，，；故答案為：．7．（2024·廣東中山·一模）計算：的結果為．【答案】1【分析】本題主要考查了二次根式的乘法、平方差公式等知識點，掌握二次根式的乘法法則成為解題的關鍵．【詳解】解：．故答案為：1．8（2022·廣東廣州·三模）已知x2＝2x+15，則代數式=．【答案】或【分析】直接將原式分解因式，再把x的值代入進而計算得出答案．【詳解】解：＝＝2x×＝．∵，∴，（x﹣5）（x+3）＝0，∴x＝5或x＝﹣3．當x＝5時，原式＝4；當x＝﹣3時，原式＝．【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確運用乘法公式是解題關鍵．9．（2022·廣東潮州·一模）將按如圖所示方式排列，若規定表示第排從左往右第個數，則表示的數是【答案】【分析】根據數的排列方法可知，第一排：個數，第二排個數．第三排個數，第四排個數，…第排有個數，從第一排到排共有：…個數，根據數的排列方法，每四個數一個輪回，根據題目意思找出第排第個數到底是哪個數后再計算．【詳解】解：表示第排從左向右第個數，可以看出奇數排最中間的一個數都是，，，則所表示的數是，故答案為．【點睛】此題主要考查了數字的變化規律，這類題型在中考中經常出現．判斷出所求的數是第幾個數是解決本題的難點；得到相應的變化規律是解決本題的關鍵．三、解答題10．我們已經學過完全平方公式，知道所有的非負數都可以看作是一個數的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：例：求的算術平方根．解：，的算術平方根是．你看明白了嗎？請根據上面的方法化簡：(1)(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的混合運算以及完全平方公式；（1）將變形為完全平方式的形式，然后開平方即可；（2）先化簡，再化簡原式即可得出答案；（3）分別化簡，合并同類二次根式即可得出答案．【詳解】（1）解：原式