PAGEPAGE1專題05二次函數(shù)與冪函數(shù)考綱要求:1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12，y＝eq\f(1,x)的圖象，了解它們的改變狀況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡潔問題．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.冪函數(shù)的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式.2.若冪函數(shù)y＝xαα∈R是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù).當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時，一般先將其化為根式，再推斷.3.若冪函數(shù)y＝xα在0，＋∞上單調(diào)遞增，則α＞0，若在0，＋∞上單調(diào)遞減，則α＜0.4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是敏捷選取二次函數(shù)解析式的形式，選法如下：5.二次函數(shù)的最值問題的類型及求解方法1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動.2)求解方法：抓住“三點一軸”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，具體方法是利用配方法、函數(shù)的單調(diào)性及分類探討的思想求解.6.二次函數(shù)中恒成立問題的求解思路由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分別參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是a≥f(x)?a≥fxmax，a≤f(x)高考考題題例分析：例1(2024·全國卷Ⅲ)已知a＝2eq\s\up12(eq\f(4,3))，b＝3eq\s\up12(eq\f(2,3))，c＝25eq\s\up12(eq\f(1,3))，則()A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜bA解析：a＝2eq\s\up12(eq\f(4,3))＝4eq\s\up12(eq\f(2,3))，b＝3eq\s\up12(eq\f(2,3))，c＝25eq\s\up12(eq\f(1,3))＝5eq\s\up12(eq\f(2,3)).∵y＝xeq\s\up12(eq\f(2,3))在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.]例2.【2015高考浙江，理18】已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.（1）證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)，滿意，求的最大值.【答案】（1）詳見解析；（2）.具體解析：（1）由，得對稱軸為直線，由，得，故在上單調(diào)，∴，當(dāng)時，由，得，即，當(dāng)時，由，得，即，綜上，當(dāng)時，；（2）由得，，故，，由，得，當(dāng)，時，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為..【考點定位】1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.分類探討的數(shù)學(xué)思想.邏輯推理實力與運算求解實力，在復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注。二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí)題（時間90分鐘，滿分100分）一、選擇題（每題5分，共60分）1．y＝x2，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝(x－1)2，y＝x，y＝ax(a＞1)，上述函數(shù)是冪函數(shù)的有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個C解析：只有y＝x2，y＝x是冪函數(shù)，故選C．2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,20)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)，0))C解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－20a＜0，))得a＞eq\f(1,20).3．函數(shù)y＝eq\r(3,x2)的圖象大致是()4.函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是()A．－1 B．2C．3 D．－1或2B解析：由題知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,m>0，))解得m＝2.故選B.5．函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5，當(dāng)x∈[－2，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，－2]時，f(x)是減函數(shù)，則f(1)的值為()A．1 B．25C．17 D．-7B解析：函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5圖象的對稱軸為直線x＝m8，由函數(shù)f(x)的增減區(qū)間可知m8＝－2，∴m＝－16，即f(x)＝4x2＋16x＋5，∴f(1)＝4＋16＋5＝6．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，則()A．a(chǎn)＞0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)＜0,4a＋b＝0C．a(chǎn)＞0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)＜0,2a＋b＝07．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，假如a>b>c且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是()D解析：由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，則eq\f(c,a)＜0，∴函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)之積為負(fù)數(shù)，即兩個交點分別位于x軸的正半軸和負(fù)半軸，故解除B，C.又f(0)＝c＜0，∴也解除A.8．若函數(shù)f(x)＝x2+mx+m在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實數(shù)m等于()A．－1 B．1C．2 D．－2A解析∵函數(shù)f(x)＝x2+mx+m的圖象為開口向上的拋物線，∴函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點取得．∵f(0)＝m,f(2)＝4+3m，∴m≥4+3m,m=1,或m9.設(shè)abc＞0，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()D解析：由A，C，D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴對稱軸x＝－eq\f(b,2a)＞0，知A，C錯誤，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－eq\f(b,2a)＜0，B錯誤．10.若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，則a的取值集合為()A．[－3,3] B．[－1,3]C．{－3,3} D．{－1，－3,3}11．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)·xeq\s\up7(4m9－m5－1)是冪函數(shù)，對隨意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿意eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，則f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法推斷A解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xeq\s\up7(4m9－m5－1)是冪函數(shù)，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時，指數(shù)4×29－25－1＝2015＞0，滿意題意．當(dāng)m＝－1時，指數(shù)4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不滿意題意，∴f(x)＝x2015.∴冪函數(shù)f(x)＝x2015是定義域R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù)．又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b，又ab＜0，不妨設(shè)b＜0，則a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0，又f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故選A.12．已知函數(shù)f(x)＝x2－πx，α，β，γ∈(0，π)，且sinα＝eq\f(1,3)，tanβ＝eq\f(5,4)，cosγ＝－eq\f(1,3)，則()A．f(α)＞f(β)＞f(γ) B．f(α)＞f(γ)＞f(β)C．f(β)＞f(α)＞f(γ) D．f(β)＞f(γ)＞f(α)二、填空題（每題5分，共20分）13．已知點(eq\r(2)，2)在冪函數(shù)y＝f(x)的圖象上，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(1,2)))在冪函數(shù)y＝g(x)的圖象上，若f(x)＝g(x)，則x＝________.±1解析：由題意，設(shè)f(x)＝xα，則2＝(eq\r(2))α，得α＝2，設(shè)g(x)＝xβ，則eq\f(1,2)＝(－eq\r(2))β，得β＝－2.由f(x)＝g(x)，得x2＝x－2，解得x＝±1.14．已知二次函數(shù)y＝x2＋2kx＋3－2k，則其圖象的頂點位置最高時對應(yīng)的解析式為________．y＝x2－2x＋5解析：y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以圖象的頂點坐標(biāo)為(－k，－k2－2k＋3)．因為－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以當(dāng)k＝－1時，頂點位置最高．此時拋物線的解析式為y＝x2－2x＋5.15．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝(x－1)2，若當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))時，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為________．1解析：當(dāng)x＜0時，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2.∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，∴m≥1，n≤0，m－n≥1，∴m－n的最小值是1.16．已知函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上為增函數(shù)，那么f(2)的取值范圍是________.[7，＋∞)解析：函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上為增函數(shù)，由于其圖象(拋物線)開口向上，所以其對稱軸為x＝eq\f(a－1,2)或與直線x＝eq\f(1,2)重合或位于直線x＝eq\f(1,2)的左側(cè)，即應(yīng)有eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.三、解答題（每題10分，共20分）17．已知冪函數(shù)f(x)＝xeq\s\up7((m2＋m)－1)(m∈N*)經(jīng)過點(2，eq\r(2))，試確定m的值，并求滿意條件f(2－a)＞f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍.18．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的取值范圍．解析：(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝－1，,f－1＝a－b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))所以f(x)＝x2＋2x＋1，由f(x)＝(x＋