北師大版九年級數學下冊《2.4二次函數的應用》同步檢測題（附

答案）

學校:班級：姓名：學號：

一.選擇題（共6小題）

1.如圖，若被擊打的小球飛行高度力（單位：m）與飛行時間/（單位：s）具有

函數關系為人=20-4尸，則小球從飛出到落地的所用時間為（）

2.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度力（單位：加）與小球的運動時間/

（單位：s）之間的關系式是/z=30「5P,則小球從拋出到落地所需要的時間

是（）

3.要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個

噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高

度為3機，水柱落地處離池中心3機，則水管的長為（）

B.2mD.1m

4.如圖，用總長度為12m的不銹鋼材料設計成如圖所示的外觀為矩形的框架,

所有橫檔和豎檔分別與AD,A3平行，則矩形框架ABCD的最大面積為（）

J

A.B.6帆'C.8mD.

5.如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的矩形菜

第1頁共16頁

園A3CD,設A3邊長為x米,3C的長y米,菜園的面積為S（單位:平方米）.當

x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x,S與x滿足的

函數關系分別是（）

q菜園f

A'-------------'B

A.一次函數關系，二次函數關系

B.反比例函數關系，二次函數關系

C.一次函數關系，反比例函數關系

D.反比例函數關系，一次函數關系

6.一個乒乓球從光滑斜面自由滾下的路程y（米）與時間x（秒）的平方成正比

例，當乒乓球滾下3米時，經過的時間為1.5秒，當x=2時，該乒乓球所經

過的路程為（）

A.5米B.■米C.］米D.1米

二.填空題（共6小題）

7.如圖1,某建筑物的屋頂設計成橫截面為拋物線形（曲線ACB）的薄殼屋頂.已

知它的拱寬A3為4米，拱高C。為0.8米.為了畫出符合要求的模板，通常

要先建立適當的平面直角坐標系，求表達式.如圖2是以A3所在的直線為x

軸，0c所在的直線為y軸建立的平面直角坐標系，則圖2中的拋物線的解析

式為.

8.把一個小球以20機/s的速度豎直向上彈出，它在空中的高度〃（機）與時間/

（s）滿足關系：h=20t-5t1.當丸=15時，小球的運動時間為s.

第2頁共16頁

9.漪汾橋是太原市首座對稱雙七拱吊橋，每個橋拱可近似看作拋物線.如圖是

其中一個橋拱的示意圖，拱跨AB=60m,以A3的中點。為坐標原點，A3所

在直線為x軸，過點。垂直于A3的直線為y軸建立平面直角坐標系，通過

測量得AE=2m,DELAB且DE=1.16m,則橋拱（拋物線）的函數表達式

為.

10.某座石拱橋的橋拱近似拋物線形，以拱頂。為原點，建立如圖所示的平面

直角坐標系，則其解析式為y=-4/,當水面寬度A3是10米時，水面到拱

頂的高度OC是米.

11.飛行中的炮彈經x秒后的高度為y米，且高度與時間的關系為丁=以2+法+。

（aWO）,若此炮彈在第7秒與第13秒時的高度相等，則炮彈在最高處的時

間是第秒.

12.根據物理學規律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成

30°角的方向擊出，小球的飛行高度力（單位：m）與飛行時間f（單位：s）

之間的函數關系是：力=-5尸+203則小球運動中的最大高度是m.

三.解答題（共4小題）

13.鎮江香醋受百姓喜愛，某商場平均每天賣出600份香醋禮盒，賣出1份禮盒

的利潤是10元，經發現，每份禮盒售價每漲1元，平均每天少賣10份，為

了使每天獲取的利潤更多，該商場決定將售價上調.

（1）如果每份禮盒售價上漲X元,那么每份禮盒的利潤為元，

該商場平均每天可賣出禮盒份;（結果用含x的代數式表示）

（2）為了控制價格，要求一份禮盒獲利不超過20元，則每份禮盒售價上漲

多少元時，該商場每天獲得的利潤最大？

第3頁共16頁

14.如圖1所示是一座古橋，橋拱截面為拋物線，如圖2,AO,3C是橋墩，橋

的跨徑A3為20口，此時水位在0C處，橋拱最高點P離水面6加在水面以

上的橋墩A。，都為2%以0C所在的直線為x軸、A。所在的直線為y

軸建立平面直角坐標系，其中x（加）是橋拱截面上一點距橋墩A。的水平距

離，y（m）是橋拱截面上一點距水面。。的距離.

（1）求此橋拱截面所在拋物線的表達式；

（2）有一艘游船，其左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，此船正

對著橋洞在河中航行.當水位上漲2機時，水面到棚頂的高度為3處遮陽棚

寬12m,問此船能否通過橋洞？請說明理由.

15.網絡直播已經成為一種熱門的銷售方式，某銷售商在一銷售平臺上進行直播

銷售板栗.已知板栗的成本價為10元伙g,每日銷售量y（依）與銷售單價x

（元/版）滿足一次函數關系，如表記錄的是有關數據，經調查發現銷售單價

不低于成本價且不高于24元/依.設銷售板栗的日獲利為w（元）.

X（兀/依）17181920

y(kg)230220210200

（1）求日銷售量y與銷售單價x之間的函數解析式；

（2）當銷售單價定為多少時，銷售這種板栗日獲利攻最大？最大利潤為多少

元？

16.

制作簡易水流裝置

設計方案如圖，CD是進水通道，A3是出水通

道，OE是圓柱形容器的底面直徑，從

CD將圓柱形容器注滿水，內部安裝調

節器，水流從5處流出且呈拋物線

第4頁共16頁

型.以點。為坐標原點，E。所在直線

為x軸，。4所在直線為y軸建立平面

直角坐標系xOy,水流最終落到x軸上

的點M處.

示意圖為卜

0D1

B

A

v---

E、-----

0Mx

已知軸，AB=5cm,OM=15cm9點

5為水流拋物線的頂點，點A、B、0、

E、M在同一平面內，水流所在拋物線

的函數表達式為p二加+法+躇（oWO）

任務一求水流拋物線的函數表達式；

任務二現有一個底面半徑為3cm,高為10cm

的圓柱形水杯，將該水杯底面圓的圓

心恰好放在〃處，水流是否能流到圓

柱形水杯內？請通過計算說明理由；

（圓柱形水杯的厚度忽略不計）

任務三還是任務二的水杯，水杯的底面圓的

圓心P在X軸上運動，為了使水流能

流到圓柱形水杯內，求出OP長的取值

范圍.

請根據活動過程完成任務一、任務二和任務三.

參考答案與試題解析

題號123456

答案CAAAAB

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一.選擇題（共6小題）

1.如圖，若被擊打的小球飛行高度力（單位：m）與飛行時間/（單位：s）具有

函數關系為人=20-4尸，則小球從飛出到落地的所用時間為（）

【分析】當小球落地時，則/2=0,于是得20「4戶=0,解方程求出符合題意

的人的值即得到問題的答案.

【解答】解：拋物線力=20/-4產，當h=Q時，則20-4尸=0,

解得力=5,/2=0（不符合題意，舍去），

?.?小球從飛出到落地的所用時間為5s,

故選：C.

2.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度//（單位：m）與小球的運動時間/

（單位：s）之間的關系式是/z=30「5P,則小球從拋出到落地所需要的時間

是（）

A.6sB.4sC.3sD.2s

【分析】由小球落地，即小球的高度h=0,代入關系式，解方程即可得出結

果.

【解答】解：根據題意得30L5產=0,

解得t=6或t=0,

r=0時，即小球還未拋出的時刻，舍去，

答：小球從拋出到落地所需要的時間是6秒，

故選：A.

3.要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個

噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高

度為3機，水柱落地處離池中心3機，則水管的長為（）

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【分析】利用頂點式求得拋物線的解析式，再令尤=0,求得相應的函數值,

即為所求的答案.

【解答】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標系,

由題意可知點（1,3）是拋物線的頂點,

???設這段拋物線的解析式為丁=。（%-1）2+3.

該拋物線過點（3,0）,

解得：＜7=-1

4

,當x=0時，y=-jx(0-1)2+3=-7+3=7,

9

???水管應長一帆.

4

故選：A.

4.如圖，用總長度為12m的不銹鋼材料設計成如圖所示的外觀為矩形的框架,

所有橫檔和豎檔分別與平行，則矩形框架A5C。的最大面積為（）

4----------------Q

第7頁共16頁

【分析】用含x的代數式（12-3X）+3=4-X表示橫檔AD的長，然后根據

矩形面積公式得到二次函數，利用二次函數的性質，求出矩形的最大面積.

【解答】解：???川為x米，則4。=絲券=4-%,

S長方形框架ABCO=ABXAD=-x2+4x=-（x-2）2+4,

當x=2時，S取得最大值4；

???長方形框架ABCD的面積S最大為4m2.

故選：A.

5.如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的矩形菜

園ABCD,設A3邊長為x米,的長y米,菜園的面積為S（單位:平方米）.當

x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x,S與x滿足的

函數關系分別是（）

墻

.菜園f

------------------'5

A.一次函數關系，二次函數關系

B.反比例函數關系，二次函數關系

C.一次函數關系，反比例函數關系

D.反比例函數關系，一次函數關系

【分析】先根據AD+AB+3C=30得出y=-1+15；再根據矩形的面積公式列

出S關于x的函數關系式，從而得出結論.

【解答】解："：AB=x,BC=AD=y,AD+AB+BC=30,

.,.2y+x=3Q,

即y=粉（30-x）=—^x+15>

???丁與x滿足的函數關系是一次函數；

S=AB*B（—xy=x（-■^■x+15）=-$^+15x,

??.S與x滿足的函數關系是二次函數.

故選：A.

6.一個乒乓球從光滑斜面自由滾下的路程y（米）與時間x（秒）的平方成正比

第8頁共16頁

例，當乒乓球滾下3米時，經過的時間為1.5秒，當x=2時，該乒乓球所經

過的路程為()

A.5米B.■米C.］米D.1米

【分析】先由待定系數法求出函數關系式，再代入x=2即可求出結論.

【解答】解：設丁=。/,

將(1.5,3)代入上式得：3=2.25a,

解得：a=g,

則函數的表達式為：y=#,

422

--X-163

當尤=2時,3

即乒乓球所經過的路程是5米，

故選：B.

二.填空題(共6小題)

7.如圖1,某建筑物的屋頂設計成橫截面為拋物線形(曲線ACB)的薄殼屋頂.已

知它的拱寬A3為4米，拱高C。為0.8米.為了畫出符合要求的模板，通常

要先建立適當的平面直角坐標系，求表達式.如圖2是以A3所在的直線為x

軸，OC所在的直線為y軸建立的平面直角坐標系，則圖2中的拋物線的解析

式為y=-0.2V+0.8.

圖1圖2

【分析】根據題意可得5(2,0),C(0,0.8),設函數解析式為：y=ax2+0.S,

將點B的坐標代入求出。的值即可得出結論.

【解答】解：如圖，由題意可知，則3(2,0),C(0,0.8),

設函數解析式為：y=af+0.8,

第9頁共16頁

將（2,0）代入得出：

0=4t?+0.8,

解得：a=-0.2,

則拋物線解析式為：y=-0.2f+0.8.

故答案為：y=-0.2爐+0.8.

8.把一個小球以20/n/s的速度豎直向上彈出，它在空中的高度"（加）與時間/

（s）滿足關系：h=20t-5t2.當人=15時，小球的運動時間為1或3s.

【分析】把人=15代入關系式得求解即可.

【解答】解：把人=15代入關系式力=20「5戶得：

20/-5?-15=0,

/=1或t=3,

故答案為：1或3.

9.漪汾橋是太原市首座對稱雙七拱吊橋，每個橋拱可近似看作拋物線.如圖是

其中一個橋拱的示意圖，拱跨A3=60m,以A3的中點。為坐標原點，A3所

在直線為x軸，過點。垂直于A3的直線為y軸建立平面直角坐標系，通過

測量得AE=2m,DE±AB^.DE=1.16m,則橋拱（拋物線）的函數表達式為

y=-0.01%2+9.

%

C

OE工

【分析】根據題意得到A、B、E的坐標，設拋物線解析式為y=a（x+30）（x

-30）,將E的坐標代入解析式求出。的值，即可得到拋物線解析式.

【解答】解：?拱跨A3=60加以A3的中點。為坐標原點，

.\AO=BO=30m,

...A的坐標為（30,0）,3的坐標為（-30,0）,

設拋物線解析式為y=。（x+30）（%-30）,

'：AE=2m,DELAB且DE=1.16m,

：.OE=AO-AE=30-2=28m,

?..E的坐標為（28,1.16）,

第10頁共16頁

：.a(28+30)(28-30)=1.16,

解得a=-0.01,

??.拋物線解析式為y=-0.01(x+30)(x-30)=-0.01x2+9,

故答案為：y=-0.01f+9.

10.某座石拱橋的橋拱近似拋物線形，以拱頂。為原點，建立如圖所示的平面

直角坐標系，則其解析式為y=當水面寬度A3是10米時，水面到拱

【分析】根據題意，把x=5直接代入解析式即可解答.

【解答】解：???水面的寬度A3為10米，

的橫坐標為5,

把x=5代入y=

得尸J

：.B(5,

OC=jm.

故答案為：

4

11.飛行中的炮彈經X秒后的高度為y米，且高度與時間的關系為丁=奴2+法+。

(aWO),若此炮彈在第7秒與第13秒時的高度相等，則炮彈在最高處的時

間是第10秒.

【分析】根據題意和二次函數的圖象具有對稱性，可以求得炮彈在最高處的

時間.

【解答】解：???高度與時間的關系為y=a^+bx+c(aWO),此炮彈在第7秒

與第13秒時的高度相等，

???炮彈在最高處的時間是第等=10(秒)，

第11頁共16頁

故答案為：10.

12.根據物理學規律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成

30°角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：機）與飛行時間/（單位：s）

之間的函數關系是：〃=-5尸+203則小球運動中的最大高度是20m.

【分析】把二次函數解析式化為頂點式，即可得出結論.

【解答】解：h=-5產+20/=-5G-2）2+20,

：-5<0,

?,.當/=2時，〃有最大值，最大值為20,

故答案為：20.

三.解答題（共4小題）

13.鎮江香醋受百姓喜愛，某商場平均每天賣出600份香醋禮盒，賣出1份禮盒

的利潤是10元，經發現，每份禮盒售價每漲1元，平均每天少賣10份，為

了使每天獲取的利潤更多，該商場決定將售價上調.

（1）如果每份禮盒售價上漲X元，那么每份禮盒的利潤為（10+X）元,

該商場平均每天可賣出禮盒（600-10x）份;（結果用含x的代數式表示）

（2）為了控制價格，要求一份禮盒獲利不超過20元，則每份禮盒售價上漲

多少元時，該商場每天獲得的利潤最大？

【分析】（1）根據題意列式即可；

（2）設每份禮盒售價上漲x元時，該商場每天獲得的利潤為y元，根據題意

得到函數解析式，根據二次函數的性質即可得到結論.

【解答】解：（1）如果每份禮盒售價上漲x元，那么每份禮盒的利潤為（10+x）

元，該商場平均每天可賣出禮盒（600-10%）份；

故答案為：（10+x）,（600-10x）；

（2）設每份禮盒售價上漲x元時，該商場每天獲得的利潤為y元，

根據題意得，y=（10+x）（600-10x）=-10f+500x+6000=-10（x2-50x

-600）=-10（x-25）2+12250,

獲利不超過20元，

???當x=10時，商場每天獲得的利潤最大.

14.如圖1所示是一座古橋，橋拱截面為拋物線，如圖2,AO,3C是橋墩，橋

第12頁共16頁

的跨徑A3為20加，此時水位在0C處，橋拱最高點P離水面6冽，在水面以

上的橋墩A。，3C都為2%以0C所在的直線為x軸、A。所在的直線為y

軸建立平面直角坐標系，其中x(機)是橋拱截面上一點距橋墩A。的水平距

離，y(m)是橋拱截面上一點距水面。。的距離.

(1)求此橋拱截面所在拋物線的表達式；

(2)有一艘游船，其左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，此船正

對著橋洞在河中航行.當水位上漲2機時，水面到棚頂的高度為3處遮陽棚

寬12機，問此船能否通過橋洞？請說明理由.

【分析】(1)先求出點A,點5,點尸的坐標，再把拋物線解析式設為頂點式

進行求解即可；

(2)求出當y=5時x的值，然后計算出兩個對應的x的值之間的差的絕對值

即可得到答案.

【解答】解：(1)由題意知，A(0,2),P(10,6),B(20,2),

設拋物線解析式為y=a(x-10)2+6,

把A(0,2)代入解析式得，100a+6=2,

解得a=-克，

???此橋拱截面所在拋物線的表達式為y=-親(x-10)2+6；

(2)此船不能通過，理由：

當y=2+3=5時，—2^(x-10)2+6=5,

解得x=5或x=15,

V15-5=10<12,

???此船不能通過橋洞.

15.網絡直播已經成為一種熱門的銷售方式，某銷售商在一銷售平臺上進行直播

銷售板栗.已知板栗的成本價為10元/4，每日銷售量y(依)與銷售單價x

第13頁共16頁

(元/注)滿足一次函數關系，如表記錄的是有關數據，經調查發現銷售單價

不低于成本價且不高于24元/依.設銷售板栗的日獲利為w(元).

X(兀/依)17181920

y(kg)230220210200

(1)求日銷售量y與銷售單價x之間的函數解析式；

(2)當銷售單價定為多少時，銷售這種板栗日獲利攻最大？最大利潤為多少

元？

【分析】(1)用待定系數法求解即可；

(2)由題意可得攻關于大的二次函數，將其寫成頂點式，然后根據二次函數

的性質可得答案.

【解答】解：(1)設y與x之間的函數關系式為y=Ax+6(—0),

把x=17,y=230和x=20,y=200代入函數關系式為尸質+0得：

(17k+b=230

l20k+b=200'

?(k=-10

F=400'

，函數關系式為y=-10x+400；

(2)Vw=(x-10)(-lOx+400)

=-10f+500x-4000

=-10(x-25)2+2250,

'：a=-10<0,對稱軸為直線x=25,越靠近對稱軸的x所對應的函數值越大

???銷售單價不低于成本價且不高于24元1kg.

：.當x=24時，w=-10X(24-25)2+2250=2240,

w有最大值為2240元.

???當銷售單價定為24元時，銷售這種板栗日獲利攻最大，最大利潤為2240

元.

16.

制作簡易水流裝置

設計方案如圖，CD是進水通道，A5是出水通

道，OE是圓柱形容器的底面直徑，從

第14頁共16頁

8將圓柱形容器注滿水，內部安裝調

節器，水流從3處流出且呈拋物線

型.以點。為坐標原點，E。所在直線

為x軸，所在直線為y軸建立平面

直角坐標系xOy,水流最終落到x軸上

的點M處.

示意圖%卜

WD,

B

A

-------

Ek-------