安徽省宿州市2024-2025學年高三上學期期末教學質量檢測數

學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1,=x=4A;+l,^eZ},5=-[x|(x+3)(x-6)<0},貝()

A.{1,5}B.{-3,1,5}C.{1,5,6)D.{-3,1,5,6)

咎（i為虛數單位），

2.若復數z滿足iz=則z=()

1+1

13.r13.

A.—1—1

2222

13.

C.D.---------1

2222

3.若tan/.]=l,

貝JsinJcos6=()

1「V3

A-4B.—V/?----D

24-T

4.將直線點龍+5了-1=0繞點（1,0）順時針旋轉]得到直線/2,則右的方程是（）

A.1一5〉一1=0B.5x+y-5=0

C.x-y-l=0D.5x-y-5=0

5.若圓錐的軸截面是邊長為1的等邊三角形，則該圓錐外接球的表面積為（）

_16-4

A.12兀B.—JiC.一兀D.兀

33

6.已知平面向量）=?/）,3=（2,0）,若B在萬方向上的投影向量為萬，則實數:（）

A.1B.-1C.2D.-2

22

7.已知橢圓。:巳+巳=1的上頂點為A,左焦點為《，線段盟的中垂線與橢圓C交于機N

兩點，則△《MN的周長為（）

A.8B.12C.16D.24

8.若函數=+一的圖象上存在兩對關于V軸對稱的點，則正實數。的

[l-x,x>0

取值范圍為（）

試卷第1頁，共4頁

A.(O,e)B.(0,2)C.(l,e)D.(2,e)

二、多選題

9.函數/(x)=sin(x+2]+sin,-x；則()

A./(X+2TI)=/(X)

B.x=：是函數y=/(x)圖象的一條對稱軸

C./(x)的最大值為2

D./[+曰是偶函數

10.已知數列｛%｝的前"項和為S,,且%=2,".用-25+l”“=0("eN+),則下列結論正

確的是()

A.｛吟｝為等比數列B.標，為等差數列

C.為等比數列D.5?=(?-1)2?+1+2

11.在橢圓(雙曲線)中，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢

圓(雙曲線)的中心，這個圓被稱為該橢圓(雙曲線)的蒙日圓.已知雙曲線

C：W-《=l(a>6>0)的蒙日圓方程為為坐標原點，點尸在雙曲線c上,

。尸與雙曲線C的蒙日圓交于點0,則()

22

A.若點P的坐標為(3,2),且。的蒙日圓的半徑為1,則。的方程為、一、=1

B.若點尸的坐標為(3,2),則C的蒙日圓面積最大值為2兀

C.|尸。的最小值為.一行下

D.若。為。尸的中點，則。的離心率的最大值為包

2

三、填空題

12.兩批同種規格的產品，第一批占25%,次品率為5%；第二批占75%,次品率為4%,

將兩批產品混合，從混合產品中任取一件，則這件產品為次品的概率為.

試卷第2頁，共4頁

13.四棱錐P-/8CD中，底面48CA是邊長為2的菱形，ZABC=120°,PA=PD=45,PB=2,

則平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為.

14.若不等式(e是自然對數的底數)對任意》eR恒成立，則當取最

a

大值時，實數。=.

四、解答題

15.已知V/3C中，B=3C,sitU=sin(25+2C).

(1)求角A；

(2)。是8c邊上一點，且CD=e,BD=仄-也，求4D的長.

16.如圖，正三棱柱/8C-4月。中，/8=2,CG=3,M為棱4月的中點，。，石分別為棱

N4，C￡上的點，且/D=1,CE=2.

A

(1)證明：GM〃平面8QE；

(2)求直線4月與平面BQE夾角的正弦值.

17.已知函數〃工)=詈(e是自然對數的底數)，g(x)為/⑺的導函數.

⑴求函數g(M的單調區間；

(2)若函數=,求A(x)在［0,兀］上的最小值.

18.動圓尸與圓C:x2+(y-2>=1外切，且與直線相切，記該動圓心尸的軌跡為曲

線E.過7(0,1)的直線乙與E交于48兩點，過點A作E的切線設直線44分別與直線/交

于點

試卷第3頁，共4頁

（1）求曲線E的方程；

⑵證明：”與N的橫坐標之積為定值；

⑶記AAMNQTMNQBMN的面積分別為舟邑，邑，求J+g+g的最大值.

3］02?3

19.甲，乙兩人各有〃（"煙,"?N）張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有

數字1,3,5,…,2〃-1,乙的卡片上分別標有數字2,4,6,…,2〃.兩人進行〃輪比賽，在每輪比賽

中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的得

1分，數字小的得0分，然后各自棄置此輪所選卡片（棄置的卡片在之后的輪次中不能使用）.

最終得分多的人獲勝.

（1）當〃=3時，求甲獲勝的概率；

⑵設n輪比賽后甲的總得分為隨機變量X,記P（X=k）為X=k的概率.

⑴求P（X密）；

（ii）比較尸開］］與3的大小.

試卷第4頁，共4頁

《安徽省宿州市2024-2025學年高三上學期期末教學質量檢測數學試卷》參考答案

題號12345678910

答案BDADCACDADBCD

題號11

答案ACD

1.B

【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡集合8,再根據集合交集的運算求解即可.

【詳解】因為3={x[(x+3)(x_6)V0}={x|_34尤46},

A=尤=4左+1,左eZ},

所以NcB={Tl,5}.

故選：B.

2.D

【分析】應用復數的除法和乘法運算求解.

2+i2+i(2+i)(-l-i)13.

【詳解】z=--------------1

(1+小-1+i-(-l+i)(-l-i)22.

故選：D.

3.A

57t

【分析】由題意可得e=1|+析水€Z,結合二倍角的正弦公式和誘導公式計算即可求解.

【詳解】由題意知。-^二丁+配左￡Z,得夕==■+Ml,左￡Z,

6412

tr.八八1?C711?Z2、15兀1

故smacos”=—sm2"=—sin(一+2bi)=—sin——=—.

226264

故選：A

4.D

【分析】先根據兩條直線垂直得出斜率，再應用點斜式求解直線即可.

【詳解】由題意可知，直線4與4垂直，直線4的斜率為-1，所以4的斜率為5,

又因為4過點(1,0)，所以直線4的方程為＞=5(x7),即5x-y-5=o.

故選：D.

5.C

【分析】利用勾股定理列方程，求得外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.

答案第1頁，共15頁

【詳解】由題意可知，該圓錐的底面圓半徑為;，高為業，設該圓錐外接球的半徑尺,

22

由題意知，該圓錐外接球的球心在高線上，則上=1丫+（，1_夫],解得&=正，

所以該圓錐外接球的表面積為S球=4成2=4$7r.

故選：C

6.A

【分析】根據投影向量計算公式即可求解.

a-ba2z

【詳解】B在方方向上的投影向量為開,口a

t2+\

2t2t

■a=a,???l'解得，"

*+177r

故選：A.

7.C

【分析】先根據橢圓的標準方程確定上。的值，判斷△/4乙的形狀，確定巴,N共線,

再根據橢圓的定義求△耳"N的周長.

【詳解】如圖：

由橢圓方程可知a=4,6=26，c=2.

所以卜耳|=|耳閶=[4閶=4,

所以△/耳工為等邊三角形,

因此的中垂線過月，

結合橢圓的定義，可得△《MV周長

閨叫+1與N|+\MN\=2a-\F2M\+2a-|7^2V|+\MN\=4a=16.

答案第2頁，共15頁

故選：c

8.D

【分析】分析可知，方程ln(a+x)=x+l在(-。,0)上有兩個不等的實根，由參變量分離法可

得.=尸-》，則直線>與函數8(尤)=尸-》在(-。,0)上的圖象有兩個交點，利用導數

分析函數g(x)的單調性與極值，數形結合可得出實數。的取值范圍.

【詳解】在函數I(x)=ln(a+x)(F<x<0)的圖象上取點尸(x,y),

則點P關于V軸的對稱點為。(-x,y),且0<-x<。，其中。>0,

由>=ln(a+x)=x+l,可得0+x=e句,Ma=ew-x>

所以，直線>="與函數8(無)=產|-尤在(-。,0)上的圖象有兩個交點，

因為8'卜)=尸-1,令g'(x)=0可得x=T,列表如下：

X(-8,-1)-1(T，。)

g'(x)-0+

g(x)減極小值增

所以，函數g(x)在上為減函數，在(-1,0)上為增函數，

所以，ga)mi?=g(7)=2,且g@=e,如下圖所示：

由圖可知，當2<°<e時，直線>與函數gG)=e'+i-尤在(-d0)上的圖象有兩個交點,

因此，實數。的取值范圍是(2,e).

答案第3頁，共15頁

故選：D.

【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基

本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與x軸的交點問題，突出導數的工具作用，體

現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；

(2)構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(另=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉化為直線>與函

數y=g(x)的圖象的交點問題.

9.AD

【分析】根據誘導公式和輔助角公式化簡可得〃x)=VIsin(x+含，結合正弦函數的圖象與性

質依次判斷選項即可.

【詳解】f(x)=sin(x+—)+sin(--x)=sin(x+—)+cos(x+—)=V2sin(x+-).

636612

9

A：由7=牛7r=2兀，得/(x)的最小正周期為2兀，故A正確；

B：==半，故B錯誤；

C：1(X)的最大值為百，故C錯誤；

D：又因為+=血sin[x+|^=":osx,為偶函數，故D正確.

故選：AD

10.BCD

答案第4頁，共15頁

【分析】應用已知條件化簡得出得餐=2%,得出區為等比數列，進而判斷A,B,C,

最后應用錯位相減法求和即可判斷D.

%+1

【詳解】由已知化簡得‘吟=2%，得也」=2,所以［%］為等比數列，

〃+1n%LnJ

n

所以”=?.2"T=2",因此。"=小2”,所以“°=八2"&=,

n12"an2"⑵

所以，為等比數列，，上｝為等差數列，｛“aJ不為等比數列，故A錯誤，B和C正確，

對于D選項，S,=1x21+2x2?+…+(〃-1)X2"T+〃X2",

25?=lx22+2x23+---+（M-l）x2,,+nx2,,+1,

—74-,〃+i

兩式作差，解得S〃=—2—22—23——7+nxX+l=+zix2?+14n-\2+】+：,故D正

1-2飛7

確.

故選：BCD.

11.ACD

94

【分析】對A,根據題意建立。力的方程組求解；對B,由彳―F=l，可得

a2-b2=｛a2-b2—,利用基本不等式求出a2-b2<1得解；對C,由|尸。|=\OP\~\OQ\

結合|。尸|”得解；對D,根據題意，結合C選項可得V7二F*-方，化簡結合離

心率公式求解.

【詳解】對于A,若點（3,2）在C上，則有/一去=1,又因為/一〃=1,聯立解

得02=3萬=2,故A正確;

對于B,由a?-/=(/_/).]

當且僅當/=3/2=2等號成立，所以C的蒙日圓的面積兀（1-62）4兀-1=兀，故B錯誤;

答案第5頁，共15頁

對于C,由|PQ|=|O尸當且僅當尸為雙曲線的左，右頂點時取到等號,

故C正確；

對于D,若。為線段。尸的中點，此時|尸0|=|。0|=77二？，由C選項的結論可得，

yja2-b2>a-yja2-b2，

解得與二，又/=4=1+3所以e24，故eV立，故D正確.

a24a2a242

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛:本題D選項解決的關鍵是結合C選項得到|尸0|=>a"-b?,

進而得到a,b的不等關系得解.

17

12.——/0.0425

400

【分析】由全概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】記事件4：所取的一件產品來自第中=1,2）批，記事件反所取的一件產品為次品,

]311

則尸（4）="尸（4）=“P（8⑷=方P（叫4）=天，

11a117

由全概率公式可得尸"）=尸⑷尸（5⑷+P（4）P（司4）=/久+片石=旃

17

故答案為：而

13.0.625

8

【分析】作出平面尸4。與平面尸5。的夾角，利用余弦定理求得夾角的余弦值.

【詳解】取/。的中點為E,連接PE,BE,過點尸作/〃則平面上4Oc平面PBC=/,

PA=PD,E是/。的中點，則尸￡1/。，所以/_LP￡,

連接8。，依題意可知是等邊三角形，所以

由于尸￡C\BE=E,PE,BEu平面PBE,所以4D_L平面PBE,

由于PBu平面PBE,所以4D_LP8,貝!!/_1_尸3,

所以NBPE是平面PAD與平面PBC的夾角，

答案第6頁，共15頁

在直角△口￡■中，PE=2；在△PE2中，PE=PB=2,BE=6

PB-PEZ-BE25

由余弦定理可得,cosNBPE=

2PBPE8

【分析】根據題意，令〃x)=(x-l)e「辦-6,可知當。〉0時符合題意，利用導數可得函

數/(%)的單調性和最小值/(%)=(%0—1)。"-"0-6=〃-。-人，其中令

\xo)

最小值大于或等于0,進而得解.

【詳解】由題意可知a/0,令/(x)=(x-l)e*-辦-6,

當。<0時，研究函數了=(無一1)二與》="+方的圖象,

因為V=xe￡,當xe(-8,0)時，y'<0,所以函數了=(尤-l)e*單調遞減,

當xe(O,+s)時，/>0,所以函數了=(x-l)e”單調遞增,

所以函數了=(尤-1)曠有最小值為T,

而〉=依+方為單調遞減的直線，如圖,

此時/"(x"0不恒成立，不符合題意；

當。＞0時，f\x)^xex-a,

令g(x)=/'(x)=xe*-a,g,(x)=(x+l)ex,

答案第7頁，共15頁

易知g（x）在（-8,T）上單調遞減，在（T+S）上單調遞增，

且由于函數了=（x-l）e*有最小值為-e,所以當a>0時，方程/'（無）=0有解，

設解為甚,則且毛>0,

所以函數/（X）在（-8,X。）上單調遞減，在（X。,+8）上單調遞增，

所以/'（X）的最小值為=領一%一。Xo+—卜6,

IX。J

由題意1（x）20恒成立，所以a-a1%+（]一620,

所以，41-[xo+'14-l，

aIx0）

當且僅當天=1時取等號，止匕時。=無。6'。=e.

【點睛】關鍵點點睛：利用導數可知方程/''（尤）=。有解，設解為％,則從而表示

出「（X）的最小值，進而求解.

2兀

15.（l）y;

⑵#-1.

【分析】（1）根據給定條件，利用誘導公式及二倍角公式計算得解.

（2）利用正弦定理建立方程，身后利用三角恒等變換計算得解.

【詳解】（1）在VABC中，由siib4=sin（2B+2C）,得sirU=sin（2兀-24）=-sin2A=—2siih4cos/,

又/e（0,7i）,sin/>0,則cos"-1],所以/=9學71

JI'Ji

（2）由（1）知，B+C=-,而B=3C,則C=—,設NC4O=8,

sinC=sin（----）=sin—cos---coa3—siA=-------,

4646464

Ar\瑪，則期萬丁g,

在△/CO中，由正弦定理得一二二

sinC

sin。2sin<9

BD函一回e

AD

在△45。中，由正弦定理得Zin后二~.,2TI4，則4D=-----------2_=

sin(--6?)2兀

3sin(--6>)

答案第8頁，共15頁

因此sin（M"-。）=2sin。，即Y^cose+Lsine=2sin8,整理得tan6=",

3223

又6e（0,；）,貝=所以ND=6-1.

36

16.（1）證明見解析

⑵也

2

【分析】（1）取耳。的中點N,連接MN,EN,證明GM//EN,即可證明結論;

（2）建立空間直角坐標系，利用空間角的向量求法，即可求得答案.

【詳解】（1）取用。的中點N,連接MN,EN,

A

因為M,N分別為4綜的中點，所以MN//AQ,MN=，

又因為AD=1,CE=2,CCj=3,則A.D=2,C,E=\,

則弓￡//4℃￡彳4。，

所以MN//C、E,MN=C\E,

所以四邊形跖VEG為平行四邊形，

所以C.M//EN,又O平面耳。￡,ENu平面BtDE,

所以〃平面8QE.

（2）由題意，以C為坐標原點以C4,C。所在直線為x,z軸，過點C在底面/8C內作C4的

垂線為夕軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

答案第9頁，共15頁

a二二

由已知，4(2,。,3),。(2,0,1),￡(0,0,2),4(1,6,3),

所以或=卜1,百,0),瓦=(-2,0,1),西=(-1，?2),

設平面DE4的一個法向量為4=(尤,y,z),

DE-n,=0[—2x+z=0

則，故Z7c八，

DB],ri1=。[-x++2z=0

所以可取平面的一個法向量為1=(1,-C,2),

設直線4月與平面。E4所成角為e,

則麗荷卜=~^-7==—

sin9=bos麗4|?同3

所以直線4A與平面。石4所成角的正弦值為孝.

17.(1)增區間：[2E,TI+2E],左eZ,減區間：[兀+2E,2?i+2E],左eZ；

【分析】(1)求導并根據正弦函數圖象性質即可求解；

(2)求〃(x)的導函數，并判斷其在[0,可上的正負，從而判斷力(無)的單調性，從而求得最

小值.

【詳解】(1)由已知g(x)=/(x)=*U^,所以g'(x)=1￥

令g'(x)>°，解得2左兀<%<兀+2左兀，左EZ,

令g'(x)<°，解得兀+2kli<x<2兀+2kR,左￡Z,

所以g(x)的單調遞增區間[2E,7i+2版]#eZ,

答案第10頁，共15頁

g（x）的單調遞減區間［兀+2E,2無+2E］,左eZ.

（2）由題可知，==

因為xe［O,可，所以sinxNO,

令〃（x）＞0,解得Ovx苦,

令〃（x）＜0,解得］＜X＜7I,

所以訪（x）在0看上單調遞增，在1｝兀上單調遞減,

▽11+-1+-,

，（。）=瑪＜-?（兀）=-3＞-三＞一于

所以〃（0）＜旗兀），所以的最小值為ig

18.（l）x2=8y

（2）證明見解析

⑶謹

8

【分析】（1）根據拋物線的定義求解；

（2）設4的方程為了=麻+1,/（外,乂）,5仁,%），注意用導數求得切線斜率，由直線方程得

出的橫坐標（用人表示），然后求乘積可得；

（3）由圖形得S2=；|MV|2s3=；|跖V|（%+1）,直線方程了=履+1代入

1113

拋物線方程（消去工）應用韋達定理得必+%,必％,計算審+不+不=?『由（2）不妨

MN==+

設%＞4，\\XM-XNXM—，由基本不等式得最小值，從而得不+7十三的取大

值.

【詳解】（1）由題意可知，動圓圓心尸到點（0,2）的距離比它到直線/的距離大1,

所以P到點（0,2）的距離等于它到直線了=-2的距離，

所以點P的軌跡是以點（0,2）為焦點，以直線了=-2為準線的拋物線,

設點P的軌跡方程為d=2處（p＞0）,則］=2,所以p=4,

所以動圓圓心P的軌跡方程為X?=8y.

答案第11頁，共15頁

（2）易知4的斜率必存在且不等于0,

設4的方程為歹=去+1,幺（西,乂）,8（彳2，%）,

y=kx+l-2

1，可得〃的橫坐標為切二丁，

又因為4過點A和T,所以左7二2K^-1

所以4的斜率為:拓，因此4的方程為歹-必=；X］（x-xJ,

令y=-l,可得N的橫坐標為馬=4（1乃）+&=也1_5=4后,

再玉

所以尤M，N=-8,因此”的橫坐標與N的橫坐標之積為定值.

（3）由題意,有岳=；|跖口（必+1）,$2=:兒明253=?兒明（為+1），

由1112（1111

ES2S3y2+l2）

聯立I：：：；［消去x，化簡得/一（8r+2卜+1=0,

所以％+%=81？+2,%%=1,

?,,11乂+%+28左~+2

因止匕----+-----=—------=——=1,

%+1+1+必++18k+2

由（2）知物%=-8,不妨設無.>0』<0,

則\MN\=XM-XN=XM+—>472,等號成立當且僅當XM=242,

3<3/

1N\~"I-

1112B

所以三的最大值為處.

工4^38

【點睛】結論點睛：拋物線/=2眇在點（x°,得）處的切線斜率為左=￡,拋物線/=2.在

答案第12頁，共15頁

2n

點(普，州)處的切線的斜率為4=3?

2Py0

19.(1)1

(2)(i)1一"4(ii)

n\<2.)2.

【分析】(1)根據對稱性，不妨固定乙六輪選卡的數字依次為，由甲的總得分為0,得到甲

六輪選卡的數字依次為，再由甲六輪選卡的數字有種排序方法，利用古典概型的概率求解.

(2)若甲的總得分為1,分①甲在第一輪得1分，②甲在第二輪得1分，③甲在第三輪得1

分，④甲在第四輪得1分，利用古典概型的概率求解；(3)設甲在六輪游戲中的得分分別為,

易得甲在每輪獲勝的概率為，然后利用求解.

(1)不妨設乙出卡片的順序為(2,4,6),則甲的出牌順序為(a也c),根據古典概率概型計算

可得答案；

(2)(i)不妨固定乙出卡片的順序為(2,4,6,…,2”)，甲出卡片的順序共有A：=加種，計算

出甲在〃輪比賽中總得分為1的情形的概率，利用古典概型、對立事件概率計算可得答案；

(ii)甲，乙兩人的總得分之和為“，則乙在"輪比賽中的總得分丫="-左的概率也是“，

"輪比賽后甲的總得分為左+1(即最初是乙得分為左+1)的概率也可以表示為P-i，因此

有“=已》，"{0,1,2,…,1},〃為偶數時尸也￡|=：；〃為奇數時，計算出〃輪比賽

后甲的總得分不小于］的概率可得答案.

【詳解】(1)易知甲不可能得3分，〃=3時，不妨設乙出卡片的順序為(2,4,6),

則甲的出牌順序為(3b,c),其中a,6,ce{1,3,5},

總情形共有A；=6種，

只有(“,64)=(3,5,1)時，甲可以得2分獲勝，

所以甲獲勝的概率為」；

6