專題09與高中數學知識銜接的信息給予問題

1,定義一種運算；sin（cif+/?）=sinacos/?+cosasinJ3,sin（cr-/?）=sinacos[3-cosasmfi.：

當a=45。，〃=30。時，5由（45。+30。）=變義走+受、！=逅土也，則sin15。的值為.

22224

2.若10*=N，則稱》是以1。為底N的對數.記作：x=lgN.例如：1。2=10（）,則2=坨1。0；

則0=Igl.對數運算滿足：當M>0,N>0時，lgM+lg?/=lg（ACV）,例如：Ig3+lg5=lgl5,

則（Ig5『+lg5xlg2+lg2的值為（）

A.5B.2C.1D.0

3.研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體ABCD-A，BzL”（圖1）,因為在平面AA'CC中，CC'〃AA',AAZ與AB相交于點A,

所以直線AB與AA'所成的NBAA'就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC'所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體ABCD-A'BzCD',求既不相交也不平行的兩直線BA'與AC所成角的大小.

圖2

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點；

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是丙；

②在所選正確展開圖中，若點M到AB,BC的距離分別是2和5,點N到BD,BC的距離分別是4和3,P是

AB上一動點，求PM+PN的最小值.

甲乙丙

4.某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究丫=@/(a>0)型拋物線圖象.發現：如圖1所示，該類

型圖象上任意一點M到定點F(0,—)的距離MF,始終等于它到定直線1：y=-」-上的距離MN(該

4a4〃

結論不需要證明)，他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線1為圖象的準線，y=-上叫做拋物線的準線

4〃

方程.其中原點。為FH的中點，FH=20F=—,例如，拋物線y=：Y,其焦點坐標為F(0,,準線

2a22

請分別直接寫出拋物線y=2x?的焦點坐標和準線1的方程：,.

(2)【技能訓練】

如圖2所示，已知拋物線y=!x?上一點P到準線1的距離為6,求點P的坐標；

8

(3)【能力提升】

如圖3所示，已知過拋物線y=ax?(a>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線1于點A、B、C.若BC=

2BF,AF=4,求a的值；

(4)【拓展升華】

古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB

AC

分為兩段AC和CB,使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：——=~=

ABAC

1二1.后人把史二1這個數稱為“黃金分割”把點C稱為線段AB的黃金分割點.

22

如圖4所示，拋物線的焦點F(0,1),準線1與y軸交于點H(0,-

4

1),E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側的拋物線上一點.當篝=后時，請直接寫出

的面積值.

5.已知「2=絲區3,「3=5X4X3=10,4=6X5x4x3=15,…觀察以上計算過程，尋找規律計算

“31X251X2X361X2X3X4

。5=

6.閱讀以下材料:

對數的創始人是蘇格蘭數學家納皮爾(J.Nplcr,1550-1617年)，納皮爾發明對數是在指數書寫方式之

前，直到18世紀瑞士數學家歐拉(Evlcr,1707-1783年)才發現指數與對數之間的聯系.

對數的定義：一般地，若a'=N(a>0且aWl),那么x叫做以a為底N的對數，記作x=log,N,比如指

數式2"=16可以轉化為對數式4=logzl6,對數式2=log525,可以轉化為指數式5?=25.

我們根據對數的定義可得到對數的一個性質：

loga(M*N)=logaM+logaN(a>0,aWl,M>0,N>0),理由如下：

mn

設logaM=m,logaN=n,則M=a,N=a,

.*.M>N=an，ean=:am+n,由對數的定義得m+n=loga(M*N)

又m+n=logaM+logaN

loga(M?N)=logaM+logaN

根據閱讀材料，解決以下問題：

(1)將指數式34=81轉化為對數式；

(2)求證：logaA=logaM-logaN(a>0,a#l,M>0,N>0)

N

(3)拓展運用：計算log69+log68-log62=.

7.閱讀下面的材料：

如果函數y=/(%)滿足：對于自變量元的取值范圍內的任意修，入2,

(1)若尤1〈X2，都有7(%1)V/(九2)，則稱/(龍)是增函數；

(2)若為VX2，都有了(X1)>/(X2),則稱/(%)是減函數.

例題：證明函數了(無)=旦(x>0)是減函數.

X

證明：設0〈冗1<、2，

jA6x9-6xi6(x9-xi)

/(XI)-f(x2)=旦-旦=-2——L=——2__1_

X1x2xlx2xlx2

*.*0<Xl<X2，.*.X2_Xl>0,Xl%2>0?

X即/Ji)-/(無2)>0.

^6(X2I\>0

xlx2

(xi)>/(X2).???函數/(x)=—(x>0)是減函數.

X

根據以上材料，解答下面的問題：

已知函數/(x)=_L+x(%<0),

X

/(-1)=―—+(-1)=0,/(-2)=―1—+(-2)=-1

(-1)2(-2)24

(1)計算：/(-3)=,/(-4)=；

(2)猜想：函數/(尤)=-L+x(x<0)是函數(填“增”或“減”)；

X

(3)請仿照例題證明你的猜想.

專題09與高中數學知識銜接的信息給予問題(解析版)

1,定義一種運算；sin(cif+J3)=sinacos/?+cosasinJ3,sin(a-J3)=sinacos[3-cosasinjS.：

當a=45°,/=30。時，sin(450+30°)=Ylx《i+YlxL=?^,則sinl5。的值為

22224

V6-V2

【答案】

-4

【解析】根據sin(tz~/3)=sin。cos力一cosasin0代入進行計算即可.

sinl50=sin(45°-30°)

=sin45°cos300-cos45°sin30°

V273V21

=X---------------x—

2222

=&_顯

~44~

_V6-V2

4-

故答案為：娓3.

4

【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數值的計算，掌握公式的轉化是解題的關鍵.

2.若10,=N，則稱x是以1。為底N的對數.記作：x=lgN.例如：1()2=100,則2=lgl。。；i()o=i,

則0=lgl.對數運算滿足：當4>0,N>0時,lgM+lgA^=lg(ACV),例如：Ig3+lg5=lgl5,

則(Ig5『+lg5xlg2+lg2的值為()

A.5B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】通過閱讀自定義運算規則：lgM+lgN=lg(MN),再得到lgl0=l,再通過提取公因式后逐步

進行運算即可得到答案.

lgM+lgN=lg(W),

■■(Ig5)2+lg5xlg2+lg2

=lg5(lg5+lg2)+lg2

=lg5^glO+lg2

=lg5+lg2

=igio

=1.

故選C

【點睛】本題考查的是自定義運算，理解題意，弄懂自定義的運算法則是解本題的關鍵.

3.研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題.

(1)閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體ABCD-A，B，CD7(圖1),因為在平面AA'CC中，CC〃AA',AA'與AB相交于點A,

所以直線AB與AA'所成的NBAA'就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC'所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體ABCD-A'B'LD',求既不相交也不平行的兩直線BA'與AC所成角的大小.

(2)如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點；

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是丙；

②在所選正確展開圖中，若點M到AB,BC的距離分別是2和5,點N到BD,BC的距離分別是4和3,P是

AB上一動點，求PM+PN的最小值.

甲乙丙

【答案】見解析。

【分析】(1)如圖1中，連接BC'.證明AA，BC'是等邊三角形，推出NBA'C'=60。，由題意可知

A，B是兩條直線AC與BA，所成的角.

(2)根據立方體平面展開圖的特征，解決問題即可.

(3)如圖丙中，作點N關于AD的對稱點K,連接MK交AD于P,連接PN,此時PM+PN的值最小，最小值

為線段MK的值，過點M作町，NK于J.利用勾股定理求出MK即可.

:.△葭BC7是等邊三角形，

.?.NBA'C'=60°,

■:AC〃屋C,

：.ZCA'B是兩條直線AC與BA'所成的角，

二兩直線BA'與AC所成角為60°.

(2)①觀察圖形可知，圖形丙是圖2的展開圖，

故答案為：丙.

②如圖丙中，作點N關于AD的對稱點K,連接MK交AD于P,連接PN,此時PM+PN的值最小，最小值為線

段MK的值，過點M作MJJ_NK于J.

由題意在RtZ\MKJ中，ZMJK=90°，MJ=5+3=8,JK=8-(4-2)=6,

二MK=VMJ2+JK2=VS2+62=10,

.".PM+PN的最小值為10.

4.某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究丫=2/(a>0)型拋物線圖象.發現：如圖1所示，該類

型圖象上任意一點M到定點F(0,—)的距離MF,始終等于它到定直線1：y=-」-上的距離MN(該

4a4a

結論不需要證明)，他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線1為圖象的準線，y=-上叫做拋物線的準線

4a

方程.其中原點。為FH的中點，FH=20F=—,例如，拋物線丫=：/，其焦點坐標為F(0,；),準線

2a22

請分別直接寫出拋物線y=2x?的焦點坐標和準線1的方程：,.

(2)【技能訓練】

如圖2所示，已知拋物線y=，x?上一點P到準線1的距離為6,求點P的坐標;

8

(3)【能力提升】

如圖3所示，已知過拋物線y=ax?(a>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線1于點A、B、C.若BC=

2BF,AF=4,求a的值;

(4)【拓展升華】

古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB

AC

分為兩段AC和CB,使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：——=3=

ABAC

避二1.后人把1二1這個數稱為“黃金分割”把點C稱為線段AB的黃金分割點.

22

如圖4所示，拋物線y=』x2的焦點F(0,1),準線1與y軸交于點H(0,-1),E為線段HF的黃金

4

分割點，點M為y軸左側的拋物線上一點.當篝=&時，請直接寫出△HME的面積值.

【答案】(1)(0,—y=—,(2)4^2>4)或(—4^^,4)

88

1廠L

(3)a=-(4)行一1或3-正

【解析】【分析】(1)根據交點和準線方程的定義求解即可；

(2)先求出點P的縱坐標為4,然后代入到拋物線解析式中求解即可；

(3)如圖所示，過點B作BDLy軸于D,過點A作AE，y軸于E,證明△FDBS/SFHC,推出方。=’-,

6a

則。D=O尸一。尸=」一，點B的縱坐標為二一，從而求出5。=走，證明△AEFs^BDF,即可求出

12a12a6a

點A的坐標為(-26，2+—),再把點A的坐標代入拋物線解析式中求解即可；

4a

(4)如圖，當E為靠近點F的黃金分割點的時候，過點M作MNL1于N,則MN=MF,

先證明△MNH是等腰直角三角形，得至UNH=MN,設點M的坐標為(m,-m2)，貝ijMN=-m2+l=—m=HN,

44

求出…―2,然后根據黃金分割點的定義求出他=君一1,則也片《板,”=行一1；同理可求

當點E是靠近H的黃金分割點時的面積.

解：(1)由題意得拋物線y=2x?的焦點坐標和準線1的方程分別為(0,-),y=--,

88

故答案為：(0,-),y=--,

88

⑵解：由題意得拋物線y=-x2的準線方程為y=--=-2,

84〃

??,點P到準線1的距離為6,

???點P的縱坐標為4,

1

???當y=4時，一九29=4,

8

解得x=±4后，

二點P的坐標為（4后，4）或（一4后,4）；

（3）解：如圖所示，過點B作BD_Ly軸于D,過點A作AEJ_y軸于E,

由題意得點F的坐標為F（0,」-）直線1的解析式為：y=-—,

4a4a

：.BD//AE//CH,FH=—,

2a

.,.△FDB^AFHC,

.BD_FD_FB

VBC-2BF,

.?.CF=3BF,

BDFDFB1

,........------------------——

'HCFHFC3'

FD=—

6a

：.OD=OF-DF=—,

12a

.,.點B的縱坐標為,

12a

--------CIX

解得》=走（負值舍去），

6a

AE//BD,

.".△AEF^ABDF,

????也也

EFDF

???AE=y/3EF，

AE2+EF2=AF2^

?*.4EF2=AF2=16-

；.EF=2,

；?AE=2y[3，

.,.點A的坐標為（-2A/^，2H---）,

?*-48/一8〃一1二0,

（12a+l）（4a-l）=0,

解得（負值舍去）

【小問4詳解】

o

H

圖3

解：如圖，當E為靠近點F的黃金分割點的時候，過點M作MNJ.1于N,貝。MN=MF,

??,在RSMNH中，sin/A/HN二絲L克，

MHMH2

AZMHN=45°,

是等腰直角三角形，

ANH=MN,

1

設點M的坐標為（m,—m9）,

MN=—m+1=—m=HN,

4

m=—2

AHN=2,

??,點E是靠近點F的黃金分割點,

HE=^^HF=6―1，

2

S"ME=；HE.NH=F1；

同理當E時靠近H的黃金分割點點，EF=亞7HF=V5-b

2

HE=2—由+\=3—杷，

???S：E=：HE.NH=3Y,

綜上所述，SAHME=245一2或S.ME=3—&

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性

質與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關鍵.

5.已知「2=之*=3,「3=5X4X3=10,4=6X5x4x3=15,…觀察以上計算過程，尋找規律計算

^31X251X2X361X2X3X4

r5=.

---------

【答案】56

【解析】對于Cab(b<a)來講，等于一個分式，其中分母是從1到b的b個數相乘，分子是從a開始乘,

乘b的個數.

??「2.3X2=3,「3.5X4X3=W,4.6X5X4X3=5

31X251X2X361X2X3X4

.?5=8X7X6X5X4=56.

1X2X3X4X5

6.閱讀以下材料：

對數的創始人是蘇格蘭數學家納皮爾(J.Nplcr,1550-1617年)，納皮爾發明對數是在指數書寫方式之

前，直到18世紀瑞士數學家歐拉(Evlcr,1707-1783年)才發現指數與對數之間的聯系.

對數的定義：一般地，若a*=N(a>0且a#l),那么x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN,比如指

數式2，=16可以轉化為對數式4=logzl6,對數式2=logs25,可以轉化為指數式5?=25.

我們根據對數的定義可得到對數的一個性質：

loga(M*N)=logaM+logaN(a>0,aW1,M>0,N>0),理由如下:

mn

設logaM=m,logaN=n,則M=a,N=a,

.*.M*N=am>an=am+n,由對數的定義得m+n=loga(M*N)

又m+n=logaM+logaN

.".loga(MeN)=logaM+logaN

根據閱讀材料，解決以下問題：

(1)將指數式34=81轉化為對數式；

(2)求證：loga—=logM-logaN(a>0,@#1,M>0,N>0)

Na

(3)拓展運用：計算log69+log68-log62=.

【解析】(1)4=log381(或log381=4),

故答案為：4=log381；

(2)證明：設logaM=m,logaN=n,則M=a\N=an,

ra-n

A—=a,由對數的定義得m-n=logaA,

NN

又?.?m-n=logaM-logaN,

loga—=logaM-logaN；

N

(3)log69+log68-log62=log6(9X84-2)=log636=2.

故答案為：2.

7.閱讀下面的材料：

如果函數y=/(x)滿足：對于自變量元的取值范圍內的任意為，工2,

(1)若％1<必都有了(為)(%2)，則稱/(%)是增函數；

(2)若都有了(%1)>/(%2)，則稱/(X)是減函數.

例題：證明函數無)=旦(x>0)是減函數.