湛江市2025年普通高考測試（一）

數學

2025.3

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，

寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合'斗'2"叫，則4nB=（）.

A.[T0]B.[-2,1]C.0D.{-1,0}

已知向量G=l,g3=（加），若方則網=（）?

2.1,

A.B.2C.V5D.5

在等比數列｛%｝中，3，8=().

3.。。5=49,6Z4+6Z6=70,則。

A.-567B.567C.451D.699

4.一組數據1,3,7,9,加（加＞0）的中位數不小于平均數，則機的取值范圍為（）.

A[5,7]B,[5,15]C.[7,15]D.[5,20]

2兀

5.一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為3,圓心角為——的扇形，在該圓錐內有一個體積為憶的球，則該球

3

的體積m的最大值是（）.

2「2V2n12

A.2TIB.—71C.------71D.-----71

333

7T

6.已知函數/（X)=sin(2x+—)在區間(0,r〃）上存在唯一個極大值點，則m的最大值為（

6

7717171

A.—B.兀C.一D.-

636

第1頁/共25頁

7.已知2(-1,0),8(1,0),點尸滿足1PH=G|必I，當二尸48取到最大值時，,48的面積為().

A3g3行3行6

z*..-------o.-------V/.-------\-).72

442

8.已知定義在R上的函數/(x)為奇函數，且當x〉0時，〃x)=ex-a,若VxeR,不等式

/(—x)+/(x—|a—1|)<0恒成立，則。的值不可能是().

A.-2025B.2025C.e2D.3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知4(1,6),8(2,4),C(3,4),D(4,2),￡(5,4),5個數據的散點圖如圖所示，采用一元線性回

歸模型建立經驗回歸方程.經分析確定￡(5,4)為“離群點”，故將其去掉，將數據￡(5,4)去掉后，下列說

法正確的有().

牛

%(1,6)

C(3,4)

5(2,4)邱A)

3(4,2)

~Ox

A.樣本相關系數「變大

B.殘差平方和變小

C.決定系數氏2變大

D.若經驗回歸直線過點(3.5,2.8),則其經驗回歸方程為/=-1.2x+7

10.復數Z-Z2滿足2]+Z2=4,Zr-Z2=8,則().

A"z〉"|=8B.|Z!-Z2|=4

C.k|+"|=4D.|^|=1

11.設定義在R上的函數/(x)和g(x),記g(x)的導函數為g'(x),且滿足/(x)+g'(x)=4,

/(x-l)-g,(3-x)=4,若g(x)為奇函數，則下列結論一定成立的有().

第2頁/共25頁

A/（2）+/（4）=8B./（2025）=4

2025

c.X/(〃)=8100D.g'(4)=o

n=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知等差數列｛4｝的前〃項和為且滿足邑“t=41—2%-1,aA=1,則數列｛%｝的通項公式為

13.已知tan]a+在"—,則sin2。+——=

3I3J---------

X22.2,2

14.已知橢圓/:=+2=1(%〉4〉0)與雙曲線5:「一今=1(出〉082〉0)具有相同的焦點片，F],

a

xbx%匕2

點尸為橢圓/與雙曲線3位于第一象限的交點，且|。尸|=；閨鳥|(。為坐標原點).設橢圓/與雙曲線2

的離心率分別為,,%則2e；+e；的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在V48C中，內角4B,C的對邊分別是a,b,c,且GasinB+6cosNA4C=6，。為5C邊上

的點，且ND平分/氏4c.

(1)求NA4c的大小；

(2)若=(2=7,求V4SC的周長.

8

16已知函數/(x)=aln(x-l)+x2一2x,其中aeR.

(1)若a=—8,求函數/(x)的單調區間；

(2)當。＜-2時，試判斷/(x)的零點個數并證明.

17.如圖，四棱錐S-4BC。的底面是邊長為2的正方形，每條側棱的長都是底面邊長的近倍，P為側棱

SD上的點，且部〃平面PZC.

第3頁/共25頁

(1)求證：ACVSD.

(2)求直線SB到平面PNC的距離.

2兀

(3)請判斷在平面尸/C上是否存在一點￡,使得△ESS是以S3為底邊，——為頂角的等腰三角形.若

3

存在，請求出點￡的軌跡；若不存在，請說明理由.

18.已知拋物線=2.(P>0)的焦點為尸，A,8分別為C上的點(點/在點8上方).過點/,B

分別作C的切線小12,交于點尸.點O為坐標原點，當△048為正三角形時，其面積為48百.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線48經過點尸，求動點尸的軌跡以及點P到直線48的距離的最小值.

19.甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題(難度系數較低的A類問題以及難度系數較高的B

類問題)供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題.甲遇到每類問題的概率均為。，甲遇到A

類問題時回答正確的概率為:，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到3類問題時回答正確的概率為

回答正確記2分，否則記0分，總得分記為X分，甲回答每個問題相互獨立.

(1)當進行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數學期望.

(2)設甲在每輪游戲中均回答正確且累計得分為〃分的概率為G(").

(i)證明：｛G(〃+1)—為等比數列.

(ii)求G(〃)的最大值以及對應〃的值.

第4頁/共25頁

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合/斗卜°},B=則zn8=（）.

A.[-1,0]B.[-2,1]C.0D.{-1,0}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式確定集合A,然后由交集定義計算.

【詳解】因為2={X,2+2》三0}={*—24》三0},5=[-1,1],

所以=1,0].

故選：A.

2.已知向量5=1-,B=（i,加），若nB,則忖=（）.

A.V3B.2C.V5D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根據垂直向量的數量積以及其坐標表示，建立方程，求得參數，利用模長公式，可得答案.

【詳解】因為所以=—i+g優=o,所以加=2,所以忖=石.

故選：C.

,

3.在等比數列{a“}中，。3。5=49,<24+<26=70,則網=（）.

A.-567B.567C.451D.699

【答案】B

【解析】

【分析】由已知根據等比中項可得%=±7,分兩種情況利用通項公式求解即可.

【詳解】因為%q=編=49,所以&=±7,

當q=-7時，—7—7q2=70,q2=—H,舍去，

故的=7,所以7+7/=70,即/=9,

第5頁/共25頁

所以％=%,/=567.

故選：B.

4.一組數據1,3,1,9,加（加＞0）的中位數不小于平均數，則加的取值范圍為（）.

A.[5,7]B,[5,15]C.[7,15]D.[5,20]

【答案】B

【解析】

【分析】先計算這組數據的平均數，由平均數可得這組數據的中位數只可能是加或7,分兩種情況分別求

解即可.

【詳解】因為這組數據的平均數為-i=4+-＞4,

55

所以這組數據的中位數只可能是m或7,

若這組數據的中位數是〃?，則4+—＜加＜7,即5W加K7,

5

m

若這組數據的中位數是7,則4+—47V加，即7?加《15,

5

綜上所述，加的取值范圍為54加＜15.

故選：B.

2兀

5.一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為3,圓心角為——的扇形，在該圓錐內有一個體積為憶的球，則該球

3

的體積K的最大值是（）.

A.2兀B.-nC.兀D.—

333

【答案】D

【解析】

【分析】根據圓錐側面展開圖可得圓錐的半徑和高，由三角形面積公式即可求解內切球半徑，進而由球的

體積公式求出答案.

【詳解】由題意得，扇形的弧長/=3X&=2TT,

3

所以該圓錐的底面圓的半徑r=—=l,

2兀

所以該圓錐的高/z=存=3=2J5?

設該圓錐內的球的最大半徑為R,圓錐的軸截面如圖所示：

第6頁/共25頁

A

則依題意得S“BC=！x2x2正=4x(3+3+2)xR,

△ADL22、'

所以R二』Z

2

44（桓、Jy

所以該球的體積廠的最大值是?應?3=2一兀=注兀.

33（2J3

故選：D

7T

6.已知函數/（x）=sin（2x+：）在區間（0,加）上存在唯一個極大值點，則機的最大值為（）.

6

7兀7171

A.—B.7lC.—D.—

636

【答案】A

【解析】

【分析】在指定區間內求出相位的范圍，再結合極大值點的意義列出不等式求解.

【詳解】當xe（0,加）時，2x+巴e（巴,2加+巴），由/（x）在區間（0,加）上存在唯一個極大值點,

666

/口兀-兀，5兀口兀，7兀

得一＜2加+—V—,解得一〈加4——，

26266

7

所以m的最大值為一兀.

6

故選：A

7.已知z（-1,0）,8（1,0）,點P滿足|「旬=&|必當二尸48取到最大值時，△尸48的面積為（）.

，迪B.逑…D,V2

442

【答案】D

【解析】

【分析】由1PH=6|尸劃可得點尸軌跡方程，然后由直線N尸與圓。相切時，NPAB最大,可得答案.

22

【詳解】設P（x/）,由1PH=百\PB\得加+1）2+/=V3x^x-l）+y,

第7頁/共25頁

即(X-2『+/=3,則點P軌跡為的圓心為。(2,0),半徑為G的圓.

當直線/尸與圓。相切時，NPAB最大,則4P_LP￡>.

又|戶必=百，|4D|=3,所以歸4|=J|4012Tpz邛=瓜.

又I網=j孫，所以^=f^=jx|xPH.\PD\=42.

8.已知定義在R上的函數/(x)為奇函數，且當x〉0時，/(x)=eY-fit,若VxeR,不等式

/(—x)+/(x—|a—1|)40恒成立，則。的值不可能是().

A.-2025B.2025C.e2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇函數的性質求出/(X)的解析式，再按。的不同取值分類討論/(x)在R上的單調性即可求

解.

【詳解】因為定義在R上的函數/(x)為奇函數，且當x〉0時，f(x)=e-a,

所以當x<0時，一x>0,f(x)=-f(-x)=-e~x+a,當x=0時，f(x)=0,

X.—x

令e"—a2-e~x+a，即a?------，

2

因為《±￡;22、忙*3二=1，當且僅當x=0時等號成立，所以a?l,

2V22

若aWl,則函數/(x)在R上單調遞增，

Xx-|a-l|<x,所以—=,

即/(—x)+/(x—|a—[)<0恒成立，故a<l滿足題意，排除選項A；

若。〉1,貝la-1〉0,函數/(x)在R上不單調，圖象如圖所示，

第8頁/共25頁

-Ina/1Ina/、

qr

又/(—x)+/(x—|aT|)<0,即/—V/(x),

可理解為函數/[x-(a-1)]的圖象在函數/(x)的圖象下方,

所以由圖象可得a—1221na,即21na—a+l?O,

令g(a)=21na—。+1(。〉。)，

則g（2025）=21n2025-2024<0,g（3）=21n3-2=2（ln3-l）>0,

g（e2=2Ine2-e2+1=5-e2<0.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知4（1,6）,8（2,4）,C（3,4）,￡>（4,2）,￡（5,4）,5個數據的散點圖如圖所示，采用一元線性回

歸模型建立經驗回歸方程.經分析確定￡（5,4）為“離群點”，故將其去掉，將數據￡（5,4）去掉后，下列說

法正確的有（）.

弘(1,6)

C(3,4)

5(2,4)‘即用

力(4,2)

>

Ox

A,樣本相關系數r變大

B.殘差平方和變小

C.決定系數氏2變大

D.若經驗回歸直線過點（3.5,2.8）,則其經驗回歸方程為/=-1.2X+7

第9頁/共25頁

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據散點圖的性質可知去掉￡后相關性變強判斷A選項；殘差平方和以及決定系數判斷BC選項;

根據回歸直線的求法和性質判斷D.

【詳解】對于選項A：由圖可知，變量x與變量y是負相關，

且將數據￡（5,4）去掉后，樣本相關系數r的絕對值變大，

所以廠變小，故選項A錯誤；

對于選項B：將數據￡（5,4）去掉后，變量x與變量y的相關性變強，

所以殘差平方和變小，決定系數氏2變大，故選項B,C正確；

44

對于選項D：設經驗回歸方程為?=&+G,經計算得?,=30,?,%=34,

i=lz=l

且元=2.5,7=4,可得34-4x2.5x4=?=4-（-1.2）x2.5=7,

30-4x2.52'7

所以經驗回歸方程是3=-1.2x+7,所以選項D正確.

故選：BCD.

10.復數Z],Z2滿足Z]+Z2=4,ZJZ2=8,則（）.

A.歸卜"|=8B.|Z!-Z2|=4

C.㈤+"|=4D.五=1

Z2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題意根據韋達定理建立一元二次方程，求得復數，根據模長公式以及復數四則運算，可得答案.

【詳解】依題意得，復數zrZ2是方程4x+8=0的兩個根，

x2-4x+8=0RlMA=（-4）2-4x8=-16=（4i）2,

解得）_4±皿17_4±4i、2±2j,則z=2+2i,z2=2-2i,

22

所以團歸|=J==26"x2忘=8,故選項A正確；

|zj-z2|=|4i|=4,故選項B正確;

第10頁/共25頁

㈤+"|=2&+2后=4后，故選項C錯誤;

故選：ABD.

11.設定義在R上的函數/(x)和g(x),記g(x)的導函數為g'(x),且滿足/(x)+g'(x)=4,

/(x-l)-g,(3-x)=4,若g(x)為奇函數，則下列結論一定成立的有().

A./（2）+/（4）=8B./（2025）=4

C.工/（〃）=8100D.g'（4）=0

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用已知得出g(x)的圖象關于(1,0)對稱，又得出g(x)是偶函數，從而它的周期性，然后通過

g(x)的值計算出/(x)相應的值，判斷各選項.

【詳解】由/(x)+g'(x)=4得/(x—l)+g'(x—l)=4.

又/(x—l)—g'(3—x)=4,所以g'(x-l)=_g'(3_x),BPg,(x)=-g,(2-x),

所以g”)關于(1,0)對稱,g，(l)=0.

又因為g(x)是奇函數，故g'(x)是偶函數，所以《(X)滿足條件g'(x+4)=g'(x).

對于選項A,因為g'(4)=H(-2)=-g12),所以g14)+g<2)=0,

所以〃2)+/(4)=4—g12)+4—g<4)=8—[g]4)+g[2)]=8,選項A正確;

/(2025)=4—g'(2025)=4—g'⑴=4,選項B正確；

因為g43)=_g'(T)=_g'⑴=0,所以g'⑴+g'⑵+g'⑶+g'(4)=0,

20252025

所以Z/(〃)=4x2025—Zg'(〃)=8100-g'(2025)=8100—g'(l)=8100,選項C正確；

M=1M=1

對于選項D,g'(4)=g'(o),但不一定為0,選項D錯誤.

故選：ABC.

第11頁/共25頁

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知等差數列｛%｝的前〃項和為J,且滿足邑“_1=41—2a“-1,=1,則數列｛%｝的通項公式為

【答案】an=2n-l

【解析】

【分析】設出公差，根據邑=15-2^2=3%，求出的=3,得到公差，利用通項公式求出答案.

【詳解】設｛4｝的公差為d,

因為邑〃_1=4〃-2an—1,

所以S3—4x22—2a2—1—15—2ci?，

又S3=q+%+%=3%，故15—2。2=3。2，解得。2=3,所以d=g—，4=2,

又％=1,所以%=q—=1+2(〃-1)二2〃一1.

故答案為：CLn=2n-l

13.已知tan[a+;■]=§,貝!Jsin12a+—^-1=________.

4

【答案】1##0.8

【解析】

，2TIA(兀、

【分析】利用同角關系式可求得cos?1a+—|=利用誘導公式可得sin2aH---=cos2aH----

12J10、3)LI12

再利用倍角公式即可求解.

x、sin[adJ/\/

【詳解】tan|cc+I-/、—，即cos|cc+|-3sinIa+

112)ccJ0+兀]3I12)I12)

I12J

又cos~(an---|+sin21H----|=1,所以cos2(an---|=—,

L12；L12JI12J10

b,、，?(c,2兀、.「『c，兀'，兀[(c,兀)

I3JLI6)2」I6j

第12頁/共25頁

c兀c2兀14

=cos2a+—=2cosa+——l=一.

LI12JJI12J5

_,4

故答案為：一.

5

2222

YVrV

14.已知橢圓N：r+丁=1（%〉4〉0）與雙曲線5:^-3=1（&〉0力2〉0）具有相同的焦點片，月，

axbxa2b2

點尸為橢圓/與雙曲線3位于第一象限的交點，且|。尸|=；閨用|（。為坐標原點）.設橢圓/與雙曲線2

的離心率分別為6,e2,則2e；+e；的最小值為.

【答案】—FV2

2

【解析】

【分析】法一：由題意可得焦點三角形為直角三角形，根據橢圓的定義、雙曲線的定義與勾股定理，建立

方程組，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由題意可得焦點三角形為直角三角形，根據橢

圓與雙曲線焦點三角形面積的二級結論，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.

r洋解】不：,

1JT

法一：因為|。尸|=5陽閶，所以/片尸￡二萬.

設歸用=加，|尸閶=〃（不妨設加〉協），閨閭=2%

m+n=2a

]111

依題意有〈加一〃二2%，a；+a；=2",—+—=2

222q6

m+n=4Ac

（[]）J

所以2（2e：+e：）=（2e；+e：）——+—=3+^+-->3+242,

e

2），e2

當且僅當e；=、/5e；時等號成立，所以2e；+e；?|+J5

所以2e；+e；的最小值為1+V2.

1jr

法二：因為|00|=5閨7訃所以/月盟=,.

對于焦點三角形AF[PFZ,根據橢圓的性質可得其面積S;

第13頁/共25頁

c*_____^2_____

根據雙曲線的性質可得一/4尸耳2,所以母=眩,

a”T~

所以Q；一，二。2—Q；,整理可得F+F=2.

，e2

([]、02Q2

所以2(2e；+%)=(2彳+e；14+4=3+4?+%23+20,

I，。2)。2

當且僅當e；=、/5e；時等號成立，所以2e；+e；2|+J5,

所以2e；+e；的最小值為1+V2.

故答案為：—FV2.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VZ8C中，內角/,B,C的對邊分別是a,b,c,且GasinB+bcosN胡C=6，D為BC邊上

的點，且4D平分NA4C.

(1)求NA4c的大小；

(2)若4D="",a=7,求V4SC的周長.

8

【答案】(1)ABAC=—

3

(2)15

【解析】

【分析】(1)由正弦定理得道$山/84。5畝5+51118(\)5/區4。=5111_5，進而可得

V3sinABAC+cosABAC=b根據輔助角公式可得ZBAC的大小.

(2)由題意可得S“BC=S“m+S”比,從而可得bc="(b+c),由余弦定理求得b+c=8,即可求

VZ3C的周長.

【小問1詳解】

由正弦定理得Gsin/S/CsinB+sinBcos/S/C=sin5-

又因為sinBwO,所以GsinNB/C+cosNA4c=1，

ZBZC+胃

所以sin

2

第14頁/共25頁

TTTTTTSjT

.?.N8ZC+e=2+2E或N8ZC+2=H+2E,keZ,

6666

:.ABAC-2knsKABAC=—+2k.it,keZ

3

77r

又?.?Z8/Ce(0,兀)，；.N8ZC=彳.

【小問2詳解】

VZD平分/氏4c

TT

，/BAD=NCAD=—,

3

?q=ss

?JABC-3ABD丁°"。。'

所以工bcsin/5/C=—AD-csinABAD+—AD-bsinACAD,

222

1,.271115.71115,.71

一besin——=—x―c-sin—+—x——o-sm—

23283283

所以=^-(b+c)15

x——,

44V78

BPbe=^-(ZJ+C).①

27r

由余弦定理得7?=b~+c2-2bc-cos——,

一3

即49=(b+c『-be.②

將①代入②得8優+c『一15(b+c)—8x49=0,

49

所以b+c=8,b+c=----(舍去)，

8

所以V/8C的周長為a+b+c=7+8=15.

16.已知函數/(x)=aln(xT)+x2-2x,其中aeR.

(1)若a=—8,求函數/(x)的單調區間;

(2)當a<-2時，試判斷/(x)的零點個數并證明.

【答案】(1)單調遞減區間為(1,3),單調遞增區間為(3,+8)

(2)兩個零點，證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用導數求得/(x)的單調區間.

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（2）先判斷2是/（x）的一個零點，利用分類討論法，對。進行分類討論，或利用分離參數法，結合導數

來確定正確答案.

【小問1詳解】

由題知x＞l,/3二旦+2一=2（1）?,

Jx-1x-1

當a=—8時，/，（X）=2（XT）-8

令/'（x）=0,得x=3或x=—1（舍去）.

當xe（l,3）時,r（x）＜0,故/（x）的單調遞減區間為（1,3）.

當xe（3,+oo）時,故/（x）的單調遞增區間為（3,+oo）.

【小問2詳解】

解法一：因為/（2）=0,故/（x）有一個零點是2.

令/'（x）=0,解得玉=1—（舍去），x2=l+^|.

當xe。,/）時，/，（%）＜0,故/（x）單調遞減.

當%6（%2，+°°）時，/'（二）〉0,故/（X）單調遞增.

當。＜一2時，x2=l+^-|-e（2,+00）,/（%2）＜/（2）=0.

=QIU（-Q）+/—1=—Q[_Q—In（-Q）]—1.

下面先證明當x21時，x-lnx＞1.

1x—}

令g(x)=x_lnx(x21),g'(x)=1——=---->0,

故g(x)在[L+8)上單調遞增，

所以g(x"g⑴=1.

因為—a>2>1,所以/(l—a)=-Q[―a—In(—a)]—1>—a—1>0.

易知1—Q>%2，所以/(x)在(、2，+°°)上存在唯一的零點％3，

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所以當a<-2時，/(x)有兩個零點，為2和七.

解法二：當x=2時，/(2)=0,故2是“X)的一個零點.

令/'(x)=0,又x>l,所以Xo=l+Qq.

當xe(l,x0)時，fr(x)<0,/(x)單調遞減,

當尤e(xo，+oo)時，f'(x)>0,/(x)單調遞增,

所以x=x0是/(x)的極小值點.

當。<一2時，x0>2,所以/(%)<0.

下證Inx?x-1(%>0).

1Y_1

令g(x)=x—l—lnx,則g'(x)=l__=---.

XX

當xe(O,l)時，g,(x)<0,g(x)單調遞減,當xe(l,+8)時,g,(x)>0,g(x)單調遞增,

從而g(x"g⑴=0,

所以當x>l時，In(x-l)<x-2,

所以aln(x-l)2ax-2a,

即f(x)ax-2a+x2-2x=x[x+(a-2)]-2a.

令西>2-a,則有再+a-2>0,則/(xJ>0.

易得當a<—2時，2-a>x0,所以/(x)=0在(％,+8)上有唯一解.

綜上，當a<-2時，/(x)有兩個零點.

解法三：令/(x)=aln(x_l)+x2_2x=0,

當x=2時，/(2)=0,故2是/(x)的一個零點.

—X2+2x

當xw2時,a~~7.

In(x-l)

2

A/\—X+2x

令g(x)=i^E

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易得g(x)在(1,2)和(2,+8)上均單調遞減.

)■-x2+2x-2(x-l)_

因為巴1In(x-l)巴11(洛必達法則)，

x-1

所以當xe(2,+8)時，g(x)＜—2且單調遞減，

-x2+2x

故當。＜—2時，a=-_正在(2,+co)上有唯一解.

In(x-l)

而當xe(1,2)時，g(x)＞-2,

-%2+2.x

故當。＜一2時，a=----八無解.

In(x-l)

綜上可知，當。＜-2時，“X)有兩個零點.

【點睛】方法點睛：

求函數單調區間時，先求函數的導數，令導數為0求出關鍵點，再根據導數在不同區間的正負確定函數的

單調區間，這是解決函數單調性問題的基本方法.

判斷函數零點個數，先找出一個已知零點，再通過求導確定函數的單調性和極值，然后構造函數證明相關

不等式，進而判斷在其他區間是否存在零點，這種方法綜合運用了函數的導數性質和不等式證明.

17.如圖，四棱錐S-4BCO的底面是邊長為2的正方形，每條側棱的長都是底面邊長的、巧倍，尸為側棱

SD上的點，且55〃平面P/C.

(1)求證：AC1SD.

(2)求直線SB到平面PNC的距離.

2兀

(3)請判斷在平面R4C上是否存在一點E,使得△￡%是以S3為底邊，——為頂角的等腰三角形.若

3

存在，請求出點E的軌跡；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

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(2)

2

（3）不存在，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據線線垂直可證明NCJ_平面S3。，即可利用線面垂直的性質求解，

（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可利用點面距離的向量法求解.

（3）根據線面平行的性質，結合（2）可知。到平面R4C的距離為半，而￡°=?＜手，即可求解.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接AD,

設NC交8。于點O,連接SO,由S4=S。得SO_L/C.

在正方形45CD中，AC1BD.

又SOcBD=O,SO,BDu平面S3。，所以ZC，平面SBD.

又因為5?＜=平面S3。，所以

【小問2詳解】

連接P。，因為SB〃平面PNC,S5u平面SBD,平面SBDPI平面P/C=R9,

所以S5〃P0.

在ASAD中，。為RD的中點，所以點尸為SD的中點.

易知直線SO,AC,3。兩兩垂直，如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系.

因為正方形ABCD的邊長為2,

所以Z（0,—C（0,V2,0）,5（V2,0,0）,P一半0，￥,5（0,0,V6）.

,、m-AC=0

設平面PNC的一個法向量為比=（x/,z）,則可得＜_,

m-AP=0

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2岳=0

所以‘6廠網,則片°，

----x+V2yH----z=0

I22

令x=3&，可得應=(3&,0,后).

因為SS〃平面PAC,所以直線SB到平面PAC的距離等于點B到平面PAC的距離，

J7

前在法向量成上的投影的模I5為C-^O^TI=比，

\m\2

所以直線SB到平面PNC的距離為逅.

2

【小問3詳解】

不存在.

理由如下：根據第(2)問可得直線S5到平面R4C的距離為Y6.

2

又因為55〃平面R4C,設點。為S8的中點，所以點。到平面PZC的距離為逅.

~~2

假設在平面PZC上存在點E,使得△￡%是以S3為底邊，至為頂角的等腰三角形，

3

則有EQ=-SB-tan-=—■

263

因為￡0=乎<手，所以不存在滿足條件的點E

18.已知拋物線=2.(P>0)的焦點為凡A,8分別為C上的點(點/在點8上方).過點/,B

分別作C的切線小12,交于點尸.點O為坐標原點，當△048為正三角形時，其面積為48百.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線48經過點尸，求動點尸的軌跡以及點P到直線48的距離的最小值.

【答案】(1)y2=4x

(2)軌跡為直線x=-l,最小值為2.

【解析】

【分析】(1)由題意作圖，根據正三角形的性質與拋物線的性質，可得點的坐標，代入拋物線方程，可得

答案；

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(2)設出直線方程，并聯立拋物線方程，寫出韋達定理，設出切線方程，聯立拋物線方程，寫出根的判別

式為零，進而求得切線的交點的坐標，利用點到直線距離公式，可得答案.

【小問1詳解】

因為△045為正三角形時，其面積為48百，可得△045的邊長CM=8百.

根據正三角形以及拋物線的對稱性，可知此時點43關于x軸對稱，

所以點/的坐標為(12,46).

將點/代入拋物線的方程可得48=24。，解得0=2,

所以拋物線C的方程為y2=4x.

【小問2詳解】

易得廠(1,0).設直線AB的方程為了=叼+1,

聯立直線AB與拋物線C的方程可得4my-4=0.

A=(-4m)2+4x4=+1)>0,

/2\(2\

設點2的坐標分別為I~4~,yxJ,I—4,y2J，

根據韋達定理可得%+外=4加，=-4.

2

設直線4的方程為1=叫(歹—")+3.

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因為4是拋物線。的切線，所以4與C僅有一個交點.

聯立兩個方程可得/-4叫7+4/必-貨=0,

△=16*-4（4加1乂—%2）=0,所以叫=A,

2

所以直線4的方程為了=型-近.

24

2